集合与函数的概念单元测试卷含详细答案

高一第一次月考复习卷

姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}

|A x y ==， {}| B x x a =≥，若A B A ?=，则实数a 的取值范围是( )

A ． (],3-∞-

B ． (),3-∞-

C ． (],0-∞

D ． [

)3,+∞ 2．函数

的定义域是 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 3．函数 的值域是( )

A ． [0，＋∞)

B ． (－∞，0]

C ．

D ． [1，＋∞)

4．已知偶函数 在 单调递增，若 ,则满足 的 的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． -

5．定义运算

，则函数 的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．函数 的值域为

A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b=( )

A ． -3

B ． 1

C ． -1

D ． 3

8．若()f x 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ? 12,x x ∈[0，＋∞)且（12x x ≠）

A ． ()()()312f f f <<-

B ． ()()()321f f f <-<

C ． ()()()213f f f -<<

D ． ()()()123f f f <-<

9．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时， ()372x

f x x b =-+（b 为常数），则

f(-2)=（ ）

A ． 6

B ． -6

C ． 4

D ． -4

10．设奇函数 在 上为减函数，且 ，则不等式

的解集为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

11．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为( ) A ．

B ．

C ．

D ．

12．已知函数()f x =()35,1

{

2,1a x x a

x x

-+≤>是(),∞∞-+上的减涵数,那么a 的取值范围

是 A ． (0,3) B ． (]0,3 C ． (0,2) D ． (]

0,2 二、填空题

13．已知函数f (x+3)的定义域为[-2,4),则函数f (2x-3)的定义域为_____. 14．若函数

在区间(-2,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是_____.

15．已知函数y=f (x )+x 3为偶函数,且f (10)=10,若函数g (x )=f (x )+6,则g (-10)=_____. 16．函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如， ， ，已知定义在 上的函数 ，若 ，则 中所有元素的和为__________. 三、解答题

17．已知集合 ， ， . （1）求 ；

（2）若 ，求实数 的取值范围.

18．设函数为定义在上的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义法证明在上的单调性.

19．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.

(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;

(2)若函数f(x)为R上的单调减函数,

①求a的取值范围;②若对任意实数m, f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.

20．已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设，

(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式;

(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;

21．已知f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x>0时,有f(x)>1.

(1)求f(0);

(2)求证:f(x)在R上为增函数;

(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)<3对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.

22．已知二次函数的图象过点，对任意满足，且最小值是. （1）求的解析式；

（2）设函数，其中，求在区间上的最小值；（3）若在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，试确定实数的取值范围.

参考答案

1．A

【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ?=，则A B ?，又[

),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A. 2．C

【解析】分析：根据定义域求法即可. 详解：由题可得：

且 ，故选C. 点睛：考查函数的定义域，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】

根据 即可解出 的范围，从而得出 的范围，即 的值域 【详解】

，即

，且

又因为函数 在定义域内单调递增

则 的值域为

，

故选 【点睛】

本题主要考查了函数的值域，运用函数的单调性来求解较为简单。 4．B

【解析】分析：由题意结合函数的性质脱去 符号，求解绝对值不等式即可求得最终结果． 详解：由题偶函数 在 单调递增，若 ,则 ，即 解得 或 . 故选B.

点睛：本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能

力，属于中档题．

5．B

【解析】

.

作出函数图象：

故选B.

6．D

【解析】

【分析】

先设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），将原根式函数的值域问题转化为二次函数的值域问题解决即可．

【详解】

设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），

则原函数可化为y=．

又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，

∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，

∴y=的值域为[0，2]．

故选：D．

【点睛】

本小题主要考查函数的值域、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、转化能力．属于基础题．

7．A

【解析】由题意得，A={x|1

故A∩B={x|1

即不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1

∴1，2是方程的两根，

∴ 。 ∴a+b= 3．选A ． 8．B 【解析】

)()1212[0 x x x x ?∈+∞≠，，，有

()()2121

0f x f x x x -<-

∴当0x ≥时函数()f x 为减函数

()f x 是定义在()-∞+∞，上的偶函数 ()()()321f f f ∴<<

即()()()321f f f <-< 故选B 9．A

【解析】∴f(x)为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时， ()372x

f x x b =-+，

∵()0120f b =+=， ∴12

b =-

． ∴()371x

f x x =--，

∴()()()

2

2237216f f -=-=--?-=．选A ．

10．C

【解析】分析：根据题意和奇函数的性质互斥满足条件的函数图象，利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集. 详解：由题意画出符合条件的函数图象：如图所示， 因为函数 是奇函数，所以

转化为

，即 ，

结合图象可得：

当 时， ，则 ；当 时， ，则 ， 所以不等式

的解集为 ，故选C.

点睛：本题主要考查了函数的的基本性质的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性和函数的图象，以及不等式的求解等知识点，其中合理利用函数的图象求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. 11．C

【解析】当 时符合题意；当 时，要使函数 的定义域为 ，则 且 ，可得 . 综上，实数 的取值范围为 ，选C 12．D

【解析】∵()f x 为R 上的减函数 ∴1x ≤时， ()f x 递减，即()301a -<

1x >时， ()f x 递减，即()02a >

()()231531

a

a -?+≥

联立()()()1,2,3计算得出:02a <≤ 故选D

点睛：解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值. 13．[2,5). 【解析】 【分析】

由 可得 ，再由 可得 ，进而可得函数f (2x-3)的定义域为 ．

【详解】

∵函数f(x+3)的定义域为[-2,4)，

∴，

∴．

令，

解得．

∴函数f(2x-3)的定义域为．

【点睛】

解答本题时注意：

（1）函数的定义域是指函数中自变量的取值范围．

（2）求复合函数的定义域时常用到以下结论：

①若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域．

14．.

【解析】

试题分析：在上单调递减，则，即．考点：函数的单调性．

15．2016.

【解析】

【分析】

设，根据为偶函数可得，然后再结合题意可得

的值．

【详解】

设，

则有，

∴．

∴．

【点睛】

本题考查函数奇偶性的应用和整体思想的运用，解答时要注意合理进行变换和代换，运用已知条件达到逐步解题的目的．

16．4

【解析】

很明显函数均为单调不减函数，据此可得：单调不减，

且：，且，

函数无法使得函数值为2，否则或，这是不可能的，

则集合，综上可得：中所有元素的和为4.

点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

17．(1) (2)

【解析】

试题分析：（1）利用数轴求两个集合的交集；（2）根据子集关系，布列不等关系，解不等式组即可.

试题解析：

（1）

（2）因为，，

所以当时，有，解得，

所以实数的取值范围是.

点睛：解决集合问题应注意的问题

①认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

②注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

③防范空集．在解决有关，等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑是否成立，以防漏解．

18．(1)；(2)在上是减函数，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由奇函数，即可得的值；

（2）由减加减问减函数可判断函数为减函数，再利用定义证单调性即可.

试题解析：

（1）是奇函数，，

，，.

经检验为所求.

（2）的单调减区间为与，没有单调增区间，

当时，设，

则

，

，

在上是减函数.

点睛：本题主要考查函数的单调性定义和证明方法，属于基础题；

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论，关键是第三步变形，一定要化为几个因式乘积的形式.

19．(1) .

(2)①a≤0.②t>.

【解析】

本试题主要是考查了抽象函数的解析式的求解和单调性的证明以及解不等式。

（1）因为当时，，又因为为奇函数，所以

，进而得到解析式。

（2）根据函数单调性，对于参数a分为正负来讨论得到取值范围。

（3）因为，∴

所以是奇函数，∴，而又因为为上的单调递减函数，所以恒成立，分离参数的思想得到范围。

（1）当时，，又因为为奇函数，

所以

所以…………………………6分

（2）①当时，对称轴，所以在上单调递减，

由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，

又在上，在上，

所以当a0时，为R上的单调递减函数

当a>0时，在上递增，在上递减，不合题意

所以函数为单调函数时，a的范围为a…………………………………………. 分

②因为，∴

所以是奇函数，∴………………………… 分

又因为为上的单调递减函数，所以恒成立，………………… 4分

所以恒成立，所以………………………… 6分20．(1).(2).【解析】

【分析】

（1）由可得；然后再根据f(x)≥0恒成立并结合判别式可得a=1，进而可得函数的解析式．（2）由题意可得，根据函数有单调性可得对称轴与所给区间的关系，从而可得k的取值范围．（3）结合题意可得函数为奇函数且在R 上为增函数，再根据条件mn<0,m+n>0可得F(m)+F(n)>0．

【详解】

(1)∵，

∴b=a+1.

∵f(x)≥0对任意实数x恒成立，

∴，

解得a=1．

∴f(x)=x2+2x+1.

故．

(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，

∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1．

由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得或，

解得k≤-2或k≥6．

故k的取值范围为．

21．(1)1.(2)见解析.(3) .

【解析】

【分析】

（1）利用赋值法，令，可得．（2）根据函数单调性的定义并结合所给的函数的性质可证明结论成立．（3）根据题意可将不等式化为

，再由函数f(x)在R上为增函数可得

x2-(a+1)x+3>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立，然后根据二次函数在所给区间上的最值的求法求出函数的最小值后可得所求．

【详解】

(1)解令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,

∴f(0)=1.

(2)证明：设x1,x2∈R,且x1

则．

∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1,

∴，

∴f(x2)>f(x1)．

故f(x)在R上为增函数．

(3)解∵，

即，

∴，

∵f(1)=2,

∴.

又f(x)在R上为增函数,

∴．

∴对任意的x∈[1,+∞)恒成立.

令，

①当≤1,即a≤1时,函数在[1,+∞)上单调递增，

由,得a<3,

∴a≤1；

②当>1,即a>1时,由,得，

∴．

综上可得实数a的取值范围为．

【点睛】

（1）解决抽象函数问题的两个原则：一是要合理运用赋值法解题，合理选取变量的取值达到求解的目的；二是要灵活运用所给的函数的性质．

（2）解决函数中的恒成立问题时，可转化为求函数的最值的问题处理．在本题中求二次函数的最值时要注意抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系，对于含有字母的问题要注意分类讨论．

22．(1)；(2)；(3).

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用二次函数的有关知识求解；(2)借助题设运用分类整合的数学思想求解；(3)依据题设将不等式中的参数分离出来,运用函数思想求解.

试题解析：

（1）设，由于过点，∴①

由得，对称轴为，即②

又③

由①②③得：.

（2），其对称轴为.

（i）当时，函数在上单调递增，最小值为；

（ii）当时，函数的最小值为；

（iii）当时，函数在上单调递减，最小值.

所以

（3）由已知：对恒成立

∴对恒成立.

∴

在上的最小值为，

∴.

考点：二次函数分类整合思想及转化化归思想等有关知识和方法的综合运用.

【易错点晴】本题以二次函数所满足的三个条件为背景,设置了一道关于(1)求二次函数解析式问题；(2)依据该二次函数的解析式为条件构造的一个含参数的二次函数的最小值问题；

(3)不等式恒成立的前提下求参数的取值范围问题.以此来检测所学知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解第一问时,直接运用题设建立方程组求解；第二问则是将问题转化二次函数分类求解,再进行整合求得；第三问则先运用等价转化分离参数,再依据二次函数的知识求解出.