第姜启源数学模型复习总结
第四版姜启源数学模型复习总结
第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，
数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。建模的一般方法及其在建模中的应用。建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。建模的全过程（框图）4个环节的含义。模型的特点（技艺性）。模型分类（表现特征），建模中的能力培养。
数学建模实例的建模思想及其步骤
§1 数学模型的概念：
模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。
数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
§2 建模的重要意义
（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透
在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一
些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.
数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。
§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位置用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）
矩形椅子问题：（1）用θ表示椅子对角线AC 与x 轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是θ的连续函数。设相邻的,A B 两点到地面的的距离之和为()f θ，,C D 两点到地面的距离之和为()g θ，令()()()h f g θθθ=-，则()h θ是θ的连续函数。（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0θ=时，
(0)0,g(0)0f >=，(0)(0)(0)0h f g =->。（3）将椅子旋转π，则,A B 旋转到原来,C D 的位置，,C D 旋转到,A B 的位置，即AB 与CD 的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0f g g ππ===>，因此()()()g(0)f(0)0h f g πππ=-=-<，
即连续函数()h θ在[0,]π两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*θ使*()0h θ=,即**()()f g θθ=。因为**(),()f g θθ至少有一个为零，因此**()()0f g θθ==，即*θ对应的位置就是椅子能放稳的位置。
实例2-商人过河问题：属于多步决策问题，即动态规划问题。多步决策问题（确定多步的决策改变系统的状态）的三要素：状态，决策，状态转移方程（状态在决策下的转
移律）。
实例3-施救问题。
药物排除过程-指数衰减方程：0,(0)dx x x x dt
λ=-=，分离变量，积分得到，解0()t x t x e λ-=。
吸收-排除过程的方程：,(0)0dy x y y dt
λμ=-=。 求解过程：凑微分（完全积分法）
()00,()t t t dy d y x e e y x e dt dt
λμμλμλλ--+== 积分得到()0(t)y(0)[1]t t x e y e μμλλμλ
--=--，因此 00()(0)[][]t t t t t x x y t e y e e e e μλμλμλλμλμλ-----=+
-=--- 习题：对于给定的,λμ确定()y t 的最大值与0x 之间的关系。
关键是求最大值点*
t ，满足*|0t dy dt =，此时**0()t x y t e λλμ-=。 半衰期确定衰减系数：***00()/2,ln 2/t x t x e x t λλ-===
实例3-人口模型：指数模型0)0(,x x rx dt
dx ==，其解rt e x t x 0)(=， 假设条件：人口相对增长率为常数。（指数增长，指数衰减）
阻滞增长模型（logistic 模型）)1(N
x rx dt dx -=，求解步骤：分离变量，裂项，积分，其解为rt
e x N N t x --+=
)1(1)(0，曲
线为-S 曲线。
§6 建模方法与步骤
基本方法：机理分析与测试分析（统计分析）
机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律
测试分析（统计分析）：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。
在建模中的应用：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。能将道理讲道理，讲不清道理讲数据。
建模步骤：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。
模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索相关信息，把握对象特征，形成一个较为“清晰”的问题。
模型假设：分析影响因素，分析设置变量，假设变量之间的关系，要在合理（保真）和简化（可行）之间折中，是数学建模艺术之所在。
模型构成：用数学语言，符号描述问题（特有规律的数学表示）。尽量采用简单的数学工具。
模型求解：数学方法，软件和计算机求解析解，近似解或数值解。
模型分析：对结果进行误差分析，统计分析，敏感性分析，对算法和数据进行稳定性分析，对模型进行稳健性分析。
模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、
适用性。
模型应用：把数学模型的结果翻译回原问题，解决实际问题。
建模的全过程（四个环节，两个世界，双向翻译）
掌握框图：
四个环节：表述（Formulation)-根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题
求解（Solution)-选择适当的数学方法求得数学模型的解答.
解释（Interpretation)-将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.
验证（Verification)-用现实对象的信息检验得到的解答.
§7 数学模型的特点与分类
特点：逼真性与可行性（建模的两个重要方面，要折中兼顾，反映建模艺术）；渐进性-渐进不断改进的迭代过程；强健性（稳健性）-模型对假设条件的敏感性；可转移性-模型结构可借鉴可移植（数学建模ABC）；模型的技艺性（与其说是一门技术，不如说是一门艺术）；模型的局限性（认识，手段）。
分类：应用领域，方法，表现形态，建模目的，了解程度。
所用的数学方法分：初等模型，连续优化模型，离散优化模型，微分方程模型，代数方程与差分方程模型，稳定性（平衡点）模型，离散模型（层次分析模型，图模型），概率模型，统计回归模型，博
弈模型，马氏链模型，动态优化模型。
按表现形态（特征）分为：确定的还是随机的，静态的还是动态的，离散的还是连续的，线性的还是非线性的。
了解程度分为：白箱，灰箱，黑箱。
§8。建模能力培养：想象力，洞察力，判断力。类比和悟性，实践性。
习题：
4.正方形椅子问题：如何转化为连续函数的零点存在性问题：位置，函数，转动角度。
5.多步决策问题-三要素
6.施救问题：模型
0,(0),,(0)0dx dy x x x x y y dt dt λλμ=-==-=， 求解00()(0)[][]t t t t t x x y t e y e e e e μλμλμλλμλμλ
-----=+-=--- 最大值点满足*|0t t dy dt
==，**0()t x y t e λλμ-= 第2章：初等模型
§1 光盘的数据容量
CLV 光盘：CLV CLV C L ρ=，近似计算螺旋线长度：同心圆周长，环形区域面积计算2221()CLV R R L d π-≈
,平均周长近似2121
().2CLV R R R R L d π+-≈。
CAV 光盘：取决于最里圈的密度，等效长度为2112R R R d π-。
对于给定的2R ，求1R 使容量最大。21122(1)R R R d R π-，1212
R R =。
§2双层玻璃模型建模。掌握分析变量关系和建立模型的方法，了解热传导关系表示。
单层和双层的热量 d
T T k Q 22112-=， d T T k l T T k d T T k Q b b a a 212111-=-=-=，).2(2
12111k k d l d T T k Q +-= s Q Q +=2221，取16/21=k k ，得到h
Q Q 81121+=。 §3划艇比赛成绩建模：掌握比例关系建模方法
,,2sv f fv np ∝∝，3/13/12/1n A s ∝∝，33/1v n ∝，得到9/1n v ∝，进而得到9/1-∝n t 。
§4实物交换：掌握交换方案的确定方法。
无差别曲线（族）（在其上满意度相同，或效用函数值相同，效用函数等值性）。
无差别曲线的特征：单调减，下凸的
交换路径：甲乙两族无差别曲线族的切点构成交换路径。
交换方案确定：交换路径和等价交换线（价值等值线）的交点即为交换方案。
§ 均流池设计
1。恒定流出量和最大容量。
恒定流出量等于平均流量。最大容量计算，计算各时间的容量（初值值未定，取为零），考虑最大-最小即当容量。 最优设计问题：成本最小设计（等式约束优化问题）
(,)340250(2)450,s.t.lw 372S l w lw l w w =+++=
求解（消元法，乘子法）
§ 交通流模型
（1）交通流的基本参数及其特征：流量q ，流速v ，密度k ，q kv =。
速度和流量模型：(1/),(1/),(1/)f j f j j f v v k k q v k k k q k v v v =-=-=- 对数模型ln(/)f j v v k k =，二者之间的联系。
（2）
§ 天气预报的评价
给出4种预报方法有雨概率和实际观测结果（有雨
1,k v =，无雨0k v =），评价优劣
（1）计数模型-把概率进行0,1处理，计算准确率，该方法未考虑具体的概率值。
（2）计分模型-考虑对预报概率进行赋分：
（1）0.5,10.5,0
k k k k k p v s p v -=?=?
-=?，（2）||k k k s p v =-，（3）2()k k k s p v =- 习题：
1.比例关系方法推导
2.无差别曲线的含义，协议线，
7。大包装问题：总成本构成：生产成本正比于重量，包装成本正比于2/3w ，固定成本。单价表示()c w ，分析单价的性质，一阶导数和二阶导数性质。
8.鱼重量模型，建模，根据数据确定参数。
第3章 连续优化模型
§1 存储模型。掌握推导不允许缺货情况下的订货模型并求解；推导增加购买货款情况下的建模求解问题（习题1）；建立允许缺货情况的订货模型；
建立生产销售存储模型（习题2）。
不容许缺货的存储模型：订货费和存储费，每天的费用 22)(2121rT c T c T QT c T c T c +=+=，求解得到r c c T 21*2=， 2
1*2c r c Q = 允许缺货的存贮模型：订货费+贮存费+缺货费，订货周期T ，订货量Q 的二元函数：画图表示：开始缺货时间r Q T /1=， 总费用r
Q rT c r Q c c T T r c QT c c C 23221213121)(22)(2-++=-++= 平均每天的费用rT
Q rT C rT Q c T c Q T C 23221)(2),(-++= 求导得到：332*
'*',/,c c c Q Q T T +=μμ=μ=。∞→3c 相当于容许缺货。
§2 最优生猪出售时间模型：掌握利润建模优化方法，掌握求解对参数的敏感性系数方法（敏感性分析方法）。 利润表示)()()()(t c t w t p t Q -=
最优时间*t 满足：)()()()()(*'*'***'t c t w t p t w t p =+，
利润最优性条件：边际收入=边际支出。
),(**r g t t =依赖于参数，
相对敏感度系数（弹性系数，百分比）
g dg t dt t g dg dt g t S /)(/)(),(*
***
=?=，含义：g 变化1%，则*t 相应变换)%,(*g t S 。符号表示变换趋势。
§3 建立救火模型并求解，并对模型假设进行分析和推广。 画图表示dt
t dB )(对t 变化图，1t 为开始救火时刻，2t 为火灭时刻，损失费和救援费：
β-λβ=-β-λ=-βx t t t x t t t 112121, x c x t x c x t t c x c 312212211])(22[)(+β
-λβ+β-λβ+β= 求解0=dx
dc 得到231221122λ+λβ+λβ=c t c t c x §6消费者的选择。
理解均衡消费问题的含义，建立均衡消费模型，推导均衡消费条件，掌握效用函数的基本特征。
要点：均衡消费问题-偏爱程度用无差别曲线（效用函数等值线）表示。
已知甲乙价格21,p p , 有钱s ，试分配s ,购买甲乙数量21,q q ,使 ),(21q q U 最大.
其模型为 具有等式约束的最大值问题???=+s
q p q p t s q q U 221121..),(max 。
求解约束最大值问题的Lagrange 乘子法步骤：
（1）构造-L 函数：)(),(),,(22112121s q p q p q q U q q L -+λ+=λ
（2）求L 的无约束极值问题。
均衡消费条件2
121//p p q U q U =????-边际效用之比等于价格之比。 应用：给定效用函数求费用之比
2211q p q p 。 习题4：（1）效用函数等值线即为无差别曲线，单调减，下凸的。
（2）验证效用函数一、二阶导数条件；（3）求消费比例。
效用函数的基本特征（一阶条件和二阶条件）：（B) 0,0,0,0,02
1222221221>?????>??q q U q U q U q U q U 效用函数与无差别曲线的关系：效用函数的等值性就是无差别曲线，即由隐式方程12(,)u q q C =确定函数曲线221()q q q =为无差别曲线，其特征是单调减，下凸的，即
（A) 效用函数等值线即无差别曲线是单调减的，下凸的。
由（B)推出（A ）（习题）
证明思路：由121(,(q ))u q q C =两端关于1q 求导，求出21
dq dq ，证明21
0dq dq <，即单调减。要证下凸，需再求导，计算2221d q dq ，证明
2221
0d q dq >。 效用函数的构造：几种典型的效用函数（验证满足条件
B ）及均衡消费费用比
（1）调和效用函数0,0,)(),(12
121>β>αβ+α=-q q q q U （2）幂效用函数1,0,),(2121<μλ<=μλq q q q U
（3）均根方效用函数0,,)(),(22121>+=b a q b q a q q U 效用最大化模型的应用：
例1 征销售税还是征收入税
效用函数等值线为12(x ,x )u C =，对甲征收销售税0p ，则约束为10122()p p x p x y ++=，设均衡消费点为**12(,)x x ，税为*01p x 。
若改为收收入税，则约束变为*112201p x p x y p x +=-。讨论对
应的消费点的效用值以比较满意度。
例2 价格补贴给生产者还是消费者：
设价格12(,)p p 时消费点为**12(,)x x ，消费线为1122p x p x y +=，补贴给生产者的量为*01p x ，使价格保持1p 。
若补给消费者，容许价格为10p p +，则消费线为
*1012201
()p p x p x y p x ++=+。此时消费线外推，绝对斜率变大，通过原来的消费点，此时均衡消费点的效用值大。 §。生产者的决策
最大利润模型：投入量为x ，()()()r x f x c x =-，最大点方程 '*'*()()f x c x =。最大利润在边际产值等于边际成本时达到。
最优定价模型：产销平衡时，价格为p ，销量为x a bp =-，则利润为(x())()()r p px cx p c a bp =-=--，最大值点满足
'*()()()2()0r p a bp b p c bp a bc =---=-++=，即*22c a p b
=+ 投资费用一定的产值最大模型：等式约束的条件极值。 121122max (,),s.t.f x x c x c x s +=
最大值点方程1212//x x f f c c =，边际产值等于价格之比。
习题6 两段定价问题求解：利润12(,)U p p 表示，求最大值点。
若销量一定，则为等式约束的极值问题。
产值最大与费用最小的对偶关系（对偶原理）
费用一定下产值最大模型(,)max{f(x)|cx s}g s c =≤；
产值一定下费用最小模型(,)min{cx |f(x)v}s v c =≥
对应的x 相同。
习题：1，2，3,4（1-3），5,6，8
习题：（1）考虑购买货物费用问题：
（2）生产销售存储问题。存储量函数的表示，费用表示。
第4章 离散优化模型
§1 数学规划（最优化模型）概述。
规划模型（最优化模型）的三要素：决策（设计，控制）变量，目标函数和约束条件。最优化模型就是在满足约束条件的集合中（可行集）求目标函数的最优值。
按目标函数分分为多目标规划和单目标规划。
单目标规划模型的一般形式：
m i x g t s x x x x x f Z i T
n ,...2,1,0)(..),...,,(),((min)
max 21=≤==
线性规划：目标函数和约束条件都是线性的称为线性规划。
不是线性规划统称为非线性规划。
二次规划：目标函数是二次的，约束条件是线性的称为二次规划。
整数规划：决策变量均取整数值的规划称为整数规划。部分决策变量取整数，其它取实数则称为混合整数规划。只取0,1的变量称为0-1变量。
实际问题建模（生产计划-线性规划）。建模，软件计算，LINGO 编程：
编程语句及其编程： sets...endsets; 定义数组变量和连接矩阵（派生矩阵） ，属性变量（变量实例）
data...enddata,
@for,@sum,@gin,@bin 等
结果分析：约束条件分析（SLACK OR SURPLUS,紧约束)影子价格含义，
敏感性分析：目标函数系数，约束条件右端系数的变化范围。
§1 生产计划建模：决策变量为
目标为利润（费用），约束为生产要素限制，一般为线
性规划。
§2 运输问题建模：一般运输问题建模。第i 个供应点（源）第j 个需求点（汇）的量为ij x ，则模型为
j m i ij i n j ij m i n j ij ij b x a x
t s x c ≥≤∑∑∑∑====1
111,..min
编程问题：
其它变形问题：货物装运问题，考虑平衡问题。 §4 选拔与选课问题
特殊类型的运输问题：0-1变量ij x 表示(,)i j 搭配标示， 三要素：
选课问题：先修条件约束处理
多目标问题转化为单目标的方法：目标转化为约束条件，加权法。
§6 原料下料问题。掌握下料问题建模的一般方法。
下料问题：按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。
建模方法和步骤：确定下料模式及相关参数，按第i 模式下料次数i x 为决策变量，建立目标函数和约束条件建立模
型。
重点：钢管下料（一维问题）问题，由程序确定切割模式问题的编程。
易拉罐下料（二维），主要是建模。
习题1,2,3,4,7，11
第5章 微分方程模型
§ 传染病模型：掌握SI 模型的建模与求解，SIR 模型的建立与在相平面上求解，做出相轨线。
SI 模型：)1(i i dt
di -λ=，掌握分离变量方法求解（分离，积分）t e i i i i t C i i dt i di i di dt i i di λ-=-λ=-λ=-+λ=-0
011,1ln ,1,)1( t
t e i i e i i λ-λ--+=-=-)11(11,)11(110
0，渐进性质 SIS 模型：i i i dt
di μ--λ=)1(，掌握求解过程 SIR 模型：
)(,i dt dr is dt ds i is dt di μ=λ-=μ-λ=。相平面)(i s -上的相轨线方程
相轨线）)(/ln(1)(11000s s s s i i s ds di σ
+-=->-σ+-= 在相平面上画出轨线。分析证明)(),(),(t r t s t i 的变化趋势和渐进性质。
§ 经济增长模型：
应用Douglas 生产函数分析相对增长率之间的关系，资金和劳动力的最佳搭配。贝努力方程的求解。
Douglas 生产函数α-α=10L K f Q ，相对变化率之间的关系
)/)(1()/(/L L K K Q Q
α-+α= 资金-劳动力的最优组合（利润最大）：
rK wL L K Q L K R --=),(),( r
w L K r w L K α-α=>-=αα-1)1( 增长动态模型：封闭方程：α-α=10L K f Q ，
L dt
dL Q dt dK μ=λ=, L K y /=，L Q Z /=， 贝努力方程的求解：α-=μ+y y dt dy ，推导0,0>>dt
dZ dt dQ 的条件。 § 战争模型：一般模型
)(),()()(),()(t v y y x g t y
t u x y x f t x +β-=+α-= 正规战争：???-=-=bx t y
ay t x )()( ，掌握微分消元（高阶方程）求解， 相平面方程和相轨线，分析结局和获胜条件。
游击战模型：bxy t y axy t x -=-=)(,)( ，相平面方程a
b dx dy =，相轨线，分析结局和获胜条件
混合战争模型bx t y axy t x -=-=)(,)( ，ay
b dx dy =，相轨线，分析结局和获胜条件
§ 血药浓度分布模型
（二室模型）一般模型（药量或浓度形式）
)()()()()()()()(22111220221113121t x k t x k t x
t f t x k t x k k t x -=+++-=
)()()()()()()()(2211211221
21221113121t c k t c V V k t c V t f t c V V k t c k k t c -=+++-=
（1）快速静脉注射：0)0(,/)0(,0)(21010===c V D c t f
)()()()()()()(22112112221221113121t c k t c V V k t c t c V V k t c k k t c
-=++-= 掌握求齐次方程组Ac dt
dc =通解的方法：（1）求A 的特征值及特征向量，设2211,,,ξλξλ，则通解为t t e d e d t c 212211)(λλξ+ξ=，其中21,d d 为待定常数，由初始条件确定。特征值与矩阵元素的关
系（维达公式：特征值之和等于矩阵的迹（对角元之和），特征值之积等于行列式）
（2）静脉恒速：0)0(,0)0(,)(2100===c c k t f ，
)()()()()()()(2211211221
21221113121t c k t c V V k t c V k t c V V k t c k k t c -=+++-= 求非齐次方程组d t Ac dt
t dc +=)()(（d 为常向量）通解方法： 齐次通解+特解 *221121c e d e d t t +ξ+ξλλ，常数向量特解*c 满足 d Ac d Ac -==+**,0
（3）口服和肌肉注射：吸收室 t k e D t x t x k t x 01000010)(),()(-=-= t k e D k t f 010010)(-=，其
)()()()()()()(2211211221
0012122111312101t c k t c V V k t c e V D k t c V V k t c k k t c t
k -=+++-=- 求非齐次方程
t k de t Ac dt
t dc 01)()(-+=通解方法。特解为t k e c 01*-代入方程确定*c 。 习题：1,2,3,4,5,6,11,12
第6章 代数方程与差分方程建模
§投入产出模型
1,1,2,...,n
i ij i j x x d i n ==+=∑
ij x 表示第j 个部门消耗第i 种产品，可表示为ij ij j x a x =，ij a 表示第j 产品对第i 产品的消耗系数，则模型的矩阵形式为
x Ax d =+，()I A x d -=
问题由d 求x ,x 对d 的敏感性（变化性）
§ CT 技术及其图像重建
X 射线强度衰减模型dI I dt
μ=-，沿线积分得到(,)0L x y dl I I e μ-?=，即 0(,)ln L I x y dl I
μ=?
离散模型 0()ln(/),1,2,...,i j j i j J L l I I i n μ∈?==∑
问题转化求解,Ax b Ax e b =+=。
§ 量纲分析与无量纲化建模。
掌握量纲齐次原理和无量纲建模方法。
（1）量纲齐次原理：两端量纲一致，确定变量之间的幂律（指数）关系。
π-定理：
确定变量之间简化关系的步骤（减少变量个数，降维）：（1）确定基本量纲；（2）用基本量纲表示其它量的量纲，得到表示矩阵（列表示）A ；（3）求解0=Ay ；（4）构造无量纲量y -对应；（5）原方程可简化为
0),....,(21=πππ-r n F
（2）无量纲化简化ODE ：定义特征尺度（参考尺度）
c c t x ,，做无量纲化变换c c t t t x x x /,/==，变换导数得到关于新变量的
ODE ；求解或近似求解。
§ 蛛网现象与差分方程组
1。掌握蛛网差分方程和求平衡点的方法，掌握分析二维平衡点稳定性条件的方法（平衡点展开，消元得到递推公式）
线性差分方程（组）平衡点及其稳定性分析方法：
一阶线性差分方程：b ax x ax x k k k k +==++11,，平衡点
1,1*≠-=a a