广东省佛山市三水中学2020学年高一数学下学期第二次统考试题

广东省佛山市三水中学2019-2020学年高一数学下学期第二次统考试题满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，1~10题只有一项是符合题意的；11~12题有多项是符合题意的，请把你认为正确的答案填写在答题框内。

） 1．不等式23760x x -≥+的解集为（ ）A ．23,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭ C ． 2,[3,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ D ．2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知数列……那么是这个数列的第（ ）项A ．23B ．24C ．19D ．25 3．满足,3A π=23,BC =4AC =的ABC ∆的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（ ）A ．85，53B ．86，53C ．85，3D ．86，35．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3613S S =，则69SS 的值为（ ） A ．12 B ．13C ．23 D ．14 6．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边是,,a b c ，若sin 2sin C A =，2232b a ac -=，则cos B 等于（ ） A ．12B ．13C ．14D ．157．设ABC ∆中，三个角,,A B C 对应的三边分别是,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，则角B 的取值范围是（ ）A ．(0,]6πB ．[,)6ππ C ．(0,]3πD ．[,)3ππ8．在中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量，，若，则一定是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．已知数列{}n a 为等差数列，首项10a >，若100410051a a <-，则使得0n S >的n 的最大值为（ ） A ．2007 B ．2008 C ．2009 D ．201010．已知是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式|k|1恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．33,,⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．2323,,⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭11．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且，=2，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．在方向上的投影为7612．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=-LC ．1352121n n a a a a a -++++=-LD ．()1214n n n n c c a a π--+-=⋅二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有______人14．已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=_____．15．数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且对任意正整数2n ≥都有221nn n na a S S =-，则_______．16．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则a +b 的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共6小题，第17、18题满分10分，第22题满分14分，其余小题满分12分，共70.0分）17．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ； (2)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 18．已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*2n n b n a n N=+∈，求{}nb 的前n 项和nS.19．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)使用A 订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家有多少个？ (2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及中位数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？(第19题图) (第21题图)20．在ABC ∆()3sin 2cos 0a C c A -+=，其中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、．求（1）求角A 的大小； （2）若6a = ABC ∆3sin sin B C +的值．21．如图，某自行车手从O 点出发，沿折线O ﹣A ﹣B ﹣O 匀速骑行，其中点A 位于点O 南偏东45°且与点O 相距2 千米．该车手于上午8点整到达点A ，8点20分骑至点C ，其中点C 位于点O 南偏东（45°﹣α）（其中26，0°＜α＜90°）且与点O 相距13千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）． （1）求该自行车手的骑行速度；（2）若点O 正西方向27.5千米处有个气象观测站E ，假定以点E 为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．22．已知数列{}n a 的前n 项和()2*24n n S n N +=-∈，函数()f x 对任意的x R ∈都有()()11f x f x +-=，数列{}n b 满足()()12101n n b f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在正实数k ，使不等式()29264n n k n n T nc -+>对于一切的*n N ∈恒成立？若存在请求出k 的取值范围；若不存在请说明理由．三水中学高一级2019-2020学年度下学期第二次统考数学科试题答案一、选择题 题号 123456789101112答案 BDBDACCDBBBCDABD二、填空题13. 16 14. 15.16. [1,4]三、解答题17．解：(1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61…………..1分 又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a ·b －27＝61，所以a ·b ＝－6，…………..2分所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.…………..4分又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.…………..6分(2)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.…………..8分又||＝|a |＝4，||＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12×4×3×32＝33.…………..10分18．解:（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，则21a a q q ==，2231a a q q ==，由于2a 是1a 和31a -的等差中项，即21321a a a =+-，…………..2分即22q q =，解得2q =.…………..3分因此，数列{}n a 的通项公式为1111122n n n n a a q ---==⨯=；.…………..5分 （2）1222n n n b n a n -=+=+，()()()()012112322426222n n n S b b b b n -∴=++++=++++++++L L ()()()21222122462122221212nn n n n n n n -+-=+++++++++=+=++--L L ..…………..10分19.解:（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家共有4010)034.0006.0(100=⨯+⨯个。

…………..3分（2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，…………..4分设中位数为x ，则（x-30）⨯0.012=0.1，解得x=3138。

…………..7分 （3）使用款A 订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=.…………..9分使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<………11分所以选B 款订餐软件．…………..12分20.解：（1） ()sin sin 2cos 0A C C A -+=，…………..2分∵sin 0C ≠， cos 2A A -=. 即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而()0,A π∈ …………..4分 ∴62A ππ-=， 则 23A π=…………..6分（2）由1sinA 22S bc ==，得2bc =，…………..8分由a =()2222222cosA c b c bc b bc b c bc =+-=++=+-，即b c +=..10分所以()sin sinB sin 1AC b c a+=+=．…………..12分 21、 解:（1）由题意知：OA=202，OC 513=， ∠AOC=α，sinα=26． 由于0°＜α＜90°， 所以21526cos 1()2626α=-=．…………..1分在△AOC 中，由余弦定理得222225262cos (202)(513)220251326AC OC OA OC OA AOC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯125=，所以55AC =，…………..3分所以该自行车手的行驶速度为5515513=（千米/小时）．…………..4分（2）如图，设直线OE 与AB 相交于点M ． 在△AOC 中，由余弦定理得cos ∠OAC 222222(202)(55)(513)3102220255OA AC OC OC AC +-+-===⋅⨯⨯ …………..6分 从而 sin ∠OAC 2310101()1010=-=． …………..7分在△AOM 中，由正弦定理得sin sin OA OMOMA OAM=∠∠，所以102sin 1020sin(45)231010()OA OAM OM OAM ⋅∠===︒-∠⋅-，…………..9分 由于OE=27.5＞40=OM ，所以点M 位于点O 和点E 之间，且ME=OE ﹣OM=7.5．…………..10分 过点E 作EH AB 于点H ，则EH 为点E 到直线AB 的距离． 在Rt △EHM 中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°﹣∠OAC）7.5 3.552=⨯=<． 所以该自行车手会进入降雨区．…………..12分22.解：（1） 12111,244n a S +===-=()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---=1n =时满足上式，故()1*2n n a n N +=∈ …………..3分∵()()1f x f x +-=1∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭① ∴()121n n n b f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ()()10f f ++ ② ∴①+②，得1212n n n b n b +=+∴=. …………..6分 （2）∵n n n c a b =⋅，∴()12nn c n =+⋅∴()12322324212nn T n =⋅+⋅+⋅+⋯++⋅， ①()23412223242212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅++⋅， ②①－②得()231422212nn n T n +-=+++⋯+-+⋅即12n n T n +=⋅ …………..10分要使得不等式()29264n n k n n T nc -+>恒成立，()29260n n n T -+>Q 恒成立()24926nnnc k nn T ∴>-+对于一切的*n N ∈恒成立，即()221926n k n n +>-+ ，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+，则()()()()()()22122361111361111n g n n n n n +==≤=+-+++-++当且仅当5n =时等号成立，故()max 2g n = 所以2k >为所求. …………..14分。