第3章 试验的方差分析 试验设计与数据 教学课件

三种离差平方和之间关系：(演示)
SST SSASSe
S E 与 S A 的统计特性 如果 H 0 成立, 则所有的 X ij 都服从正态分布
N(,2),且相互独立，来自一个总体
可以证明:
(1) S T/2~2(n 1 ); (2) S E/ 2~2(n r),
(3) S A /2~2(r 1 ),
r i 1
ni
xij
j 1
（2）计算离差平方和
①总离差平方和SST（sum of squares for total）
r ni
SST
(xij x)2
i1 j1
表示了各试验值与总平均值的偏差的平方和
反映了试验结果之间存在的总差异
②组间离差平方和 SSA （sum of square for factor A）
r ni
r
SSA (xix)2 ni(xix)2
i1 j1
i1
反映了各组平均值之间的差异程度
由于因素A不同水平的不同作用造成的
③ 组内离差平方和 SSe （sum of square for error）
r ni
SSe
(xij xi)2i1 来自1反映了在各水平内，各试验值之间的差异程度 由于随机误差的作用产生
服从自由度为（dfA,dfe）的F分布（F distribution） 对于给定的显著性水平，从F分布表查得临界值F(dfA，dfe) 如果FA ＞ F(dfA，dfe) ，则认为因素A对试验结果有显著影
响否则认为因素A对试验结果没有显著影响
（6）方差分析表
单因素试验的方差分析表
差异源
SS df
MS
F
显著性
组间（因素A） SSA r－1 MSA＝SSA／（r－1） MSA／MSe
组内（误差） SSe n－r MSe＝SSe／（n－r）
总和
SST n－1
若 FA ＞ F0.01(dfA，dfe) ，称因素A对试验结果有非常显著的 影响；
若 F0.05(dfA，dfe) ＜ FA ＜ F0.01(dfA，dfe) ，则因素A对试验 结果有显著的影响；
Xij i ij, ij ~ N(0,2),
i 1 , 2 , , r ,j 1 , 2 , , n i (1)
各个 ij 相互独立， i 和 2 未知
3.1.2 单因素试验方差分析基本步骤
（1）计算平均值 组内平均值 ：
总平均 ：
1 ni
xi
ni
xij
j 1
x 1 n
即 SE/2~2(nr)
(3) 的证明略。
若 H 0 不成立时, 比值 F((nr1r))SSEA
有偏大的趋势.
当 H 0 为真时, 因 S A与 S E 相互独立, 且
S A /2 ~ 2 ( r 1 ) S E / ,2 ~ 2 ( n r ),
所以
F ((n r 1 r))S S E A~F (r1 ,nr).
下的试验结果服从正态分布，视为一个总体。 在各水平下分别做了ni（i＝1，2，…，r）次试验 判断因素A对试验结果是否有显著影响
由假设有 Xij~N(i,2)（ i 和 2未知),
即有 X iji~N (0,2),故 Xij i可视为随机误
差. 记 Xiji ij, 从而得到如下数学模型：
第3章 试验的方差分析
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA） 检验试验中有关因素对试验结果影响的显著性
试验指标（experimental index） 衡量或考核试验效果的参数
因素（experimental factor） 影响试验指标的条件 可控因素（controllable factor）
水平（level of factor） 因素的不同状态或内容
3.1 单因素试验的方差分析 （one-way analysis of variance）
3.1.1 单因素试验方差分析基本问题
（1）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性 （2）基本假设： 设某单因素A有r种水平：A1，A2，…，Ar，在每种水平
证明: (1) 的证明略。
证明：(2)
记在水平
A
i
下的样本方差为
S
2 i
,
则由(1)
即知
(n i1 )Si2/ 2~2(ni 1 ).
r
且有SSe= (ni 1)Si2 i
由 2 分布的可加性知
S E /
r
2(n i 1 )S i2 /
i 1
2~2 i r 1 (n i 1 )
B1
B2
…
Bs
A1
x11
x12
…
x1s
A2
x21
x22
…
x2s
…
…
…
…
…
Ar
xr1
xr2
…
xrs
假设前提与单因素方差分析的假设前提相同. 仍假 设：
(1) X ij~N (i,j 2),i,j 2 未知, i 1 , , r ,j 1 , , s ;
(2) 每个总体的方差查同；
(3) 各X ij 相互独立，i 1 , , r ,j 1 , , s .
若 FA ＜ F0.05(dfA，dfe) ，则因素A对试验结果的影响不显著
3.2 双因素试验的方差分析
讨论两个因素对试验结果影响的显著性，又称“二元方差分析”
因素A水平：A 1 ,A 2 , ,A r,
因素B水平：B1,B2, ,Bs
3.2.1 双因素无重复试验的方差分析
（1）双因素无重复试验
服从自由度为（ r-1，n-r ）的F分布（F distribution）
对于给定的显著性水平，从F分布表查得临界值F(r-1，n-r)
如果FA ＞ F(r-1，n-r) ，则认为因素A对试验结果有显著影 响否则认为因素A对试验结果没有显著影响
（3）计算自由度（degree of freedom）
那么，要比较同一因素的各个总体的均值是否一致, 就是要检验各个总体的均值是否相等。
由假设有 Xij~N(ij,2) ( ij 和 2 未知 ),
记 Xijijij, 即有 ij X ijij~N (0 , 2),
总自由度 ：dfT＝n－1 组间自由度 ：dfA ＝r－1 组内自由度 ： dfe ＝n－r
三者关系： dfT＝ dfA ＋dfe
（4）计算平均平方 均方＝离差平方和除以对应的自由度
MSASSA/dfA
MSe SSe/dfe
MSA——组间均方 MSe——组内均方/误差的均方
（5）F检验
FA 组 组间 内均 均方 方M MSSAe