微积分计算方法

学号 1330101009

毕业论文

对概率积分解法的研究和讨论

院（系）名称：书信学院

专业名称：数学教育

学生姓名：李建鹏

指导教师：杜争光

二○一五年

摘要：文章给出了计算概率积分

2

x

e dx

∞-

-∞

⎰的几种简便的计算方法；对以

后概率积分的研究和应用具有较好的帮助。

关键词：格林公式；奥高公式；重积分；含参变量

概率积分

2

x

e dx

∞-

-∞

⎰是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经

常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。

目录

方法一：二重积分法 (1)

方法二：三重积分法 (1)

方法三：线积分法 (2)

方法四:面积分法 (3)

方法五:含参变量的无穷积分法 (4)

方法六：二重积分证明法 (6)

参考文献： (8)

致谢: (9)

对概率积分2

x e

dx

∞

--∞

⎰

解法的研究和讨论

概率积分

2

x e

dx ∞

--∞

⎰

是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用

到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。

方法一：二重积分法

现有连续函数

22()

(,)x y f x y e

-+=在正方形区域:(;)D a x a a y a -≤≤-≤≤；

圆域2

2

2

1:()R x y a +≤；圆域：2

222

:(2)R x y a +≤上的二重积分分别为12,,I I I ，

即：

22

22

2

()

()

2

()a a

a

x y x y x a

a

a D

I e

d x d y d x e

d y

e d x -+-+----===⎰⎰⎰⎰⎰

22

22

1

2()

10

.(1)

a

x y r a

R I e

d x d y d r

e d r e πθπ-+--===-⎰⎰⎰⎰

2222

2

22()

220

.(1)

a

x y r a R I e

dxdy d r e dr e

πθπ-+--===-⎰⎰⎰⎰

（用极坐标）

同时又因：1

2I I I ≤≤,故有

12

lim lim lim a a a I I I →∞

→∞

→∞

≤≤，即有2

2

lim()a

t a

a e dt π--→∞

=⎰

，从而

2

x e

dx π

∞

--∞

=⎰

[]

4

方法二：三重积分法

首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无穷的情况。再设XOZ 平面上的曲线2

x Z

e

-=绕Z 轴旋转一周得到的曲面22()

x y Z e

-+=与平面XOY 围成

的体V 。显然，一方面，该体的体积

22()

2

2

()

x

y e x v

V dxdydz dx dy dz e dx -+∞

∞

∞

--∞

-∞

-∞

===⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

另一方面，根据旋转体的体积公式有：

11

1

2

()ln V s X dz x dz dz πππ

===-=-⎰⎰⎰，

1

100

lim ln lim(ln )|c c

c c zdz z z z ππ

→→=-=⎰

故有

2

x e dx π∞

--∞

=⎰

。

方法三借用直观的几何意义获释，体现了数学方法的多样性。

方法三：线积分法

假定曲线2

1:x C y e

-=与2:C x 轴相交于无限远处，设由闭曲线12C C +围成

的闭区域,由格林公式有：区域G 的面积

12

1

2G

c c s dxdy xdy ydx +==-⎰⎰⎰ ，又面积2

x s e

dx

∞--∞

=⎰

，

所以有

2

12

1

22

211

()221(2)2x c c c x x e dx xdy ydx xdy ydx xdy ydx

x e dx e dx ∞

--∞

∞---∞

=

-+-=-=+⎰

⎰⎰⎰⎰（2

1:

x c y e

-=从（,0+∞）到（,0-∞））

从而有：22222001222

x x x u e dx x e dx x e dx ue du ∞∞∞∞-----∞-∞===⎰⎰⎰⎰ (换元2x u =)=3

()2

Γ（参变量积分）=111

()222πΓ=

（利用1()2

πΓ=）

即有：

2

x e

dx π

∞

--∞

=⎰

[

]

3