北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期九年级数学阶段练习(一)
北京市朝阳区首都师范大学附属中学朝阳学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
北京市朝阳区首都师范大学附属中学朝阳学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程224x x -=化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A ．1，4B ．1，0C ．1，4-D ．1，2-3．关于函数()232y x =-+-的图象叙述正确的是（）A ．开口向上B ．图象都在x 轴下方C ．与y 轴交点为()0,2-D ．顶点()3,2-4．如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 在y 轴上，点C 的坐标为()0,1，2AC =，Rt ODE △是Rt ABC △经过某些变换得到的，则正确的变换是（）A ．ABC 绕点C 逆时针旋转90︒，再向下平移1个单位B ．ABC 绕点C 顺时针旋转90︒，再向下平移1个单位C ．ABC 绕点C 逆时针旋转90︒，再向下平移3个单位D ．ABC 绕点C 顺时针旋转90︒，再向下平移3个单位5．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000A．①③④二、填空题9．在平面直角坐标系中，点10．将二次函数y= 11．若关于x的方程12．如图，在ABC △．若点B'恰好落在AB C''13．若关于x的一元二次方程整数k的个数为．的半径为2，14．如图，O是函数y x=的图象，则阴影部分的面积是15．如图，点A在x轴上，则经过A、O、B三点的抛物线的解析式为16．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为时h的值的“极差”（即0秒到t≤≤值范围是；当2t三、解答题(1)画出将OAB 绕原点O 逆时针旋转(2)在（1）的条件下，OB 上一点则线段1PP 的长度为______．19．已知将抛物线()2y x 41=--向左平移2y ax bx c =++经过点()0,3．(1)求平移后的抛物线2y ax bx c =++的解析式；(2)利用以上信息图象解答问题：若关于的范围内有两个实数解，则t 的取值范围是20．关于x 的方程210x ax -+=有两个相等的实数根，求代数式(1)求证：AE =(2)若55ABE ∠=22．如图，已知二次函数(1)求该二次函数的表达式；(2)当2y ≤-时，请根据图象直接写出23．学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚，在与墙平行的一面开一个全部用于除墙外其余三面外墙的修建．(1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为(2)为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影）车棚与墙垂直的一面长按方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．24．如图，在ABC(1)以点D 为对称中心，作出ABD △的中心对称图形；(2)求ABC 的面积的值．25．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为1C ，把锅盖纵断面的抛物线记为2C ．(1)求1C 和2C 的解析式；(2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm ，求此时水面的直径；(3)如果将一个底面直径为3dm ，高度为3.2dm 的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．26．已知(),0A n ，()2,3B -两点在一次函数1y x m =-+与二次函数223y ax bx =+-的图象上．(1)求m 的值和二次函数的解析式；(2)请直接写出使12y y >时，自变量x 的取值范围为______；(3)直接写出所求的抛物线223y ax bx =+-关于x 轴对称的抛物线的解析式为______．27．问题背景：（1）如图1，ACB △和CEF △都是等腰直角三角形，点E 在AB 上，连BF ，求证：BF AB ⊥；迁移运用：（2）如图2，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，点P 在ABC 外，2PA =，6PB =，60BPA ∠=︒，求PC 的长；拓展提升：（3）如图3，在等腰Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 、F 在ABC 外，135ECF ∠=︒，BE AF ∥，直接写出线段BE 、AF 、EF 之间的关系．28．我们规定，以二次函数2y ax bx c =++的二次项系数a 的2倍为一次项系数，一次项系数b 为常数项构造的一次函数2y ax b =+叫做二次函数2y ax bx c =++的“子函数”，反过来，二次函数2y ax bx c =++叫做一次函数2y ax b =+的“母函数”．(1)若一次函数24y x =-是二次函数2y ax bx c =++的“子函数”，且二次函数经过点()3,0，求此二次函数的解析式及顶点坐标；(2)若“子函数”6y x =-的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式；(3)已知二次函数248y x x =--+的“子函数”图象直线l 与x 轴、y 轴交于C 、D 两点，P 点在直线l 上方的抛物线上，求PCD 面积的最大值．。
2020-2021北京市师大实验九年级数学上期中一模试题(带答案)
2020-2021北京市师大实验九年级数学上期中一模试题(带答案)一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．4.75B ．4.8C ．5D ．42．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．3．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）A ．16B ．29C ．13D ．234．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．85．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30°6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．22C ．2D ．2 7．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x > B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 8．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 9．将函数y=kx 2与y=kx+k 的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．10．如图所示，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，P 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠APB 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120°11．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题13．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑥3a+2c＜0．其中不正确的有_____．15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．16．如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C的坐标是_____．17．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．18．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=19．母线长为2cm ，底面圆的半径为1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²． 20．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交»AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作»CD交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？22．已知二次函数243y x x =-+.（1）求函数图象的顶点坐标，对称轴和与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象. （2）若1122(,),(,)A x y B x y 是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y 、的大小关系（直接写出结果）.23．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ． 求证：FD=BE ．24．小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．求证：PA是的切线；若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．【详解】如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选B．【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．2．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.3．C解析：C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P（一红一黄）=26=13．故选C．4．A解析：A【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．5．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为»AB，∴∠ACB=12∠AOB=30°，又∠ACB为△SCB的外角，∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．故选D6．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴==∴⊙O 的半径AO=2AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．7．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．8．A解析：A【解析】根据2()y a x h k =-+ 的顶点坐标为(,)h k ，易得抛物线y=2（x ﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.9．C解析：C【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k ＞0和k ＜0，函数y=kx 2与y=kx+k 的图象，从而可以解答本题．【详解】当k ＞0时，函数y=kx 2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A 、B 均错误，当k ＜0时，函数y=kx 2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k 的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C 正确，选项D 错误，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA，OB，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB的度数．【详解】连接OA，OB，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．11．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.故选：D.【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.12．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB，∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，故①正确；∵AB为直径，且点E是点D关于AB的对称点∴∠E=∠ODE，AB⊥DE∴∠CED =30°=12∠DOB，故②正确；∵M和A重合时，∠MDE=60°，∴∠MDE+∠E=90°∴DM⊥CE故③不正确；根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°∴CE为直径，即CE=10，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．二、填空题13．10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算【详解】设圆锥底面圆的半径为r则2πr=解得：r=10所以圆锥的底面半径为10故答案为：10【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识解析：10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算．【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=12030 180π⋅，解得：r=10，所以圆锥的底面半径为10．故答案为：10．【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题关键是牢固掌握和弧长公式．14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题．15．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示连接HCDF且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30解析：3．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示．连接HC、DF，且HC与DF交于点P∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC，∠EFC=∠ADC=90°∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°∠DCF=∠BCG－∠BCF－∠DCG=120°－30°－30°=60°∴△DCF是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD∴HC是FD的垂直平分线，∠FCH=∠DCH=12∠DCF=30°在Rt△HDC中，HD=DC·tan∠3∵正方形ABCD的边长为3∴HD=DC·tan∠DCH=3×tan30°33试题点评：构建新的三角形，利用已有的条件进行组合．16．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为OC＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C的位置然后求出翻转B前进的距离连接CE过点D作解析：(4038，3【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝23，即可得出点C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×33，∴点C的坐标为（4038，3），故答案为：（4038，3【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．17．65°【解析】【分析】连接OAOCOD利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可【详解】解：如图解:连接OAOCOD在圆的内接五边形ABCDE中∠B+∠E=230°∠B=(∠AOD+∠CO解析：65°【解析】【分析】连接OA,OC,OD,利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可.【详解】 解：如图解:连接OA,OC,OD,Q 在圆的内接五边形ABCDE 中, ∠B+∠E=230°,Q ∠B=12(∠AOD+∠COD), ∠E=12(∠AOC+∠COD),（圆周角定理） ∴12(∠AOD+∠COD)+ 12(∠AOC+∠COD)= 230°, 即:12（∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD ）= 230°， 可得：∠C0D=o o 2230360⨯-=0100，可得：∠CAD=050,在△ACD 中，AC=AD ，∠CAD=050，可得∠ACD=065,故答案：065.【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系,以及圆周角定理,熟练掌握定 理及法则是解本题的关键.18．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca 整理原式即可得出关于a 的方程求出即可试题解析：∵关于x 的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-，x 1x 2=，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．试题解析：∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2， ∴x 1+x 2=，x 1x 2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a （a+1）＞0，即a 2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴-=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．19．2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π故答案为2π【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=l•R圆锥侧面展开图为解析：2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，∴圆锥的侧面积=12×2π×2=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=12l•R．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．20．【解析】试题解析：连接OEAE∵点C为OA的中点∴∠CEO=30°∠EOC=60°∴△AEO为等边三角形∴S扇形AOE=∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）===解析：312π+.【解析】试题解析：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S 扇形AOE =260223603ππ⨯=， ∴S 阴影=S 扇形AOB -S 扇形COD -（S 扇形AOE -S △COE ）=2290290121136036032πππ⨯⨯---⨯（=32432ππ-+=122π+ 三、解答题21．每件衬衫应降价20元.【解析】【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.【详解】解：设每件衬衫应降价x 元.根据题意，得 （40-x ）（20+2x ）=1200,整理，得x 2-30x+200=0,解得x 1=10，x 2=20．∵“扩大销售量，减少库存”，∴x 1=10应舍去，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.22．（1）顶点(2,1)-；对称轴：直线2x =；与x 轴交点为（1，0）和（3，0），与y 轴交点为（0，3），图象见解析；（2）12y y >.【解析】【分析】（1）根据二次函数解析式即可确定出顶点坐标、对称轴、与两坐标轴的交点坐标，再在坐标系中画出函数图象即可；（2）根据二次函数的图象解答.【详解】解：（1）二次函数y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，当x =0，y =3，当y =0时，x 2﹣4x +3＝0，解得：11x =，23x =，∴抛物线的顶点为（2，﹣1），对称轴为直线x ＝2，与x 轴交点为（1，0）和（3，0），与y 轴交点为（0，3），画出图象，如图所示：（2）∵当x <1时，y 随x 的增大而减小，∴当121x x <<时，12y y >.【点睛】此题考查了抛物线的图象与性质和二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．23．详见解析【解析】【分析】根据中心对称得出OB=OD ，OA=OC ，求出OF=OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．【详解】证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB=OD ，OA=OC ．∵AF=CE ，∴OF=OE ．∵在△DOF 和△BOE 中，OB OD DOF BOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD=BE ．24．（1）29；（2）2()3n 【解析】【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为23，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为24293y ⎛⎫== ⎪⎝⎭【详解】解：（1）画出树状图即可得到结果；由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2， 所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为29； （2）P （第一个路口没有遇到红灯）=23， P （前两个路口没有遇到红灯）=282()183， 类似地可以得到P （每个路口都没有遇到红灯）＝2()3n ． 故答案为：2()3n 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA ；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB 、扇形AOB 的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA ；，；而， ；而， ；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。
北京市海淀区首都师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题(无答案)
首都师大附中2024—2025学年第一学期期中练习初三数学命题人：张彩萍刘宇航审核人：周素裹第Ⅰ卷（共16分）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，OA 交于点B ，AD 切于点D ，点C 在上．若，则为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°4．平移抛物线使其顶点在原点，可以平移的方法是（）A ．向左1个单位B ．向右1个单位C ．向上1个单位D ．向下1个单位5．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BE ，于F ，若，，则线段BE 的长为（ ）A ．4B ．C ．6D ．6．如图，AB 是的直径，弦AC ，AD 分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下2230x x +-=()212x +=-()214x +=()214x +=-()212x +=O O O 40A ∠=︒C ∠()21y x =-BF CE ⊥90CED ∠=︒2DE=O O 1AC =列结论中错误的是（）A ．的直径为2B ．连接OD ，则C ．D ．连接CD ，则7．二次函数自变量和函数值的部分对应值如下表所示．当时，y 的取值范围是，则m 的取值范围是（ ）x...-3-11...y (8)n 8…A ．B ．C ．D ．8．已知内接于，．点A 从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A 运动的路线长为l ，的面积为S ，S 随l 变化的图象如图所示，其中．①点A 在运动的过程中，始终有;②点M；③存在4个点A 的位置，使得．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷（共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9．点关于原点的对称点的坐标是______．10．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为______．11．如图，将绕点A 逆时针旋转30°得到，点B 的对应点D 落在边BC 上，的度数为______．O OD AB⊥ 3BD CD =2AC CD=2y ax bx c =++3x m -≤≤8n y ≤≤3m ≥-31m -≤≤1m ≥-11m -≤≤ABC △O 2BC =ABC △21l l -=45BAC ∠=︒1+12S =()6,5-2x k =ABC △ADE △ADE ∠第11题图12．抛物线的顶点为，其部分图象如图所示，若，则x 的取值范围是______．第12题图13．如图，PA ，PB 分别切于点A ，B ．若的半径为1．，则的长度为______．第13题图14．小华利用网络平台帮助家乡小红销售农产品．8月份销售额为1000元，10月份销售额为1210元，求销售额平均每月的增长率．设销售额平均每月的增长率为x ，根据题意，可列方程为______．15．已知的半径为3，线段，若与线段AB 有两个交点，则点O 到直线AB 的距离d 的取值范围是______．16．对于函数（其中h 为常数，）和其图象上的一点．（1）若时，，则的取值范围是______;（2）若时，，则的取值范围是______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：．18．已知m 是方程的根，求代数式的值．23y ax bx =++()2,A m 3y <O O 60P ∠=︒AB O 2AB =O 22y x hx =+0h <()00,x y 0x x >0y y >0x 02x x >0y y >0x 210x x +-=2310x x -+=()2143m m m --+19．如图，和都是等边三角形，B ，C ，D 共线．求证：．20．已知：如图1，P 为上一点．求作：直线PQ ，使得PQ 与相切．作法：如图2，①连接OP ;②以点P 为圆心，OP 长为半径作弧，与的一个交点为A ，作射线OA ;③以点A 为圆心，OP 长为半径作圆，交射线OA 于点Q （不与点O 重合）；④作直线PQ ．直线PQ 就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：（2）完成下面的证明．证明：连接PA ．由作法可知，∴点P 在以OQ 为直径的上．∴______①______（______②______）（填推理的依据）．∴．又∵OP 是的半径，∴PQ 是的切线（______③______）（填推理的依据）．21．关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根：（2）若方程有一根为负数，求m 的取值范围．22．如图，已知AB 为半圆O 的直径．弦BC ，AD 相交于点E ．连接AC ，点C 是的中点．若，．ABC △ADE △60ECD ∠=︒O O O AP AO AQ ==A OPQ ∠=OP PQ ⊥O O ()2210x m x m -+++=AD 6OA =30CBA ∠=︒（1）求CE 的长：（2）M 为的中点，点P 在直径AB 上，直接写出的最小值为______．23．已知二次函数的图象经过（0，3），（3，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）一次函数，当时，总有，直接写出k 的取值范围．24．如图，在中，，AB 为的直径．AC 与相交于点D ．过点D 作于点E ，CB 延长线交于点F ．（1）求证：DE 为的切线；（2）若，，求AD 的长．25．为了探究某飞机某次着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的关系，测得几组数据如下表：滑行时间x /s024681012滑行距离y /m 0112208288352400432（1）根据上述数据，在平面直角坐标系xOy 中描出表格中对应的点，并判断此次滑行的距离y 与滑行时间x 满足的是______函数关系（填“一次”或“二次”）；（2）求y 与x 的函数关系式；BDDP MP +212y ax x c =++21y kx =+2x >12y y <ABC △AB BC =O O DE BC ⊥O O 3BE =4BF =（3）飞机着陆后滑行______s 能停下来，此时滑行的距离是______m ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线，点，，是抛物线上不同的三点．（1）若，直接写出a 的值：（2）若对于任意的，都有，求a 的取值范围．27．已知在中，，CD ，BE 分别为AB ，AC 边上的高．（1）如图1，CD ，BE 交于点P ，若，求证：；（2）在线段CD 上取一点P ，使得，连接BP ，EP ．①在图2中补全图形；②用等式表示PB 与PE 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，的半径为1，MN 为的弦．对于平面内的一点P ，若点P 关于MN 的中点对称的点恰好在内，则称点P 为弦MN 的“内称点”．已知点，，．（1）以下各点中，是弦AB 的“内称点”的是______；①②③④（2）已知点D ，E 在上运动，且，若内的每一个点都能成为某一时刻弦DE 的“内称点”，求a 的取值范围；（3）点P 在上运动，若直线与x ，y 轴的交点所连线段上的每一个点都可以成为某一时刻弦CF 的“内称点”，则b 的取值范围为______．()()20y a x a c a =-+≠()12,A y ()23,B a y ()3,C t y 12y y =21t -<<-321y y y >>ABC △45ACB ∠=︒2CP DB =AD BD =2CP DB =O O O ()0,1A ()1,0B ()1,0C -130,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭211,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()31,1P 41P ⎛++ ⎝O DE a =O O y x b =+。
2020-2021学年北京师大附中九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=2(x+3)2+5的顶点坐标为()A. (3,5)B. (−3,5)C. (−3,−5)D. (3,−5)2.如果a+2bb =52，那么ab的值是()A. 12B. 2 C. 15D. 53.将抛物线y=(x−1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式()A. y=(x−2)2B. y=(x−2)2+6C. y=x2+6D. y=x24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则sin B的值等于()A. 34B. 43C. 45D. 355.如图，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD=1，DB=2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于()A. 12B. 14C. 18D. 196.如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的()A. FB. GC. HD. K7.若函数y=x2−4x+m的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2<2，则()A. y1>y2B. y1<y2C. y1=y2D. y1，y2的大小不确定8.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=3，则t的值是()2A. 1B. 1.5C. 2D. 39.已知函数y=(x−a)(x−b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是()A.B.C.D.10.如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F.设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.关于x的方程3x2−4x−k=0有实数根，则k的取值范围是______ ．12.请写出一个开口向上，且对称轴为直线x=3的二次函数解析式______．13.在△ABC中，若sinA=√32，tanB=√33，则∠C=______ °.14.△ABC顶点的坐标分别为A(1,−1)，B(4,−1)，C(3,−4).以坐标原点O为位似中心，画出放大的△A1B1C1，使得它与△ABC的位似比等于2：1.则点C的对应点C1坐标为______ ．15.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米．16.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D，再爬倾斜角为60度的山坡200米，求这座山的高度______ (结果保留根号)17.已知点A(0,2)，B(2,0)，点C在y=x2的图象上，若△ABC的面积为2，则这样的C点有______ 个.18.如图，在△ACM中，△ABC、△BDE、△DFG是等边三角形，点E、G在△ACM的边CM上，设△ABC、△BDE、△DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1=8，S3=2，则S2=______ ．三、解答题（本大题共11小题，共66.0分）19.计算：√3cos30°−√2sin45°−(√3−√2)0．20.解方程：x2−4x−1=0．21.二次函数y=−x2+(m−1)x+m的图象与y轴交点坐标是(0,3)．(1)求此二次函数解析式；(2)在图中画出二次函数的图象；(3)当0<x<3时，直接写出y的取值范围．22.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED=∠ABC，DE=3，BC=5，AC=12.求AD的长．23.如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3√2，AC=5，sinC=3，求BC的长．524.有这样一个问题：探究函数y=(x−1)(x−2)(x−3)的图象与性质．小东对函数y=(x−1)(x−2)(x−3)的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数y=(x−1)(x−2)(x−3)的自变量x的取值范围是全体实数；(2)下表是y与x的几组对应值．x…−2−10123456…y…m−24−600062460…①m=______ ；②若M(−7,−720)，N(n,720)为该函数图象上的两点，则n=______ ；(3)在平面直角坐标系xOy中，A(x A,y A)，B(x B,−y A)为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示．①标出点B的位置；②画出函数y=(x−1)(x−2)(x−3)(0≤x≤4)的图象．25.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A与点B，与y轴交于点C(0,−3)，且OB=OC=3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．26.定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．(1)若P(1,2)，Q(4,2)．,4)，C(0,3)中，PQ的“等高点”是______ ；①在点A(1,0)，B(54②若M(t,0)为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．(2)若P(0,0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．27.已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b(k≠0,k、b是常数)，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=|Ax0−By0+C|√A2+B2计算．例如：求点P(−1,2)到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P(−1,2)到直线y=3x+7的距离为：d=|kx0−y0+b|√1+k2=|3×(−1)−2+7|√1+32=2√10=√105．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1,−1)到直线y=x−1的距离；(2)已知直线y=−2x+4与y=−2x−6平行，求这两条直线之间的距离．28.如图1，ABCD是边长为1的正方形，O是对角线BD的中点，Q是边CD上一个动点(点Q不与点C、D重合)，直线AQ与BC的延长线交于点E，AE交BD于点P.设DQ =x ，(1)填空：当x =23时，CE = ______ ；APEQ = ______ ；(2)如图2，直线EO 交AB 于点G ，若BG =y ，求y 关于x 之间的函数关系式； (3)在第(2)小题的条件下，是否存在点Q ，使得PG//BC ？若存在，求x 的值；若不存在，说明理由．29. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +3的图象交x 轴于点A(1,0)，B(3,0)，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)将直线BC 向下移动n 个单位(n >0)，若直线与抛物线有交点，求n 的取值范围；(3)直线x =m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵抛物线解析式为y=2(x+3)2+5，∴二次函数图象的顶点坐标是(−3,5)．故选：B．因为y=2(x+3)2+5是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．2.【答案】A【解析】解：∵a+2bb =52，∴2a+4b=5b，∴2a=b，∴ab =12．故选：A．根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解．本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，需熟记．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=(x−1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=(x−1+1)2+ 3，即y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x2+3−3，即y=x2．4.【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=√AC2+BC2=10，∴sinB=ACAB =810=45．故选：C．先根据勾股定理求出AB的长，再运用锐角三角函数的定义解答．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．掌握正弦函数的定义是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据DE//BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+DB=3，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=(13)2=19．故选：D．6.【答案】C本题主要考查相似三角形的判定．由图形可知△ABC的边AB=4，AC=6，DE=2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H．【解答】解：根据题意，∠A=∠MDE=90°当DE：AB=DM：AC时，△DEM∽△ABC，∵AB=4，AC=6，DE=2∴DM=3∴M应是H故选：C．7.【答案】A【解析】解：∵y=x2−4x+m，∴此函数的对称轴为：x=−b2a =−−42×1=2，∵x1<x2<2，两点都在对称轴左侧，a=1>0，∴对称轴左侧y随x的增大而减小，∴y1>y2．故选：A．根据x1、x2与对称轴的大小关系，判断y1、y2的大小关系．此题主要考查了函数的对称轴求法和二次函数的性质，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．8.【答案】C【解析】解：如图：∵点A(t,3)在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα=ABOB =32，∴t=2．根据正切的定义即可求解．本题考查锐角三角函数的定义及运用．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量x=1及x=−1的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵y=(x−a)(x−b)=x2−(a+b)x+ab，∵抛物线的开口向上知a>0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab<0，∵对称轴在y轴的左侧，二次项系数>0，∴−(a+b)>0．∴a+b<0，∵a>b，∴a>0，b<0，∴y=ax+b的图象是D选项，故选D．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．【解答】解：∵BC=4，BE=x，∴CE=4−x．∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠AEB=∠CFE．又∵∠B=∠C=90°，∴Rt△AEB∽Rt△EFC，∴ABCE =BECF，即54−x =xy，整理得：y=15(4x−x2)=−15(x−2)2+45∴y与x的函数关系式为：y=−15(x−2)2+45(0≤x≤4)由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为(2,45)，对称轴为直线x=2．故选A．11.【答案】k≥−43【解析】解：根据题意得△=(−4)2−4×3×(−k)≥0，解得k≥−43．所以k的取值范围是k≥−43．故答案为k≥−43．根据△的意义得到△=(−4)2−4×3×(−k)≥0，然后解不等式得到k的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．12.【答案】y=x2−6x+6【解析】【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ.a>0时，开口向上，a<0时，坐标可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式．【解答】解：依题意取a =1，顶点坐标(3,−3)，由顶点式得y =(x −3)2−3．即y =x 2−6x +6．故答案为：y =x 2−6x +6(答案不唯一)．13.【答案】90【解析】解：∵sinA =√32，tanB =√33， ∴∠A =60°，∠B =30°，∴∠C =180°−60°−30°=90°．故答案为：90．根据特殊角的三角函数值求出∠A 和∠B 的度数，然后求出∠C 的度数．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．14.【答案】(6,−8)或(−6,8)【解析】解：以坐标原点O 为位似中心，放大的△A 1B 1C 1，它与△ABC 的位似比等于2：1，点C 的坐标为(3,−4)，∴点C 的对应点C 1坐标为(3×2,−4×2)或(−3×2,4×2)，即(6,−8)或(−6,8)， 故答案为：(6,−8)或(−6,8)．根据位似变换的性质计算即可．本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．15.【答案】8√5【解析】解：令y =8，即y =−140x 2+10=8，解得：x =±4√5，∴则EF =4√5−(−4√5)=8√5．本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，该题比较简单．16.【答案】(150+100√3) 【解析】解：过D 作DF ⊥AC ．在Rt △ADF 中，易得：CE =DF =AD ×sin30°=150米，在Rt △BDE 中，易得：BE =BD ×sin60°=100√3米，故山高BC =CE +BE =(150+100√3)米．故答案为：(150+100√3).在RT △ADF 中，利用30°角和AD ，求出DF 即CE ；在RT △BDE 中，利用60°角和BD ，求出BE ；最后求CE 和BE 的和即可．考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，本题要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17.【答案】4【解析】解：如图，∵点A(0,2)，B(2,0)，∴直线AB 为y =−x +2，AB =√22+22=2√2，设C 点到直线AB 的距离为h ，∵△ABC 的面积为2，∴12AB ⋅ℎ=2，即12×2√2⋅ℎ=2， ∴ℎ=√2，∵直线y =x 与直线AB 垂直，∴直线AB 沿直线y =x 向上或向下平移√2个单位得到直线y =−x +4或y =−x ，由{y =−x +4y =x2消去y 得到x 2+x −4=0， ∵△=12−4×(−4)=17>0，∴方程有两个不相等的根，由{y =−x y =x 2消去y 得到x 2+x =0，∴方程有两个不相等的根，∴函数y=x2的图象上存在4个点(如上面图中四个点C1，C2，C3，C4)使得△ABC的面积为2，故答案为4．根据三角形面积公式求得C到直线AB的距离为√2，即可求得C在直线AB沿直线y=x 的方向平移√2的单位得到的直线上，求得平移好的直线解析式，然后与y=x2联立，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式即可判断方程的根的情况，进一步得到C点的个数．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，数形结合是解题的关键．18.【答案】4【解析】解：△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，∵△ABC、△BDE是等边三角形，∴∠CBA=∠EBD=60°，∴∠CBE=60°，同理∠EDG=60°，∴∠CBE=∠EDG，∵△BDE、△DGF是等边三角形，∴∠EBD=∠GDF=60°，∴BE//DG，∴∠CEB=∠EGD，∴△CBE∽△EDG，∴a：b=b：c，∴b2=ac，∵S1：S3=(a：c)2=8：2=4：1，∴a：c=2：1，∵S1：S2=(ab )2=a2b2=a2ac=ac=21，∴S2=12S1=4．先设△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，由于△ABC、△BDE是等边三角形，易知∠ABC=60°，∠EBD=60°，结合平角定义可求∠CBE=60°，同理可求∠EDG= 60°，那么∠CBE=∠EDG，由于△BDE、△DGF是等边三角形，那么∠EBD=∠GDF=60°，从而有BE//DG，于是∠CEB=∠EGD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CBE∽△EDG，可得比例关系：a：b=b：c，即b2=ac，再根据S1：S3的值得a：c=3：1，结合S1：S2的值进而可求S2．本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△CBE∽△EDG，得出b2=ac．19.【答案】解：原式=√3×√32−√2×√22−1=32−1−1=−12．【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再算乘法，后算加减即可．此题主要考查了实数运算，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．20.【答案】解：∵x2−4x−1=0，∴x2−4x=1，∴x2−4x+4=1+4，∴(x−2)2=5，∴x=2±√5，∴x1=2+√5，x2=2−√5．【解析】配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21.【答案】解：(1)把(0,3)代入y=−x2+(m−1)x+m得m=3，∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；∴抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)，如图，(3)当0<x<3时，y的取值范围为0<y≤4．【解析】(1)把已知点的坐标代入解析式求出m即可；(2)先解方程−x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，再配方得到抛物线的顶点坐标，然后利用描点法画函数图象；(3)结合函数图象，利用二次函数的性质求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，也考查了二次函数的性质．22.【答案】解：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴ADAC =DEBC，∵DE=3，BC=5，AC=12，∴AD12=35．∴AD=365．【解析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23.【答案】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，sinC=3，5∴AD=AC⋅sinC=3．∴在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=4．∵AB=3√2，∴在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=3．∴BC=BD+CD=7．【解析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD=ACsinC=3、CD=√AC2−AD2=4，再在△ABD中根据AB=3√2、AD=3求得BD=3，继而根据BC=BD+CD可得答案．本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．24.【答案】(2)①−60；②11(3)①作点A关于点(2,0)的对称点B1，再在函数图象上找与点B1纵坐标相等的B2点．②根据表格描点、连线，画出图形如图所示．【解析】解：(2)①当x=−2时，y=(x−1)(x−2)(x−3)=−60．故答案为：−60．②观察表格中的数据可得出函数图象关于点(2,0)中心对称，∴−7+n=2×2，解得：n=11．故答案为：11．(3)见答案(2)①把x =−2代入函数解析式可求得m 的值；②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点(2,0)对称，再根据点M 、N 的坐标即可求出n 值；(3)①找出点A 关于点(2,0)对称的点B 1，再找出与点B 1纵坐标相等的B 2点； ②根据表格描点、连线即可得出函数图象．本题考查了多次函数的图象与性质，根据给定表格找出函数图象关于点(2,0)中心对称是解题的关键．25.【答案】解：(1)∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点C(0,−3)，则c =−3，∴OB =OC =3OA =3，∴A(−1,0)，B(3,0)，代入y =ax 2+bx −3， 得{a −b −3=09a +3b −3=0，解得{a =1b =−2，∴y =x 2−2x −3；(2)如图，①当∠P 1AC =90°时，∵∠P 1AO +∠OAC =90°，∠OAC +∠ACO =90°， ∴∠P 1AO =∠AOC ， ∵∠P 1AC =∠AOC =90°， ∴△P 1AO∽△ACO ，∴Rt △P 1AO 中，tan∠P 1AO =tan∠ACO =13，∴P 1(0,13).②同理：如图当∠P 2CA =90°时，P 2(9,0)，③当∠CP 3A =90°时，此时点O 与点P 3重合，故点P 3(0,0)，综上，坐标轴上存在三个点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形，分别是P 1(0,13)，P 2(9,0)，P 3(0,0)．【解析】(1)易得点C 坐标，根据OB =OC =3OA 可得点A ，B 坐标．代入二次函数解析式即可．(2)点P ，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形，那么应分点P ，A ，C 三个顶点为直角顶点三种情况进行探讨．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．26.【答案】A ，B【解析】解：(1)①∵P(1,2)，Q(4,2)，∴在点A(1,0)，B(54,4)，C(0,3)中，点A(1,0)，B(54,4)到PQ 的距离为2， ∴PQ 的“等高点”是A ，B ； 故答案为：A ，B ；②如图1，作点P 关于x 轴的对称点P′，连接P′Q ，P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q 的长， ∵P (1,2)， ∴P′(1,−2)，设直线P′Q 的表达式为y =kx +b ，根据题意，有{k +b =−24k +b =2，解得：{k =43b =−103， ∴直线P′Q 的表达式为y =43x −103，当y=0时，解得x=5，2即t=5，2∵P′(1,−2)，Q(4,2)，∴PQ=√(4−1)2+(2+2)2=5，∴PQ的“等高距离”的最小值为5；(2)如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，∴PQ=2，MN=2．设PN=x，则NQ=2−x，在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：MP2=22+x2=4+x2，MQ2=22+(2−x)2=x2−4x+8，∴MP2+MQ2=2x2−4x+12=2(x−1)2+10，∵MP2+MQ2≤(MP+MQ)2，∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x=1，即PN=NQ，∴△MPQ为等腰三角形，∴MP=MQ=√22+12=√5，如图3，设Q坐标为(x,y)，过点Q作QE⊥y轴于点E，则在Rt △OEQ 和Rt △MEQ 中，由勾股定理得：QE 2=QP 2−OE 2=22−y 2=4−y 2，EQ 2=MQ 2−ME 2=(√5)2−(√5−y)2=−y 2+2√5y ，∴4−y 2=−y 2+2√5y ， 解得y =2√55，∴QE 2=4−y 2=4−(2√55)2=165，当点Q 在第一象限时，x =4√55，当点Q 在第二象限时，x =−4√55， ∴Q(4√55,2√55)或(−4√55,2√55). (1)①根据“等高点”的概念解答即可；②先确定出点P 关于x 轴的对称点P′，再根据轴对称的最短路径的求法即可确定最小距离；(2)先证明“等高距离”最小时△MPQ 为等腰三角形，再利用勾股定理求出点Q 坐标即可．本题是一次函数的综合题，考查了对新定义：“等高点”，“等高距离”的理解和运用，在(1)①中理解等高点和等高距离的概念即可，在②中确定出P 关于x 轴的对称点P′的位置是解决本题的关键，在(2)中利用勾股定理和最短路径问题是解题的关键，综合性较强，难度适中．27.【答案】解：(1)∵直线y =x −1，其中k =1，b =−1，∴点P(1,−1)到直线y =x −1的距离为d =00√1+k 2=√1+12=√22； (2)当x =0时，y =−2x +4=4，∴点(0,4)在直线y =−2x +4上， ∵点(0,4)到直线y =−2x −6的距离为d =00√1+k 2=√1+(−2)2=2√5，∵直线y =−2x +4与y =−2x −6平行， ∴这两条直线之间的距离为2√5．【解析】(1)根据点到直线的距离公式计算即可；(2)在直线y =3x +3上取一点(0,3)，根据点到直线的距离公式可知：点(0,3)到直线y =3x +6的距离d ，利用平行线的性质即可解决问题；本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键．28.【答案】12 65【解析】解：(1)∵ABCD 是边长为1的正方形， ∴AD//BE ， ∴AD CE=DQ QC=QA QE ，AD BE=APPE ，∵AD =BC =DC =1，DQ =23， ∴QC =13，即1CE =2313，∴CE =12，AQ QE =21， ∴BE =32，QE =13AE ，∴132=APPE ，即AP PE=23，∴AP =25AE ， ∴APEQ =2AE 513AE =65，故答案为12，65；(2)过O 作OM ⊥AB 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵O 是正方形的中心， ∴OM =MB =BN =ON =12，∵AD CE=DQQC，即1CE =x1−x ， ∴CE =1−x x，∴BE =BC +EC =1x ， ∵OM//BE ， ∴△GMO∽△GBE ， ∴GM GB=OM BE ，即y−12y=121x，∴y =12−x ①；(3)存在，理由： ∵PG//BC ，AG BG=AP PE=AD BE，∵AG =1−y ，GB =y ，AD =1，BE =1x ， ∴1−y y=11x，整理得：y =1x+1②，联立①②并解得x =12， 所以当x =12时，使得PG//BC ．(1)先根据平行线分相等成比例定理得出ADCE =DQ QC=QA QE ，AD BE=APPE ，然后根据已知条件求得CE =12，进而求得QE =13AE ，进而求解；(2)过O 作OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，根据平行线分相等成比例定理得出CE =1−x x，进而求得BE =1x ，进而求解；(3)根据PG//BC 求得AG BG =AP PE =AD BE ，根据对应边成比例得出y =1x+1，再根据(2)中求得的解析式解方程组，即可求得．本题为四边形综合题，主要考查了三角形相似的判定和性质、平行线分相等定理的应用、正方形的性质等，找出对应线段之间的关系是本题的关键．29.【答案】解：(1)将A(1,0)，B(3,0)代入函数解析式，得{a +b +3=09a +3b +3=0，解得{a =1b =−4，∴这个二次函数的表达式是y =x 2−4x +3①；(2)由抛物线的表达式知，点C(0,3)，设直线BC 的表达式为y =mx +t ，则{t =30=3m +t ，解得{m =−1t =3，故直线BC 的表达式为y =−x +3，直线BC 平移后的表达式为y =−x +3−n②， 联立①②并整理得：x 2−3x +n =0， 则△=9−4n ≥0，解得n ≤94， 故0<n ≤94；(3)设：M(m,−m +3)，N(m,m 2−4m +3)，点B(3,0)，则MN =|m 2−4m +3+m −3|=|m 2−3m|，BM =√(3−m)2+(3−m)2=√2|m −3|，当MN =BM 时，①m 2−3m =√2(m −3)， 解得m =√2或3(舍去3)， ②m 2−3m =−√2(m −3)，解得m=−√2或3(舍去3)，当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2−4m+3=0，解得m=1或m=3(舍)，当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，则−(m2−4m+3)=−m+3，解得m=2或m=3(舍)，当△BMN是等腰三角形时，m的值为√2，−√2，1，2．【解析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)求出直线BC平移后的表达式为y=−x+3−n，联立①②并整理得：x2−3x+n= 0，由△=9−4n≥0，解得n≤9，即可求解；4(3)根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形的性质、图形的平移、根的判别式的运用等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。
北京师范大学附属实验中学2020-2021学年九年级上学期开学摸底测试数学试题(解析版)
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
A.2B.3C.2.5D.4
【答案】B【解析】
【分析】根据中位数的计算方法计算即可；
【详解】把数据从小到大排序为2，2，3，4，5，
所以中位数是3．
【点睛】本题主要考查了中位数的计算，准确计算是解题的关键．
4.如图， 中， ， ， ，则 的长为（）
A.2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理计算即可；
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.若关于 一元二次方程 的一根为1，则 的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值．
【详解】解：把x=1代入方程有：1＋m−2m＝0
m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
【详解】解：A、 属于最简二次根式，符合题意；
B、 属于三次根式，不合题意；
C、 ＝|x|，不属于最简二次根式，不合题意；
D、 ＝3，不属于最简二次根式，不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方x（x−4）+2（x−4）＝0，
（x−4）（x+2）＝0，
(精编)北京教院附中初三数学期中试卷2020-2021上
公众号：惟微小筑北京教育学院附属中学2021 -2021学年度 第|一学期初三年级|数学期中试卷 2021.11试卷共五道大题 ,33道小题 ,总分值120分 ,考试时间120分钟 .一、选择题 (此题共30分 ,每题3分 .下面各题均有四个选项 ,其中只有一个．．是符合题意的． )1．二次函数223y x x =-+的对称轴为 ( )A ． 2x =-B ．2x =C ．1x =D ．1x =-2．如图 ,ABC △内接于O ⊙ ,假设30OAB ∠=° , 那么C ∠的大小为 ( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．60° D ．︒903. 以下说法正确的个数有 ( )① 平分弦的直径垂直于弦; ② 三点确定一个圆; ③ 等腰三角形的外心一定在它的内部; ④ 同圆中等弦对等弧A.0个B. 1个C. 2个D. 3个4．某汽车销售公司2007年盈利1500万元 , 2021年盈利2160万元 ,且从2007 年到2021年 ,每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ,根据题意 ,下面所列方程正确的选项是 ( )．A ．21500(1)2160x += B ． 2150015002160x x +=C ．215002160x = D ． 21500(1)1500(1)2160x x +++=5．如果两圆半径分别为5和8 ,圆心距为3 ,那么这两个圆的位置关系是 ( ) A ．外离 B ．外切 C ． 相交 D ．内切6．在△ABC 中 ,O 为外心 ,∠A =92° ,那么∠BOC 的度数为： ( ) A ．88° B. 92° C. 184° D. 176°7.将二次函数22y x =的图像先向右平移1个单位 ,再向上平移3个单位后所得到的图像的解析式为 ( )A ．22(1)3y x =-- B ．22(1)3y x =-+C ．22(1)3y x =+-D ．22(1)3y x =++8．抛物线1C ：21y x =+与抛物线2C 关于x 轴对称 ,那么抛物线2C 的解析式为 ( ) A. 2y x =- B. 21y x =-+ C. 21y x =- D. 21y x =-- 9．二次函数22(21)1y m x m x =+++ 的图像与x 轴有两个交点 ,那么m 的取值范围是 ( ) A ．14m >-B ．14m ≥-C ．14m >-且0m ≠D ．14m ≥-且0m ≠ 10. 如图为二次函数2y ax bx c =++的图象 ,此图象与x 轴的交点坐标分别为 (1,0- )、 (3 ,0 ).以下说法正确的个数是( )①0ac < ②0a b c ++>③方程20ax bx c ++=的根为11x =- ,23x =④当1x >时 ,y 随着x 的增大而增大A.1B. 2C.3D.4二、 填空题 (此题每空2分 ,共26分 ) 11．一元二次方程220x x -=的解是 .12． 圆内接四边形ABCD 中 ,∠A ,∠B ,∠C 的度数比为3：2：7 ,那么∠D 的度数为 .13．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0 ,那么a 的值为 ． 14．圆锥的母线长为3 ,底面半径为2 ,那么它的侧面积为 ．班 级|： 姓名： 学号：密封装订线C O BAMFEA C15. 半径为5cm 的圆中有两条平行弦 ,长度分别为6cm 和8cm ,那么这两条弦的距离为 .16．抛物线22(3)5y x =--+的顶点坐标是 ,在对称轴左侧 ,y 随x 的增大而 .17．边长为a 的正三角形的外接圆的半径为 ．18．如图 ,PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P =70° ,∠C 等于 .19．如图 ,AB 为⊙O 直径 ,CD 为⊙O 的弦 ,∠ACD =28° ,那么∠BAD 的度数为 .OAPBC第18题 20. 如图 ,□ABCD 中 ,BC =4 ,BC 边上高为3 ,M 为BC 中点 ,假设分别以B 、C 为圆心 ,BM 长为半径画弧 ,交AB 、CD 于E 、F 两点 ,那么图中阴影局部面积是________.21.二次函数223y x =的图象如下图 ,点A 0位于坐标原点 ,点1232008,,,,A A A A ⋅⋅⋅在y 轴的正半轴上 ,点1232008,,,,B B B B ⋅⋅⋅在二次函数223y x =位于第|一象限的图象上 ,假设△A 0B 1C 1 ,△A 1B 2C 2 ,△A 2B 3C 3 ,…△A 2007B 2008C 2021都为正三角形 ,那么△011A B A 的边长 = , △200720082008A B A 的边长 = .第20题 第21题三、解答题 (此题共30分 ,每题5分 )22．解方程：23620x x --= 23．解方程：245x x +=24.：不在同一直线上的三个点A ,B ,C.求作：⊙O ,使它经过点A ,B ,C. A ·请保存作图痕迹 ,不写作法 . ·CB ·班级|： 姓名： 学号：密封装订线O DC第19题12345-1-2-3-4-5-1-2-3-4-512345xyO 25．：如图 ,△ABC 的外接圆⊙O 的直径为4 ,∠A =30° ,求BC 的长. 解：26. 抛物线 2y ax bx c =++ 经过点034310A B C （，）、（，）、（，）. (1 )填空：抛物线的对称轴为直线x = ,抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ；(2 )求该抛物线的解析式. 27．如图 ,等腰三角形ABC 中 ,AC =BC ,以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ,交AC 于点G , DF ⊥AC ,垂足为F ,交CB 的延长线于点E ． 求证：直线EF 是⊙O 的切线；四、解答题 (此题共15分 ,每题5分 )28.：232x x += ,求代数式2(2)(10)5x x x -++-的值.29．二次函数243y x x =++(1 )用配方法将243y x x =++化成2()y a x h k =-+的形式；(2 )在平面直角坐标系中 ,画出这个二次函数的图象； (3 )写出当x 为何值时 ,y >0．30. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现 ,每月销售量y (件 )与销售单价x (元 )之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．(1 )设李明每月获得利润为w (元 ) (2050)x ≤≤ ,当销售单价定为多少元时 ,每月可获得最|大利润 ?班级|： 姓名： 学号：密封装订线(2 )如果李明想要每月获得2000元的利润 ,并且又要减少库存 ,那么销售单价应定为多 少元 ?五、解答题 (此题共19分 ,第31题6分 ,第32题6分 ,第33题7分 ) 31.如图 ,AB 为⊙O 的直径 ,CD 是弦 ,且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．(1 )求证：∠ACO =∠BCD ．(2 )假设EB =8cm ,CD =24cm ,求⊙O 的直径．32．抛物线C 1：22(24)10y x m x m =-++-的顶点A 到y 轴的距离为3 , 与x 轴交于C 、D 两点.(1 )求顶点A 的坐标；(2 )假设点B 在抛物线C 1上 ,且BCD S ∆=求点B 的坐标.33. 抛物线y =x 2＋kx ＋k －2.(1 )求证：不管k 为任何实数 ,抛物线与x 轴总有两个交点； (2 )假设反比例函数m y x =的图象与6y x=-的图象关于y 轴对称 ,又与抛物线交于点 A (n , －3) ,求抛物线的解析式；(3 )假设点P 是(2)中抛物线上的一点 ,且点P 到两坐标轴的距离相等 ,求点P 的坐标.密封装订线班级|： 姓名： 学号：OE DCBA北京教育学院附属中学2021 -2021学年度第|一学期初三年级|数学期中试卷一、选择题 (此题共30分 ,每题3分 .下面各题均有四个选项 ,其中只有一个．．是符合题意的． )C C A AD D B D C C 二、填空题 (此题每空2分 ,共26分 )11．0,2 12. 144︒13． -1 14． 6π 15．1cm,7cm16．(3,5) 增大 17.18. 55︒ 19. 62︒ 20. 122π- 21.1,2021 三、解答题 (此题共30分 ,每题5分 )22． 13±23.1, -5 24.略 25.BC =2 26.(1) 2x =,(3,0) (2) 243y x x =-+ 27.连接半径证垂直四、解答题 (此题共15分 ,每题5分 )28．3 29.(1) 2(2)1y x =+- (2) 略 (3) 1,3x x >-<- 30.(1) 2(20)1070010000W x y x x =-=-+- 35x = (2)40舍 ,30 五、解答题 (此题共19分 ,第31题6分 ,第32题6分 ,第33题7分 )31．(1)略(2)26cm 32.(1)(3, -18) (2) (1,2)(7,2)(32)---± 33. (1)2(2)4k ∆=-+ (2) 26,2,5,53m n k y x x ==-==++(3) (1,1)(3,3)(33-----+---+。
北京市海淀区首都师范大学附属育新学校2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试卷带讲解
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，掌握知识点是解题关键．
13.下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）
A. 正六边形B. 线段
C. 圆D. 抛物线
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义即可得．
故③正确；
④若点(x1，y1)，(x2，y2)在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小
即若x1＜x2，则y1＞y2
故④错误；
故选C.
【点睛】此题考查的是二次函数图像及性质，掌握二次函数图像及性质和各系数之间的关系是解决此题的关键.
10.在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（）
故
∵2tan∠QPO为大于0的常数，
故上述函数为开口向上的抛物线，且x=a时，y取得最大值0，
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
7.函数 的自变量 的取值范围为全体实数，其中 部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于 轴对称；
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】根据二次函数图像与b2－4ac的关系、对称轴公式、点的坐标及增减性逐一判断即可.
【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点
∴b2－4ac＞0
∴4ac－b2＜0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1
A.1B.2C.4D.3
2020-2021北京师范大学第一附属中学初三数学上期中一模试卷带答案
2020-2021北京师范大学第一附属中学初三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =2．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -= B ．213()24x += C ．215()24x += D ．215()24x -= 7．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20178．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．29．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 10．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ ）A ．DE=3B ．AE=4C ．∠ACB 是旋转角D ．∠CAE 是旋转角 11．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．16．如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C=_______度．17．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．18．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．19．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.20．已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为_____ cm ²（结果保留π）．三、解答题21．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．22．已知在△ABC 中，∠B=90o ，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：AC·AD=AB·AE ； （2）如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC=2时，求AC 的长．23．如图，AB 是O e 的直径，点C D 、在O e 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作O e 的切线，分别交OA 的延长线与OC 的延长线于点E F 、，连接BF 。