2020年高三数学中学生标准学术能力诊断性测试1月试卷文
2020年高三数学中学生标准学术能力诊断性测试（1月）试题 文 本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ＝N ，A ＝{x|x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x|1<x ≤6，n ∈N}，则()U A B =I ð
A. {2，3，4，5，6}
B. {2，4，6}
C. {1，3，5}
D. {3，5}
2.复数z ＝(1－mi)2
(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝
A.±1
B.－1
C.1
D.0 3.以双曲线2213
y x -=的顶点为焦点，离心率为33的椭圆的标准方程为 A.22143x y += B.22134x y += C.22196x y += D.22
169
x y += 4.函数f(x)＝3ln x x
的部分图像是
5.已知α∈(0，π)，3sin 35πα⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.2425 B.－2425 C.725 D.－725
6.点P ，Q 在圆x 2＋y 2＋kx －4y ＋3＝0上(k ∈R)，且点P ，Q 关于直线2x ＋y ＝0对称，则该圆
的半径为
322
7.已知函数f(x)＝x 3
－x 和点P(1，－1)，则过点P 与该函数图像相切的直线条数为
A.1
B.2
C.3
D.4
8.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是
A.372cm
B.373cm
C.376
cm D.37cm 9.已知数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则“2a 3>a 1＋a 5”是“S 2n －1<0”的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 10.在△PAB 中，已知2,1OB BA ==u u u r u u u r ，∠AOB ＝45°，点P 满足OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r (λ，µ
∈R)，其中2λ＋µ＝3满足，则|OP uuu r |的最小值为 A.355 B.55 C.6362
11.边长为2的等边△ABC 和有一内角为30°的直角△ABC 1所在半平面构成60°的二面角，则下列不可能是线段CC 1的取值的是 30101010 12.已知不等式x ＋alnx ＋
1x e ≥x a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为 A.e B.－2
e C.－e D.－2e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图所示的程序框图的输出值y ∈(0，1]，则输入值x ∈ 。
14.在△ABC 中，2sin cos()6b A B πα=-
，b ＝2，若满足条件的△ABC 有且仅有一个，则实数
a 的取值范围是 。
15.过点P(1，1)作直线l 与双曲线2
2
2y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 。
16.如图，正三角形ABC 边长为2，D 是线段BC 上一点，过C 点作直线AD 的垂线，交线段AD 的延长线于点E ，则|AD|·|DE|的最大值为 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：60分。
17.(12分)根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、政治、地理)的6门学科中选择3门学科参加考试。
根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是相互独立的。
(1)求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；
(2)某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率。
18.(12分
)设数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，a 1＝1。
若a 1，a 2，a 5成等比数列。
(1)求a n 及S n ；
(2)设211
1n n b a +=-(n ∈N *
)，求数列{b n }前n 项和T n 。
19.(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD//BC ，∠DAB ＝
2
π，AP ＝AB ＝BC ＝12AD ，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O 。
(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；
(2)求AB 与平面PBD 所成角θ的正弦值。
20.(12分)已知f(x)＝lnx ，g(x)＝x 。
(1)若()()()
a f x g x g x +≥在(0，1]恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若m ，n>0，m ＋n ＝1，求证221()()[()][()]4f m f n g m g n -<。
21.(12分)如图，已知圆Q ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直
线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过F 且与l 垂直的直线l '与圆Q 有交点。
(1)求直线l '的斜率的取值范围；
(2)求△ABC 面积的取值范围。
(第21题图)
(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
作答时请写清题号。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1
的参数方程为12cos 2sin x y αα
=+⎧⎪⎨=⎪⎩(其中α为参数，α∈R)。
在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，曲线C 2的极坐标方程为sin 6a πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭。
(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若曲线C 1上恰有一个点到曲线C 2的距离为1，求曲线C 2的直角坐标方程。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
(1)解不等式|x ＋1|－|2x －5|
>0；
(2)
求函数y =。
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月试题 数学(文) 含答案
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试文科数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ＝N ，A ＝{x|x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x|1<x ≤6，n ∈N}，则()U A B =I ð A. {2，3，4，5，6} B. {2，4，6} C. {1，3，5} D. {3，5}2.复数z ＝(1－mi)2(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝ A.±1 B.－1 C.1 D.03.以双曲线2213y x -=的顶点为焦点，离心率为33的椭圆的标准方程为A.22143x y +=B.22134x y +=C.22196x y +=D.22169x y += 4.函数f(x)＝3ln xx的部分图像是5.已知α∈(0，π)，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.2425 B.－2425 C.725 D.－7256.点P ，Q 在圆x 2＋y 2＋kx －4y ＋3＝0上(k ∈R)，且点P ，Q 关于直线2x ＋y ＝0对称，则该圆的半径为3 2 C.1 27.已知函数f(x)＝x 3－x 和点P(1，－1)，则过点P 与该函数图像相切的直线条数为 A.1 B.2 C.3 D.48.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是 A.372cm B.373cm C.376cm D.37cm 9.已知数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则“2a 3>a 1＋a 5”是“S 2n －1<0”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在△PAB 中，已知2,1OB BA ==u u u r u u u r ，∠AOB ＝45°，点P 满足OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r (λ，µ∈R)，其中2λ＋µ＝3满足，则|OP uuu r|的最小值为A.355 B.255 C.63 D.6211.边长为2的等边△ABC 和有一内角为30°的直角△ABC 1所在半平面构成60°的二面角，则下列不可能是线段CC 1的取值的是 A.30 B.10 C.10 D.10 12.已知不等式x ＋alnx ＋1x e≥x a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为 A.－e B.－2eC.－eD.－2e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届北京是中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试(1月)数学(理)试题(解析版)
2020届北京是中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试（1月）数学（理）试题一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{2,0,1,2}-【答案】B【解析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I 。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2．若()25i z +=，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1C ．i -D ．i【答案】A【解析】利用复数除法运算化简z ，则虚部可求 【详解】()()()5252222i z i i i i -===-++-，故虚部为－1 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题3．已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的两条渐近线互相垂直，则e =（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】根据题意，利用双曲线的两条渐近线垂直推出-1b b a a=-g ，可得a b =，再通过离心率的计算公式即可得出。
【详解】由题意得，-1b b a a =-g ，可得a b =，则2222222,2c a b e e a a+====。
【点睛】本题主要考查双曲线的性质中离心率的求解。
4．由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π3B ．π2C ．πD ．2π【答案】C【解析】根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。
【详解】由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2， 则21122V ππ=⋅⨯=， 故答案选C 。
【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。
5．函数()()22xf x x x e =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】求导，求出函数()y f x =的单调性，利用单调性来辨别函数()y f x =的图象，以及函数值符号来辨别函数()y f x =的图象． 【详解】()()22x f x x x e =-Q ，()()()()222222x x x f x x e x x e x e '∴=-+-=-.解不等式()0f x '<，即220x -<，得22x -<<；解不等式()0f x '>，即220x ->，得x <x >所以，函数()y f x =的单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(．令()0f x >，即220x x ->，得0x <或2x >； 令()0f x <，即220x x -<，得02x <<.所以，符合条件的函数()y f x =为B 选项中的图象，故选B. 【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号．在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题．6．已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎛-∞ ⎝⎭B ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．⎫∞⎪⎪⎝⎭D ．4,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】将不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可 【详解】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则2a >=x =所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A 【点睛】本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法7．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可 【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b ab a a b>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件 【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论8．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C【解析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=，D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．9．在ABC △中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则AB BC=u u u vu u u v （ ） A ．1 B．2CD．2【答案】C【解析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果。
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学(文)试题答案(一卷)(扫描版)
中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年1月测试文科数学（一卷）答案一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. [)(]1,00,1−14. (]}{0,2415. ()1,00,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭16.14三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17． 解：记A 表示事件：考生选择生物学科B 表示事件：考生选择物理但不选择生物学科；C 表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科；D 表示事件：选择生物但不选择物理E 表示事件：同时选择生物、物理两门学科 （1）()()0502P A .P B .C AB ===，，,AB =∅ ………………………………2分()()()()0.7P C P AB P A P B ==+= ………………………………5分（2）由某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知()350.D P = ………………………………7分 因为DE A = ………………………………9分()()()15.035.05.0=−=−=D P A P E P ………………………………12分18．解：（1）设数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题意得⎩⎨⎧==512211a a a a ，解得⎩⎨⎧==211d a ………………………………3分所以2,12n S n a n n =−= ………………………………6分 （2）因为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=+=−+=1114114111212n n n n n b n ………………………………9分 所以()41n nT n =+ ………………………………12分19．解（1）由已知AP ⊥面PCD ，可得AP ⊥PC ，AP ⊥ C D ，由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示，易得// BE CD ,所以， AP BE ⊥ ．又因为BE ⊥AC ，所以BE ⊥⊥面APC ,故BE ⊥ PO ． ………………………………3分 在直角梯形ABCD中?AC AB AP PC ==⊥，， ，所以PAC ∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO AC ⊥．ABCD ,面⊂=BE O AC BE ，所以PO ⊥平面ABCD …………………………6分（2）法一：以O 为原点，分别以OB OC OP ，， 为x 轴，y 轴，z 轴的建立直角坐标系． 不妨设1BO =A(0,-1,0) , B(1,0,0), P (0,0,1), D(-2,1,0), 设(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量．满足00n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,所以030x z x y −+=⎧⎨−+=⎩ ，则令1x = ，解得(1,3,1)n =…………9分 222sin cos ,11AB n AB n AB nθ⋅===⋅ ……………………………12分 法二：（等体积法求A 到平面PBD 的距离）设AB=1，点A 到平面PBD 的距离为h ，计算可得,411=ΔPBD S A PBD P ABD V V −−= …………………………9分PO S h S ΔABD ΔPBD ⋅⋅=⋅⋅3131,1,ABD S ∆=2PO =解得h =…………………………11分sin h AB θ== …………………………12分20．解（1）x xax ≥+ln 在(]1,0恒成立，得x x x a ln −≥在(]1,0恒成立。
2020年1月THUSSAT中学生标准学术能力诊断性数学测试卷
(t为参数)
，曲线
C
:
x
y
= =
2 cos a sin
( 为参数),
其中 a 0 ．若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右上方，求 a 的取值范围．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知正数 x, y, z 满足 x + y + z = 1．
（1）求证： x2 + y2 + z2 1 ； （2）求16x +16y +16z2 的最小值． 2y + 3z 2z + 3x 2x + 3y 5
B． E E, D D
C． E E, D = D
D． E = E, D = D
AB
9．在△ABC 中，若 AB BC = BC CA = 2CA AB ，则 =
BC
A．1
B． 2 2
C． 3 2
D． 6 2
10．在矩形 ABCD 中，已知 AB = 3, AD = 4 ， E 是边 BC 上的点，
ex
A． − e
B． − e 2
C． −e
D． −2e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
第1页 共4页
第2页 共4页
13．如图所示的程序框图的输出值 y (0,1 ，则输入值 x
．
14．在△ABC 中， 2b sin A = a cos(B − ) , b = 2 ，若满足条件的 6
EC =1， EF / /CD ，将平面 EFDC 绕 EF 旋转 90 后记为平面
，直线 AB 绕 AE 旋转一周，则旋转过程中直线 AB 与平面 相
交形成的点的轨迹是
2020届北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学(文)(一卷)试题(解析版)
2020届北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学（文）（一卷）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合10x A x x ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭，(){}lg 31B x y x ==-，则()UA B =ð（ ） A ．(]0,1 B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集的定义求出集合U B ð，然后利用交集的定义可求出集合()U A B ∩ð. 【详解】(]11000,1x x A x x x x ⎧⎫⎧⎫--=≥=≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){}{}1lg 31310,3B x y x x x ⎛⎫==-=->=+∞ ⎪⎝⎭，则1,3U B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦ð，因此，()10,3U A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð.故选：B. 【点睛】本题考查交集和补集的计算，同时也考查分式不等式与对数函数定义域的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知a R ∈，复数23a iz i -=+（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则a =（ ） A ．23B ．23- C ．6 D ．6-【答案】A【解析】利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，由题意得出该复数的实部为零，虚部不为零，可求出实数a 的值. 【详解】()()()()()()233262326333101010a i i a a i a i a a z i i i i ----+--+====-++-， 由于复数z 为纯虚数，则320106010a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得23a =.故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时考查了复数相关的概念，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于基础题.3．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】先计算出饼图中40~50岁的职工所占的比例，再乘以25即可得出结果. 【详解】由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=， 因此，40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用分层抽样计算所抽取的人数，根据分层抽样的特点列方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．3x y -= B ．0.5log y x =C ．21y x=D ．12x y x +=+ 【答案】D【解析】分析各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，可得出合乎题意的选项.【详解】对于A 选项，函数133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于B 选项，函数0.5log y x =在区间()0,∞+上为减函数； 对于C 选项，函数21y x =在区间()0,∞+上是减函数； 对于D 选项，函数()21111222x x y x x x +-+===-+++在区间()0,∞+上是增函数. 故选：D. 【点睛】本题考查基本初等函数单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，若3AF BF =，则AB =（ ）A ．4B ．92C ．132D ．163【答案】D【解析】设直线l 的方程为1x my =+，由3AF BF =，得出3AF FB =uu u r uu r，可得出123y y =-，并将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合关系式123y y =-求得213m =，再利用抛物线的定义可求出AB . 【详解】 如下图所示：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=.由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，3AF BF =，3AF FB ∴=，即()()11221,31,x y x y --=-，123y y ∴-=，即123y y =-.则12224y y y m +=-=，得22y m =-，由221224312y y y m -==-=-，所以，213m =. 由抛物线的定义得()()()21212124162112444433AB x x my my m y y m =++=++++=++=+=+=. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质，将直线方程与抛物线联立，利用韦达定理法结合抛物线的定义求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题. 6．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()()sin 22sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭（ ）A ．75B ．15C ．15-D ．3125【答案】A【解析】利用两角差的正切公式求出tan α的值，然后利用诱导公式、二倍角公式结合弦化切的思想可求出所求代数式的值. 【详解】tan tantan 114tan 41tan 31tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+，解得1tan 2α=. 因此，()()sin 22sin cos cos 22sin cos 2παπαπαααα⎛⎫+--+=+ ⎪⎝⎭222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin αααααααααα-+=-+=+222222222222211cos sin 2sin cos 121tan 2tan 722cos cos cos cos sin 1tan 511cos cos 2αααααααααααααα⎛⎫-+⨯-+ ⎪-+⎝⎭====+⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查两角差的正切公式、诱导公式、二倍角公式求值，解题的关键就是利用弦化切思想进行化简，同时也要注意弦化切所适用的基本类型，考查运算求解能力，属于中等题.7．设变量x 、y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，且z kx y =+的最大值为12，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．3-C ．2D ．3【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域，可知当直线z kx y =+经过可行域的顶点()4,4和点()0,12时，直线z kx y =+在y 轴上的截距最大，且为12，再将点()4,4代入直线z kx y =+的方程可求出实数k 的值. 【详解】作出不等式组20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立240240x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得44x y =⎧⎨=⎩，得点()4,4A .作直线z kx y =+，由图形可知，当直线z kx y =+过点()0,12P 和点()4,4A 时，直线z kx y =+在y 轴上的截距最大，此时z 取到最大值，即max 4412z k =+=，解得2k =.故选：C. 【点睛】本题考查含参的线性规划问题，解题的关键就是利用数形结合法找出线性目标函数取得最值时的位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）AB．7C．12D【答案】B【解析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1sin sin cos sin sin 22A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >，3sin B B ∴=，得tan 3B =，0B π<<，6B π∴=.由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c bC B=，因此，1sin sin c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式2R =球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径5AC ，且2PB =.所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为2R ==因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．函数||13cos 6x y x e =-的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】设()13cos 6xf x x e =-，利用定义分析函数()y f x =的奇偶性，然后利用导数判断出函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性，即可得出函数()y f x =的图象. 【详解】设()13cos 6xf x x e =-，该函数的定义域为R ， ()()()113cos 3cos 66x xf x x e x e f x --=--=-=，则函数()y f x =为偶函数.当0x >时，()13cos 6xf x x e =-，当0πx <<时，()13sin 06xf x x e '=--<；当x π>时，()113sin 3066x f x x e e π'=--<-<.所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数. 因此，选项A 中的图象为函数13cos 6xy x e =-的图象. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y =与C 交于A 、B 两点，AF 、BF 的中点分别为M 、N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．1C 2D 1【答案】D【解析】作出图形，由题意得出2MON π∠=，再由中位线的性质可得出2AFB π∠=，设双曲线C 的左焦点为F '，可得出2F AF π'∠=，6AF F π'∠=，可得出AF '=，AF c =，再利用双曲线的定义即可求出其离心率.【详解】如下图所示，设双曲线C 的焦距为()20c c >，由于以线段MN 为直径的圆经过原点，则2MON π∠=，AF 、BF 的中点分别为M 、N ，且O 为AB 的中点，//OM BF ∴，//ON AF ，2AFB π∴∠=，O 为FF '的中点，所以，四边形AFBF '为矩形，2F AF π'∴∠=，由于直线l 3AOF π∠=，所以，6AF F π'∠=，2cos6AF c π'∴==，2sin6AF c c π==，由双曲线的定义得2AF AF a '-=2c a -=，因此，双曲线C 的离心率为1c e a ===. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查了双曲线的定义，在涉及焦点三角形问题时，应充分分析三角形的形状，结合正弦、余弦定理以及锐角三角函数来计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．83【答案】C【解析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=， 同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29m =，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知{}n a 为等比数列，若33a =，512a =，则7a =__________. 【答案】48【解析】利用等比中项的性质得出2537a a a =，由此可得出7a 的值.【详解】由等比中项的性质可得2537a a a =，2257312483a a a ∴===. 故答案为：48. 【点睛】本题考查等比数列中项的计算，利用等比中项的性质进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【答案】33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】将点()0,1的坐标代入函数()y f x =的解析式，求出4πθ=，利用诱导公式和二倍角余弦公式得出()22sin 2sin 1f x x x =--+，换元[]sin 1,1t x =∈-，于是可将函数()y f x =的值域转化为二次函数213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[]1,1t ∈-上的值域，利用二次函数的基本性质即可求解. 【详解】由题意可得()02cos2cos02cos211f θθ=+=+=，得cos20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查正弦型二次函数值域的求解，利用诱导公式、二倍角余弦公式化为有关正弦的二次函数的值域是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 【答案】15-【解析】先利用题中条件推导出函数()y f x =是以2为周期的周期函数，然后利用题中定义结合周期性和奇偶性可分别求出185f ⎛⎫⎪⎝⎭和()lg30f 的值，相加即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，()()()22f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，则181822214=555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()lg30lg3lg10lg31lg311lg31lg30f f f f f R =+=+=-=--=--=， 因此，()181lg 3055f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 故答案为：15-. 【点睛】本题考查新定义函数值的计算，推导出函数的周期是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为__________.【答案】32572a 【解析】先将截面1D EF 在正方体各个面上的交线画出来，并将位于截面下方的几何体的体积计算出来，即可得出答案. 【详解】 如下图所示，延长EF 分别交DA 、DC 的延长线于M 、N ，连接DM 交1AA 于点G ，连接1D N 交1CC 于点H ，再连接GE 、HF ，则该截面截正方形的截面为五边形1D GEFH .//BC AD Q ，则//AM BF ，则EMA EFB ∠=∠，EAM EBF ∠=∠，E 为AB 的中点，则AE BE =，EAM EBF ∴∆≅∆，2aAM BF ∴==，同理2a CN =， 11//AM A D ，11GAMGA D ∴∆∆，11112AG AM A G A D ∴==，1133a AG AA ∴==， 在Rt MDN ∆中，32DM DN a ==，则21928DMN S DM DN a ∆=⋅=， 123111933388D DMNDMN V S DD a a a -∆=⋅=⨯⨯=，2211112228AMNS AM AE a a ∆⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，2311111338372G AME AME V S AG a a a -∆=⋅=⨯⨯=，所以，正方体位于截面1D GEFH 下方的几何体体积为133333125122872722D DMN G AME V V a a a a ---=-⨯=<.因此，较小部分几何体的体积为32572a . 故答案为：32572a . 【点睛】本题考查截面截几何体所得体积的计算，作出截面图形是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．某学校为了解学生假期参与志愿服务活动的情况，随机调查了30名男生，30名女生，得到他们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表（单位：人）：（1）能否有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关？（2）以这60名学生参与志愿服务活动时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机抽查10名学生，试估计这10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有，理由见解析；（2）6.【解析】（1）列出22⨯列联表，根据表格中的数据计算出2K 的观测值，并将2K 的值与3.841作大小比较，即可判断出题中结论的正误；（2）根据表格中的数据得出参与志愿服务活动时间超过1小时的频率，然后乘以10即可得出结果. 【详解】（1）22⨯列联表如下表所示：()222602216814403.8413624309K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯， 因此，有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关；（2）由表格中的数据可知，该校参与志愿服务活动时间超过1小时的学生频率为360.660=， 因此，抽取的10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数为100.66⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，同时也考查了分层抽样中频数的计算，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且35a =，4237S a -=，数列{}n b 为等比数列，且12b a =，49b S =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n n n a c b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：113n T ≤<. 【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，列出关于1a 和d 的方程组，求出这两个量，利用等差数列的通项公式求出n a ，根据题意求出1b 和q ，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）求出n c ，然后利用错位相减法求出n T ，再利用数列{}n T 的单调性即可证明出113n T ≤<. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可得()()3142112534637a a d S a a d a d =+=⎧⎨-=+-+=⎩，即112537a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()()1112121n a a n d n n ∴=+-=+-=-.123b a ==，34918998132b S a d q ⨯==+==，解得3q =， 因此，111333n n nn b b q --==⨯=.综上所述，21n a n =-，3nn b =；（2）213n n n n a n c b -==，23135213333n nn T -∴=++++，① 231113232133333n nn n n T +--=++++，② ①-②得，21231121121222211213313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+--111111212221333333n n n n n -++-+⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭，1113n n n T +∴=-<， 又110n n n T T c ++-=>，则数列{}n T 是单调递增数列，则113n T T ≥=. 因此，113n T ≤<. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的计算，同时也考查了错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，已知四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，90CBA ∠=，四边形ACFE 为矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，又AB BC CF a ===，2CD a =.（1）求证：DE BF ⊥； （2）求点E 到平面BDF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）a .【解析】（1）取BF 的中点M ，连接DM 、EM ，利用三线合一得出BF DM ⊥，BF EM ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出BF ⊥平面DEM ，即可得出DE BF ⊥；（2）过点E 在平面DEM 内作EN DM ⊥，垂足为点N ，证明出EN ⊥平面BDF ，并计算出DEM ∆三边边长，然后利用等面积法求出EN ，即为点E 到平面BDF 的距离. 【详解】（1）如下图所示，取BF 的中点M ，连接DM 、EM ，四边形ACFE 为矩形，AC CF ∴⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，CF ⊂平面ACFE ，CF ∴⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CF CD ∴⊥，DF ∴==，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，90CBA ∠=，90BCD ∴∠=，BD ∴==，M 为BF 的中点，DM BF ∴⊥，同理可得BE BF ==，EM BF ∴⊥，又DMEM M =，BF ∴⊥平面DEM .DE ⊂平面DEM ，DE BF ∴⊥；（2）如下图所示，过点E 在平面DEM 内作EN DM ⊥，垂足为点N ，由（1）知，BF ⊥平面DEM ，EN ⊂平面DEM ，EN BF ∴⊥.EN DM ⊥，DM BF M =，EN ∴⊥平面BDF .由（1）知，CF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，CF BC ∴⊥，BF ∴=，DM a ==，EM ==， CF ⊥平面ABCD ，//AE CF ，AE ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂Q 平面ABCD ，AE AD ∴⊥，由于四边形ABCD 为直角梯形，且90ABC ∠=，AD ∴==，DE ∴=，222DE EM DM ∴+=，则90DEM ∠=.由等面积法可得2DE EMEN a DM⋅===. 因此，点E 到平面BDF 的距离为a . 【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般作出垂线或者利用等体积法进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上，1A 、2A 分别为E 的左、右顶点，直线1A M 与2A M 的斜率之积为59-，F 为椭圆的右焦点，直线9:2l x =.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线m 过点F 且与椭圆E 交于B 、C 两点，直线2BA 、2CA 分别与直线l 交于P 、Q 两点.试问：以PQ 为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，否则，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=；（2）过定点()2,0和()7,0，理由见解析. 【解析】（1）利用直线1A M 与2A M 的斜率之积为59-，得出3a =，再由点M 在椭圆上，可求出b 的值，即可得出椭圆E 的标准方程；（2）由对称性知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0K k ，设直线BC 的方程为2x ty =+，点()11,B x y 、()22,C x y ，设点9,2P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、9,2Q q ⎛⎫⎪⎝⎭，求出p 、q ，将直线BC 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出pq 的值，由0PK QK ⋅=，结合韦达定理求出k 的值，即可得出定点K 的坐标.【详解】（1）点M 在椭圆E 上，则2225431a b⎛⎫⎪⎝⎭+=，①， 易知点()1,0A a -、()2,0A a ，直线1A M 的斜率为1532k a =+，直线2A M 的斜率为1532k a =-，由题意可得122255949k k a ==--，解得3a =，代入①式得b = 因此，椭圆E 的方程为22195x y +=；（2）易知，直线m 不能与x 轴重合.由对称性知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0K k ，设直线BC 的方程为2x ty =+，点()11,B x y 、()22,C x y ，设点9,2P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、9,2Q q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如下图所示：易知点()23,0A ，22//A B A P ，即()1131,//,2ty y p ⎛⎫-⎪⎝⎭，()11312y p ty ∴=-， 得()11321y p ty =-，同理可得()22321y q ty =-. 将直线m 的方程与椭圆E 的方程联立222195x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()225920250t y ty ++-=，()()2224001005990010t t t ∆=++=+>. 由韦达定理得1222059t y y t +=-+，1222559y y t =-+， ()()()21212222121212222599925594114412520415959y y y y t pq ty ty t y y t y y t t t t ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭∴====---⎡⎤⎛⎫-++⎣⎦⨯-++ ⎪++⎝⎭，9,2PK k p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，9,2QK k q ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2299250224PK QK k pq k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2k =或7.因此，以PQ 为直径的圆过定点()2,0和()7,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了圆过定点的问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查计算能力，属于中等题. 21．.已知函数()ln f x x ax =-，a R ∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1M f 处的切线方程； （2）当1a >时，求证：函数()()g x f x a =+恰有两个零点. 【答案】（1）210x y --=；（2）证明见解析.【解析】（1）将1a =-代入函数()y f x =的解析式得()ln f x x x =+，求出()1f 和()1f '的值，然后利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）可得出()10g =，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性，利用零点存在定理证明出函数()y g x =在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，从而可证明出结论成立. 【详解】（1）当1a =-时，()ln f x x x =+，则()11f =，()11f x x'=+，()12f '∴=. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1M f 处的切线方程为()121y x -=-，即210x y --=；（2）()()ln g x f x a x ax a =+=-+Q ，则()10g =.1a >Q ，则()11ax g x a -'=-=，令()0g x '=，得()10,1x =∈，列表如下：所以，函数()y g x =在1x a=处取得极大值，亦即最大值，即()max 11ln g x g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭.令()1ln h a a a =--，1a >，则()1110a h a a a-'=-=>， 所以，函数()y h a =在()1,a ∈+∞上单调递增，则()()10h a h >=，()ln 0a a a a g e e ae a ae ----=-+=-<，且11a a e e a-=<， 所以，函数()y g x =在区间1,ae a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点， ()11,,a ⎛⎫+∞⊆+∞⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =在区间()1,+∞上单调递减， 当1x >时，则()()10g x g <=，所以，函数()y g x =在区间()1,+∞上没有零点. 综上所述，函数()()g x f x a =+恰有两个零点. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题，一般结合导数研究函数的单调性，结合极值与最值的符号来进行分析，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.22．以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x 轴的正半抽为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是6sin 4cos ρθθ=+，直线l 的参数方程是4cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M 、N两点，且MN =l 的倾斜角α. 【答案】（1）()()222313x y -+-=；（2）6π或56π. 【解析】（1）在曲线C 的极坐标的两边同时乘以ρ，再由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，并列出韦达定理，借助弦长公式即可计算出α的值. 【详解】（1）在曲线C 的极坐标的两边同时乘以ρ，得26sin 4cos ρρθρθ=+，所以，曲线C 的直角坐标方程为2246x y x y +=+，即()()222313x y -+-=； （2）设点M 、N 在直线l 上对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得()2222cos sin 13t t αα++=， 即24cos 90t t α+-=，216cos 360α∆=+>， 由韦达定理得124cos t t α+=-，129t t =-，12MN t t ∴=-===cos 2α=±， 0απ<<，因此，6πα=或56π. 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用直线与圆所得弦长求直线的倾斜角，考查了韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.23．己知函数()3132f x x x =+-+的最大值为m ，a 、b 、c 均为正实数，且a b c m ++=.（1）求证：1119a b c++≥；（2+≤.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用绝对值三角不等式可求出函数()y f x =的最大值为1，可得出1a b c ++=，然后将代数式a b c ++与111a b c++相乘，利用柯西不等式可证明出1119a b c++≥；（2）利用柯西不等式得()()2111a b c ++++≥，化简后可证明出≤【详解】（1）由绝对值三角不等式得()()32311m x x =+-+=，1a b c ∴++=， 由柯西不等式得()21111119a b ca b c a b c ⎛⎫++=++++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b c ===时，等号成立，因此，1119a b c++≥；（2）由柯西不等式得()()2111a b c ++++≥，即23≤，13a b c ===时，等号成立.≤. 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，同时也考查了利用绝对值三角不等式求绝对值函数的最值，在利用柯西不等式证明不等式时，需要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.。
高三数学中学生标准学术能力诊断性测试(1月)试题理
高三数学中学生标准学术能力诊断性测试（1月）试题理 本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝A.ΦB.{0，1}C.{0，1，2}D.{－2，0，1，2} 2.若(2＋i)z ＝5，则z 的虚部为A.－1B.1C.－iD.i3.已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的两条渐近线互相垂直，则b ＝ A.1 B.2 C.3 D.24.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.3πB.2π C.π D.2π 5.函数f(x)＝(x 2－2x)e x 的图象可能是6.已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是 A.3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B.4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7.已知a ，b 为实数，则0<b<a<1是log a b>log b a 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示。
则A.,E E D D ξηξη<<B.,E E D D ξηξη<>C.,E E D D ξηξη<=D.,E E D D ξηξη==9.在△ABC 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则AB BC =A.1B.22C.3D.6 10.在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝4，E 是边BC 上的点，EC ＝1，EF//CD ，将平面EFDC 绕EF 旋转90°后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是A.圆B.双曲线C.椭圆D.抛物线11.已知函数f(x)＝(lnx －1)(x －2)i－m(i ＝1，2)，e 是自然对数的底数，存在m ∈RA.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有3个B.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有4个C.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有3个D.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有4个12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n (2S n －a n )＝1，则下列结论中①数列{S n 2}是等差数列； ②2n a n <； ③a n a n ＋1<1 A.仅有①②正确 B.仅有①③正确 C.仅有②③正确 D.①②③均正确二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理科数学(一卷)试题
中学生标准学术能力诊断性测试2021年1月测试理科数学试卷（一卷）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,x B y y x ==∈N ，则 R A B ⋂中元素个数为（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 4B 根据集合的定义求得B ，再由集合运算法则计算．由已知{1,2,4,8,}B =，{3,5}R A B =，有2个元素．故选：B ．2. 已知双曲线22115x y m m -=--，则下列说法正确的是（ ）．A. 焦点为(0,B. 焦点为()2,0±C. 焦距是4D. 焦距是2C 根据方程22115x y m m -=--表示双曲线，得到()()150m m -->，再由1540m m -+-=-<确定焦点位置即可. 因为方程22115x y m m -=--表示双曲线， 所以()()150m m -->，又1540m m -+-=-<，所以10,50m m -<-<，所以2154c m m =-+-=，即2c =，所以焦点为()0,2±，焦距是4，故选：C3. 已知复数z 满足i 2i i z a -=+（i 是虚数单位），a ∈R ，且z =则实数a 的值为（ ）． A. 3-B. 1C. 1-或1D. 3-或1D由复数综合运算求得z ，再由模求得参数a ．由题意2(2)22(1)z i a i i ai i i a i =++=++=-++，所以24(1)22z a =++=，解得1a =或3-．故选：D ．4. 已知2=a ，1=b ，向量a 与b 的夹角为120°，若ka b +与2a b -垂直，则k 的值为（ ）．A. 1-B. 1C. 12-D. 12 D由ka b +与2a b -的数量积为0可求得k ．因为ka b +与2a b -，所以()ka b +⋅(2)a b -=2222(12)22(12)21cos12021ka k a b b k k +-⋅-=⨯+-⨯⨯⨯︒-⨯0=， 解得：12k =．故选：D ． 5. 若[],0,1a b ∈，则“21a b +≤”是“54a b +≤”的（ ）． A . 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 A21a b +≤，则21a b ≤-，代入+a b 即可证明成立；反之举例1a =，14b =可 证明不成立，从而推出结果.解：21a b +≤，则221551244a b b b b ⎛⎫+≤-+=--+≤ ⎪⎝⎭成立； 若1a =，14b =，则54a b +≤，但21a b +>不满足21a b +≤； 所以[],0,1a b ∈，则“21a b +≤”是“54a b +≤”充分不必要条件.故选：A. 6. 已知函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，则其图象为（ ） A. B. C. D. A分析函数()f x 的定义域、奇偶性以及该函数在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.函数()31sin f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的定义域为{}0x x ≠，排除D 选项； ()()()()()()333111sin sin sin f x x x x x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⋅-=-+⋅-=-⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦， 所以，函数()f x 为偶函数，排除B 选项；当01x <<时，433110x x x x--=<，sin 0x >，此时()0f x <，排除C 选项.故选：A. 思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 已知函数()33f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()()0f x t t f x t ≥+≠+恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）．A. [)4,+∞B. (]0,4C. (],4-∞-D. [)4,0-A根据函数的解析式，把不等式的恒成立化简为2233330x t xt t t ++-≥恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.由函数()33f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()()0f x t t f x t ≥+≠+恒成立， 即33()3()3x t x t x x t +-+≥-+，即3223333333x x t xt t x t x x t +++--≥-+，所以2233330x t xt t t ++-≥恒成立，则满足()()22342034343480t t t t t t t >⎧⎪⎨∆=-⋅⋅-=-+≤⎪⎩，解得4t ≥，所以实数t 的取值范围是[)4,+∞.故选：A.8. 二项式()()25121x x +-的展开式中含4x 项的系数为（ ）．A. 280B. 200C. 120D. 40D把()21x +，()521x -按照二项式定理展开，从而得出展开式中含4x 项的系数. ()()()251423552532545551232(2)(2)(211)22x x x C x C C C x C x x x x +⎡⎤++-+⋅⋅-=--⋅+⎣⋅⎦故展开式中含4x 项的系数为142332555222240C C C -+⋅⋅=⋅-故选：D关键点睛：解决本题的关键在于把()()251,21x x +-按照二项式定理展开，从而得出含4x 项的系数.9. 已知ππ22βα-<-<，sin 2cos 1βα-=，2sin cos αβ+=πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．C. ±D. B根据sin 2cos 1βα-=，2sin cos αβ+=，两式平方相加得到()54sin 3αβ+-=，根据ππ22βα-<-<，得到6παβ=-代入2sin cos αβ+=.因为sin 2cos 1βα-=，2sin cos αβ+=，所以两式平方相加得()54sin 3αβ+-=，即()1sin 2αβ-=-， 又因为ππ22βα-<-<， 所以6παβ-=-，即6πβα=+，6παβ=-，将6παβ=-代入2sin cos αβ+=得2sin cos 6πββ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭sin 3β=，所以πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选：B 10. 已知正六棱锥V ABCDEF -，P 是侧棱VC 上一点（不含端点），记直线PB 与直线DE 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P CD F --的平面角为γ，则（ ）A. βγ<，αγ<B. βα<，βγ<C. βα<，γα<D. αβ<，γβ<B通过明确异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.解：如图，设点V 在底面上的射影为O 点，连接OC ，PB ,作PG VO //，则PG ⊥平面ABC ，所以PB 与平面ABC 所成的角为PBG ∠，即PBG β=∠，根据线面角最小定理知βα<，作GM CD ⊥，则二面角P CD F --的平面角为PMG ∠，即PMG γ=∠，根据tan tan PG PG GM GBγβ=>=，所以γβ>.故选B. 本题考查立体几何中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算，考查空间想象能力，数形结合思想，分析问题能力，属于难题.11. 函数())sin π01f x x x ≤≤，()()g x x f x =⋅，直线()01x m m =<<先后与()f x ，()g x ，x 轴交于A ，B ，C ，直线1x m =-先后与()f x ，()g x ，x 轴交于1A ，1B ，1C ，则（ ）．A. 11AB A B =B. 112AB A B =C. 11AB B C =D. 112AB B C =C 由题意求出111,,,,,A B C A B C 的坐标，再求出1111,,A B B B C A ，即可得出正确答案.由题意可得(((),,,,0A m B m C m ，((()1111,1,,1,0A m B m C m ---11AB m B A m ∴=-=-11B C m m AB =-=-=故选：C关键点睛：解决本题的关键在于先求出坐标，再由距离公式结合诱导公式得出11B C AB =. 12. 已知直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点A ，1AB BC ==，P 为单位圆上除A 外的任意一点，l 为过点P 的单位圆O 的切线，则（ ）．A. 有且仅有一点P 使二面角B l C --取得最小值B. 有且仅有两点P 使二面角B l C --取得最小值C. 有且仅有一点P 使二面角B l C --取得最大值D. 有且仅有两点P 使二面角B l C --取得最大值D作出二面角B l C --的平面角，设A 直线l 距离为d ，求出二面角平面角的正切值，根据基本不等式得最大值，再同上函数的性质确定最小值的有无．解：如图，过A 作AD l ⊥于D ，因为BC 垂直于圆O 所在平面，l 是平面内的直线，因此BC l ⊥，而AD BC A =，,AD BC ⊂平面ACD ，所以l ⊥平面ACD ，又因为,CD BD ⊂平面ACD ，所以,l CD l BD ⊥⊥，所以BDC ∠是二面角B l C --的平面角， 又BC 垂直于圆O 所在平面，AD 是此平面内的直线，所以BC AD ⊥，设AD d =，则1tan BDA d ∠=，2tan ADC d ∠=， 所以221tan tan 1tan tan()221tan tan 1CDA BDA d d CDB CDA BDA CDA BDA d d d-∠-∠∠=∠-∠====+∠⋅∠++， 当A 与P 不使命，所以0d ≠，即0d >，则1tan 22CDB d d ∠=≤=+，当且仅当2d d=，即d = 由对勾函数性质知2y d d=+在上是减函数，0d →时，2y d d=+→+∞，所以tan CDB ∠在2d =时取得最大值，即CDB ∠取得最大值，而tan CDB ∠无最小值，即CDB ∠无最小值，由对称性在平面O 的另一侧也有一个点P ，使得CDB ∠取得最大值． 因此这样的点有两个，故选：D ．关键点点睛：本题考查求二面角的最值，解题关键是作出二面角的平面角，在直角三角形中利用正切函数求得角的正切值，从而用基本不等式求最值．二、填空题：13. 若函数()log ,2log 4,02a a x x f x x x ≥⎧=⎨--<<⎩存在最大，则实数a 的取值范围是______． 20,2⎛ ⎝⎦由对数函数的性质得出01a <<，再讨论2x ≥，02x <<得出log 2log 24a a ≥--，从而得出实数a 的取值范围.当1a >时，函数()log a f x x =在[)2,+∞上单调递增，无最值，不满足题意，故01a << 当2x ≥时，函数()log a f x x =在[)2,+∞上单调递减，()(2)log 2a f x f =当02x <<时，()log 4a f x x =--在()0,2上单调递增，()(2)log 24a f x f <=--，此时无最大值则log 2log 24a a ≥--，即2log 22log a a a -≥-=，即2122,02a a ≥<≤ 故实数a 的取值范围是20,2⎛⎝⎦故答案为：20,2⎛ ⎝⎦关键点睛：解决本题的关键在于利用对数函数的单调性分别得出2x ≥，02x <<时，()f x 的范围，进而由log 2log 24a a ≥--得出实数a 的取值范围.14. 现将大小和形状相同的4个黑色球和4个红色球排成一排，从左边第一个球开始数，不管数几个球，黑球数不少于红球数的排法有______种．14根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的排法种数，即可得出结果．根据题意，将8个球的位置从左至右依次记为1、2、3、4、5、6、7、8号位置.当前4个位置均排黑球时，后面4个位置也均为红球，共1种排法；当前4个位置有3个黑球时，则必有1个红球，红球所在位置可以是2、3、4号位置，有3种不同排法，后面4个位置有1个黑球，3红球，其中黑球可以在5、6、7号位置，有3种不同排法，故共有339⨯=种不同排法；当前4个位置有2个黑球时，则必有2个红球，此时黑球位置可以是1、2位置，也可以说是1、3号位置，有2种不同排法，后面4个位置也有2个黑球，2红球，也有2种不同排法，故共有224⨯=种不同排法.综上，共有19414++=种不同排法.故答案为：14本题主要考查排列组合，意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理．本题解题的关键在于分前4个位置均排黑球，后面4个位置也均为红球时；当前4个位置有3个黑球，1个红球，后面4个位置有1个黑球，3红球时；当前4个位置有2个黑球时，2个红球，后面4个位置有2个黑球，2红球三种情况讨论求解.15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．()3π86+ 依题意画出直观图，再根据圆锥及棱锥的体积公式计算可得；解：由三视图得到如下直观图：该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，且圆锥的半径1r =，高3h =四棱锥的底面是边长为2的正方形，故该组合体的体积)2211131323π8233V π=⨯⨯⨯=+ )3π8+ 16. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),P a b 为椭圆外一点，斜率为12-的直线与椭圆交于A ，B 两点，过点P 作直线PA ，PB 分别交椭圆于C ，D 两点．当直线CD 的斜率为12-时，此椭圆的离心率为______．32由题意，不妨设直线AB 过原点O ，则 //CD AB ，设CD 及中点的坐M 标，再利用点差法求出OM 和CD 斜率的关系，然后根据O ，M ，P 三点共线，求出a ，b 的关系即可.如图所示：设直线AB 过原点O ，由题意得 //CD AB ，设()()1122,,,C x y D x y ，CD 的中点为()00,M x y ，则012012y y y x x x +=+， 因为C ，D 在椭圆上， 所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2201212221212012x y y x x b b x x a y y a y -+=-⋅=-⋅=--+， 所以20202OM y b k x a==， 因为O ，M ，P 三点共线， 所以OM OP b k k a==， 即222b b a a=，解得12b a =， 所以231c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 3方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17. 已知函数()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=+>，周期是π2． （1）求()f x 的解析式，以及π7π,1224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x 的值域；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π3个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若()1g x m -<成立的充分条件是5π012x ≤≤，求实数m 的取值范围．（1）()π1sin 462f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，32⎤⎥⎣⎦；（2）3,22⎛⎫⎪⎝⎭． （1）利用三角恒等变换减函数转化为()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据周期是π2．求得其解析式，然后利用正弦函数的性质求解；（2）利用图象变换得到()5πsin 226g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据()1g x m -<成立的充分条件是5π012x ≤≤，转化当5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()11g x m g x -<<+恒成立，由()()max min 11g x m g x -<<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦求解.（1）()2cos cos f x x x x ωωω=+，()12cos 212x x ωω=++， π1sin 262x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由2ππ22T ω==，解得2ω=， 所以函数()π1sin 462f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为π7π,1224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π4663x -≤+≤，π13sin 4622x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 在π7π,1224x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的值域是32⎤⎥⎣⎦． （2）由题意得()5πsin 226g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()1g x m -<成立的充分条件是5π012x ≤≤， 所以当5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()11g x m g x -<<+恒成立，所以只需()()max min 11g x m g x -<<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，转化为求()g x 的最大值与最小值，当5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π5π5π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以()()max 150222g x g ==+=，()min π1213g x g ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭， 从而()max 312g x -=⎡⎤⎣⎦，()min 12g x +=⎡⎤⎣⎦，即322m <<． 所以m 的取值范围是3,22⎛⎫⎪⎝⎭．方法点睛：双变量存在与恒成立问题：若1122,x D x D ∀∈∀∈， ()()12f x g x >成立，则 ()()min max f x g x >； 若1122,x D x D ∃∈∃∈， ()()12f x g x >成立，则 ()()max min f x g x >； 若1122,x D x D ∃∈∀∈， ()()12f x g x >成立，则 ()()max max f x g x >； 若1122,x D x D ∀∈∃∈， ()()12f x g x >成立，则 ()()mi min ax f x g x >；若1122,x D x D ∀∈∃∈， ()()12f x g x =成立，则 ()f x 的值域是()g x 的子集；18. 如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方形，平面ADE ⊥平面CDEF ，//EF CD ，2AB =，2ED =，1EF =，90EDA ∠≠︒．（1）证明：平面ADE ⊥平面ABCD ； （2）若CF 与平面ABCD 15，求这个多面体的体积V ． （1）证明见解析；（253． （1）过点A 在平面ADE 内做DE 的垂线，垂足为P ，结合面面垂直的性质可证AP CD ⊥，又知四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，即证CD ⊥平面ADE ，面面垂直的判定定理可证明平面ADE ⊥平面ABCD ．（2）在平面ADE 内，过点E 作AD 的垂线，垂足为M ，过F 作//FH EM ，交平面ABCD 于H ，连接CH ，可证明FH ⊥平面ABCD ，又CF 与平面ABCD 15，可求出3EM FH ==，将所求多面体分为四棱锥F ABCD -以及三棱锥F ADE -，代入数值计算即可求出多面体的体积.解：（1）证明：过点A 在平面ADE 内做DE 的垂线，垂足为P ． 因为平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE 平面CDEF DE =， 所以AP ⊥平面CDEF ，所以AP CD ⊥． 又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．∵90EDA ∠≠︒，又AP AD A ⋂=，从而CD ⊥平面ADE ， 而CD ⊂平面ABCD ，所以平面ADE ⊥平面ABCD ． （2）在平面ADE 内，过点E 作AD 的垂线，垂足为M ，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =， 所以EM ⊥平面ABCD ，过F 作//FH EM ，交平面ABCD 于H ，连接CH ， ∴FH ⊥平面ABCD ，∴CH 是FC 在平面ABCD 内的射影． ∴FCH∠CF 与平面ABCD 所成角；∵CD ⊥平面ADE ，ED ⊂平面ADE ， ∴CD ED ⊥，即90EDC ∠=︒．由2CD AB ==，2ED =，1EF =，得5CF =． ∵CF 与平面ABCD 15， 所以15535FH == 因为//EF CD ，EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，所以3EM FH ==，又2ED =，所以60EDA ∠=︒，从而ADE 是正三角形，可得1322322ADE S =⨯⨯⨯=△因为CD ⊥平面ADE ，//EF CD ，所以EF ⊥平面ADE ，所以这个多面体的体积1153433133F ABCD F ADE V V V --=+=⨯=四棱锥三棱锥．思路点睛：不规则几何体的体积经常拆分成规则的三棱锥、四棱锥或其他比较规则的几何体,求体积之和或差.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，满足1n n S a =-，设()12n n n b S a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ． （1）求n T ；（2）设n n n c S T =+，数列{}n c 的前n 项和为n R ，求证：12222121111n nT T T R R R ++++++<． （1）1212nn -+；（2）证明见解析． （1）根据n n S a ，的递推关系，先求出{}n a 的通项公式，由1n n S a =-，可得1n n S a +=，可求和得出答案.(2)由条件可得得2n c n =，求出n R ，从而得到()()()222222212121112111n n n n T n R n n n n n n +++=<=-+++，从而可证明结论.解：（1）111S a =-得112a =， ()()111111n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-， 所以112n n a a +=，可得{}n a 为等比数列， 所以1111222n n n a -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭． 由1n n S a =-，可得1n n S a +=()12122312n n n n T b b b S a S a S a +=+++=++++++()112211222n n n n T S a S a S a a a +=++++++-+1112222122n n n a n +=-⨯+=-+．（2）因为1n n n n n c S T a T =+=-+， 由（1）代入可得11121222n n n c n n =-+-+=，则()()2212n n n R n n +⨯==+，()()()()()222222222221211211121111n n n n n n T n R n n n n n n n n ++-++=<==-++++，则()()12222222222121111111111122311n n T T T R R R n n n ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫+++<-+-++-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⎢⎥⎣⎦所以()122222121111111n n T T T R R R n ++++++<-<+． 本题考查：求数列的通项公式和前n 项和以及利用放缩法结合裂项相消法求和证明数列不等式，解答本题的关键是由条件得出()()()222222212121112111n n n n T n R n n n n n n +++=<=-+++，属于中档题. 20. 已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，弦AB 经过点2F ，若222AF F B =，13tan 4AF B ∠=，且12F F B △的面积为2． （1）求椭圆的方程；（2）若直线()()112y k x k =-≤≤，与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与y 轴交于点Q ，求MN PQ的取值范围．（1）22194x y +=；（2）⎣⎦． （1）设()22220AF F B k k ==>，得到122AF a k =-，12F B a k =-，在1AF B △中，利用余弦定理可得3a k =，进而得到1290F AF ∠=︒，然后在12Rt AF F 中，利用勾股定理得到c =．然后由12F F B △的面积为2求解；（2）联立()221194y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，结合韦达定理写出线段MN 的垂直平分线方程，令0x =，得到与y 轴的交点，然后利用距离公式和弦长公式建立MN PQ模型求解.（1）设()22220AF F B k k ==>， 则122AF a k =-，12F B a k =-，在1AF B △中，由余弦定理得()()()()()2224322222225k a k a k a k a k =-+----⋅，整理得222390a ak k --=，解得3a k =(负值舍)， 所以14AF k =，15F B k =，3AB k =， 所以1290F AF ∠=︒，在12Rt AF F 中，2221212AF AF F F +=， 即()()()222422k k c +=，解得c =． 又因为1212222AF F BF F S AF S F B==△△，故12122AF F BF F S S =△△，122121142422AF F S AF AF k k k =⋅=⋅⋅=△，故244k =， 即1k =，c =3a =，2b =，所以椭圆C 的方程是22194x y +=． （2）由()221194y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22249189360k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则有21221849k x x k+=+，212293649k x x k -=+，()121228249k y y k x x k -+=+-=+， 所以线段MN 的中点坐标为22294,4949k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 则线段MN 的垂直平分线方程为2224194949k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭， 令0x =，则2549ky k =+，于是线段MN 的垂直平分线与y 轴的交点250,49k Q k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又点()0,P k -，所以()2229154949k k k PQ k k k +=+=++．又12MN x x =-=，于是MN PQ====因为[]1,2k ∈，所以221193,1202k k ⎡⎤+∈⎢⎥+⎣⎦，所以MNPQ的取值范围为53⎡⎢⎣⎦．方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ==(k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．21. 设a 为正实数，函数()ax f x ae =存在零点()1212,x x x x <，且存在极值点与0x ． （1）当1a =时，求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程； （2）求a 的取值范围，并证明：10233x x +>．（1）1122y e x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）0a <<，证明见解析． （1）求导()2axf x a e '=-，再求得()1f '，()1f ，写出切线方程；（2）由()f x'=，记()21ax g x a =-，根据axe eax ≥，得到()32321g x ea x ≥-，由0g ⎛⎫>，()010g =-<，得到()g x 存在唯一正根t ，根据()g x 与()f x '同号，得到()f x 定有极小值点0x t =，由()00g x =，得到0axae =，再根据()axf x ae =存在零点()1212,x x x x <求解；由1ax ae=，02ax a e =，将两式相除得到()102a x x e -=1x e x ≥+，转化为()10x x -<.（1）()2axf x a e '=-，则()211122af a e e '=-=-， 当1x =时，()111af ae e =-=-，所以切点坐标为()1,1e -，则切线方程为()1112y e x e ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即1122y e x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （2）∵()2axf x a e '==()21axg x a =-， ∵0a >，∴()g x 在()0,∞+单调递增，记()x p x e ex =-，()01xp x e e x '=-=⇒=， 当1x >时，()0p x '>，()p x 单调递增； 当01x ≤<时，()0p x '<，()p x 单调递减，∴()()110p x p e e ≥=-=，有x e ex ≥，故有ax e eax ≥．∴())3232121g x aeax ea x ≥-=-，可得0g ⎛⎫>，又∵()010g =-<，∴()g x 存在唯一正根t ，使得()0g t =，且在()0,t 上()0g x <，在(),t +∞上()0g x >， 在()0,x t ∈时，()0f x '<，在(),x t ∈+∞时，()0f x '>， 且()0f t '=，即()f x '存在唯一正根t ， 故()f x 定有极小值点0x t =，由()00g x =，可知()00210ax g x a=-=，∴0ax ae =，又∵()axf x ae =存在零点()1212,x x x x <，∴()000ax f x ae ===<，即012ax >，∴31022220111ax a e a e =->-=，可得0a <<，由题可得1ax ae =02ax a e =，将两式相除可得()102a x x e -= 记()1x r x e x =--，令()101xr x e x '=-=⇒=，当0x >时，()0r x '>，()r x 单调递增； 当0x <时，()0r x '<，()r x 单调递减，则()()00010r x r e ≥=--=，即1x e x ≥+，∴()()()10101021a x x ea x x a a x x -=≥+->+-，∵0a >()10x x -<， ∵27216e >>，∴273282e >⇒>，()()101032x x x x +-<-<∵0122x x +，∴()01013222x x x x +-<+， 即有10233x x +>．方法点睛：用导数研究函数零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． （二）选考题：[选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），曲线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 作任意一条直线与圆22:1O x y +=交于P ，Q 两点．（1）写出1C 的普通方程；（2）问PA QB PB QA+是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． （1）(()2212x y -+-=；（2）是，定值为2． （1）根据参数方程1x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，消去参数θ 得到普通方程； （2）由（1）中1C 的普通方程，令0y =，得到A ，B 的坐标，再根据P ，Q 两点在圆22:1O x y +=上，设()cos ,sin P αα，()cos ,sin Q ββ，分别用两点间的距离求得,,,PA PB QA QB 求解即可.（1）由参数方程1x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，得cos 1sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以1C的普通方程为(()2212x y +-=． （2）(()2212x y -+-=， 令0y =，可得)1,0A，)1,0B ， 因为P ，Q 两点在圆22:1O x y +=上，所以设()cos ,sin P αα，()cos ,sin Q ββ， 则PA ==，=同理可得，PB =所以1PAPB ==，同理可得，1QB QB ==，所以PA QB PB QA+= 关键点点睛：本题第二问的关键是由P ，Q 两点在圆22:1O x y +=上，设()cos ,sin P αα，()cos ,sin Q ββ，简化运算而得解.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()124f x x x =++-．（1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）已知实数a ，b ，c 满足0a >，0b >，0c >，22249323a b c b c a++=，求证：对任意x ∈R ，不等式()23f x a b c ≥++恒成立．（1）(]7,1,3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析． （1）化简函数()f x 为分段函数，结合分段条件，分类讨论，即可求解；（2）由22249323a b c b c a++=，根据柯西不等式，得到()()232323a b c a b c ++≥++，结合函数()f x 的最小值，即可求解.（1）由题意，函数()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩，当1x ≤-时，334x -+≥，可得13x ≤-，∴1x ≤-，当12x -<<时，54x -+≥，可得1x ≤，∴11x -<≤，当2x ≥时，334x -≥，可得73x ≥，∴73x ≥， 综上所述，不等式()4f x ≥的解集为(]7,1,3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭．（2）因为22249323a b c b c a++=， 由柯西不等式，得：()222222323a b c ⎡⎤⎡⎤++=++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ()223a b c ≥++因为0a >，0b >，0c >，所以233a b c ++≤， 而()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩，可得最小值为3，当且仅当2x =时取到，综上可知，对任意x ∈R 有不等式()23f x a b c ≥++恒成立．求解含绝对值不等式的基本解法：1、运用零点分区间讨论法，结合分类讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的不等式，结合不等式的解法进行求解；2、利用绝对值的几何意义求解，结合绝对值的在数轴上的几何意义进行求解，体现数形结合法的应用；3、将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
高三中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 1 月测试题及答案解析
中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 1 月测试
文科数学试卷（一卷）
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．已知集合U = N, A = x x = 2n,n N,B = x 1 x 6,n N ，则 ( A) B = U
在直角梯形 ABCD 中，AC = 2，AB = 2AP，AP ⊥?PC ， 所以 PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点，所以 PO ⊥ AC ． BE AC = O, BE 面ABCD ，所以 PO ⊥ 平面 ABCD …………………………6 分
（2）法一：以 O 为原点，分别以 OB，OC，OP 为 x 轴， y 轴，z 轴的建立直角坐标系． 不妨设 BO =1
6．点 P, Q 在圆 x2 + y2 + kx − 4y + 3 = 0 上 ( k R) ，且点 P, Q 关于直线 2x + y = 0 对称，则该圆
的半径为
A． 3
B． 2
C．1
D． 2 2
7．已知函数 f ( x) = x3 − x 和点 P (1，−1) ，则过点 P 与该函数图像相切的直线条数为
文科数学（一卷）答案
2020届北京是中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试(1月)数学(理)试题(解析版)
北京是中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试（1月）数学试题一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{2,0,1,2}-【答案】B【解析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I 。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2．若()25i z +=，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1C ．i -D ．i【答案】A【解析】利用复数除法运算化简z ，则虚部可求 【详解】()()()5252222i z i i i i -===-++-，故虚部为－1 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题3．已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的两条渐近线互相垂直，则e =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】根据题意，利用双曲线的两条渐近线垂直推出-1b b a a=-g ，可得a b =，再通过离心率的计算公式即可得出。
【详解】由题意得，-1b b a a =-g ，可得a b =，则2222222,2c a b e e a a+====。
【点睛】本题主要考查双曲线的性质中离心率的求解。
4．由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π3B ．π2C ．πD ．2π【答案】C【解析】根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。
【详解】由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2， 则21122V ππ=⋅⨯=， 故答案选C 。
【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。
5．函数()()22xf x x x e =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】求导，求出函数()y f x =的单调性，利用单调性来辨别函数()y f x =的图象，以及函数值符号来辨别函数()y f x =的图象． 【详解】()()22x f x x x e =-Q ，()()()()222222x x x f x x e x x e x e '∴=-+-=-.解不等式()0f x '<，即220x -<，得22x -<<；解不等式()0f x '>，即220x ->，得x <x >所以，函数()y f x =的单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(．令()0f x >，即220x x ->，得0x <或2x >； 令()0f x <，即220x x -<，得02x <<.所以，符合条件的函数()y f x =为B 选项中的图象，故选B. 【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号．在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题．6．已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎛-∞ ⎝⎭B ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．⎫∞⎪⎪⎝⎭D ．4,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】将不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可 【详解】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则2a >=x =所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A 【点睛】本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法7．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可 【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b ab a a b>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件 【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论8．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C【解析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得：E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116 ， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=．E η111131236236=⨯+⨯+⨯=，D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．9．在ABC △中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则AB BC=u u u vu u u v （ ） A ．1 BC．2D【答案】C【解析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果。
2020届高三数学上学期第一次诊断性考试试题文(含解析)
高三数学上学期第一次诊断性考试试题 文（含解析）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。
特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ） A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。
||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ）A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(=【答案】D【解析】B.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。