广东省揭阳市2018-2019学年第一学期高三期末统考理科数学试卷
2018届广东省揭阳市高三学业水平(期末)考试数学理试题Word版含答案
正视图 3侧视图810否 输出lg S是k =k +1 开始 结束 输入k =1,S =1 S =S ×k图2绝密★启用前2018届广东省揭阳市高三学业水平（期末）考试数学理试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知}4,3,2,1{=A ，}2|{2xx x B ≥=，则=B A（A ）}2{ （B ）}3,2{ （C ）}4,2{ （D ）}4,3,2{ （2）已知复数(12)()z i a i =++（a 为实数，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则||z =（A ）5（B ）52（C ）32（D ）50（3）已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q 若22lg lg a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（A ）p q ∨ （B ）p q ∨⌝ （C ） p q ⌝∨（D ）p q ⌝∨⌝ （4）已知sin24a π=，c o s24b π=，且a 、b 的夹角为12π，则=a b ⋅（A ）116（B ）18（C ）38（D ）14（5）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤-1040x y x y x ，则y x z --=的最小值为（A ）6- （B ）4- （C ）2-（D ）0（6）函数()f x 的部分图象如图1示，则()f x 的解析式可以是（A ）222()()f x x x π=- （B ）()co s f x x x π=+（C ）()sin f x x x= （D ）2()c o s 1f x x x =+-图1 （7）图2程序框图是为了求出10099321⨯⨯⨯⨯⨯ 的常用对数值，那么在空白判断框中，应该填入（A ）99≤k （B ）100≤k （C ）99≥k （D ）100≥k（8）某几何体三视图如右图3示，则此几何体的体积为（A ）π48640+（B ）π176（C ）π16640+ （D ）704（9）已知10<<<b a ，则 （A ）1ln ln <ba （B ）bb aa ln ln >（C ）b b a a ln ln < （D ）bab a>（10）已知抛物线x y 42=，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |=10，以线段AB 为直径的圆与y 轴相交于M 、N 两点，则|MN |=121o yxπ-πDCBAPE D CA （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC的面积为4153，2=a ，3=b ，则=Aa sin（A ）364 （B ）151516 （C ）3154 （D ）364或151516（12）已知函数()()f x x R ∈满足()(4)f x f x =-，若函数2|41|y x x =-+与()y f x =图象的交点为112233(,),(,),(,),,(,),n n x yx y x y x y 则1ni i x ==∑（A ）0 (B)n (C) 2n (D)4n第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）7)1(+ax 的展开式中3x 的系数为280-，则实数a 的值为________.（14）记函数2()2f x x x=+-的定义域为A ，在区间[-3,6]上随机取一个数x ，则x ∈A 的概率是 .（15）设函数()c o s ()3f x x π=-，则以下结论:①()f x 的一个周期为2π- ②()f x 的图象关于直线43x π=对称③()f x π+为偶函数 ④()f x 在(,)2ππ单调递减其中正确的是 .（请将你认为正确的结论的代号都填上） （16）已知双曲线1222=-by x 的离心率为25，左焦点为1F ，当点P 在双曲线右支上运动、点Q 在圆1)1(22=-+y x上运动时， ||||1PF PQ +的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 满足258,a a +=633a a -=. （Ⅰ）求数列}{n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若2132n n nb S -=+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）如图4（1）所示，平面多边形A B C D E 中， AE=ED ，AB=BD ，且5A B =，2A D =，2A E =，1C D =，A D C D ⊥，现沿直线A D 4（2）将A D E ∆折起，得到四棱锥P A B C D -，如图4（2）示． 图4（1）（Ⅰ）求证：P B A D ⊥；（Ⅱ）图4（2）中，若5P B =，求PD 与平面P A B 所成角的正弦值．（19）（本小题满分12分）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维 长度（单位：mm ）， 得到如图5的茎叶图，整数位为茎， 图5 小数位为叶，如27.1mm 的茎为27，叶为1．（Ⅰ）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的 大小及方差的大小；（只需写出估计的结论，不需说明理由） （Ⅱ）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级，分级标 准如下表：等 级 七 六 五 四 三 二 一 长度(mm) 小于26.0 [26.0,27.0) [27.0,28.0) [28.0,29.0) [29.0,30.0) [30.0,31.0) 不小于31.0试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率；（Ⅲ）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取4根，记ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数，求ξ的分布列和数学期望.（20）（本小题满分12分）在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为A ，点Q 在线段A P 上，且2A P A Q =，当点P 在圆上运动时.（Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线m kx y l +=:与上述轨迹C 相交于M 、N 两点，且MN 的中点在直线1=x 上，求实数k 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知函数1ln )1()(--+=ex x ax x f （a 为实数）. （Ⅰ）若1--=ex y 是曲线)(x f 的条切线，求a 的值； （Ⅱ）当e a ≤<0时，试判断函数)(x f 的零点个数．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，],0[πα∈）；现以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为21s in 2c o s 2ρθθ=-+，（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设1C 和2C 的交点为M 、N ，求M O N ∠的值． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数||||)(a x a x x f --+=，（Ⅰ）设3)2(>f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）当1||<a 时，试比较)1(a f 与|)(|x f 的大小．揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题题序 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DA CB AC A C B CD C解析（12）由()(4)f x f x =-知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且函数2|41|y x x =-+的图象也关于直线2x =对称，则两个函数图象的交点两两关于直线2x =对称，故1ni i x ==∑2n .二、填空题题序 13 141516答案2-13①②④25解析（16）依题意可知1=a ，21=b ，设)1,0(B ，由12||||2P F P F -=得12||||=||||+2P Q P F P Q P F ++2||2F Q ≥+，问题转化为求点2F 到B 上点的最小值，即zyxODCBAPODCBA P2m in 231||||1122F Q F B =-=-=,故1m in 15(||||)222P Q P F +=+=．三、解答题（17）解：（Ⅰ）由633a a -=得数列}{n a 的公差6313a a d -==，---------------------------2分由258,a a +=得1258a d +=，解得132a = ------------------------------------------------4分∴1(1)(2)22n n n n n S n a d -+=+=；----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1211(2)2nS n n n n ==-++； -------------------------------------------------7分∴n n b b b b T ++++= 3211111113(1)()()(122)32422n n n -=-+-++-+++++ -------------------8分 11111111321(1)()233412221nnnn n -=++++-++++++⨯++--------10分3113(21)2122nn n =--+⨯-++1113212n n n -=⋅--++.-----------------------------------------12分（18）证明：（Ⅰ）取A D 的中点O ，连O B 、O P ，---------1分∵B A B D =，E A E D =，即P A P D =，∴O B A D ⊥且O P A D ⊥，-----------------------------------3分 又O B O P O =，∴A D ⊥平面B O P ，------------------5分 而P B ⊂平面B O P ，∴P B A D ⊥；-----------------------------------------------------6分 （Ⅱ）解法1：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，2225O P O B P B +==，∴P O O B ⊥,-------------------------------------7分∴OP 、OB 、OD 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示， 则(010),(200)A B -，，，，，(010),(001)D P ，，，，,(0,11),(011)D P A P =-=，，，，(2,0,1)B P =-,设(,,)m a b c =为平面PAB 的一个法向量，则由00200A P m b c a cB Pm ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 令1,a =则得2,2c b ==-，∴(1,2,2)m =-，---------------------------10分 设PD 与平面P A B 所成角为θ，则|,cos |sin ><=m DPθ||||||m DP m DP⋅⋅=322324=⨯=，-------------------11分故22s in 3θ=，即PD 与平面P A B 所成角的正弦值为223.--------------------12分【解法2：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，2225O P O B P B +==，∴P O O B ⊥,-------------------7分又OP ⊥OD ，O B O D O =,∴OP ⊥平面ABD ，----------------------------------------------------------8分设点D 到平面PAB 的距离为h ，由D P A B P A B D V V --=得P A B A B D S h S P O ∆∆⋅=⋅, ∵12,2A B D S A D O B ∆=⋅=1135222A PB S A P ∆=⋅-=,∴214332h ⨯==，-----------------------------------------------------10分设PD 与平面P A B 所成角为θ，则422sin 332h P Dθ===⋅,即PD 与平面P A B 所成角的正弦值为223.----------------------------------------------------12分】（19）解：（Ⅰ）乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大；乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小． -----------------------------------------2分 （Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9]（即二级）比率分别为：51255=，--------------3分； 30.1225=，---------------------------------------------------4分故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15（或0.2）和325（或0.12）.-----5分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从甲种棉花中任取1根，其纤维长度为二级的概率为15，不是二级的概率为14155-=，依题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，4. 又44256(0)()5625P ξ===（或0.4096），13414256(1)()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.4096），22241496(2)()()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.1536），3341416(3)=55625P C ξ==⨯⨯（）（或0.0256）， 411(4)=5625P ξ==（）（或0.0016）---------------------------------------10分故ξ的分布列为：14455E ξ=⨯=（或0.8）.-------------------------------------------------12分ξ1234()P ξ256625（或0.4096） 256625（或0.4096） 96625（或0.1536） 16625（或0.0256） 1625（或0.0016）（20）解：（Ⅰ）设00(,)P x y 0(2)x ≠±，(,)Q x y ，------------------------------------------1分由2A P A Q =得则00,2x x y y ==，--------------------------------------------------------------------------2分∵点P 在圆224x y +=上，即22004x y +=，∴22(2)4x y +=，即12422=+yx，∴点Q 的轨迹C 方程为12422=+yx（2±≠x ）.--------------------------------------5分（Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线l 与x 轴平行，则MN 的中点在y 轴上，与已知矛盾，所以0≠k ，------------------------------------6分 把m kx y +=代入12422=+yx，得0424)12(222=-+++mkmx xk，-----7分则)42)(12(4162222-+-=∆mkmk )48(822m k-+=，由0>∆，得22)12(4m k>+，-------------------------------------------------------8分由11222221=+-=+kkm x x ，得1222+=-kkm ，---------------------------------9分所以222222)12(4)12(16+=>+kmk kk ，解得1142>k，所以k 的取值范围是),1414()1414,(∞+--∞ ．--------------------------------12分（21）解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(∞+，e xax x a x f -++=1ln )('e a xx a -++=1ln ，----------------------------------1分设切线与曲线)(x f 的切点为),(00y x P ，则切线的斜率为)('0x f ， 即e e a x x a -=-++01ln ，化简得1)1(ln 00-=+x ax （*），-----------------2分又1ln )1(0000--+=ex x ax y 且100--=ex y ，得0ln )1(00=+x ax ，----------------------------------------------------------------------3分 ∴0ln 0=x 或010=+ax ，联立（*）式，解得1-=a ；---------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）设e a xx a x f x g -++==1ln )(')(，由01)('2>-=xax x g 得ax 1>，∴)(x g 即)('x f 在),1(∞+a上单调递增，在)1,0(a上单调递减，得e a a a af x f -+-==2ln )1(')('min ，其中e a ≤<0，-------------------------6分 设e x x x x h -+-=2ln )(（e x ≤<0），由01ln )('>+-=x x h ，得e x <<0，∴)(x h 在],0(e 上单调递增，得0)()(=≤e h x h ，∴0)('min ≤x f （仅当e a =时取“=”），-------------------------------------------------7分 ①当e a =时，0)('min =x f ，得0)('≥x f ，∴)(x f 在),0(∞+上单调递增，又011)(2=--+=e ae e f ，∴函数)(x f 仅有一个零点，为e ；--------------------------------------------------------8分 ②当e a <<0时，0)1(')('min <=af x f ，又0)('>+=-ae a ee a ef ，∴存在11x a>，使1'()0f x =，----------------------9分又0)1('=-++-=e a e a ef ，而ae 11<，∴当)1,0(e x ∈1(,)x +∞时，0)('>x f ，当11(,)x x e ∈时，0)('<x f ， ∴函数)(x f 在)1,0(e和1(,)x +∞上单调递增，在11(,)x e上单调递减，-----10分又03)1(<--=ea e f ，01)(>-=ae ef a e，---------------------------------------11分∴函数)(x f 仅有一个零点，综上所述，函数)(x f 仅有一个零点．---------------------------------------------------12分选做题（22）解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程知，1C 是以原点O 为圆心，2为半径的圆的上半圆，----2分 其极坐标方程为[]()20,ρθπ=∈；-----------------------------------------4分（Ⅱ）联立方程[]()20,ρθπ=∈，21s in 2c o s 2ρθθ=-+,得sin 2co s 20θθ-=，-----5分于是tan 21θ=，[]20,2θπ∈，--------------------------------------------------------6分 解得24πθ=或524πθ=，即M N θθ和的值为858ππ和------------------------8分所以2||πθθ=-=∠M N MON ．--------------------------------------------------------10分（23）解：（Ⅰ）3|2||2|)2(>--+=a a f --------------------------------------------------------1分①当2-<a 时，得322>-+--a a ，无解；--------------------------------------------2分e1a1X 1xy)('x f)(x f②当22<≤-a 时，得322>-++a a ，解得23>a ，所以223<<a ；---------3分③当2≥a 时，得322>+-+a a ，恒成立；-----------------------------------------------4分 综上知，a 的取值范围为),23(∞+．------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）|||1|||1|1||1|)1(22a a a a a aa aaf --+=--+=，---------------------------------------------6分当1||<a 时，012>-a，||2||2||1||1)1(222a a aa a a a af ==--+=，-------------------7分|2||)(||||||||)(|a a x a x a x a x x f =--+≤--+=，---------------------------------------9分所以|)(|)1(x f af ≥．------------------------------------------------------------------------------10分。
广东省2018-2019学年高三年级第一学期期末质量检测理科数学试题(含答案)
广东省2018—2019高三年级期末质量检测考试数 学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【1】已知集合}30|{≤≤=x x M ，}021|{≥-+=xx x N ，则=N M （ ） （A ）}20|{≤≤x x （B ）}20|{<≤x x （C ）}01|{≤≤-x x （D ）}32|{≤<x x【2】复数i)i21(5-在复平面内对应的点的坐标为（ ）（A ）)12(，（B ）)12(-，（C ）)21(，（D ）)21(，- 【3】若31sin -=α，且α为第四象限角，则)tan(απ-的值等于（ ） （A ）42（B ）22-（C ）22（D ）42- 【4】已知左、右焦点分别为21,F F 的双曲线C ：)0(1222>=-a y ax 过点)3615(-，，点P 在双曲线C 上，若31=PF ，则=2PF （ ）（A ）3（B ）6（C ）9（D ）12【5】已知0>m ，下列函数中，在其定义域内是单调递增函数且图象关于原点对称的是（ ） （A ）x m y -=（B ）mx y tan =（C ）xm x m y -+=ln （D ）mx y =【6】若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图。
该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图。
已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）（A ）6500元（B ）7000元（C ）7500元（D ）8000元【7】已知向量)1,(t =与),4(t ==--+2a （ ） （A ）235（B ）240（C ）245（D ）255【8】拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何。
广东省揭阳市下寨中学2018-2019学年高三数学理期末试题含解析
广东省揭阳市下寨中学2018-2019学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集u=R，且A={x︱-1︳}>2，B={x︳2-6+8 < 0}，则A．[一1，4） B．（2，3） C．（2，3] D．（一l，4）参考答案：答案：C2. 若对任意非零实数，若的运算规则如右图的程序框图所示，则的值是A． B． C．D．9参考答案：C【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数算法和程序框图解：因为所以。
故答案为：C3. 若函数的定义域为，那么“，”是“为奇函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B4. 方程的根存在的大致区间是（）A． B． C．D．参考答案：B试题分析：由于函数（x＞0）在其定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）=ln2-2＜0，f（2）=ln3-1＞0，∴f（1）?f（2）＜0，故函数（x＞0）的零点所在的大致区间是，故选B．考点：函数零点的判定定理.5. 设是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过一定存在平面,使得 B．过一定不存在平面,使得C．在平面内一定存在直线，使得 D．在平面内一定不存在直线，使得参考答案：C6. 若关于的方程有三个实根，，，且满足，则的最小值为A． B． C．D．0参考答案：B试题分析：方程有三个实根，函数与函数的图象有三个交点，由图象可知，直线在之间，有3个交点，当直线过点时，此时最小，由于得或，因此点，令化简得，的最小值.考点：方程的根和函数的零点.7. 若函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（A）（B）（C）（D）参考答案：C，函数图象向右平移个单位长度，得到的函数解析式为，要使所得到的图象关于轴对称，则有,即，所以当时，，选C.8. ,则的大小关系是（）A． B． C．D．参考答案：D略9. 设为虚数单位，则=（）A. B. C.D.参考答案：C10. 已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则（）（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 观察下列等式：；；；…则当且表示最后结果.（最后结果用表示最后结果）．参考答案：略12. 已知数列{a n}为1，3，7，15，31，…，2n﹣1，数列{b n}满足b1=1，b n=a n﹣a n﹣1，则数列的前n﹣1项和S n﹣1为．参考答案：2﹣22﹣n（n≥2）【考点】8E：数列的求和．【分析】a n=2n﹣1．数列{b n}满足b1=1，n≥2时b n=a n﹣a n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1时也成立）．可得b n=2n﹣1．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：a n=2n﹣1．数列{b n}满足b1=1，n≥2时b n=a n﹣a n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，（n=1时也成立）．∴b n=2n﹣1．∴=．∴数列的前n﹣1项和S n﹣1=1+=2﹣22﹣n（n≥2）．故答案为：2﹣22﹣n（n≥2）．13. 二项式的展开式中，项的系数为参考答案：x－y＋1－＝0略14. （2014?天心区校级模拟）若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为．参考答案：[﹣2，1）考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a＜1＜10﹣a2；从而解得．解答：解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．15. 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为___________。
广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试理科数学试题(名师解析)
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先用复数除法运算化简，由此求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为.所以选C.【点睛】本小题主要考查复数除法的运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.2.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合的取值范围，然后求两个集合的交集.【详解】对于集合,由得，解得，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查两个集合交集的概念及运算，属于基础题.3.已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两边平分的方法判断命题是真命题，利用线面平行的性质判断命题是假命题，由此选出正确的选项. 【详解】对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查线面平行以及两条直线的位置关系，考查含有简单逻辑词命题真假性的判断，属于基础题.4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.5.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.6.若满足约束条件，则的最小值为( )A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.7.若，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用对数运算比较的大小，同理利用对数运算比较的大小，由此得到大小关系.【详解】由于，即.由于，即.所以，故选A.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查比较大小的方法，属于属于基础题.8.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立直线的方程与抛物线的方程求得点的坐标，由此求得的值，而的夹角为，最后利用数量积的运算求得的值【详解】依题意易得，，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y 得，得, 则,故 .故选D.【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查了向量数量积的运算.属于基础题.9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】有三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 10.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P ，设点P 在x 轴上的射影为，的横坐标为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用两个函数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得的值.【详解】依题意得，即..故选B.【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】依题意得到点的坐标，利用点到渐近线的距离列方程，求得的值，根据双曲线的定义得周长的表达式，由此列方程求得，的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意得点P，，由双曲线的定义得周长为，由此得，，故．【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线的渐近线方程是.根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为.12.如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为( )A. B. C. 5 D.【答案】C【解析】【分析】易得平面，故∠.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.【详解】由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中的系数为_______；【答案】224【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项公式，化简后求得的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.14.若向量、不共线，且，则_______；【答案】3【解析】【分析】先利用，求出的值，再求的值.【详解】由于，故，即，即，解得，当时，，两者共线，不符合题意.故.所以.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的表示，考查向量模的坐标表示，考查两个向量数量积的坐标表示.如果两个平面向量相互垂直，则它们的数量积为零.数量积运算有两种表示形式，一种是利用模和夹角来表示，即.另一种是用坐标来表示，即.15.已知函数，若，则实数的取值范围是_________；【答案】【解析】【分析】先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式求得的取值范围.【详解】因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于基础题.16.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦、余弦公式，化简，由此求得函数的最小正周期，根据及函数的周期性，求得表达式的值.【详解】依题意可得,其最小正周期,且故【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查两角和的正弦公式以及余弦公式，考查三角函数的周期性以及特殊角的三角函数值.两角和与差的正弦、余弦公式是有差别的，要记忆准确，不能记混.在求有关年份的题目时，往往是根据题目所给已知条件，找到周期，再根据周期性来求解.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求得的值，用求得的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，利用基本元的思想求得的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前项和.【详解】解：（1）当时，，由得（），两式相减得，又，∴（），又，∴（），显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，∴，又∴．【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法，考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列18.如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.（1）证明：PC⊥平面BOH；（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴ BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴ BO⊥平面PAC，∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴ PC⊥平面BOH；（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O - xyz，由易知，OC＝2，，，∴ ，，，，，，，设平面ABH的法向量为，则，∴，取x=2，得，由（1）知是平面BHO的法向量，易知，设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，则，∴ 二面角A-BH-O的余弦值为．【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角余弦值的方法，属于中档题. 19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．【答案】（1）（2）（i）应选择培训方式一（ii）【解析】【分析】（1）甲组人中有人优秀，利用超几何分布概率计算公式，计算得“甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率”.（2）可能取值有，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.的所有可能取值为，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.根据两个期望值较小的即为选择.（3）先计算出从公司任选一人，优秀率为，再按照二项分布的概率计算公式计算得“从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率”【详解】解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为；（2）（i）的分布列为，的分布列为，∵，∴公司应选培训方式一；（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为．【点睛】本小题主要考查利用超几何分布和二项分布计算概率，考查离散型随机变量分布列及其期望，属于中档题.20.已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）直线过定点【解析】【分析】（1）根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，令求得圆与轴交点的坐标，由此列方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据，利用点斜式设出直线的方程，并分别代入椭圆方程解出两点的坐标，由此求得直线的方程，由此求得定点的坐标为.【详解】解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:，令得，由圆A与y轴的交点分别为、可得，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线-① 则-②将①代入椭圆方程并整理得，可得，则，类似地可得，由直线方程的两点式可得：直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为.【点睛】本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.直线过定点的问题，往往是将含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点.21.已知函数（，）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求k的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】解：（1）．①若，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）（），当时，上不等式成立，满足题设条件；当时，，等价于，设，则，设（），则，∴在上单调递减，得．①当，即时，得，，∴在上单调递减，得，满足题设条件；②当，即时，，而，∴，，又单调递减，∴当，，得，∴在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或．【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．【答案】（1）C的极坐标方程为，[或]；的极坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，，得，所以曲线C的极坐标方程为，[或]的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴∵∴，∴，△OAB的面积的最小值为16，此时，得，∴．【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，解得，综上知，不等式的解集为.（2）当时，，设，则，恒成立，只需，即，解得【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
【全国市级联考】2018届广东省揭阳市高三学业水平考试数学理(原卷版)
2018届广东省揭阳市高三学业水平（期末）考试数学理一、选择题：共12题1. 已知==,则A. B. C. D.2. 已知复数=为实数,为虚数单位)的实部与虚部相等,则A. B. C. D.3. 已知命题;命题若,则,下列命题为假命题的是A. B. C. D.4. 已知==,且的夹角为,则A. B. C. D.5. 设x,y满足约束条件,则=的最小值为A. B. C. D. 06. 函数的部分图象如图所示,则的解析式可以是......A. B.C. D.7. 如图程序框图是为了求出的常用对数值,那么在空白判断框中,应该填入A. B. C. D.8. 某几何体三视图如图所示,则此几何体的体积为A. B. C. D. 7049. 已知,则A. B. C. D.10. 已知抛物线,过其焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=10,以线段AB为直径的圆与y 轴相交于M、N两点,则|MN|=A. 3B. 4C. 6D. 811. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为==,则A. B. C. D. 或12. 已知函数满足=,若函数=与图象的交点为则A. 0B.C.D.二、填空题：共4题13. 的展开式中的系数为,则实数的值为________.14. 记函数=的定义域为A,在区间[-3,6]上随机取一个数x,则x A的概率是__.15. 设函数=,则以下结论:①的一个周期为②的图象关于直线对称③为偶函数④在单调递减其中正确的是_.(请将你认为正确的结论的代号都填上)16. 已知双曲线=的离心率为,左焦点为,当点P在双曲线右支上运动、点Q在圆=上运动时,的最小值为_____.三、解答题：共7题17. 已知等差数列满足(1)求数列的前项和;(2)若,求数列的前n项和．18. 如图所示,平面多边形中,AE=ED,AB=BD,且,现沿直线,将折起,得到四棱锥.(1)求证:;(2)若,求PD与平面所成角的正弦值．19. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图5的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1mm的茎为27,叶为1．(1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由)(2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;(3)为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求的分布列和数学期望.20. 在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,垂足为,点在线段上,且,当点在圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程;(2)设直线与上述轨迹相交于M、N两点,且MN的中点在直线上,求实数k的取值范围．21. 已知函数=a为实数).(1)若是曲线的一条切线,求a的值;(2)当时,试判断函数的零点个数．22. 在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为为参数,;现以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为,(1)求曲线的极坐标方程;(2)设和的交点为,求的值．23. 已知函数,(1)设,求a的取值范围;(2)当时,试比较与的大小．。
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学(理)试题 (7)
【题文】（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形P AC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.（1）证明：PC⊥平面BOH；==A-BH-O的余弦值．（2）若OH OB【答案】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，---------------------------------------------1分又平面P AC⊥平面ABC，且BO⊂平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，∴BO⊥平面P AC，-------------------------------------3分∴BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴PC⊥平面BOH；------------------------------------5分（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面P AC，如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O - xyz，由OH=易知PO=OC＝2，3cos302H y OH =︒=，sin 302H z OH =︒=， ∴ (0,2,0)A -，0,0)B，3(0,,22H ，)0,2,0(C ， )32,0,0(P ，(3,2,0)AB =，7(0,,2AH =， -----------------------------------7分 设平面ABH 的法向量为(,,)m x y z =，则00AB m AH m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2070y y +==⎪⎩，取x =2，得(2,3,7)m =-，----------------------9分由（1）知PC是平面BHO 的法向量，易知(0,2,PC =-，------10分 设二面角A-BH-O 的大小为θ，显然θ为锐角，则cos |cos ,|m PC θ=<>||||||m PC m PC ⋅=⋅=7==， ∴ 二面角A-BH-O 的余弦值为7．------------------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】【解析】【标题】广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学（理）试题【结束】。
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学(理)试题(解析版)
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的虚部是 z =11‒i +2+i()A. B. 2 C. D.523232i 【答案】C 【解析】解：，∵z =11‒i +2+i =1+i (1‒i)(1+i)+2+i =12+12i +2+i =52+32i复数的虚部是．∴z =11‒i +2+i 32故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知集合，1，2，，则 A ={x|x ‒3x +1≤0}B ={‒1,3}A ∩B =()A. B. 1， C. 2， D. 1，2，{1,2}{0,2}{1,3}{‒1,3}【答案】C【解析】解：集合，∵A ={x|x ‒3x +1≤0}={x|‒1<x ≤3}1，2，，B ={‒1,3}2，．∴A ∩B ={1,3}故选：C ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出．A ∩B 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知命题p ：若，则；命题q ：m 、n 是直线，为平面，若，，则下列命题为a >|b|a 2>b 2αm//αn ⊂αm//n.真命题的是 ()A. B. C. D. p ∧qp ∧￢q ￢p ∧q ￢p ∧￢q【答案】B【解析】解：由，则，则，即命题p 为真命题，a >|b|a >|b|≥0a 2>b 2m 、n 是直线，为平面，若，，则或m 与n 异面，即命题q 是假命题，αm//αn ⊂αm//n 即为真命题，p ∧￢q故选：B ．由不等式的性质有，则，则，即命题p 为真命题，a >|b|a >|b|≥0a 2>b 2由平面中的线面，线线关系有m 、n 是直线，为平面，若，，则或m 与n 异面，即命题q 是假命αm//αn ⊂αm//n 题，故得解．本题考查了不等式的性质及平面中的线面，线线关系，属简单题．4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额单位：亿元的折线图则下列结论中表述不正确的是 y().()A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据时间变量t 的值依次为(1，2，，建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环…7)y =99+17.5t 境基础设施投资额为亿元．256.5【答案】D【解析】解：对于A ，由图象可知，投资额逐年增加，故A 正确；对于B ，2000年至2004年的投资总额为亿元，小于2011年的129亿元，故B 正确；11+19+25+35+37=127对于C ，2004年的投资额为37亿元，2012年该地区基础设施的投资额为148，等于2004年的投资额翻了两番，故C 正确；对于D ，在线性回归模型中，取，可得亿元，故D 错误．y =99+17.5t t =10y =99+17.5×10=274故选：D ．根据图象所给数据，对四个选项逐一进行分析得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5.函数的图象大致为 f(x)=ln|x|+1x()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：当时，，由此排除C ，D ；x→‒∞f(x)=ln|x|+1x →+∞当时，，，x >0f(x)=lnx +1xf'(x)=1x ‒1x2=x ‒1x 2当时，，单调递减，当时，，单调递增．x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)图象A 符合．∴故选：A ．由时，，排除C ，D ；再由导数研究函数的单调性即可求得答案．x→‒∞f(x)=ln|x|+1x →+∞本题考查函数的图象，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．6.若x ，y 满足约束条件，则的最小值为 {x ‒y ‒1≤02x ‒y +1≥0x ≥0z =‒x2+y ()A. B. C. 1 D. 2‒1‒2【答案】A【解析】解：x ，y 满足约束条件的平面区域如下图所示：{x ‒y ‒1≤02x ‒y +1≥0x ≥0平移直线，由图易得，当，时，即经过A 时，y =‒2x x =0y =‒1目标函数的最小值为：．z =2x +y ‒1故选：A ．先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线，当过点时，y =‒2x (0,‒1)直线在y 轴上的截距最大，从而求出所求．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为 a =log 23b =log 48c =log 58()A. B. C. D. a >b >ca >c >b b >a >c c >b >a【答案】A 【解析】解：，；∵log 48=log 28log 24=12⋅log 28=log 28log 23>log 28；∴a >b 又，，且；log 48=log 88log 84=1log 84log 58=1log 85log 85>log 84>0；∴1log 84>1log 85；∴b >c ．∴a >b >c 故选：A ．换底得出，而，从而得出，再换底得出，容易得出log 48=log 28log 23>log 28a >b log 48=1log 84,log 58=1log 85，即得出，从而得出．1log 84>1log 85b >c a >b >c 考查对数式的运算，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．8.若点在抛物线C ：上，记抛物线C 的焦点为F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则A(2,22)y 2=2px ⃗FA ⋅⃗FB=()A. B. C. D.‒102‒3‒3‒92【答案】D【解析】解：把代入，得，即．A(2,22)y 2=2px 8=4p p =2抛物线方程为，抛物线焦点，∴y 2=4x F(1,0)过抛物线焦点F ，，．∵AB ∴x A ⋅x B =p 24=1y A ⋅y B =‒p 2=‒4，，∵x A =2x B =1x A =12则⃗FA⋅⃗FB=(x A ‒1,y A )⋅(x B ‒1,y B )=(x A ‒1)(x B ‒1)+y A ⋅y B．=x A ⋅x B +y A ⋅y B ‒(x A +x B )+1=1‒4‒(2+12)+1=‒92故选：D ．把A 点坐标代入抛物线方程求得p ，由直线过抛物线焦点，可得B 的横坐标及，，再由数量积的坐标x A ⋅x B y A ⋅y B 运算求解．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 ()A. πB. 2πC. 4πD. 16π【答案】C【解析】解：由三视图知，该几何体为圆锥，设底面圆的半径为r ，母线的长为l ，则，即；2r +2l =8r +l =4圆锥的侧面积为，当且仅当时“”成立；∴S 侧=πrl ≤π(r +l 2)2=4π(r =l =)圆锥的侧面积最大值为．∴4π故选：C ．由三视图知该几何体为圆锥，设出底面圆半径和母线长，利用基本不等式求出圆锥侧面积的最大值．本题考查了圆锥的三视图与应用问题，是基础题．10.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P ，设点P 在x 轴上的射影为，的[0,π]y =3sin x2y =1+sinx 横坐标为，则的值为 x 0tanx 0()A.B.C.D.124345815【答案】B【解析】解：过P 作轴于点，直线与的图象交于点，∵y =tanx P 0线段的长即为点点的纵坐标的值即的值，tanx 0且其中的x 满足，则，3sin x2=1+sinx2sinx +9cosx =7又，且，解得，，sin 2x +cos 2x =1x ∈[0,π]sinx =45cosx =35线段的长为，tanx 0=43故选：B ．由结合平方关系求得，的值，则答案可求．3sin x2=1+sinxsinx cosx 本题考查三角函数的图象、函数值的求法，考查计算能力，数形结合思想，是中档题．11.已知双曲线C ：的左、右焦点分别为、，坐标原点O 关于点的对称点为P ，点Px 2a2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)F 1F 2F 2到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C 右支相交于M 、N 两点，若，的周长23F 2|MN|=3△F 1MN 为10，则双曲线C 的离心率为 ()A.B. 2C.D. 33252【答案】B【解析】解：坐标原点O 关于点对称点为，F 2(c,0)P(2c,0)双曲线的一条渐近线方程为，bx ‒ay =0可得，即；2bca 2+b 2=2b =23b =3设，，|MF 2|=m |NF 2|=n 由双曲线的定义可得，，|MF 1|=2a +m |NF 1|=2a +n 即有的周长为，△F 1MN 4a +2(m +n)=4a +2|MN|=4a +6=10可得，a =1，．c =a 2+b 2=2e =ca =2故选：B ．求得P 的坐标，运用点到直线的距离公式可得b ，设，，运用双曲线的定义可得的周|MF 2|=m |NF 2|=n △F 1MN 长，计算可得a ，进而得到c ，由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程、离心率，考查点到直线的距离公式，以及运算能力，属于基础题．12.如图，在三棱柱中，底面，，，ABC ‒A 1B 1C 1AA 1⊥A 1B 1C 1∠ACB =90∘BC =CC 1=1，P 为上的动点，则的最小值为 AC =32BC 1CP +PA 1()A. B. C. 5D. 251+321+25【答案】C【解析】解：连，沿将展开与在同一个平面内，如图所示，A 1B BC 1△CBC 1△A 1BC 1连，则的长度就是所求的最小值．A 1C A 1C ，，，通过计算可得BC 1=22A 1C 1=32A 1B =26∠A 1C 1P =90∘又∠BC 1C =45∘由余弦定理可求得∴∠A 1C 1C =135∘A 1C =A 1C 21+C 1C 2‒2A 1C 1⋅C 1C ⋅cos 135∘．=18+1‒2×32×1×(‒22)=5故选：C ．连，沿将展开与在同一个平面内，不难看出的最小值是的连线，由余弦定理A 1B BC 1△CBC 1△A 1BC 1CP +PA 1A 1C 即可求解．本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中的系数为______；(2x +1x 2)81x 【答案】224【解析】解：的展开式中的通项公式：，(2x +1x2)8T r +1=∁r8(2x )8‒r (1x2)r=24‒r2∁r 8x4‒5r2令，解得．4‒5r 2=‒1r =2的系数．∴1x=23×∁28=224故答案为：224．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.若向量、不共线，且，则______；⃗a =(1, x)⃗b =(‒1, ‒2)(⃗a+⃗b)⊥(⃗a‒⃗b)⃗a ⋅⃗b=【答案】3【解析】解：；∵⃗a+⃗b=(0,x ‒2),⃗a‒⃗b=(2,x +2)又；(⃗a+⃗b)⊥(⃗a‒⃗b)；∴(⃗a+⃗b)⋅(⃗a‒⃗b)=x 2‒4=0，或2；∴x =‒2又不共线；⃗a ,⃗b ；∴x ≠2；∴x =‒2；∴⃗a=(1,‒2)．∴⃗a ⋅⃗b=‒1+4=3故答案为：3．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算⃗a +⃗b =(0,x ‒2),⃗a ‒⃗b =(2,x +2)(⃗a +⃗b )⊥(⃗a ‒⃗b )(⃗a +⃗b )⋅(⃗a ‒⃗b )=0即可求出，或2，而根据不共线即可舍去，取，从而求出向量的坐标，然后进行数量积的坐x =‒2⃗a ,⃗b x =2x =‒2⃗a 标运算即可．考查向量坐标的加法、减法和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件．15.已知函数，若，则实数a 的取值范围是______；f(x)=x 3+2x f(a ‒1)+f(2a 2)≤0【答案】[‒1,12]【解析】解：由，得，f(x)=x 3+2x f'(x)=3x 2+2>0在上为增函数，∴f(x)(‒∞,+∞)由，f(‒x)=(‒x )3+2(‒x)=‒x 3‒2x =‒(x 3+2x)=‒f(x)为奇函数，∴f(x)由，得，f(a ‒1)+f(2a 2)≤0f(a ‒1)≤‒f(2a 2)=f(‒2a 2)则，即，a ‒1≤‒2a 22a 2+a ‒1≤0解得：．‒1≤a ≤12实数a 的取值范围是．∴[‒1,12]故答案为：．[‒1,12]利用导数判断函数的单调性，由定义得到函数为奇函数，把原不等式转化为关于a 的一元二次不等式求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性的判定及应用，考查化归与转化思想方法，是中档题．16.已知，则______．f(x)=sin [π3(x +1)]‒3cos [π3(x +1)]f(1)+f(2)+…+f(2019)=【答案】23【解析】解：，∵f(x)=sin [π3(x +1)]‒3cos [π3(x +1)]，=sin (πx 3+π3)‒3cos (πx 3+π3)=2sin (πx 3+π3‒π3)=2sin πx 3周期，∴f(x)T =2ππ3=6又，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0且，2009=334×6+5故．f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2009)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=23故答案为：．23求出，从而周期，再由f(x)=sin [π3(x+1)]‒3cos [π3(x+1)]=2sin πx 3f(x)T =2ππ3=6，且，能求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=02009=334×6+5的值．f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2009)本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知数列的前n 项和为，且满足，．{a n }S n a 1=32S n +3=a n +1求数列的通项公式；(1){a n }若等差数列的前n 项和为，且，，求数列的前n 项和．(2){b n }T n T 1=a 1T 3=a 3{1bn b n +1}Q n 【答案】解：当时，，(1)n =1a 2=9由得，2S n +3=a n +12S n ‒1+3=a n (n ≥2)两式相减得，又，2(S n ‒S n ‒1)=a n +1‒a n S n ‒S n ‒1=a n ，∴a n +1=3a n (n ≥2)又，，a 2=3a 1∴a n +1=3a n (n ∈N ∗)显然，，a n ≠0a n +1a n =3即数列是首项为3、公比为3的等比数列，{a n }；∴a n =3×3n ‒1=3n 设数列的公差为d ，则有，由得，解得，(2){b n }b 1=3T 3=a 33b 1+3d =27d =6，∴b n =3+6(n ‒1)=3(2n ‒1)又，1b n b n +1=19(2n ‒1)(2n +1)=118(12n ‒1‒12n +1)．∴Q n =118[(1‒13)+(13‒15)+…+(12n ‒1‒12n +1)]=118(1‒12n +1)=n 9(2n +1)【解析】运用数列的递推式和都收不回来的定义、通项公式可得所求通项；(1)由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可得，又(2)b n =3(2n ‒1)，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．1b n b n +1=19(2n ‒1)(2n +1)=118(12n ‒1‒12n +1)本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．18.如图，在三棱锥中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互P ‒ABC 相垂直，，O 是AC 中点，于H ．AB =BC OH ⊥PC 证明：平面BOH ；(1)PC ⊥若，求二面角的余弦值．(2)OH =OB =3A ‒BH ‒O【答案】证明：，O 是AC 中点，，-----------------------------------(1)∵AB =BC ∴BO ⊥AC ----------分(1)又平面平面ABC ，PAC ⊥且平面ABC ，平面平面，BO ⊂PAC ∩ABC =AC 平面PAC ，-------------------------------------分∴BO ⊥(3)，又，，∴BO ⊥PC OH ⊥PC BO ∩OH =O 平面BOH ；------------------------------------分∴PC ⊥(5)解：由题意知，又平面PAC ，(2)PO ⊥AC BO ⊥如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，O ‒xyz 由，知，，OH =3PO =23OC =2，，y H =OHcos 30∘=32z H =OHsin 30∘=32，，，2，，，∴A(0,‒2,0)B(3, 0, 0)H(0, 32, 32)C(0,0)P(0,0,23)，，-----------------------------------分⃗AB=(3, 2, 0)⃗AH=(0, 72, 32)(7)设平面ABH 的法向量为，⃗m=(x, y, z)则，，取，得，----------------------分{⃗AB ⋅⃗m=0⃗AH ⋅⃗m=0∴{3x +2y =07y +3z =0x =2⃗m=(2, ‒3, 7)(9)由知是平面BHO 的法向量，，------分(1)⃗PC ⃗PC =(0, 2, ‒23)(10)设二面角的大小为，由图形得为锐角，A ‒BH ‒O θθ则，cosθ=|cos <⃗m , ⃗PC>|=|⃗m ⋅⃗PC||⃗m|⋅|⃗PC|=|‒23‒143|56×4=2314=427二面角的余弦值为------------------------------------------------------------分∴A ‒BH ‒O 427.(12)【解析】推导出，从而平面PAC ，进而，由，能证明平面BOH ．(1)BO ⊥AC BO ⊥BO ⊥PC OH ⊥PC PC ⊥由，平面PAC ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法(2)PO ⊥AC BO ⊥O ‒xyz 能求出二面角的余弦值．A ‒BH ‒O 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组记为甲组、乙组先培训，甲.()组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；(1)每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率．(2)设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司(i)ξ1ξ2ξ1ξ2应选哪种培训方式？按中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．(ii)(i)【答案】解：甲组60人中有45人优秀，任选两人，(1)恰有一人优秀的概率为--------------------------------------------分p =C 145C 115C 260=45×1530×59=45118.(3)的分布列为(2)(i)ξ1ξ15101520P1351216112，----------------------------------------------分E(ξ1)=5×13+10×512+15×16+20×112=10(6)的分布列为ξ2ξ1481226P21541513415，E(ξ2)=4×215+8×415+12×13+16×415=4×4115=16415，公司应选培训方式一----------------------------------------------------分∵E(ξ1)<E(ξ2)∴.(9)按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，(ii)p =13+512=34则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为-------------------------分p =C 12×34×(1‒34)=38.(12)【解析】甲组60人中有45人优秀，任选两人，利用古典概型、排列组合能求出恰有一人优秀的概率．(1)先分别求出的分布列、数学期望和的分布列、数学期望，由，得到公司应选培训方式一．(2)(i)ξ1ξ2E(ξ1)<E(ξ2)按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，由此能求出从公司任选两人，恰有一人优秀(ii)p =13+512=34的概率．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C ：的上顶点为A ，以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)为、．(0,1+3)(0,1‒3)求椭圆C 的方程；(1)设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求(2)⃗AP ⋅⃗AQ =0出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】解：依题意知点A 的坐标为，则以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为：，(1)(0,b)x 2+(y ‒b )2=a 2令得，由圆A 与y 轴的交点分别为、x =0y =b ±a (0,1+3)(0,1‒3)可得，解得，{b +a =1+3b ‒a =1‒3b =1,a =3故所求椭圆C的方程为．x 23+y 2=1解法1：由得，可知PA 的斜率存在且不为0，(2)⃗AP ⋅⃗AQ =0⃗AP ⊥⃗AQ 设直线：---------------则-------------，l PA y =kx +1①l QA ：y =‒1k x +1②将代入椭圆方程并整理得，可得，①(1+3k 2)x 2+6kx =0x P=‒6k1+3k 2则，y P =21+3k 2‒1类似地可得，x Q =6k k 2+3,y Q =1‒6k 2+3由直线方程的两点式可得：直线l 的方程为 ，y =k 2‒14kx ‒12即直线l 过定点，该定点的坐标为，(0,‒12)解法2：若直线l 垂直于x 轴，则AP 不垂直于AQ ，不合题意，可知l 的斜率存在，又l 不过点，设l 的方程为，(0,1)y =kx +m(m ≠1)又设点、，则，P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)⃗AP =(x 1,y 1‒1),⃗AQ =(x 2,y 2‒1)由得，⃗AP⋅⃗AQ=0x 1x 2+y 1y 2‒(y 1+y 2)+1=0由，消去y 得，{y =kx +m x 2+3y 2=3(3k 2+1)x 2+6kmx +3m 2‒3=0，当即时，----------------，△=12(3k 2‒m 2+1)△>03k 2‒m 2+1>0x 1+x 2=‒6km 3k 2+1①x 1x 2=3m 2‒33k 2+1②又，，y 1y 2=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m 于是有，-----------，(k 2+1)x 1x 2+(mk ‒k)(x 1+x 2)+m 2‒2m +1=0③将代入得①②③(k 2+1)3m 2‒33k 2+1‒(mk ‒k)6km 3k 2+1+m 2‒2m +1=0整理得：，m =‒12满足，这时直线l 的方程为，直线l 过定点△>0y =kx ‒12(0,‒12)【解析】根据题意可得可得，解得，即可得到a ，b ，进而得到椭圆方程；(1){b +a =1+3b ‒a =1‒3b =1,a =3解法1：由得，可知PA 的斜率存在且不为0，设直线：，则，(2)⃗AP ⋅⃗AQ =0⃗AP ⊥⃗AQ l PA y =kx +1l QA ：y =‒1k x +1把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，求出点P ，Q 的坐标，即可求出，解法2，设l 的方程为，又设点、，把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与y =kx +m(m ≠1)P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)系数的关系由向量的数量积的坐标表示，即可得出m 与k 的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21.已知函数．f(x)=kx ‒1ke kx(k ∈R,k ≠0)讨论函数的单调性；(1)f(x)当时，，求k 的取值范围．(2)x ≥1f(xk )≤lnx 【答案】解：．(1)f'(x)=1k⋅ke kx ‒(kx ‒1)ke kx(e kx )2=2‒kx e kx=‒k(x ‒2k )e kx若，当时， 0'/>，在上单调递增；①k >0x ∈(‒∞, 2k )f(x)(‒∞,2k )当时，，在上单调递减．x ∈(2k , +∞)f(x)(2k , +∞)若，当时，，在上单调递减；②k <0x ∈(‒∞, 2k )f(x)(‒∞,2k )当时，0'/>，在上单调递增．x ∈(2k , +∞)f(x)(2k , +∞)当时，在上单调递增，在上单调递减；∴k >0f(x)(‒∞, 2k )(2k , +∞)当时，在上单调递减，在上单调递增．k <0f(x)(‒∞, 2k )(2k , +∞)．(2)f(xk )=x ‒1ke x≤lnx(x ≥1)当时，上不等式成立，满足题设条件；k <0当时，，等价于，k >0f(x k )=x ‒1ke x≤lnxx ‒1e x‒klnx ≤0设，则，g(x)=x ‒1e x‒klnx (x ≥1)g'(x)=2‒x e x‒kx=2x ‒x 2‒ke xxe x设，则，ℎ(x)=2x ‒x 2‒ke x(x ≥1)在上单调递减，得．∴ℎ(x)[1,+∞)ℎ(x)≤ℎ(1)=1‒ke 当，即时，得，，①1‒ke ≤0k ≥1e ℎ(x)≤0在上单调递减，得，满足题设条件；∴g(x)[1,+∞)g(x)≤g(1)=0当，即时，，而，②1‒ke >00<k <1eℎ(1)>0ℎ(2)=‒ke 2<0，，又单调递减，∴∃x 0∈(1,2)ℎ(x 0)=0ℎ(x)当，，得0'/>，∴x ∈(1,x 0)ℎ(x)>0在上单调递增，得，不满足题设条件．∴g(x)[1,x 0)g(x)≥g(1)=0综上所述，或．k <0k ≥1e【解析】求出原函数的导函数，分和两类求解原函数的单调区间．(1)k >0k <0由，可得当时，不等式成立，满足题设条件；当时，等价于(2)f(x k )=x ‒1ke x≤lnx(x ≥1)k <0k >0f(x k)=x ‒1ke x≤lnx，构造函数，求其导函数，再设x ‒1e x‒klnx ≤0g(x)=x ‒1e x ‒klnx (x ≥1)g'(x)=2‒xe x ‒kx =2x ‒x 2‒ke xxe x ，利用导数求在上的最大值然后对其最大值分类分析求解．ℎ(x)=2x ‒x 2‒ke x (x ≥1)ℎ(x)[1,+∞).本题考查函数与导数、不等式等基本知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想，考查推理论证能力及运算求解能力，属难题．22.已知曲线C 的参数方程为，为参数，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极{x =2t y =t 2(t )点的两射线、相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点不同于点，且的倾斜角为锐角．l 1l 2(O)l 1α求曲线C 和射线的极坐标方程；(1)l 2求的面积的最小值，并求此时的值．(2)△OAB α【答案】解：由曲线C 的参数方程为，为参数，得普通方程为，(1){x =2ty =t 2(t )4y =x 2由，，得，x =ρcosθy =ρsinθ4ρsinθ=ρ2cos 2θ所以曲线C 的极坐标方程为，或--------------------------分ρcos 2θ=4sinθ[ρ=4sinθcos 2θ](3)过极点的两射线、相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点不同于点，l 1l 2(O)且的倾斜角为锐角．l 1α故的极坐标方程为；----------------------------------------------------------------------分l 2θ=α+π2(5)依题意设，则由可得，(2)A(ρA ,α),B(ρB ,π2+α)(1)ρA =4sinαcos 2α同理得，即，--------------------------------------------------分ρB =4sin(α+π2)cos 2(α+π2)ρB =4cosαsin 2α(7)，，，-∴S △OAB =12|OA|⋅|OB|=12|ρA ⋅ρB |=8|sinα⋅cosα|cos 2α⋅sin 2α∵0<α<π2∴0<α<π∴S △OAB =8cosα⋅sinα=16sin2α≥16---------------分(9)的面积的最小值为16，此时，△OAB sin2α=1得，-------------------------------------------------------------------------分2α=π2∴α=π4.(10)【解析】由曲线C 的参数方程，得普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；由过极点的两射线、相互(1)l 1l 2垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点不同于点，且的倾斜角为锐角，能求出的极坐标方程．(O)l 1αl 2依题意设，则，同理，由此能法语出的面积的最小值及此时的(2)A(ρA ,α),B(ρB ,π2+α)ρA =4sinαcos 2αρB=4cosαsin 2α△OAB α值．本题考查曲线、射线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数．f(x)=|x ‒2|‒a|x +2|当时，求不等式的解集；(1)a =2f(x)<2当时，不等式恒成立，求a 的取值范围．(2)x ∈[‒2,2]f(x)≥x 【答案】解：当时，，(1)①x <‒2f(x)=‒x +2+2(x +2)=x +6<2解得，-------------------------------------------------------------------------------------------分x <‒4(1)当时，，②‒2≤x <2f(x)=‒x +2‒2(x +2)=‒3x ‒2<2解得，--------------------------------------------------------------------------------------分‒43<x <2(2)当时，③x ≥2f(x)=x ‒2‒2(x +2)=‒x ‒6<2解得，---------------------------------------------------------------------------------------------分x ≥2(3)上知，不等式的解集为；-----------------------------------分f(x)<2(‒∞, ‒4)∪(‒43, +∞)(5)解法1：当时，，------------分(2)x ∈[‒2,2]f(x)=2‒x ‒a(x +2)=‒(a +1)x +2(1‒a)(6)设，则，恒成立，g(x)=f(x)‒x ∀x ∈[‒2,2]g(x)=‒(a +2)x +2(1‒a)≥0只需，-------------------------------------------------------------------------------------分{g(‒2)≥0g(2)≥0(8)即，解得--------------------------------------------------------------------分{6≥0‒4a ‒2≥0a ≤‒12(10)解法2：当时，，----------------------------------------------分x ∈[‒2,2]f(x)=2‒x ‒a(x +2)(6)，即，即---------------------------------分f(x)≥x 2‒x ‒a(x +2)≥x (x +2)a ≤2(1‒x)(7)当时，上式恒成立，；------------------------------------------分①x =‒2a ∈R (8)当时，得恒成立，②x ∈(‒2,2]a ≤2(1‒x)x +2=‒2+6x +2只需，a ≤(‒2+6x +2)min =‒12综上知，----------------------------------------------------------------分】a ≤‒12.(10)【解析】通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；(1)法一：设，结合一次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可；(2)g(x)=f(x)‒x 法二：分离参数a ，得到恒成立，求出a 的范围即可．a ≤2(1‒x)x +2本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学(理)试题Word版含答案
绝密★启用前揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数121z i i =++-的虚部是 A ．52 B ．2 C ． 32 D ．32i2．已知集合3{|0}1x A x x -=≤+，{1,1,2,3}B =-，则A B = A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1,2,3} D ．{1,1,2,3}-3．已知命题:p 若||a b >，则22a b >；命题:q m 、n 是直线，α为平面，若m //α,n α⊂，则m //n .下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是 A.从2000年至2016年，该地区环境基础 设施投资额逐年增加； B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 5. 函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为P B 1C 1A 1CB A6. 若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ． 1B ．2C ．-2D ．-17．若2log 3a =，4log 8b =，5log 8c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>8．若点A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则FA FB ⋅=A ．10- B3 C ．3- D ．92-9．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8， 则该几何体侧面积的最大值为 A ．πB ．2πC ．4πD ．16π10．已知在区间[0,]π上，函数3sin2xy =与函数y =P ，设点P 在x 轴上的射影为'P ，'P 的横坐标为0x ，则0tan x 的值为A ．12B ．43 C ．45 D ．815 11．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12F F 、，坐标原点O 关于点2F 的对称点为P ，点P到双曲线的渐近线距离为2F 的直线与双曲线C 右支相交于M 、N 两点，若||3MN =，1F MN ∆的周长为10，则双曲线C 的离心率为A ．32B ．2C ．52D ．312. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，∠ACB=90°，11BC CC ==，AC =P 为1BC 上的动点，则1CP PA +的最小值为A.B．1+C ．5D．1+OHCAP二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．821)x 的展开式中1x的系数为_______；14．若向量(1,)a x =、(1,2)b =--不共线，且()()a b a b +⊥-，则a b ⋅=_______；15. 已知函数3()2f x x x =+，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ； 16.已知()sin[(1)](1)]33f x x x ππ=++，则(1)(2)(2019)f f f +++= .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，123n n S a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11T a =，33T a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n Q ．18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形P AC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H . （1）证明：PC ⊥平面BOH ； （2）若OH OB ==，求二面角A-BH-O 的余弦值．19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i ）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为1ξ、2ξ，求1ξ、2ξ的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii ）按（i ）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率． 20.（12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为A,以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别为(0,1、(0,1. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且0AP AQ ⋅=,试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由. 21.（12分）已知函数1()kxkx f x ke-=（k R ∈，0k ≠）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()ln x f x k≤，求k 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）已知曲线C 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α.（1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 23. [选修4-5：不等式选讲] (10分）已知函数()|2||2|f x x a x =--+， （1）当a =2时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[2,2]x ∈-时不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后3211PA 1C 1BC 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题DC解析：8.依题意易得2p =，(1,0)F ，由抛物线的定义得||3FA =，联立直线AF 的方程与抛物线的方程消去y 得22520x x -+=，得121,2B B x x ==,则13||(1)22FB =--=,故FA FB ⋅=92-. 9. 由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=⇒+=，又S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 10. 依题意得0003sin sin cos 222x x x ==+ 01tan 22x ⇒=04tan 3x ⇒=.11. 依题意得点P (2,0)c 2b b ==⇒=1F MN ∆周长为4610a +=，由此得1a =，2c =，故2e =．12. 由题设知△1CC B 为等腰直角三角形，又11AC ⊥平面11BCC B ，故∠11AC B =90°，将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形，得四边形11AC CB 如图示，由此，1CP PA +要取得最小值，当且 仅当1C P A 、、三点共线，由题设知∠1135CC A =,由余弦定理得22112cos135AC =+-⨯25=15AC ⇒=. 15.因函数()f x 为增函数，且为奇函数，22(1)(2)0(2)(1)(1)f a f a f a f a f a -+≤⇔≤--=-，2210a a ⇔+-≤，解得112a -≤≤.【学生填112a -≤≤或1[1,]2-或1{|1}2a a -≤≤都给满分】16. 依题意可得()2sin 3f x x π=,其最小正周期6T =,且(1)(2)(6)0,f f f +++=故(1)(2)(2019)f f f +++=(1)(2)(3)f f f ++=三、解答题AOHCB AP17.解：（1）当1n =时，29a =，----------------------------------------------------------------------------1分由123n n S a ++=得123n n S a -+=（2n ≥），两式相减得112()n n n n S S a a -+-=-，又1n n n S S a --=，∴13n n a a +=（2n ≥）， ------------------------------------------------------------------------------3分又213a a =，∴13n n a a +=（*n N ∈）， --------------------------------------------------------4分显然0n a ≠，13n na a +=，即数列{}n a 是首项为3、公比为3的等比数列， ∴1333n n n a -=⨯=； --------------------------------------------------------------------------------6分（2）设数列{}n b 的公差为d ，则有13b =，由33T a =得13327b d +=，解得6d =，--------8分∴36(1)3(21)n b n n =+-=-，--------------------------------------------------------------------9分 又111111()9(21)(21)182121n n b b n n n n +==--+-+--------------------------------------------10分∴111111[(1)()()]183352121n Q n n =-+-++--+ 11(1)1821n =-+9(21)n n =+．--------------------------------------------------------------------12分18.解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，∴ BO ⊥AC ，---------------------------------------------1分 又平面P AC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ， ∴ BO ⊥平面P AC ，-------------------------------------3分 ∴ BO ⊥PC ，又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，∴ PC ⊥平面BOH ；------------------------------------5分 （2）易知PO ⊥AC ，又BO ⊥平面P AC ，如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O - xyz ，由OH =易知PO =OC ＝2，3cos302H y OH =︒=，sin 30H z OH =︒=， ∴ (0,2,0)A -，0,0)B，3(0,,2H ，)0,2,0(C ，)32,0,0(P ，(3,2,0)AB =，7(0,,2AH =， -----------------------------------7分 设平面ABH 的法向量为(,,)m x y z =， 则00AB m AH m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2070y y +=+=⎪⎩，取x =2，得(2,3,7)m =-，----------------------9分由（1）知PC是平面BHO 的法向量，易知(0,2,PC =-，------10分 设二面角A-BH-O 的大小为θ，显然θ为锐角， 则cos |cos ,|m PC θ=<>||||||m PC m PC⋅=⋅=7== ∴ 二面角A-BH-O 的余弦值为7．------------------------------------------------------------12分【其它解法请参照给分】 19.解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为1145152604515453059118C C C ⨯==⨯；--------------------------------------------3分（2）（i ）1ξ的分布列为1()510152*********E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，----------------------------------------------6分2241441164()481216415153151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=， ∵12()()E E ξξ<，∴公司应选培训方式一；----------------------------------------------------9分（ii ）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为1533124+=， 则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为12333(1)448C ⨯⨯-=．-------------------------12分20. 解：（1）依题意知点A 的坐标为(0,)b ，则以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为:222()x y b a +-=，------------------------------------------------------------------------------------1分令0x =得y b a =±，由圆A 与y轴的交点分别为(0,1、(0,1可得11b a b a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1,b a ==-------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为2213x y +=.----------------------------------------------------------------4分（2）解法1：由0AP AQ ⋅=得AP AQ ⊥，可知PA 的斜率存在且不为0，设直线:1PA l y kx =+---------------① 则1:1QA l y x k=-+-------------②----------------------6分将①代入椭圆方程并整理得22(13)60k x kx ++=，可得2613P kx k =-+，则22113P y k=-+，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分类似地可得2266,133Q Qk x y k k ==-++，----------------------------------------------------------9分由直线方程的两点式可得：直线l 的方程为 21142k y x k -=-，------------------------------11分即直线l 过定点，该定点的坐标为1(0,)2-.---------------------------------------------------------12分【解法2：若直线l 垂直于x 轴，则AP 不垂直于AQ ，不合题意，可知l 的斜率存在，又l 不过点(0,1)，设l 的方程为y kx m =+(1)m ≠， 又设点1122(,)(,)P x y Q x y 、，则1122(,1),(,1)AP x y AQ x y =-=-,由0AP AQ ⋅=得121212()10x x y y y y +-++=，由2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222(31)6330k x kmx m +++-=，----------------------------6分2212(31)k m ∆=-+，当0∆>即22310k m -+>时，122631kmx x k +=-+-------① 21223331m x x k -=+---------②-----------------------------------------7分又22121212()y y k x x mk x x m =+++，1212()2y y k x x m +=++，--------------------------8分于是有221212(1)()()210k x x mk k x x m m ++-++-+=，-----------③---------------------9分将①②代入③得22222336(1)()2103131m kmk mk k m m k k -+--+-+=++ 整理得：12m =-,--------------------------------------------------------------------------------------11分满足0∆>，这时直线l 的方程为12y kx =-，直线l 过定点1(0,)2-.------------------12分】 （21）解：（1）21(1)'()()kx kxkx ke kx kef x k e --=⋅2kx kx e -=2()kx k x k e--=．--------------------------1分①若0k >，当2(,)x k ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在2(,)k-∞上单调递增； 当2(,)x k ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在2(,)k+∞上单调递减．----------------------3分②若0k <，当2(,)x k ∈-∞时，'()0f x <，()f x 在2(,)k-∞上单调递减； 当2(,)x k ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在2(,)k+∞上单调递增．∴当0k >时，()f x 在2(,)k -∞上单调递增，在2(,)k+∞上单调递减；当0k <时，()f x 在2(,)k -∞上单调递减，在2(,)k+∞上单调递增．-------------------5分（2）1()ln xx x f x k ke-=≤（1x ≥）， 当0k <时，上不等式成立，满足题设条件；-----------------------------------------------------6分当0k >时，1()ln x x x f x k ke -=≤，等价于1ln 0xx k x e --≤， 设1()ln (1)x x g x k x x e -=-≥，则2'()x x k g x e x -=-22xxx x ke xe --=，设2()2x h x x x ke =--（1x ≥），则'()2(1)0x h x x ke =--<，∴()h x 在[1,)+∞上单调递减，得()(1)1h x h ke ≤=-．-------------------------------------9分①当10ke -≤，即1k e≥时，得()0h x ≤，'()0g x ≤， ∴()g x 在[1,)+∞上单调递减，得()(1)0g x g ≤=，满足题设条件；--------------------10分②当10ke ->，即10k e<<时，(1)0h >，而0)2(2<-=ke h ， ∴0(1,2)x ∃∈，0()0h x =，又()h x 单调递减， ∴当0(1,)x x ∈，()0h x >，得'()0g x >，∴()g x 在0[1,)x 上单调递增，得()(1)0g x g ≥=，不满足题设条件； 综上所述，0k <或1k e≥．--------------------------------------------------------------------------12分22. 解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得224sin cos ρθρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，[或24sin cos θρθ=] ---------------------------3分2l 的极坐标方程为2πθα=+； --------------------------------------------------------------------5分（2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+，则由（1）可得24sin cos A αρα=， 同理得24sin()2cos ()2B παρπα+=+，即24cos sin B αρα=，-------------------------------------------------7分 ∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |cos sin αααα⋅=⋅ ∵02πα<<∴0απ<<，∴8cos sin OAB S αα∆=⋅16sin 2α=16≥， -----------------9分△OAB 的面积的最小值为16，此时sin 21α=， 得22πα=，∴4πα=． --------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）①当2x <-时，()22(2)62f x x x x =-+++=+<，解得4x <-，---------------------------------------------------------------------------------------------1分②当22x -≤<时，()22(2)322f x x x x =-+-+=--<， 解得423x -<<，----------------------------------------------------------------------------------------2分③当2x ≥时，()22(2)62f x x x x =--+=--<解得2x ≥，----------------------------------------------------------------------------------------------3分综上知，不等式()2f x <的解集为4(,4)(,)3-∞--+∞.-----------------------------------5分（2）解法1：当[2,2]x ∈-时，()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-，---------------6分设()()g x f x x =-，则[2,2]x ∀∈-，()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立，只需(2)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩， -------------------------------------------------------------------------------------8分 即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤-----------------------------------------------------------------------10分【解法2：当[2,2]x ∈-时，()2(2)f x x a x =--+，------------------------------------------------6分()f x x ≥，即2(2)x a x x --+≥，即(2)2(1)x a x +≤-----------------------------------7分①当2x =-时，上式恒成立，a R ∈；-----------------------------------------------------------8分②当(2,2]x ∈-时，得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立， 只需min 61(2)22a x ≤-+=-+， 综上知，12a ≤-． --------------------------------------------------------------------------------10分】。
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揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试（期末） 数学(理科)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分
1．复数i i
z ++-=
211的虚部是( ) A.25 B.2 C.23 D.i 2
3 2．已知集合}013|{≤+-=x x x A ，}3,2,1,1{-=B ，则=B A ( ) A.}2,1{ B. }2,1,0{ C. }3,2,1{ D. }3,2,1,1{-
3．已知命题:p 若a>b,则a 2>b 2;命题:q m 、n 是直线,α为平面,若m ∥α,n ⊂α,则m ∥n ,
下列命题为真命题的是( )
A.q p ∧
B.q p ⌝∧
C.q p ∧⌝
D. q p ⌝∧⌝
4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图，
则下列结论中表述不正确的是( )
A.从2000年至2016年,该地区环境基础设施投资额逐年增加
B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多
C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番
D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t
的值依次为1,2,…,7)建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归型t y
5.1799ˆ+=根据该模型预测该地区2019年的环境基础设施投资额为5.256亿
5．函数x
x x f 1||ln )(+=的图象大致为( )
A. B.
C.
D.
6．若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥+-≤--001201x y x y x ，则y x z +-=2的最小值为( ) A.4 B.2 C.2- D.1-
7．若8log ,8log ,3log 542===c b a ，则c b a ,,大小关系是( )
A.c b a >>
B.b c a >>
C.c a b >>
D. a b c >>
8．若A(2，22)在抛物线C; y 2=2x 上,记抛物线C 的焦点为F,直线AF 与抛物线的另一个交点为B ，则=⋅FB FA ( )
A.10-
B.32-
C.3-
D. 2
9- 9.某几何体示意图的三视图如图示,已知其主视图的周长为8则该几何体侧
面积的最大值为( )
A.π
B.π2
C.π4
D.π16
10．已知在区间],0[π上,函数2
sin 3x y =与函数x y sin 1+=的图象交于点P 设点P 在x 轴上的射影为P',P'的横坐标为x 0，则tanx 0的值为( ) A.21 B.34 C.54 D.15
8 11．已知双曲线C 22a x −22
b
y ＝1)0,0(>>b a 的左、右焦点分别为F 1、F 2,坐标原点O 关于点F 2的对称点为P,点P 到双曲线的渐近线距离为23,过F 2的直线与双曲线C 右支相交于M 、N 两点,若|MN|＝3,△F 1MN 的周长为10,则双曲线C 的离心率为( ) A. 23 B.2 C. 2
5 D.3 12．如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1, AA 1⊥底面A 1B 1C 1,∠ACB ＝90°
与BC ＝CC 1＝1，AC ＝32,P 为BC 1上的动点,则CP ＋PA 1的最小值
为( ) A.52 B.231+ C.5 D.521+
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13．(x 2＋2
1x )8的展开式中x 1的系数为__________. 14．向量a =(1,x),b =(−1,−2)不共线,且(a ＋b ）⊥(a －b ),则a ·b ＝_________.
15．已知函数x x x f 2)(3+=,若0)2()1(2≤+-a f a f ,则实数a 的取值范围是_______.
16．已知)]1(3cos[3)]1(3sin[)(+-+=x x x f π
π
,则=+++)2019()2()1(f f f ____.
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第17题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答,第22题第23题为选考题,考生根据要求做答
17.(12分)
已知数列{n a }的前n 项和为n S 且满足31=a ，132+=+n n a S
(1)求数列{n a }的通项公式;
(2)若等差数列{n b }的前n 项和为T n ,且T 1=1a ,T 3=3a ,求数列{1
1+n n b b }的前n 项和Q n .
18.(12分)
如图,在三棱锥P-ABC 中,正三角形PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直,AB=BC,O 是AC 中点,OH ⊥PC 于H
(1)证明:PC ⊥平面BOH ;
(2)若OH ＝OB ＝3，求二面角A-BH-O 的余弦值.
某公司培训员工某项技能,培训有如下两种方式,方式一:周一到周五每天培训1小时,周日测试；方式二:周六一天培训4小时,周日测试.公司有多个班组,每个班组60人,现任选两组(记为甲组、乙组)先培训,甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如下
(1)在甲组内任选两人,求恰有有一人优秀的概率；
(2) 每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率
(i)设公司员工在方式一，二下的受训时间分别为21,ξξ,求21,ξξ的分布列，若选平均受训时间少的,则公司应选哪种培训方式？
(ii)按(i)中所选方式从公司任选两人,求恰有一人优秀的概率.
20.(12分)
已如椭圆C: 22a x ＋22
b
y ＝1 (a>b>0)的上顶点为A ，以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别为)31,0(),31,0(-+
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且AP ·=O 试探究直线l 是否过定点？ 若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
已知函数kx
ke kx x f 1)(-= (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x ≥1时，x k x
f ln )(≤，求k 的取值范围.
(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==22t
y t x (t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,过极点的两射线1l 、2l 相互垂直,与曲线C 分别相交于A 、
B 两点(不同于点O),且1l 的倾斜角为锐角α
(1)求曲线C 和射线2l 的极坐标方程
(2)求△OAB 的面积的最小值,并求此时α的值
23.[选修4 -5：不等式选讲](10分)
已知函数|2||2|)(+--=x a x x f
(1)当2=a 时,求不等式)(x f <2的解集
(2)当x ∈[−2,2]时不等式f (x )≥x 恒成立,求a 的取值范围。