数值计算微积分
数值计算中的微积分算法
数值计算中的微积分算法在数值计算领域中，微积分算法是非常重要的一部分。
微积分是一个研究函数、极限、连续性、导数和积分等的数学分支。
它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
而在数值计算中，微积分算法的应用更是不可避免。
本文将介绍几种常见的微积分算法及其应用。
一、极限和连续性极限是微积分中最基本的概念之一。
在数值计算中，选择逼近某个固定点的函数值序列来计算极限，是一种常用的求解极限的方法。
例如，要求解 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}$，可以选取一系列 $x$ 的值，让它们逐渐靠近 0，然后计算相应的函数值，最后观察函数值的变化趋势来得到极限的值。
连续性是另一个微积分中重要的概念。
在数值计算中，要保证函数的连续性，可以采用数值微分的方法，例如数值逼近法和差商逼近法。
此外，如果要计算微分方程的解，也必须保证函数的连续性。
在微积分中，连续性和微分方程可以紧密结合，例如欧拉法、龙格-库塔法和梯形法等。
二、导数和积分导数和积分是微积分中最核心的内容之一。
在数值计算中，要计算函数的导数和积分，可以采用微积分的数值逼近方法，例如差商逼近法、辛普森法和梯形法等。
差商逼近法是微积分中一种常用的导数计算方法。
该方法的思路是：将函数的导数近似为两个函数值之比的差。
例如，对函数$f(x)$ 的导数可以表示为：$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$当 $h$ 很小时，上式可以近似为 $f'(x)$ 的值。
在计算过程中，需要注意使用合适的 $h$ 值，以便得到精度较高的结果。
梯形法和辛普森法是微积分中常用的积分计算方法。
在梯形法中，通过将积分区间划分为若干小块，然后分别计算每一块的积分值，最后将它们相加即可得到总积分的值。
在辛普森法中，则是将积分区间划分为若干个小块，并在每个小块上采用二次多项式来逼近积分函数，最后将所有积分区间上的多项式积分相加得到整个积分区间的积分值。
计算方法 第5章 数值积分与数值微分
第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。
1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。
其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。
对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。
本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。
5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。
计算机数值计算
计算机数值计算数值计算是计算机应用的重要领域之一，它通过数学模型和算法来解决实际问题。
下面列举了数值计算中一些常见的算法和应用。
一、插值算法插值算法是数值计算中重要的一种算法，它用于在已有数据点的基础上预测插值点的值。
常用的插值算法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值算法在各个领域都有广泛的应用，比如地图绘制、图像处理等。
二、微积分算法微积分算法是数值计算中不可或缺的算法，它主要用于对函数进行求导、积分等数学运算。
常用的微积分算法有梯形法、辛普森法等。
微积分算法在金融、工程等领域都有广泛的应用。
三、线性方程组求解算法线性方程组求解算法是数值计算中涉及到线性方程组的求解方法，通常采用高斯-约旦消元法、LU分解法等方法。
这些算法在电力、交通等领域都有应用。
四、最小二乘法最小二乘法是一种常用的数值计算算法，它用于拟合一些离散数据点，求出最佳拟合曲线。
最小二乘法在数据分析、统计等领域有广泛的应用。
五、常微分方程数值解法常微分方程数值解法用于计算函数的导数值，在电路、天体力学等领域都有应用。
常用的数值解法有欧拉公式、龙格-库塔法等。
六、随机数生成算法随机数生成算法用于产生随机数，包括真随机数和伪随机数。
随机数生成在密码学、模拟实验等领域都有应用。
常用的随机数生成算法有线性同余法、巴比伦尼亚法等。
七、大数计算算法大数计算算法用于计算大整数、大小数等，常用于密码学、数字签名等领域。
常用的大数计算算法有Karatsuba算法、快速傅里叶变换等。
综上所述，数值计算在现代科学中有着广泛的应用，它为科学研究提供了重要的计算手段。
以上列举的算法只是其中一部分，还有很多其他的算法和应用等待着我们去研究和发现。
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x xx x==2. 用数值方法求定积分(1) 210I π=⎰的近似值。
程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx x π=+⎰程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
数值计算的方法与应用
数值计算的方法与应用数值计算是一种通过数值方法来解决数学问题的技术。
它广泛应用于物理学、工程学、计算机科学以及金融等领域。
随着计算机技术的不断发展，数值计算的方法也在不断创新和优化，进一步提升了计算精度和效率。
本文将介绍数值计算的几种常见方法及其应用。
1.插值法插值法是通过已知数据点的函数值，在给定区间内求解函数值的一种方法。
它可以用于曲线拟合、图像处理、信号处理等领域。
插值法有多种方法，例如拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
其中，拉格朗日插值适用于低维数据的插值，而分段线性插值则适用于高维数据的插值。
2.微积分法微积分是数学中的一门重要分支，它在工程学、物理学、计算机科学等领域中也有广泛应用。
微积分方法可以用于解决函数最值、方程求根、优化等问题。
其中，求解极值（最大值或最小值）是一个较为常见的问题。
求解极值的方法有多种，例如牛顿迭代法、割线法、黄金分割法等。
3.数值积分法数值积分法是通过数值方法来近似计算积分值的一种方法。
它的应用范围十分广泛，包括求解概率密度函数、计算期望和方差等。
数值积分法有多种方法，例如梯形法、辛普森法、龙格-库塔法等。
其中，辛普森法适用于求解高精度积分值，龙格-库塔法则适用于求解高维函数的积分值。
4.矩阵分解法矩阵分解法是将一个大矩阵分解为几个小矩阵的方法。
它的应用领域包括图像处理、信号处理、数据挖掘等。
矩阵分解法有多种方法，例如QR分解、奇异值分解、LU分解等。
其中，QR分解可以用于求解最小二乘问题，奇异值分解可以用于压缩矩阵和降维处理，LU分解则适用于求解线性方程组。
5.最优化方法最优化问题是在一定限制条件下，求解使目标函数值最小或最大的一组自变量值的问题。
它的应用领域包括金融、计算机视觉、自然语言处理等。
最优化方法有多种方法，例如线性规划、非线性规划、动态规划等。
其中，线性规划适用于求解线性函数的最优解，非线性规划则适用于求解非线性函数的最优解，动态规划可以用于求解最优的决策序列。
微积分的数值计算方法
第七章 微积分的数值计算方法7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题求函数的导数(微分)，原则上没有问题。
当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。
但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。
2．定积分计算问题计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I ba⎰=)(当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算：)()()(a F b F dx x f I ba -==⎰然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。
这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。
3．数值积分的基本形式数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式∑⎰=≈nk kkbax f A dx x f 0)()( (7.1.1)或记成∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.2)∑==nk k k x f A I 0*)( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。
这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。
构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论*I 的算法设计及其数值稳定性。
4．插值型求积公式如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式)(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点bx n ≤<⋯⋯<<≤10x x a 及相应的函数值)(,),(),(10n x f x f x f ，作)()()!1(1)()()()()()1()1(0x fn x f x l x R x L x f n n k nk k n n ++=++=+=∑ωξ代入(7.1.2)式等号左边有⎰⎰⎰+=banb anb adx x R dx x L dx x f )()()(⎰∑⎰++=++=ba n n k nk ba k dx x x fn x f dx x l )())(()!1(1)(])([)1()1(0ωξ或写成形如(7.1.2)式的一般形式： ∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.4)其中 ⎰=bakk dx x l A )( ),,1,0(n k = (7.1.5)⎰+++=ba n n n dx x x fn f R )())(()!1(1][)1()1(ωξ (7.1.6)称(7.1.4)为插值型求积公式。
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张建瓴
§13.1 数值积分
一、数值积分方法
在工程教学和应用中，除了进行数据逼近外，还要求逼近 曲线下面的面积，这就是积分问题。
典型的数值积分方法有：用常数(0阶多项式)近似函 数矩形法；用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形 法；用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson 法，以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。
dblquad函数的参数
输入参数inmin，inmax是内变量的下限和上限； outmin、outmax是外变量的下限和上限； tol的含义与命令quad中的情况相同； method是积分方法选项，如“quad”和“quad8”等。 注意： 该命令不适用于内积分区间上、下限为函数的情况。
〖例13-6〗 example13_6.m
quad和quad8的参数
tol是一个二元向量，它的第一个元素用来控制相对误差， 第二个元素用来控制绝对误差，缺省时积分的相对精度为 0.001； trace如果取非零值时，将以动态图形的形式展现积分的 整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值是0； pl和p2是向被积函数传递的参数。 在上面的调用格式中，前三个输入参数是调用时必须的， 而后面的输入参数可缺省。
求积分上下限都为常数的二重积分，被积函数为 y*sin(x)+s*cos(y)，其中x的取值范围是π到2π，y的 取值范围是0到π。 （1）建立名为integrnd的M文件
fimction out=integrnd(x,y) out=y*sin(x)+x*cos(y) （2）用函数dblquad命令来求integrnd的二重积分 result=dblquad('integrnd',pi,2*pi,0,pi)3-2 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了 函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。 如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准 确。例如，在图13-1中，如果我们大致增加一倍数目的梯 形，我们得到如下（如图13-2）所示的更好的近似结果。
trapz 函数的应用
对如上所示的两个曲线，用trapz在区间-1<x<2上计算 y=humps(x)下面的面积：
>>x=-1: 0.17: 2;
% rough approximation
>>y=humps(x);
>>area=trapz(x, y) plot command
% call trapz just like the
area =
25.9174
trapz 函数的应用
>>x=-1: 0.07: 2; >>y=humps(x); >>area=trapz(x , y) area =
26.6243
% better approximation
上述两个结果不同是基于对图形的观察，粗略近似可能低 估了实际面积。除非特别精确，没有准则说明哪种近似效 果更好。
三、多重数值积分
一元函数积分中存在的问题，同样存在于多重积分中。
1、积分限为常数的二重积分
多重积分使用函数dblquad，其完整的调用格式为：
result=dblquad('fun',inmin, inmax, outmin, outmax, tol, method)
其中：输入参数fun是被积函数，可以直接用字符串内联 函数或M函数文件表达，但不论什么形式，该被积函数应 有两个变量，即内变量和外变量。内变量接受向量输入， 外变量接受标量输入。被积函数的输出是与内变量同长的 向量。
26.3450
quad和quad8函数的调用
>>area=quad8(‘humps‘,-1,2) area =
26.3450 注意： 这两个函数返回完全相同的估计面积，而且这个估计值在 两个trapz面积的估计值之间。
[例13-1] example13_1.m
（1）建立函数funq function y=funq(x) y=x.^3+x.^2+2;
y=sin(x^3)*sqrt(x)
x求y,
表13-1列出了函数数值积分的一些命令。
常见的一元数值积分命令
表13-1 函数数值积分的命令
二、一（元）维数值积分
MATLAT提供了在有限区间内，数值计算某函数下的面积 （积分）的三种函数：trapz，quad和quad8。
1、trapz函数 函 数 trapz 通 过 计 算 若 干 梯 形面积的和来近似某函数的 积分，这些梯形如图13-1所 示 ， 是 通 过 使 用 函 数 humps 的数据点形成。
quad函数和quad8函数
MATLAB提供的求积函数命令quad和quad8在使用时，
其递推的层次限制在十层以内，达到这个限制则会
提示警告信息，并且这两个函数命令都不能解决可
积的奇异值问题，例如，求解
1
0
1 dx 。
x
quad和quad8函数调用格式
函数quad和quad8完整的调用格式为： （ 1 ） q=quad('fun',a,b,tol,trace,pl,p2,…) 采 用 Simpson法计算积分； （2）q=quad8('fun',a,b,tol,trace,p1,p2,…) 采用 八样条Newton-Cotes公式求数值积分。 其中：fun是被积函数，可以是表达式字符串、内联函数、 M函数文件名，被积函数的自变量，一般采用字母x； a、b分别是积分的上、下限，都是确定的值；
quad和quad8函数的调用
MATLAB的函数quad和quad8是基于数学上的正方形概念来 计算函数的面积。为获得更准确的结果，两个函数在所需 的区间都要计算被积函数。 与简单的梯形比较，这两个函数进行更高阶的近似，而且 quad8比quad更精确。这两个函数的调用方法与fzero相 同，即 >>area=quad(‘humps‘,-1,2) % find area between -1 and 2 area =
求函数的数值积分
（2）对被积函数funq进行数值积分 q=quad('funq',-1,1,le-4) ％使用quad命令求数值积分 q=
4.6667
[例13-1]
q8=quad8('funq',-1,1,le-4,1) 值积分
％ 用 quad8 命 令 求 数
q8=
4.6667
程序的运行结果显示出积分的过程如图13-3所示。