贾俊平 统计学 第8章 方差分析与实验设计
400
300
200
100 居民区 商业区 写字楼
8 - 30
2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
单因素方差分析
(方差分析假定的判断)
概率图分析
8 - 31
2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
用Excel进行方差分析
第1步：选择“工具 ”下拉菜单 第2步：选择【数据分析】选项 第3步：在分析工具中选择【单因素方差分析】 ， 然后选择【确定】 第4步：当对话框出现时
8 - 18
在例8—1中，3个样本数据是来自不同位置超市的3个独立样本
2013-1-31
第 8 章 方差分析与实验设计
8.2 单因素方差分析
8.2.1 数学模型 8.2.2 效应检验 8.2.3 多重比较
8.2 单因素方差分析
8.2.1 数学模型
统计学
STATISTICS (第四版)
单因素方差分析
因素
8 - 10
水平或处理
样本数据
2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析“超市位置”和“竞争者数量”对销售额的影响 2. 如果只分析超市位置或只分析竞争者数量一个因素对销售 额的影响，则称为单因素方差分析(one-way analysis of variance) 3. 如果只分析超市位置和竞争者数量两个因素对销售额的单 独影响，但不考虑它们对销售额的交互效应(interaction)， 则称为只考虑主效应(main effect)的双因素方差分析，或 称为无重复双因素分析(two-factor without replication) 4. 如果除了考虑超市位置和竞争者数量两个因素对销售额的 单独影响外，还考虑二者对销售额的交互效应，则称为考 虑交互效应的双因素方差分析，或称为可重复双因素分析 (two-factor with replication)
(误差分析)
1. 方差分析的基本原理就是要分析数据的总误差中 有没有处理误差。如果处理(超市的不同位置)对 观测数据(销售额)没有显著影响，意味着没有处 理误差。这时，每种处理所对应的总体均值(i)应 该相等 2. 如果存在处理误差，每种处理所对应的总体均值 (i)至少有一对不相等 3. 就例8—1而言，在只考虑超市位置一个因素的情 况下，方差分析也就是要检验下面的假设 H0 ：1 2 3 H1 ：1 , 2 , 3 不全相等
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方差必须 相同，对于分类变量的个水平，有12=22=…=k2
在例8—1中，要求不同位置超市的销售额的方差都相同
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因素各水平 的独立样本(该假定不满足对结果影响较大)
统 计 学 数据分析
(方法与案例)
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第四版)
统计名言
警惕过多地假设检验。你对数据越 苛求，数据会越多地向你供认，但 在威逼下得到的供词，在科学询查 的法庭上是不容许的。
——Stephen M.Stigler
8-2 2013-1-31
第 8 章 方差分析与实验设计
一个数值型因变量 单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
2013-1-31
4. 有单因素方差分析和双因素方差分析
8-9
统计学
STATISTICS (第四版)
什么是方差分析?
(例题分析)
【 例 8-1】确定超市的位置和竞争者的数量对销售额是否 有显著影响，获得的年销售额数据(单位：万元)如下表
error)— 组 间 误 差 (between-group
由于不同处理造成的误差，它反映了处理(超市位置)对观
测数 据 (销 售额 ) 的影 响 ， 因此 称 为 处 理 效 应 (treatment effect)
3. 随机误差(random error)—组内误差(within-group error)
8.1 8.2 8.3 8.4 方差分析的基本原理 单因素方差分析 双因素方差分析 实验设计初步
统计学
STATISTICS (第四版)
学习目标
方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 只考虑主效应的双因素方差分析 考虑交互效应的双因素方差分析 实验设计方法与数据分析
8 - 13
由于随机因素造成的误差，也简称为误差(error)
2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
方差分析的基本原理
(误差分解)
1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示，记为 SS 2. 总平方和(sum of squares for total)，记为SST
2013-1-31
8-6
第 8 章 方差分析与实验设计
8.1 方差分析的基本原理
8.1.1 什么是方差分析？ 8.1.2 误差分解 8.1.3 方差分析的基本假定
8.1 方差分析的基本原理
8.1.1 什么是方差分析？
统计学
STATISTICS (第四版)
什么是方差分析(ANOVA)?
(analysis of variance)
8 - 25 2013-1-31
•
H0 ：i = 0 (i=1,2,…,I)
没有处理效应
H1 ： i 至少有一个不等于0
统计学
STATISTICS (第四版)
构造检验的统计量F
单因素方差分析的方差分析表
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2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
作出决策 (F分布与拒绝域)
用SPSS进行方差分析和多重比较
第 1步 ：选择【Analyze】，并选择【General Linear Model-Univaiate】进入主对话框 第2步：将因变量(销售额)选入【Dependent Variable】， 将自变量(超市位置)选入【Fixed Factor(s)】 第3步 (需要均值图时)点击【Plots】，将“超市位置” 选 入 【Horizontal Axis】 ， 在 【Plots】 下 点 击 【Add】，点击【Continue】回到主对话框 • (需要多重比较时)点击【Post-Hoc】，将“超市位 置 ” 选 入 【Post-Hoc Test for】 ， 在 【Equal Variances Assumed】下选择一种方法，如LSD， 点击【Continue】回到主对话框
在【输入区域 】方框内键入数据单元格区域 在【】方框内键入0.05(可根据需要确定) 在【输出选项 】中选择输出区域
方差分析
8 - 32 2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
单因素方差分析
(例题分析)
拒绝H0
8 - 33
2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
8 - 11 2013-1-31
8.1 方差分析的基本原理
8.1.2 误差分解
统计学
STATISTICS (第四版)
方差分析的基本原理
(误差分解)
1. 总误差(total error)
反映全部观测数据的误差 所抽取的全部36家超市的销售额之间差异
2. 处 理 误 差 (treatment
error) 源自反映全部数据总误差大小的平方和 抽取的全部36家超市销售额之间的误差平方和
3. 处理平方和(treatment sum of squares)，记为SSA
反映处理误差大小的平方和 也称为组间平方和(between-group sum of squares)
4. 误差平方和(sum of squares of error)，记为SSE 反映随机误差大小的平方和称为误差平方和 也称为组内平方和(within-group sum of squares)
8-4
2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？
奥运会女子团体射箭 比赛，每个队有3名 运动员。进入最后决 赛的运动队需要进行 4组射击，每个队员 进行两次射击。这样， 每个组共射出6箭， 4组共射出24箭 在2008年8月10日进 行 的 第 29 届 北 京 奥 运会女子团体射箭比 赛中，获得前3名的 运动队最后决赛的成 绩如下表所示
8 - 14
2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
方差分析的基本原理
(误差分解)
误差平方和的分解及其关系
总误差
=
处理误差
+
随机误差
总平方和 (SST)
=
处理平方和 (SSA)
+
误差平方和 (SSE)
8 - 15
2013-1-31
统计学
STATISTICS (第四版)
方差分析的基本原理
1. 方差分析的基本原理是在20世纪20年代由英国统计 学家Ronald A.Fisher在进行实验设计时为解释实验 数据而首先引入的 2. 分析各分类自变量对数值因变量影响的一种统计方 法 3. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
一个或多个分类型自变量
两个或多个 (k 个) 处理水平或分类
如果均值相等， F=MSA/MSE1
拒绝H0 不拒绝H0
F
0
F(k-1,n-k)
8 - 27
F 分布
统计学贾俊平第8章 假设检验
两者都可以被选为null hypothesis
18
All rights reserved
假设的陈述
若FDA 选择以下的方式: H0:新药对于大众没有益处不应该上市 H1:新药对于大众有益处 此时药厂必须举证推翻H0，否则FDA不会核准 新药上市 由于这种假设方式，美国的新药上市过程十 分冗长，但好处为有害药物要上市十分困难
建立的原假设与备择假设应为
H0: 1000
H1: 1000
27
All rights reserved
双侧检验和单侧检验
假设
H0 H1
研究的问题
双侧检验 左侧检验 右侧检验
= 0
0
0
≠0
< 0
> 0
28
All rights reserved
H1: 1500
25
All rights reserved
双侧检验和单侧检验
一项研究表明，改进生产工艺后，会使产品的废 品率降低到2%以下。检验这一结论是否成立
研究者总是想证明自己的研究结论(废品率降 低)是正确的
备择假设的方向为“<”(废品率降低)
建立的原假设与备择假设应为
H0: 2%
13
All rights reserved
假设的陈述
备择假设 (alternative hypothesis)
与原假设对立的假设，也称“研究假设” 这与原假设为互斥 研究者想收集证据予以支持的假设。总是 有不等号: , 或 表示为 H1
例如，H１: < 某特定值 如 H１: < 3.5
4
All rights reserved
统计学-第八章正交试验方差分析
交互作用概念及意义
交互作用定义
两个或多个因子同时变化时，对试验结果产生的综合影响，不能简单由单个因子的影响叠加得到。
交互作用意义
揭示因子间的相互作用关系，为优化试验方案、提高试验效率提供重要依据。
交互作用在正交表中表示方法
列间交互
在正交表中，通过专门设置的交互列来表示不同因子间的交互作 用。
方差分析前提条件
独立性
各观测值之间相互独立，不受其 他观测值的影响。
正态性
各总体应服从正态分布，或近似正 态分布。
方差齐性
各总体的方差应相等或近似相等。
方差分析基本思想
分解思想
将总变异分解为因素效应和随机误差两部分，通过比较因素是否 显著。
比较思想
通过比较不同组别间均值的差异，推断总体均值是否存在显著差异。在比较过程中，需要消除随机误差的影响，以确 保比较的准确性和可靠性。
对于影响显著的因素，进一步进行多重比 较，找出各水平间的差异。
结果讨论与总结
1 2
结果讨论
根据方差分析结果，讨论各因素对产品质量和产 量的影响程度及显著性。结合实际情况，分析可 能的原因和机理。
最佳生产条件确定
根据方差分析结果和多重比较结果，确定最佳生 产条件，即各因素的最优水平组合。
3
生产建议
针对实际情况，提出相应的生产建议和改进措施， 以提高产品质量和产量。同时指出需要进一步研 究的问题和方向。
结果判断
在得出各因素对试验结果是否有显著影响的结论后，还需要进一步分析各水平对试验结果的影响程度。可以通过 比较各水平的均值大小或效应值大小来判断各水平对试验结果的影响程度。同时，也可以结合实际情况和专业知 识对结果进行解释和判断。
贾俊平版统计学课件 第8章
▽与原假设对立的假设称备择假设，记为 H1 ,用 、 或 表示。 对于新生儿体重的例子，可以表示为
H 0 : 3190
H1 : 3190
(2)确定检验统计量及其分布
▽用于检验假设的统计量称为检验统计量
▽根据 H 0 及相应条件选择适当的统计量，并确定统计量
的分布 对于新生儿体重的例子，可利用 x 0 构造检验统计量. 若新生儿体重为正态分布 N ( , 2 ) ，且 已知，则在 H 0 为真 时，用 z 作为检验统计量，并且
H 0 : 3190 H1 : 3190
并已知 x 3210, 80, n 100 ，则
z0 x 0
n
3210 3190 80 100
2.5
于是
p 2Pz z0 2 0.00621 0.01242
双侧检验的P值
/ 2
/ 2 拒绝
▽犯第二类错误的概率为 。
表8-1 假设检验中各种可能结果的概率
实际情况
H 0 为真 H 0 不真
决策
接受 H 0
1
拒绝 H 0
1
假设检验中的两类错误（决策结果）
H0: 无罪
假设检验就好像一场审判过程 统计检验过程
陪审团审判
实际情况 裁决 无罪 无罪 有罪 正确 错误 有罪 错误 正确 接受H0 拒绝H0 决策
若p-值 /2, 不能拒绝 H0 若p-值 < /2, 拒绝 H0
8.1.6 假设检验的形式
研究的问题 假设
双侧检验
H0 H1
左侧检验
右侧检验
= 0 ≠0
统计学(第三版课后习题答案) 贾俊平版
区分指标与标志，总量指标分类、分配数列、上限不在内原则、各种平均数之间的关系、平均发展指标！计算可能考的公式有：计划完成情况相对指标、结构（比例/比较/强度/动态）相对指标、各种平均数算法、众数、中位数、四分位数、平均差、标准差、标准差系数、偏态和峰度、发展速度和增长速度、总指数（很重要）、平均指标指数、重要经济指数的编制（上证指数、工业产品产量总指数、农副产品收购价格指数）统计学(第三版课后习题答案) 贾俊平版2.1 （1）属于顺序数据。
（2）频数分布表如下：服务质量等级评价的频数分布服务质量等级家庭数（频率）频率%A1414B2121C3232D1818E1515合计100100（3）条形图（略）2.2 （1）频数分布表如下：（2）某管理局下属40个企分组表按销售收入分组（万元）企业数（个）频率（%）先进企业良好企业一般企业落后企业11119927.527.522.522.5合计40 100.0 2.3 频数分布表如下：某百货公司日商品销售额分组表按销售额分组（万元）频数（天）频率（%）25～30 30～35 35～40 40～45 45～5046159610.015.037.522.515.0合计40 100.0 直方图（略）。
2.4 （1）排序略。
（2）频数分布表如下：100只灯泡使用寿命非频数分布按使用寿命分组（小时）灯泡个数（只）频率（%）650~660 2 2660~670 5 5670~680 6 6680~690 14 14690~700 26 26700~710 18 18710~720 13 13720~730 10 10730~740 3 3740~750 3 3合计100 100 直方图（略）。
2.5 （1）属于数值型数据。
（2）分组结果如下：分组天数（天）-25~-20 6-20~-15 8-15~-10 10-10~-5 13-5~0 120~5 45~10 7合计60（3）直方图（略）。
(完整版)统计学贾俊平考研知识点总结
统计学重点笔记第一章导论一、比较描述统计和推断统计：数据分析是通过统计方法研究数据，其所用的方法可分为描述统计和推断统计。
（1）描述性统计：研究一组数据的组织、整理和描述的统计学分支，是社会科学实证研究中最常用的方法，也是统计分析中必不可少的一步。
内容包括取得研究所需要的数据、用图表形式对数据进行加工处理和显示，进而通过综合、概括与分析，得出反映所研究现象的一般性特征。
（2）推断统计学：是研究如何利用样本数据对总体的数量特征进行推断的统计学分支。
研究者所关心的是总体的某些特征，但许多总体太大，无法对每个个体进行测量，有时我们得到的数据往往需要破坏性试验，这就需要抽取部分个体即样本进行测量，然后根据样本数据对所研究的总体特征进行推断，这就是推断统计所要解决的问题。
其内容包括抽样分布理论，参数估计，假设检验，方差分析，回归分析，时间序列分析等等。
（3）两者的关系：描述统计是基础，推断统计是主体二、比较分类数据、顺序数据和数值型数据：根据所采用的计量尺度不同，可以将统计数据分为分类数据、顺序数据和数值型数据。
（1）分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据。
它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表达的，它是由分类尺度计量形成的。
（2）顺序数量是只能归于某一有序类别的非数字型数据。
也是对事物进行分类的结果，但这些类别是有顺序的，它是由顺序尺度计量形成的。
（3）数值型数据是按数字尺度测量的观察值。
其结果表现为具体的数值，现实中我们所处理的大多数都是数值型数据。
总之，分类数据和顺序数据说明的是事物的本质特征，通常是用文字来表达的，其结果均表现为类别，因而也统称为定型数据或品质数据；数值型数据说明的是现象的数量特征，通常是用数值来表现的，因此可称为定量数据或数量数据。
三、比较总体、样本、参数、统计量和变量：（1）总体是包含所研究的全部个体的集合。
通常是我们所关心的一些个体组成，如由多个企业所构成的集合，多个居民户所构成的集合。
统计学课后题答案(袁卫庞皓曾五一贾俊平)
第1章绪论5.简要说明抽样误差和非抽样误差。
答：统计调查误差可分为非抽样误差和抽样误差。
非抽样误差是由于调查过程中各环节工作失误造成的，从理论上看，这类误差是可以避免的。
抽样误差是利用样本推断总体时所产生的误差，它是不可避免的，但可以控制的。
b5E2RGbCAP6．一家大型油漆零售商收到了客户关于油漆罐分量不足的许多抱怨。
因此，他们开始检查供货商的集装箱，有问题的将其退回。
最近的一个集装箱装的是2 440加仑的油漆罐。
这家零售商抽查了50罐油漆，每一罐的质量精确到4位小数。
装满的油漆罐应为 4.536 kg。
要求：p1EanqFDPw(1>描述总体；(2>描述研究变量；(3>描述样本；(4>描述推断。
答：(1>总体：最近的一个集装箱内的全部油漆；(2>研究变量：装满的油漆罐的质量；(3>样本：最近的一个集装箱内的50罐油漆；(4>推断：50罐油漆的质量应为4.536×50＝226.8kg。
7．“可乐战”是描述市场上“可口可乐”与“百事可乐”激烈竞争的一个流行术语。
这场战役因影视明星、运动员的参与以及消费者对品尝实验优先权的抱怨而颇具特色。
假定作为百事可乐营销战役的一部分，选择了1000名消费者进行匿名性质的品尝实验(即在品尝实验中，两个品牌不做外观标记>，请每一名被测试者说出A品牌或B品牌中哪个口味更好。
要求：DXDiTa9E3d(1>描述总体；(2>描述研究变量；(3>描述样本；(4>描述推断。
答：(1>总体：市场上的“可口可乐”与“百事可乐”(2>研究变量：更好口味的品牌名称；(3>样本：1000名消费者品尝的两个品牌(4>推断：两个品牌中哪个口味更好。
第2章统计数据的描述思考题4. 一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度？答：数据分布特征一般可从集中趋势、离散程度、偏态和峰度几方面来测度。
第八章方差分析与正交试验设计
nj i 1
X ij—数据的总平均 Nhomakorabeas nj
ST
( X ij X )2 —总偏差平方和（总变差）
j1 i1
1 nj
X•j
nj
X ij
i 1
— 水平Aj下的样本平均值
定理一(平方和分解定理）在单因素方差分 析模型中，平方和有如下的恒等式,
ST SE SA
注: 定理一的意义是将试验中的总偏差平方和 分解为试验随机误差的平方和与因素A的偏 差平方和.
其二，当假设 H0 不成时, Xij ~ N ( j , 2 ) ，各
个 Xij 的数学期望不同，当然取值也不会一致.
因此，我们想用一个量来刻划各个
X
之间
ij
的波动程度，并且把引起波动的两个原因区分
开来，这就是方差分析的总偏差平方和分解方
法，并由此构造检验用的统计量.
平方和的分解
X
1 n
s j 1
A4
75.8 71.5
58.2 51.0
48.7 41.4
试验指标: 射程
因素: 推进器和燃料
水平: 推进器有3个,燃料有4个 双因素试验
试验目的: 考察推进器和燃料两因素对射程有 无显著的影响.
数学模型
设因素A有s个水平A1 , A2 , , As ,在水平Aj ( j
1,2, , s)下,进行nj (nj 2)次独立试验,得到如下表
表 电路的响应时间
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
19 15
22 20 18
20 40
21 33 27
16 17 18
15
22
18
19
26
试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型
统计学(第四版)贾俊平 第八章 方差分析与实验设计 练习题答案
统计学（第四版）贾俊平 第八章 方差分析与实验设计 练习题答案8.10123411234:0:,,,0=0.01SPSS H H ααααααααα====至少有一个不等于用进行方差分析，表8.1-1填装量主体间效应的检验（单因素方差分析表）因变量: 填装量 源 III 型平方和df均方F Sig.偏 Eta 方非中心 参数观测到的幂b校正模型 .007a3 .002 10.098 .001 .669 30.295 .919 截距 295.7791 295.7791266416.430.000 1.000 1266416.4301.000 机器 .007 3 .002 10.098.001.66930.295.919误差 .004 15 .000总计 304.17119 校正的总计.01118a. R 方 = .669（调整 R 方 = .603）b. 使用 alpha 的计算结果 = .01由表8.1-1得:p=0.001<0.01,拒绝原假设，i 0α不全为，表明不同机器对装填量有显著影响。
8.201231123:0:,,0=0.05SPSS H H ααααααα===至少有一个不等于用进行方差分析，表8.2-1满意度评分主体间效应的检验（单因素方差分析表）因变量: 评分 源III 型平方和df 均方 F Sig.校正模型 29.610a2 14.805 11.756 .001 截距 975.156 1 975.156 774.324 .000 管理者 29.610 2 14.805 11.756.001误差 18.890 15 1.259总计 1061.000 18 校正的总计48.50017a. R 方 = .611（调整 R 方 = .559）由表8.2-1得:p=0.001<0.05，拒绝原假设，i 0α不全为，表明管理者水平不同会导致评分的显著差异。
8.301231123:0:,,0=0.05SPSS H H ααααααα===至少有一个不等于用进行方差分析，表8.3-1电池寿命主体间效应的检验（单因素方差分析表）因变量: 电池寿命 源III 型平方和df 均方 F Sig. 偏 Eta 方 非中心 参数 观测到的幂b校正模型 615.600a2 307.800 17.068 .000 .740 34.137 .997 截距 22815.000 1 22815.000 1265.157 .000 .991 1265.157 1.000 企业 615.600 2 307.800 17.068.000.74034.137.997误差 216.400 12 18.033总计 23647.000 15 校正的总计832.00014a. R 方 = .740（调整 R 方 = .697）b. 使用 alpha 的计算结果 = .05由表8.2-1得:p=0.001<0.05，拒绝原假设，i 0α不全为，表明3个企业生产的电池平均寿命之间存在显著差异。
第八章实验设计和方差分析
•
用单因素方差分析
随机设计例子Randomized Design Example
因子 (训练方法) 因子水平 (处理) 实验单元 因变量t (响应) 水平 1 水平 2 水平 3
21 hrs. 27 hrs.
29 hrs.
17 hrs. 25 hrs.
1. 检验统计量
•
F = MST / MSE
— MST 是处理均方 — MSE 是误差均方
2. 自由度
• •
1 = k - 1 2 = n - k
— k = 组数 — n = 总样本数
单因素 ANOVA 概况表
方差源 自由度 k-1 n-k n-1 平方和 SST SSE SS(Total) = SST+SSE 均方 (方差) F
© 1984-1994 T/Maker Co.
单因素ANOVA的 F-Test 例子
作为生产管理者，你想看看 如果三台填充机器油不同的 Mach1 Mach2 Mach3 平均填充时间，你认命15个 25.40 23.40 20.00 受过近似训练和有经验的工 26.31 21.80 22.20 24.10 23.50 19.75 人，每台机器5个工人， 在.05的显著水平, 这三台填 23.74 22.75 20.60 充机的平均填充时间是否不 25.10 21.60 20.40 同?
处理
误差 合计
MST = MST SST/(k - 1) MSE
MSE = SSE/(n -பைடு நூலகம்k)
单因素ANOVA的 F-Test 关键值
如果均值是相等的， 则 F = MST / MSE 1. Only reject large F!
实验设计与数据处理：8正交实验设计的方差分析(上)
第8章正交试验设计的方差分析前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法(即直观分析法)对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著.为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法.8.1 正交试验方差分析的基本步骤在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和(S T)分解为因素的偏差平方和(S A、S B)和误差的偏差平方和(S e)，然后将偏差平方和除以相对应的自由度(f)得到方差(V A、V B)，最后利用因素方差与误差方差之比(V A/V e，V B/V e)，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析.一、计算1. 偏差平方和与自由度的计算方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L 4(23)正交表上安排的试验为例来说明(见表8-1，板书).不考虑哪些因素安排在哪些列上(即表头设计时)，设试验结果为x 1、x ２、x 3和x 4. 总的偏差平方和:4)(241221212_T x n T x x x S i i ni ini i T -=-=-=∑∑∑=== T=∑=ni i x 1=(x 21+x 22+x 23+x 24)-41(x 4321x x x +++)2 整理后可得 43=(24232221x x x x +++) 21- (434232413121x x x x x x x x x x x x +++++) 第1列各水平偏差平方和为S 1=22_21_2_11_)(2)(x K x K -+-=2[221211)42()42(TK T K -+-] =2[T K T K T K T K 2111222122114141164164--+++] =222121141)(21T K K -+ )(211141K K x T i i +==∑= =24321243221)(41])()[(21x x x x x x x x +++-+++=)(21)(4143214232413124232221x x x x x x x x x x x x x x x x --+++-+++表8-1 L 4(23)正交表及计算表注: K ij 表示第j 列第i 水平的指标值之和；ij K __表示第j 列第i 水平的平均指标值；T 表示指标值总和；__x 表示平均指标值. 同理，第2、3列各水平的偏差平方和S 2、S 3为)(21)(4141)(21)()(23241434231212423222122232132__23__2__13__3x x x x x x x x x x x x x x x x T K K x K x K S --+++-+++=-+=-+-= 由此可得S T =S 1+S 2+S 3 (8-1)式(8-1)是正交表L 4(23)的总偏差平方和的分解公式，即L 4(23)的总偏差平方和等于各列偏差平方和之和.若在L 4(23)正交表的第1列和第2列分别安排二水平因素A 、B ，在不考虑A 、B 因素间交互作用的情况下，则第3列(空列)是误差列.)(21)(4141)(21)(2)(24231433241212423222122222122__22__2__12__2x x x x x x x x x x x x x x x x T K K x K x K S --+++-+++=-+=-+-=同样也可以证明S T =S A +S B +S e (8-2)上式也是总偏差平方和的分解公式，即总偏差平方和等于各列因素的偏差平方和与误差的偏差平方和之和.我们可以把上例推广到一般情况:用饱和正交表L n (m k )安排试验(见表8-2，p160)，总的试验次数为n ，每个因素的水平数为m ，则每个水平作r 次试验，r=mn. 试验结果为x 1，x 2，x 3，…，x n .令∑∑∑=======ni i T ni i ni i x Q x n x nT CT x T 121__21,1,,则总偏差平方和为CT Q n T x x x S T ni ini i T -=-=-=∑∑==21212__)( (8-3)列偏差平方和为),,2,1(1)(21212__k i CT Q n T K r x K r S j m i ij mi ij j =-=-=-=∑∑== (8-4) 其中∑==m i ij j K r Q 121特别地， 当m=2(即二水平)时， 式(8-4)可表示成:2212212221221222122221)(1)(1)(2)(1)()(1j j j j j j j j j j j j j K K nK K n K K n K K n K K n m n T K K r S -=+-+=+-+=-+= (8-5) 列偏差平方和S j 是第j 列中各水平对应的试验数据平均值与总平均值的偏差平方和，它反映了该列水平变动所引起的试验数据的波动.若该列安排的是因素，就称S j 为该因素的偏差平方和；若该列安排的是交互作用，就称S j 为该交互作用的偏差平方和；若该列为空列，则S j 表示由于试验误差和未被考察的某些交互作用或某些条件因素所引起的波动.在正交试验设计中，通常把空列的偏差平方和作为试验误差的偏差平方和，虽然它属于模型误差，一般比试验误差大（当作安全系数考虑），但用它作为试验误差进行显著性检验，可使检验结果更可靠些。