北师大版八年级数学下册几何专题期末复习练习题(无答案)
北师大版八年级数学下册几何专题期末复习练习题
1．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2
3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝____________．
5．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________．
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝________.
7．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC 于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
9．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
(1)求证：AD＝CE；
(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．
10．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．
11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.
12．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.求证：
(1)AF＝AD；
(2)EF＝BD.
13．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC＝AB＋CD.
15．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.
(1)求证：PD＝DQ；
(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．
16．如图，A，B两个村在河CD的同侧，且AB＝13km，A，B两村到河的距
离分别为AC＝1km，BD＝3km.现要在河边CD上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．
17．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．。
北师大初二下学期几何综合复习精彩试题
初二下学期几何分类复习初二下学期几何分为六个类别 ------ 选择题、填空题、证明题、应用题、 猜想、探究题和动态几何综合复习。
一、选择题1. 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画 •下面四个图 案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案 花边的宽度都相同，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是()AB C D 2. 如图，在Rt △ ABC 中，AB=AC D E 是斜边BC h 两点，且/ DAE=45，将△ ADC 绕点A 顺时针旋转90后，得到△ AFB ，连接EF •下列结论中正确的个数有()3.已知：如图，在正方形 ABCD 外取一点E ，连接AE , BE , DE .过点A 作AE 的垂线交ED 于点P .若AE 二AP =1, PB .下列结论：① EAF 二 45②厶 ABE ACD ③EA 平分 CEF④ BE 2 DC 2 二 DE 2 A 1个 B .2个 C .3个 D .4个①厶APD s' AEB ;②点B 到直线AE 的距离为、2 ；③ EB _ ED :④ S APD - S APB =1，6; ⑤ S 正方形 ABCD = 4 -其中正确结论的序号是（ ）A .①③④B .①②⑤C .③④⑤D .①③⑤ 4. 如图，在△ ABC 中, ABAC / A=36°, BD CE 分别是△ ABC ' BCD 的角平分线 则图中的等腰三角形有（） （A ）5 个 （B ）4 个 （C ）3 个 （D ）2 个二、填空题5. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶 点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上,则/ 1 + Z 2= .8.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G E 分别是边 AB BC 的中点，/ AEf =90°, 且EF 交正方形外角的平分线 CF 于点F.6. 如图，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆） ，刀片上、下是平行的, 转动刀片时形成・1 ,2，则.12 = 三、证明题7. EB EDA 求/ EFD 的度数.在正方形ABCD 中, AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接 （1）求证：△ BE （S' DEC(1)证明：/ BAE：/ FEC(2)证明：△ AGE^A ECF(3 )求厶AEF的面积.//9. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE _ BC , 垂足为E ,连接DE , F为线段DE上一点，且.AFE •(1)求证：△ ADF DEC ;(2 )若AB 二4 , AD =3.3 , AE = 3，求AF 的长.10. 如图，将矩形纸片 ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，EF 为折痕.(1) 求证：△ FGC EBC ;(2) 若AB =8, AD =4，求四边形ECGF (阴影部分)的面积.(2)11.如图，在△ ABC 中, D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE/ BF ,连 接 BE CF(1)求证：△ BDF ◎△ CDE(2 )若AB= AC,求证：四边形 BFCE 是菱形.12. 如图，在矩形 ABC (AB<AD )中，将△ ABE 沿AEX 寸折，使 AB 边落在对角线 AC 上, 点B 的对应点为F ,同时将△ CEG& EG 对折，使CE 边落在EF 所在直线上，点 C 的对应 点为H.(1) 证明：AF// HG (图(1)); R C(2)证明：△ AEF^^ EG(图(1));(3)如果点C的对应点H恰好落在边AD上 (图(2)) •求此时/ BAC的大小.四、应用题13. Rt△ ABC与Rt△ FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图(一)所示拼在一起，CB与DE重合.(1)求证：四边形ABFC为平行四边形；(2)取BC中点Q将厶ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图(二)中厶ABC位置, 直线BC ■与AB CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ OP长度的大小关系，并证明你的猜想.五、猜想、探究题14.如图1，已知矩形ABED点C是边DE的中点，且AB=2AD(1)判断△ ABC的形状'井说明理由；(2)保持图1中的△ ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置(当垂线AD BE在直线MN的同侧).试探究线段AD BE DE长度之间有什么关系？并给予证明；(3)保持图2中的△ ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD BE在直线MN的异侧).试探究线段AD BE DE长度之间有什么关系？并给予证明•明）.在(2)的条件下，指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求证图(一)F 图(二)六、动态几何15. 如图，一个直角三角形纸片的顶点A在/ MON的边0M上移动，移动过程中始终保持AB丄ON于点B,AC丄0M于点A. / MON勺角平分线0P分别交AB AC于D E两点.(1 )点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由.(2)点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于0P所在的直线对称, 判断并说明以A、D F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？(3)若/ MON=45，猜想线段AC AD OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.o16. 如图，在直角梯形ABCDK AB// DC / D=90 , ACL BC, AB=10cm,BC=6cm F 点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5).(1) 求证：△ ACDo^ BAC(2) 求DC的长；(3) 设四边形AFEC勺面积为y,求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值.25题图。
北师大版八年级数学下学期期末总复习(分类专题)
八年级数学下学期期末复习【折叠类型】1、在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为A．9.5 B．10.5C．11 D．15.52.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明。
(2)若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，PG+PH的值会变化吗?若变化，请说明理由；若不变化，请求出这个值。
3.如图1,△ABC中,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,连接DE.(1)若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；(2)如图2,若AB=BC,AD=BD,∠ADB的角平分线DF交BE于点F,求证：BF=2√DE；(3)如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论。
【半角模型】1．（9分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？2.如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。
3.如图,在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M、N,使∠MCN=45∘,记AM=m,MN=n,BN=k.试猜想：以m、n、k为边长的三角形的形状是(在下列括号中选择)___.(锐角三角形;钝角三角形;直角三角形;等腰三角形;等腰直角三角形;等边三角形)4.请阅读下列材料：已知：如图①所示，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC ＝ 90 °， AB ＝ AC ，点 D ， E 分别为线段 BC 上两动点，若∠ DAE ＝ 45 °，探究 BD ， DE ， EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△ AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 °，得到△ AE ′ B ，连接 E ′ D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：( 1 )猜想 BD ， DE ， EC 三条线段之间存在的数量关系，并对你的猜想给予证明；( 2 )当动点 E 在线段 BC 上运动，动点 D 在线段 CB 的延长线上运动时，如图②所示，其他条件不变，( 1 )中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．【中点模型】1.（2013•永州中考）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长2、（本题8分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB=12，AC=18，求DM的长。
2023-2024学年北师大版数学八年级下册 期末复习冲刺卷(含解析)
2023-2024学年北师大版数学八年级下册 期末复习冲刺卷一、单选题1．一个正多边形的每个外角都等于60°，那么它的边数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3．如图所示，平面直角坐标系中，x 轴负半轴上有一点A （-1，0），点A 第1次向上平移1个单位至点A 1（-1，1），接着又向右平移1个单位至点A 2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A 3（0，2），向右平移1个单位至点A 4（1，2），…，照此规律平移下去，点A 平移至点A 2023时，点A 2023的坐标是（ ）A ．（1009，1011）B ．（1009，1010）C ．（1010，1012）D ．（1010，1011）4．点P 在的角平分线上，点P 到边的距离为10，点Q 是边上任意一点，则的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）ABCD AB CD AD BCAD BC =AB CD A C ∠=∠B D ∠=∠AB CD =AD BC=AOB ∠OA OB PQ 123(5)9x x +≥⎧⎨-<-⎩ABCD AC ABC ACA ．2B ．3C ．4D ．57．已知直线l ：y=2x+4，把直线l 向右平移6个单位得到直线l 1，则直线l 1的表达式为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若数a 使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y 的不等式组{y +23−y2>12(y−a )≤0的解集为，则符合条件的所有整数的和为（ ）A ．10B ．15C ．18D ．239．如图所示，在中，，AD 平分，于点E ，则下列结论：① DA 平分；②∠=∠；③DE 平分∠；④．其中正确的有A ．①②B ．①④C ．③④D ．①②④10．如图，AD 为等边△ABC 的高，E 、F 分别为线段AD 、AC 上的动点，且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时，∠AFB ＝A ．112.5°B ．105°C ．90°D ．82.5°二、填空题11．在实数范围内因式分解：＝ ．24y x =-+26y x =-28y x =-24y x =--3411a x x+=--2y <-a ABC ∆90C ∠= BAC ∠DE AB ⊥CDE ∠BAC BDE ADB BE AC AB +=22x -12．下列条件：①∠C ＝∠A －∠B ；②∠A ：∠B ：∠C ＝5∶2∶3；③a＝c ，b ＝c ；④a ∶b ∶c ＝1∶2，则能确定△ABC 是直角三角形的条件有 个．13．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是 ．14．在等边△ABC 所在平面内有点P ，且使得△ABP ，△ACP ，△BCP 均为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 个．15．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，过点C 的直线m 平行AB ，D 、E 分别是线段AB 、直线m 上的点，先按如图方式进行折叠，点A 、C 分别落在A′、C′处，且A′C′经过点B ，DE 为折痕，当C′E ⊥m 时， 的值为 ．三、计算题16．先化简，再求值：，其中．四、解答题17．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．18．去年冬天某市遭遇持续暴雪天气，该市启用了清雪机，已知一台清雪机的工作效率相当于一名环卫工人工作效率的200倍，若用这台清雪机清理6000立方米的雪，要比120名环卫工人清理这些雪少用 小时，试求一台清雪机每小时清雪多少立方米． 19．先化简 ÷ ，然后从0，1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值． 20．已知：如图， ， 是平行四边形 的对角线 所在直线上的两点，且．求证：四边形 是平行四边形．3545BA BC ''253222m m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭5m =2151132x x -+-≥832222121a a a a ⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭221a a a +-A C DEBF EF AE CF =ABCD21．已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点D 按顺时针方向旋转后得到，且A 、C 、E 三点共线，若，，求的度数与的长．22．如图，平行四边形的对角线、交于点O ，点E 、F 在上，且求证：．23．阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且∠AED ＝∠B ，延长DE 与BC 的延长线交于点F ，∠BAC 和∠BFD 的角平分线交于点G ．那么AG 与FG 的位置关系如何？为什么？解：AG ⊥FG ．将AG 、DF 的交点记为点P ，延长AG 交BC 于点Q ．因为AG 、FG 分别平分∠BAC 和∠BFD （已知）所以∠BAG ＝▲ ， ▲ （角平分线定义）又因为∠FPQ ＝ ▲ +∠AED ，▲ ＝ ▲ +∠B （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∠AED ＝∠B （已知）所以∠FPQ ＝ ▲ （等式性质）（请完成以下说理过程）ABC 120BAC ∠=︒BC BCD ABD 60︒ECD 3AB =2AC =BAD ∠AD ABCD AC BD AC .OE OF =BE DF =答案解析部分1．A【解答】解：由题意可得：正多边形的边数为：360°÷60°＝6.故答案为：A.【分析】多边形的外角和等于360°，利用360°除以外角的度数即得正多边形的边数.2．B【解答】解：A 、∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，A 不符合题意；B 、∵AD ＝BC ，AB ∥CD ，可能得出四边形ABCD 是等腰梯形，B 符合题意；C 、∵∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，∴四边形ABCD 是平行四边形，C 不符合题意；D 、∵AB =CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，D 不符合题意；故答案为：B.【分析】根据平行四边形的判定逐一进行判断即可.3．C【解答】解：∵ A 1（-1，1）， A 2（0，1）， A 3（0，2） ， A 4（1，2） ，∴A 5（1，3），A 7（2，4）…A 2n-1（-2+n ，n ），∴2n-1=2023，解之：n=1012，∴-2+1012=1000，∴点A 2023（1000，1012）.故答案为：C【分析】利用点A 1，A 3，A 5，A 7的横纵坐标的规律可知A 2n-1（-2+n ，n ），要求点A 2023的坐标，可得到关于n 的方程，解方程求出n 的值，再将n 的值，代入可得到点点A 2023的坐标.4．C【解答】解：∵P 在的角平分线上，点P 到边的距离为10，∴点P 到边的距离为10，∴的最小值为10．故答案为：C ．【分析】根据角平分线的性质和垂线段最短的性质可得的最小值为10。
北师大版八年级下数学期末复习压轴题
精编学习资料欢迎下载期末复习压轴题2011 福建厦门， 25）如图，在四边形ABCD中，∠ BAC=∠ ACD=90°，∠ B=∠ D．（1）求证：四边形 ABCD是平行四边形；（2）若 AB=3cm，BC=5cm，AE=1AB，点 P 从 B 点出发，以 1cm/ s 的速度沿 BC→ CD→ DA运3动至 A 点停止，则从运动开始经过多少时间，△ BEP为等腰三角形？31.（ 2011 四川达州， 20，6 分）如图，△ ABC 的边 BC 在直线 m 上，AC⊥ BC，且 AC=BC，△D EF 的边 FE 也在直线 m 上，边 DF 与边 AC 重合，且 DF =EF ．（1）在图（ 1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与 AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△ DEF 沿直线 m 向左平移到图（2）的位置时， DE 交 AC 于点 G，连接 AE，BG．猜想△ BCG 与△ ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．F GAB C5、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图 1G图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直F A 线上，另一条直角边恰好经过点B．E（1）在图 1 中请你通过观察、测量BF与 CG的长度，猜想并写出BF与 CG满足B D C的数量关系，图 2然后证明你的猜想；GE AFBC D图 3（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与 AC边在同一直线上，另一条直角边交边于点，过点D作⊥ 于点．此时请你通过观察、测量、与BC D DEBAE DE DF CG的长度，猜想并写出DE＋ DF与 CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（ 2 ）的基础上沿AC方向继续平移到图 3 所示的位置（点 F 在线段 AC 上，且点 F 与点 C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）2、图 1 是边长分别为 a 和 b（a＞ b）的两个等边三角形纸片ABC和 C′ DE叠放在一起（ C 与 C′重合）的图形．（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连结AD，BE，如图2；在图 2 中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．（ 2）操作：若将图 1 中的△绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度，连结，C′DE AD BE，如图3；在图3中，线段BE与 AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．（ 3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD 的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？（不要求证明）AA AD DEEBE C B C B C D25．如图 1，在△ ACB和△ AED 中，AC=BC，AE=DE，∠ ACB＝∠ AED＝ 90° , 点 E 在 AB 上， F 是线段 BD 的中点，连结CE、 FE.（ 1）请你探究线段CE与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图 1 中的△ AED 绕点 A 顺时针旋转，使△ AED 的一边 AE 恰好与△ ACB的边 AC 在同一条直线上（如图 2），连结 BD，取 BD 的中点 F，问（ 1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（ 3）将图 1 中的△ AED绕点 A 顺时针旋转任意的角度（如图点 F，问（ 1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．3），连结BD，取BD 的中A A AEEEDDFDFFCCBCBB图 1图2图37.(2010 台州市 ) 如图 1，Rt △ ABC ≌ Rt △ EDF ，∠ ACB=∠ F=90°，∠ A=∠E=30°．△ EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转， DE ， DF 分别交线段．． AC 于点 M ，K ．（ 1）观察： ①如图 2、图 3 ，当∠ CDF=0°或 60°时， AM +CK_______MK(填“ >”，“ <”或“ =”)．②如图 4，当∠ CDF=30°时， AM+CK___MK(只填“ >”或“ <”)．（ 2）猜想：如图 1，当 0°＜∠ CDF ＜ 60°时， AM+CK_______MK ，证明你所得到的结论．（ 3）如果 MK 2 CK 2 AM 2 ，请直接写出∠ CDF 的度数和MKAMEE的值．F图 1图 2KEFM图 3（第 23 题）图 4MLADAEDA (M)例 6如图（ 1），在 ABC 中， AB BC5, AC 6. ECD 是 ABC 沿 BC 方向平移得A到的，连结 BE 交 AC 于点 O , 连结 AE 。
北师大版八年级下册数学期末几何压轴题专练(含答案)
八下数学期末复习专题几何压轴题专练1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，△DAE＝△BAC，连接CE.设△BAC＝α，△DCE＝β.（1）求证：△DAB△△EAC.（2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝°.②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明.（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明.2．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4.（1）如图1，当△DAG＝30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长. 3．如图（1）如图1，在□ABCD中，AE平分△BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于cm。
（2）如图2，在□ABCD中，若AE，BE分别是△DAB，△CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则▱ABCD的周长为。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是△DAB，△CBA的平分线。
求证：DF=EC（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为。
4．已知,在▱ABCD中, AB⊥BD, AB＝BD, E为射线BC上一点,连接AE交BD 于点F．（1）如图1,若点E与点C重合,且AF=√5,求AB的长;（2）如图2,当点E在BC边上时,过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H,连接FH．求证: AF=DH+FH;（3）如图3,当点E在射线BC上运动时,过点D作DG⊥AE于G, M为AG 的中点,点N在BC边上且BN=1,已知AB=5√2,请直接写出MN的最小值．5．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若PQ△AB，由折叠性质可得△BPC＝°；（2）若a＝8，b＝6，且PQ△AB，求C到AB的距离及BP的长；（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．6．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC 绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；（3）若AB＝1，BC＝√5，求当α等于多少度时，BF＝DF？7．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1.连接AA1，BB1交于点D.（1）如图1，当点A1落在BC的延长线上时，求线段AB1的长；（2）如图2，当△ABC旋转到任意位置时，求证：点D为线段AA1中点；（3）若△A1B1C从图1的位置绕点C继续顺时针旋转α（0°<α≤90°），当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，求α的值.8．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝2，BD△AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF 的面积.9．如图（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，证明线段BC，DC，EC之间满足的等量关系;（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论;（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°若BD＝12，CD＝4，求AD的长.10．把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE.（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α=60°，求△ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分△BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE=DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出△F的度数（用含α的式子表示）.11．如图1，在平面直角坐标系中.直线y=−12x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90∘得到CD，此时点D 恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC△ △CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上.是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．12．在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，AB=2．（1）如图①，点E为AD的中点，则点E到AB的距离为；（2）如图②，点M为AD上一动点，求12AM+MC的最小值．（3）（问题解决）如图③，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM=（千米）处．13．已知Rt△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE△AE，过点B作BD△AE，交AE的延长线于D．（1）如图1，求证BD=AE；（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求△EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG△FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM 的面积为30，△EHB=△BHG，求线段EH的长．14．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求△APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′△△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出△APB ＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图②，△ABC中，△CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且△EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．15．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE.（1）如图1，如果点D在BC上，且BD=4，CD=3，求DE的长；（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD⊥BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM=AF，求证：CF=AN+MN；（3）如图3，若AD=AB，△ADE绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出DF:DN:AN的值.16．如图1，△ABC是直角三角形，△ACB＝90°，点D在AC上，DE△AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF.（1）EF和CF的数量关系为；（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系；（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明.17．我们定义：如图1、图2、图3，在ΔABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180∘时，我们称ΔAB′C′是ΔABC的“旋补三角形”，ΔAB′C′边B′C′上的中线AD叫做ΔABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的ΔAB′C′均是ΔABC的“旋补三角形”.（1）①如图2，当ΔABC为等边三角形时，“旋补中线” AD与BC的数量关系为：AD=BC；②如图3，当∠BAC=90∘，BC=8时，则“旋补中线” AD长为.（2）在图1中，当ΔABC为任意三角形时，猜想“旋补中线” AD与BC的数量关系，并给予证明.18．在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在（图25-1）中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图25-2），求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG//CE，FG=CE，分别连接BD、DG（如图25--3），直接写出∠BDG的度数．19．在△ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF△l于点F，DG△l于点G，连接OF，OG．（1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF，OG的数量关系；（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请证明你的结论；（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，上述的结论是否仍成立？请说明理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝√5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小.21．如图1，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值.22．如图，已知函数y=﹣12x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2．（1）求点A的坐标；（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣12x+b和y=x的图象于点C、D．①若OB=2CD，求a的值；②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析1．【答案】（1）证明：∵△DAE＝△BAC，∴△CAD﹣△DAE＝△CAD﹣△BAC，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAF AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS）（2）解：①130；②α+β＝180°，理由：由（1）知，△DAB△△EAC，∴△ABC＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴β＝△ACB+△ACE＝△ACB+△ABC＝90°﹣12α+90°﹣12α＝180°﹣α，∴α+β＝180°（3）解：β＝α；理由：∵△DAE＝△BAC，∴△DAE﹣△BAE＝△BAC﹣△BAE，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAB AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS），∴△ABD＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴△ACE＝△ABD＝180°﹣△ABC＝180°﹣（90°﹣12α）＝90°+12α，∴β＝△ACE﹣△ACB＝90°+ 12α﹣（90°﹣12α）＝α.2．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴△BAD＝90°，∵△DAG ＝30°，∴△BAG ＝60°由折叠知，△BAE ＝12△BAG ＝30°， 在Rt△BAE 中，△BAE ＝30°，AB ＝3，∴BE ＝√3（2）解：如图4，连接GE ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵在矩形ABCD 中，∴△C ＝90°，∴△EFG ＝90°，∵在Rt△GFE 和Rt△GCE 中，{EG =EG EF =EC∴Rt△GFE△Rt△GCE （HL ），∴GF ＝GC ；设GC ＝x ，则AG ＝3+x ，DG ＝3﹣x ，在Rt△ADG 中，42+（3﹣x ）2＝（3+x ）2，解得x ＝43. （3）解：BE ＝323．【答案】（1）2（2）12（3）证明：∵在▱ABCD 中，CD△AB ，∴△DFA=△FAB.又∵AF是△DAB的平分线∴△DAF=△FAB，∴△DAF=△DFA，∴AD=DF，同理可得EC=BC.∵AD=BC，∴DF=EC（4）14．【答案】（1）解：如图1中，∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°,∵AB=BD,∠BAD=45°,∴∠BDA=∠BAD=45°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴E、C重合时BF=12BD=12AB,在RtΔABF中,∵AF2=AB2+BF2,∴(√5)2=(2BF)2+BF2,∴BF=1, AB=2,∴AB=2;（2）证明：如图2中，在AF上截取AK=HD,连接BK,∵AB⊥BD, DG⊥AE,∴∠ABF=∠FGD=90°,∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3, ∠ABF=∠FGD=90°,∴∠2=∠3,在ABK和ΔDBH中, {AB=BD ∠2=∠3 AK=HD,∴ΔABK≅ΔDBH,∴BK=BH, ∠6=∠1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC,∴∠4=∠1,由（1）知∠4=45°,∴∠l=∠6=45°,∴∠5=∠ABD−∠6=45°,∠5=∠1,在ΔFBK和ΔFBH中, {BF=BF ∠5=∠1 BK=BH,∴ΔFBK≅ΔFBH,∴KF=FH,∵AF=AK+KF，∴AF=DH+FH；（3）解：MN的最小值为√149−52．5．【答案】（1）45（2）解：如图，作CH△AB于H由翻折的性质可知：△APC=△QPC∵CH△AB，△BPC=45°∴CH=PH在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+62=10∵12⋅AB ⋅CH =12⋅AC ⋅BC ，即 5CH =24 ∴CH= 245； （3）解：如图:连接BQ由翻折的性质可得：PA=PQ ，△QPC=△APC∵四边形BCPQ 是平行四边形∴PQ=BC=PA=b ，PQ//BC ，∴△QPC+△PCB=180°∵△BPC+△APC=180°∴△PCB=△BPC∴PB=BC=b∴AP=PB=b ，AB=2b ，在Rt△ABC 中，则有（2b ）2=a 2+b 2∴a 2=3b 2∵a>0.b>0，∴a= √3b ．6．【答案】（1）解：AF=CE.理由如下：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD // CB ，OA=OC.∴△FAO=△ECO.在 △AOF 和 △COE 中，∵{∠AOF =∠COE,OA =OC,∠FAO =∠ECO,∴△AOF ≌△COE(ASA) .∴AF=CE.（2）解：当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形.理由如下：∵△AOF= 90°，△BAC= 90°，∴AB //EF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AF//BE.∴四边形ABEF为平行四边形（3）解：当α等于45度时，BF＝DF.理由如下：∵AB=1，BC= √5，AB△AC，∴AC= √BC2−AB2=√(√5)2−12=2.∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=12AC=12×2=1，BO=DO.∴OA=AB=1.点O在线段BD的垂直平分线上.∴△ABO为等腰直角三角形.∴△AOB= 45°.当F在线段BD的垂直平分线上时，BF=DF，∴FO垂直平分BD.∴△BOF=90°.∴∠AOF=∠BOF−∠AOB=90°−45°=45°，即α=45°.∴当α等于45度时，BF＝DF.7．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，∴∠ACB=45°，AC=√AB2+BC2=√42+42=4√2.∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，∴∠A1CB1=45°，B1C=BC=4.∴∠ACB1=180°−∠ACB−∠A1CB1=90°.∴AB1=√AC2+B1C2=√(4√2)2+42=4√3（2）证明：过点A1作A1E//AB交BB1的延长线于点E，∴∠ABD=∠DEA1.∵B1C=BC，∴∠CBB1=∠CB1B.∵∠ABC=∠A1B1C=90°，∴∠ABD+∠CBB1=∠CB1B+∠A1B1E=90°.∴∠A1B1E=∠ABD=∠DEA1.∴A1B1=A1E.∵AB=A1B1，∴AB=A1E.∵∠ADB=∠A1DE，∴△ADB≅△A1DE.∴AD=∠A1D.∴点D为线段AA1中点（3）解：如图3，当直线AB与直线A1B1相交于点A上方，延长BC交A1B1于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠CA1B1=45°，∴∠A1CE=∠PEB−∠CA1E=15°.如图4，当直线AB与直线A1B1相交于点A下方，延长BC交A1B1的延长线于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠A1B1C=90°，∴∠B1CE=∠A1B1C−∠PEB=30°.∴∠A1CE=∠B1CE+∠A1CB=75°.∴当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，α的值为15°或75°.8．【答案】（1）证明：根据旋转的性质可得，DE=DF，△EDF=90°∵BD△AD∴△ADB=90°∴△ADE=△BDF∵AD=BD∴△ADE△△BDF∴BF=AE（2）过点D 作DG△AC 于点G ，∵DE=DF ，△EDF=90°∴△DEF=△DFE=45°，△DEA=135°根据（1）可得，△ADE△△BDF∴△BFD=△DEA=135°，AE=BF∴△BFO=90°∵四边形ABCD 为平行四边形∴OB=OD∴△DGO△△BFO∴DG=BF ，OF=OG∴DG=EG=AE=BF设DG=a （a ＞0），则AG=2a在直角三角形ADG 中，∵AG 2+DG 2=AD 2∴（2a ）2+a 2=22解得a=2√55 ∴OF=OG=12×2√55=√55（3）过点D 作DN△AC 于点N ，将△DEN 绕点D 逆时针旋转90°得到△DFH ，∴DH=DN ，△DNE=△DH=90°，△DEN=△DFG∵△DEF=△FME=90°∴△DEM+△DFM=180°∴△DFH+△DFM=180°∴点H ，点F ，点M 三点共线∵△DHF=△DNM=△FMN=90°∴四边形DNMG 为矩形∵DN=DH∴四边形DNMH 为正方形∴S 四边形DEMF=S 四边形DNMH=（2√55）2=459．【答案】（1）解：∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴DB=EC∴BC=DC+DB=DC+EC（2）解：连结CE∵Rt△ABC与Rt△ADE中AB＝AC，AD＝AE∴∠B=∠ACE=45°，DE2=AD2+AE2=2AD2，∵由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC,∠ABD=∠ACE=45°∴∠ECD=90°∴Rt△ECD中，DE2=EC2+CD2=BD2+CD2∴2AD2=BD2+CD2（3）解：过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连结DE,CE∵∠ABC=∠ACB=45°∴AB⊥AC,AB=AC∵AE⊥AD,AE=AD∴由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC=12∵∠ADC=45°∴∠EDC=∠ADC+∠ADE=90°∴DE=√CE2−CD2=√122−42=8√2∴等腰直角△ADE中AD=810．【答案】（1）解：∵α=60°，△ABC△△ADE，∴ AD=AB，△ABC=△ADE.∴ △ABD=△DAB=60°.∴ △ABC=△ADE=△DAB+△ABD=120°.（2）解：∵ AC=AE,△EAC= α，∴ △E=△ACE.∵ △ABC△△ADE，∴ △ACB=△E.∴ △ACB=△ACE.∴ CA平分△BCE.（3）解：△F= 90°−α.如下图：延长AD交EF于点G，则根据图形旋转的性质得，△GAF=α，∵△ABC△△ADE∴AC=AE，∴△AEC为等腰三角形，在△AED和△ACD中，{AE=AC DE=CD AD=AD，∴ △AED △ △ACD（SSS），∴ △DAE=△DAC，∴ AD平分△EAC，∵△AEC为等腰三角形，∴AG△EF，即△AGF=90°，∴∠EAF=3∠CAF=32α，∴∠F=180°−∠GAF−∠AGF=90°−α.11．【答案】（1）证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90∘，∴∠OCB+∠DCE=90∘，∠DCE+∠CDE=90∘，∴∠BCO=∠CDE，∵BC=CD，∴△BOC△ △CED．（2）解：∵△BOC△ △CED，∴OC=DE=m，BO=CE=3，∴D(m+3,m)，把D(m+3,m)代入y=−12x+3得到，m=−12(m+3)+3，∴2m=−m−3+6，∴m=1，∴D(4,1)，∵B(0,3)，C(1,0)，∴直线BC的解析式为y=−3x+3，设直线B′C′的解析式为y=−3x+b，把D(4,1)代入得到b=13，∴直线B′C′的解析式为y=−3x+13，∴C′(133,0)，∴CC′=103，∴△BCD平移的距离是103个单位．（3）点Q的坐标为(3,32)或(5,12)或(−3,92).12．【答案】（1）√34（2）解：如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时12AM+MC最小，最小值等于CN，∵在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2，∠ANC=90°，∴AN=1，由勾股定理得，CN=√3由（1）知，MN=12AM∴MN+CM=12AM+MC=CN=√3，即12AM+MC的最小值为√3（3）( 480−120√3 )13．【答案】（1）证明：∵CE△AE，BD△AE，∴△AEC＝△ADB＝90°，∵△BAC＝90°，∴△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，∴△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中{∠ACE=∠BAD ∠AEC=∠ADB AC=AB∴△CAE△△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）解：连接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴△BAH＝12∠BAC=12×90°=45°，△AHB＝90°，∴△ABH＝△BAH＝45°，∴AH＝BH，∵△EAH＝△BAH﹣△BAD＝45°﹣△BAD，△DBH＝180°﹣△ADB﹣△BAD﹣△ABH＝45°﹣△BAD，∴△EAH＝△DBH，在△AEH与△BDH中{AE=BD∠EAH=∠DBH AH=BH∴△AEH△△BDH（SAS），∴EH＝DH，△AHE＝△BHD，∴△AHE+△EHB＝△BHD+△EHB＝90°即△EHD＝90°，∴△EDH ＝△DEH ＝ 180°−90°2=45° ；（3）解：过点M 作MS△FH 于点S ，过点E 作ER△FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET△BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG△FH ，ER△FH ，∴△DGH ＝△ERH ＝90°，∴△HDG+△DHG ＝90°∵△DHE ＝90°，∴△EHR+△DHG ＝90°，∴△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中{∠HDG =∠HER ∠DGH =∠ERH DH =EH∴△DHG△△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET△BC ，∴△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，∵△EHB ＝△BHG ，∴△HET ＝△ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中{∠ETF =∠FHM ∠EFT =∠MFH EF =FM，∴△EFT△△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ，∴HF·MS 2=FT·ER 2， ∴ER ＝MS ，∴HG＝ER＝MS，设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，HF·MS 2=5k·6k2=30，k＝√2，∴FH＝5 √2，∴HE＝HT＝2HF＝10 √2．14．【答案】（1）150°（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，△CAE′＝△BAE，△ACE′＝△B，△EAE′＝90°，∵△EAF＝45°，∴△E′AF＝△EAE′-△EAF=45°，∴△EAF＝△E′AF，在△EAF和△E′AF中，{AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF∴△EAF△△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵△CAB＝90°，AB＝AC，∴△B＝△ACB＝45°，∴△E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝√AB2−AC2=√3，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，△ABC=30°，∴△A′BC＝△ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，△BOO′＝△BO′O＝60°，∵△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，∴△COB+△BOO′＝△BO′A′+△BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝√BC2+A′B2=√(√3)2+22=√7，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝√7．15．【答案】（1）解：连接EC，又AB=AC，AD=AE，∴BD=CE=4，∠ACE=∠ABC，∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠ACB=90°∴△ACE是直角三角形，∴DE=√CD2+CE2=√32+42=5；（2）解：∵∠BAD+∠DAC=90°,∠EAC+∠DAC=90°∴∠BAD=∠EAC∵{AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠ABD=∠ACE∵AD⊥BD∴∠BAD=90°−∠ABD∵∠BAC=90°∴∠DAC=90°−∠BAD∴∠DAC=∠ABD∴∠ACF=∠DAC∴AD//CF过点A作AP//BC交FC于点P，∴四边形ANCP是平行四边形∴AN=CP，NC=AP∵AP//BC∴∠FAP=∠ABC=45°{PA=NC∠PAF=∠NCM AF=CN∴△PAF≅△NCM(SAS)∴MN=PF∴AN+MN=CP+FP=CF；（3）DF:DN:AN=1:2:216．【答案】（1）EF＝CF（2）EF＝CF（3）解：猜想，EF＝CF，理由：如图3中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN.∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF△AD，MF＝12AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF△AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，△FMA＝△ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，△AED＝90°，∴EN＝12AD＝AN＝ND，同理CM＝12AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，△AEN＝△EAN，△MCA＝△MAC，∵△MAC＝△EAN，∴△AMC＝△ANE，又∵△FMA＝△ANF，∴△ENF＝△FMC，∵AM＝FN，AM＝CM，∴CM＝NF，在△MFC和△NEF中，{MF=EN∠FMC=∠ENFMC=NF，∴△MFC△△NEF（SAS），∴FE＝FC.17．【答案】（1）12；4（2）解：结论：AD=12BC.理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M，∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180∘，∠B′AC′+∠AB′M=180∘，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴ΔBAC≅ΔAB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC.18．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB△CD，AD△BC∴△BAF=△F，△DAF=△CEF又∵AE平分△BAD∴△BAF=△DAF∴△F=△CEF∴CE=CF（2）如图，连接CG、BG.∵ABCD是平行四边形，△ABC＝90°∴平行四边形ABCD是矩形∴AB=DC，AB△DC，AD△BC，△BAD＝△ADC=△BCD＝△ECF＝90° ∴△F=△BAE，△DBC=△ADB∵△BAD＝90° ，△BAE＝12△BAD=45°∴AB=BE，△F=△BAE=45°∴CE=CF∴BC=BE+EC=AB+CF=CD+CF=DF又∵G 是EF 的中点，△ECF ＝90° ,CE=CF∴CG=FG=12EF,△ECG=12△ECF=45° ∴△ECG=△F∴△DFG△△BCG∴△FDG ＝△CBG ，DG=BG∴△DBG=△BDG∵△DBC=△ADB,△FDG ＝△CBG∴△DBC+△CBG=△ADB+△FDG即△DBG=△ADB+△FDG∴△BDG=△ADB+△FDG又∵△BDG+（△ADB+△FDG ）=90°∴△BDG=12△ADC=45° （3）如图，连接GB 、GE 、GC 。
北师大版八年级数学下册期末复习：几何压轴题专项练习
2020-2021学年北师大版八年级数学下册期末复习：几何压轴题专项练习1、已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果∠BDC=30°，DE=2，EC=3，求CD的长．2、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是平行四边形ABCD的对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．（2）若AE＝DE，求∠G的度数．3、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH ∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．求证：△AHF为等腰直角三角形．4、如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝，求DF的长．5、如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、FA．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．6、如图，矩形ABCD ，延长CD 至点E ，使DE CD =，连接AC AE ，，过点C 作//CF AE 交AD 的延长线于点F ，连接EF .（1）求证：四边形ACFE 是菱形；（2）连接BE 交AD 于点G ，当2AB =，30ACB ∠=︒时，求BG 的长.77、如图，在平行四边形ABCD 中，AF 平分BAD ∠交BC 于点F ，CE 平分BCD ∠交于点E（1）若12,6AD AB ==，求CF 的长；（2）连接BE 与AF 相交于点G ，连接DF ，与CE 相交于点H ，求证：GH 和EF 互相平分.8、如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．9、在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC＝6，DE＝4，则DF＝．10、问题提出：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝90°，∠DBC＝30°，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连接BD'（如图2），可求出∠ADB的度数为．问题探究：（2）如图3，在（1）的条件下，若∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，∠DBC＜∠ABC，①求∠ADB的度数．②过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于点E，BC＝7，AD＝2．请求出线段BE的长．11、如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△＝2S△OBG时，求t的值．ABG（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG+BH的最小值．12、在▱ABCD中，以AD为边在▱ABCD内作等边△ADE，连接BE．（1）如图1，若点E在对角线BD上，过点A作AH⊥BD于点H，且∠DAB＝75°，AB＝，求AH的长度；（2）如图2，若点F是BE的中点，且CF⊥BE，过点E作MN∥CF，分别交AB，CD于点M，N，在DC上取DG＝CN，连接CE，EG．求证：①△CEN≌△DEG；②△ENG是等边三角形．13、在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．14、已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1），连接AF、CE．①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；②求AF的长；（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．15、在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x 轴和y轴的正半轴上，直线y＝mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG 为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，当菱形DEFG的一顶点F在AB边上．①若CG＝OD时，求直线DG的函数表达式；②求证：△OED≌△BGF．（2）如图2，当菱形DEFG的一顶点F在AB边右侧，连接BF，设CG＝a，△FBG 面积为S．求S与a的函数关系式；并判断S的值能否等于1？请说明理由；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．（直接写出答案）．。
期末数学几何综合题专题复习北师大版八年级下册
2020-2021学年度八年级下学期期末数学几何综合题专题复习1、如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F，连结BF．求证：四边形ABFC是平行四边形．2、如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，E是AB的中点，连接CE、DE．（1）求证：CE是∠BCD的平分线；（2）求∠DEC的大小．3、如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：OE＝OF；（2）若AC＝18，EF＝10，求AE的长．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G．（1）当∠B＝30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；（2）当点D在BC延长线上（CD＜BC）运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？6、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上．（1）若AC＝4，求DE的值；（2）确定△ACD的形状，并说明理由．7、如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求∠F的度数．8、（1）如图①所示，将等腰△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转α（0＜α＜90）角，得到△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，ED分别与AC．BC交于点F，G，BC与AD 相交于点H，求证：AH＝AF；（2）如图②所示，△ABC和△ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD，AE分别交于点F，G，请说明BF，FG，GC之间的数量．9、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？10、如图，AD∥BC，∠B＝∠D＝50°，点E、F在BC上，且满足∠CAD＝∠CAE，AF平分∠BAE．（1）∠CAF＝°；（2）若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动CD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFB＝∠ACD？若存在，求出∠ACD度数；若不存在，说明理由．11、已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为：．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE ＝CF；（3）求△AEF周长的最小值．12、如图1，在△CEF中，CE＝CF，∠ECF＝90°，点A是∠ECF的平分线上一点，AG⊥CE于G，交FE的延长线于B，AD⊥AE交CF的延长线于D，连接BC．（1）直接写出∠ABF的大小；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形；（3）建立如图2所示的坐标系，若BG＝2，BC＝，直线AD绕点D顺时针旋转45°得到直线l，求直线l的表达式．13、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB 匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE ⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长．14、如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E 分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝．（不要求写过程）15、如图，在三角形△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）线段AD＝cm；（2）求证：PB＝PQ；（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？16、如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，D为AB中点．点P 在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上以cm/s的速度由C点向A点运动，P、Q两点同时出发．（1）设运动时间为t，则BP的距离可表示为；CQ的距离可表示为；（2）在点P、Q的运动过程中，存在某一时刻，使得△BPD≌△CPQ吗？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）若点P、Q均以原来的速度按逆时针方向沿△ABC的三边循环运动，经过多长时间点P与点Q第一次相遇？此时它们在哪条边上？17、已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC．（1）填空：∠OBC＝°；（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为2秒时，△OMN的面积是多少？18、将两块全等的含30°角的三角尺如图（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3．（1）将△ECD沿直线l向左平移到图（2）的位置，使E点落在AB上，则CC′＝；（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图（3）的位置，使点E落在AB上，则△ECD 绕点C旋转的度数＝；（3）将△ECD沿直线AC翻折到图（4）的位置，ED′与AB相交于点F，求证：AF＝FD′．。
北师大八年级数学下学期期末复习专题整合训练
北师大八年级下期末复习专题整合训练目录：专题整合训练(1)三角形的证明 2——6专题整合训练(2)一元一次不等式与一元一次不等式组 7——8 专题整合训练(3)图形的平移与旋转 9——11专题整合训练(4)因式分解 12——13专题整合训练(5)分式与分式方程 14——15专题整合训练(6)平行四边形 16——17专题整合训练(1)三角形的证明专题一等腰三角形的性质与判定1.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为()A.40°B.36°C.30°D.25°2.如图所示,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE.①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答);(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).专题二等边三角形的性质与判定3.如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.4.如图,△ABC是等边三角形,∠1=∠2=∠3,求∠BEC的度数.5.如图所示,等边△ABC和等边△DCE在直线BCE的同一侧,AE交CD于点P,BD交AC于点Q,求证:△PQC为等边三角形.专题三直角三角形的性质与判定6.如图所示,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD.求证:△ABC是直角三角形.7.如图所示,点P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且PB=BQ,连接CQ,若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ.求证:△PQC是直角三角形.专题四线段垂直平分线与角平分线性质的应用8.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示△ABC的周长为.10.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC 的延长线于点F,若∠F=30°,DE=1,求BE的长.11.如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:AD垂直平分EF.专题整合训练(2)一元一次不等式与一元一次不等式组专题一不等式的基本性质1.已知实数a,b,若a>b,则下列结论正确的是()A.a-5<b-5B.2+a<2+bC.a3<b3D.3a>3b2.下列不等式变形正确的是(填写序号即可).(1)若b-3a<0,则b<3a;(2)若-5x>20,则x>-4;(3)若a>b,则a(c2+1)>b(c2+1).专题二求解一元一次不等式3.关于x的一元一次不等式m-2x3≤-2的解集为x≥4,则m的值为() A.14 B.7 C.-2 D.24.解不等式2x-13≤3x+24-1,并把它的解集表示在数轴上.专题三一元一次不等式的应用题5.某次篮球联赛初赛阶段,每队有10场比赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,积分超过15分才能获得决赛资格.(1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分,求甲队初赛阶段胜、负各多少场;(2)如果乙队要获得参加决赛资格,那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场?专题四求解一元一次不等式组6.不等式组2x+9>6x+1,x-k<1的解集为x<2,则k的取值范围为()A.k>1B.k<1C.k≥1D.k≤17.解不等式组5x-1<3(x+1),①2x-13≤4x+22.②专题五一次函数与一元一次不等式的联系8.在同一直角坐标系中,一次函数y1=k1x+b与正比例函数y2=k2x的图象如图所示,则满足y1≥y2的x的取值范围是()A.x≤-2B.x≥-2C.x<-2D.x>-2专题六利用一次函数解决最佳方案问题9.某校举办大型团体操表演,学校需要采购一批演出服装.A,B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解:两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同,即男装每套120元,女装每套100元.经洽谈协商:A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折,但校方需承担2 200元的运费;B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折,公司承担运费.另外根据大会组委会要求,参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人,如果设参加演出的男生有x人.(1)分别写出学校购买A,B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式.(2)问:该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算?请说明理由.专题整合训练(3)图形的平移与旋转专题一图形的平移1.如图,将△ABE向右平移2 cm得到△DCF,如果△ABE的周长是16 cm,那么四边形ABFD的周长是()A.16 cmB.18 cmC.20 cmD.21 cm2.如图,线段AB经过平移得到线段A'B',其中点A,B的对应点分别为点A',B',这四个点都在格点上.若线段AB上有一个点P(a,b),则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为()A.(a-2,b+3)B.(a-2,b-3)C.(a+2,b+3)D.(a+2,b-3)专题二图形的旋转3.如图,在6×4方格纸中,格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙,则其旋转中心是()A.格点MB.格点NC.格点PD.格点Q4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A'B'C',若点B'恰好落在线段AB上,AC,A'B'交于点O,则∠COA'的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°专题三中心对称5.下列电视台的台标,是中心对称图形的是()6.如图所示,△ABO与△CDO关于点O中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.专题四网格中的平移、旋转及中心对称作图7.如图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C都是格点.(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4).请解答下列问题:(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(2)画出△A1B1C1关于原点O中心对称的图形△A2B2C2,并写出点A2的坐标.专题整合训练(4)因式分解专题一对因式分解概念的理解1.下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是()A.a(x+y-1)=ax+ay-aB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x专题二多项式的因式分解2.多项式x2-9,x4-81,x2-6x+9的公因式是()A.x+3B.x-3C.(x+3)2D.(x-3)23.(1)因式分:mx2-4m=.(2)因式分:-2x2y+16xy-32y=.4.把下列多项式因式分(1)x2(a-1)+(1-a);(2)3x4-6x2+3;(3)(2x-5)2+6(2x-5)+9.专题三利用因式分解化简求值5.已知实数a,b满足ab=1,a+b=2,则代数式a2b+ab2的值是.6.当m+n=3时,代数式m2+2mn+n2的值为.7.已知2x-3=0,求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值.专题四因式分解的创新题8.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )A.我爱美B.宜昌游C.爱我宜昌D.美我宜昌9.请写一个能先用提公因式法、再运用公式法来因式分解的三项式,并写出这个三项式因式分解的结果.10.在三个整式x2+2xy,y2+2xy,x2中,请你任意选出两个进行加(或减)运算,使所得整式可以因式分解,并进行因式分解.专题整合训练(5)分式与分式方程专题一 分式有意义、分式值为零的条件1.若代数式1a -4在实数范围内有意义,则实数a 的取值范围为( ) A.a=4 B.a>4C.a<4 D.a ≠42.已知分式(x -1)(x +2)x 2-1的值为0,那么x 的值是( )A.-1B.-2C.1D.1或-2专题二 分式的基本性质 3.计算(x +y )2-(x -y )24xy的结果为( ) A.1B.12C.14D.04.不改变分式0.2x -0.1y1x +1y 的值,将它的分子、分母中各项的系数都化为整数的最简结果是 .专题三 分式的运算5.·内蒙古呼和浩特中考)先化简,再求值:x -2x 2+2x ÷x 2-4x +4x 2-4+12x ,其中x=-65.专题四 求解分式方程6.如果解关于x 的分式方程mx -2−2x2−x =1时出现增根,那么m 的值为( ) A.-2B.2C.4D.-47.已知关于x 的分式方程k x +1+x +k x -1=1的解为负数,求实数k 的取值范围.专题五列分式方程解应用题8.政府为了美化人民公园,计划对公园某区域进行改造,这项工程先由甲工程队,为了加快工程进度,乙工程队也加入施工,甲、乙两个施工10天完成了工程的14工程队合作10天完成了剩余的工程,求乙工程队单独完成这项工程需要几天.专题整合训练(6)平行四边形专题一平行四边形的性质1.如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为()A.14B.13C.12D.102.如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为.专题二平行四边形的判定3.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是()A.AB∥DC,AD∥BCB.AB=DC,AD=BCC.AO=CO,BO=DOD.AB∥DC,AD=BC4.如图,已知点D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系,并加以证明.专题三三角形中位线定理的应用5.如图,△ABC的周长是32,以它的三边中点为顶点组成第2个三角形,再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形,…,则第n个三角形的周长为.6.如图所示,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,BD=CE,M,N分别是BE与CD的中点,直线MN分别交AB,AC于点P,Q,试判断AP与AQ的大小关系,并证明你的结论.专题四多边形内角和、外角和定理的应用7.如果一个正多边形的内角和等于外角和2倍,则这个正多边形是()A.正方形B.正五边形C.正六边形D.正八边形8.若一个正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是.。
北师大版八年级下册几何专项训练B卷(第一、三章,无答案)
一、解答题1.如图，已知△ABC ，AC <BC ，请用尺规作图在BA 上取一点P ，使得PA +PC =BA ．2.已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E 是CD 的中点，AE 平分∠DAB．求证：BE 平分∠ABC．3.已知：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，AM=AC=CM，BC=CN=BN，∠ACM=∠BCN=60°，AN 交MC 于点E，BM 交CN 于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：判断△CEF 形状4.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，点D 在BC 上，且AD=AE.(1)若∠BAC=90°,∠BAD=30°，求∠EDC 的度数?(2)若∠BAC=a(a>30°),∠BAD=30°，求∠EDC 的度数?(3)猜想∠EDC 与∠BAD 的数量关系?(不必证明)5.如图，已知点D，E 分别是△ABC 的边BA 和BC 延长线上的点，作∠DAC 的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）作∠ACE 的平分线交AF 于点G，若∠B＝40°，求∠AGC 的度数．6.如图，在Rt∆ABC 中，∠ACB = 90 ，D 是AB 上一点，BD =BC ，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E .求证：CD ⊥BE .7.如图，已知A(-1,0),B(1,0),C 为y 轴正半轴上一点，点D 为第三象限一动点，CD 交AB 于F,且∠ADB=2∠BAC，(1)求证：∠ADB 与∠ACB 互补；(2)求证：CD 平分∠ADB；(3)若在D 点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数.8.如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E 在BC 上．过点D 作DF∥BC，连接DB．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）DF=CE．9.如图所示，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M 是AC 边的中点，求证△DEM 是等腰三角形．10.已知 ABC与 DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形．(1)如图①所示，连接AE ，DB ，试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②所示，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90 到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．11.如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝105°，∠BOC 等于α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.（1）求证：△COD 是等边三角形．（2）求∠OAD 的度数．（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？12.在四边形ABCD 中，∠ADC =∠B = 90 ，DE ⊥AB ，垂足为E ，AD =CD ，且DE =BE = 5 ，请用旋转图形的方法求四边形ABCD 的面积．13.在平面直角坐标系xOy 中，A 点的坐标为(3, 4)，将OA 绕原点O 顺时针旋转90 得到OA'，求点A '的坐标．14．（操作发现）（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB 上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB 上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF 的度数；②线段AE，ED，DB 之间的数量关系．15．如图所示：已知∆ABC 中，∠BAC = 90︒, AB =AC ，在∠BAC 内部作∠MAN = 45︒, AM、AN 分别交BC 于点M，N .[操作]（1）将∆ABM 绕点A 逆时针旋转90︒，使AB 边与AC 边重合，把旋转后点M 的对应点记作点Q ，得到ACQ ，请在图中画出∆ACQ ;(不写出画法)[探究]（2）在(1)作图的基础上，连接NQ ，求证：MN =NQ;BM , MN 和NC 之间满足的数量关系，并简要说明理由．[拓展]（3）写出线段。
北师大版数学八年级下册期末复习(六) 平行四边形
期末复习(六) 平行四边形01 各个击破)命题点1 平行四边形的性质与判定【例1】 (桂林中考)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． (1)求证：四边形EBFD 为平行四边形；(2)对角线AC 分别与DE ，BF 交于点M ，N ，求证：△ABN≌△CDM.【思路点拨】 (1)先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB ＝CD ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；(2)因为AB ＝CD ，∠CAB ＝∠ACD 已知，则只需要再证明一组对应角相等即可． 【解答】 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12DC. ∴BEDF.∴四边形EBFD 为平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∴∠CAB ＝∠ACD.∵四边形EBFD 为平行四边形， ∴∠ABN ＝∠CDM. 又∵AB＝CD ，∴△ABN ≌△CDM(ASA)．【方法归纳】 1.判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 2．利用平行四边形的性质进行计算的方法：(1)利用平行四边形的性质，通过角度或线段之间的等量转化进行相应的计算；(2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可通过三角形全等的性质进行求解．1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ，BD 相交于点O ，若AC ＝6，则AO 的长度等于3．2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并说明理由．解：线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是相等且平行． 理由：∵CE∥AB， ∴∠DAO ＝∠ECO.∵OA ＝OC ，∠AOD ＝∠COE， ∴△ADO ≌△CEO.∴AD ＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∴CD ∥AE ，CD ＝AE.3．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴∠DAE ＝∠F，∠D ＝∠ECF. ∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF＝∠F，∠D ＝∠ECF，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS)． (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.命题点2 三角形的中位线【例2】 (邵阳中考)如图，等边三角形ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连接CD 和EF. (1)求证：DE ＝CF ； (2)求EF 的长．【思路点拨】 (1)欲证DE ＝CF ，由三角形中位线定理可知DE ＝12BC ，而条件中有CF ＝12BC 故易证得；(2)欲求EF 的长，可证四边形DEFC 是平行四边形，因此只需求出CD 的长．在等边三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，因此运用勾股定理可求出，问题获解．【解答】 (1)证明：∵D，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12BC ，且DE∥BC. ∵点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，∴DE ∥CF ，且DE ＝CF.(2)由(1)知DE∥CF，且DE ＝CF ， ∴四边形DEFC 为平行四边形．∵△ABC 是等边三角形，边长是2，点D 是AB 的中点，AB ＝BC ＝2， ∴CD ⊥AB ，∠BDC ＝90°，BD ＝12AB ＝1. ∴CD ＝BC 2－BD 2＝22－12＝ 3. ∵四边形DEFC 为平行四边形， ∴EF ＝CD ＝ 3.【方法归纳】 若题中有中点通常考虑到三角形的中线和中位线，而在等边三角形(等腰三角形)中，中线同时也是高和角平分线．4．如图，CD 是△ABC 的中线，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点，EF ＝2，则BD ＝4．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝70°，求∠PMN 的度数．解：∵M，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∴MP ，PN 分别是△ABD，△BCD 的中位线， ∴MP12AB, PN12CD.∴∠MPD ＝∠ABD＝20°，∠BPN ＝∠BDC＝70°. ∴∠DPN ＝110°.∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝20°＋110°＝130°. 又∵AB＝CD ，∴MP ＝PN. ∴∠PMN ＝∠PNM. ∴∠PMN ＝25°.命题点3 多边形的内角和与外角和【例3】(泰安中考)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)A．90°B．180°C．210°D．270°【思路点拨】由AB∥CD，推导∠B＋∠C＝180°，故∠B，∠C两角的外角和是180°，根据多边形外角和等于360°可计算∠1＋∠2＋∠3度数．【方法归纳】对于求多边形的外角和或部分外角的和的问题，都要根据任意多边形的外角和是360°以及邻角和其补角的互补关系这两个知识点，来解决问题．6．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8．7．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E＋∠F＝260°，求两外角和α＋β的度数．解：∵AB⊥AF，BC⊥DC，∴∠A＝∠C＝90°.又∵∠E＋∠F＝260°，∴∠EDC＋∠ABC＝(6－2)×180°－90°×2－260°＝280°.∴β＋α＝(180°－∠EDC)＋(180°－∠ABC)＝360°－(∠EDC＋∠ABC)＝80°.故两外角和α＋β的度数为80°.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知平行四边形ABCD的周长为32 cm，AB＝4 cm，则BC的长为(B)A．4 cm B．12 cmD．16 cm D．24 cm2．(西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4 C．6 D．83．(临沂中考)将一个n边形变成n＋1边形，内角和将(C)A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°4．(乐山中考)如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD 的周长为(D)A．5B．7C．10D．145．某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是(C)A．4和7 B．5和7C．5和8 D．4和176．(葫芦岛中考)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是(A)A．60°B．65°C．55°D．50°7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(B)A．2 3 B．43C．4 D．88．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B 为顶点的网格平行四边形的个数为(D)A．6个B．8个C．10个D．12个二、填空题(每小题4分，共24分)9．(陕西中考)一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的边数是8．10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件AE＝FC或∠ABE＝∠CDF，则四边形EBFD为平行四边形．11．(娄底中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO 的周长是9．12．(泉州中考)如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝3，则AB 的长为3．14．在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10 cm ，6 cm ，一条对角线的长为8 cm ；则原三角形纸片的周长是48_cm 或(32＋813)cm ．三、解答题(共52分)15．(6分)一个多边形的内角和与外角和的差为1 260度，求它的边数． 解：设多边形的边数是n ，则(n －2)·180－360＝1 260.解得n ＝11. 答：它的边数为11.16．(8分)(陕西中考)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF ，CE ，求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.在△ADF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，∠ADF ＝∠CBE，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS)． ∴∠AFD ＝∠CEB. ∴AF ∥CE.17．(8分)(永州中考)如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3. (1)求证：BN ＝DN ； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AN 平分∠BAC， ∴∠BAN ＝∠DAN. ∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN ，∴△ABN ≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN. (2)∵△ABN≌△ADN， ∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB. 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线． ∴CD ＝2MN ＝6.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AD ＋CD ＋BC ＝10＋10＋6＋15＝41.18．(10分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使EF ＝ED ，连接CF.(1)四边形DBCF 是平行四边形吗？说明理由；(2)DE 与BC 有什么样的位置关系和数量关系？说明理由． 解：(1)四边形DBCF 是平行四边形． 理由：∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE.又∵EF＝ED ，∠CEF ＝∠AED， ∴△AED ≌△CEF(SAS)． ∴AD ＝CF ，∠A ＝∠ECF. ∴AD ∥CF ，即CF∥BD.又∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD＝CF. ∴四边形DBCF 是平行四边形． (2)DE∥BC，DE ＝12BC. 理由：∵EF＝ED ，∴DE ＝12DF. 又∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴DF ＝BC ，DF ∥BC. ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC.19．(10分)(怀化中考)已知：如图，在△ABC 中，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，AD ，其交点为点O.求证： (1)△CDE≌△DBF； (2)OA ＝OD.证明：(1)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝CE ，DF ∥CE ，DB ＝DC. ∵DF ∥CE ， ∴∠C ＝∠BDF.在△CDE 和△DBF 中，⎩⎨⎧DC ＝BD ，∠C ＝∠BDF，CE ＝DF ，∴△CDE ≌△DBF(SAS)．(2)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝AE ，DF ∥AE.∴四边形DEAF 是平行四边形． ∵EF 与AD 交于点O ， ∴OA ＝OD.20．(10分)(扬州中考改编)如图，AC 为长方形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． (1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)证明：由折叠的性质可知：AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D＝90°，∠AME ＝∠B＝90°， ∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°. ∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC.∴AM ＝CN ，∠FAN ＝∠ECM. ∴AM －MN ＝CN －MN ， 即AN ＝CM.在△ANF 和△CME 中，∠FAN ＝∠ECM，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME， ∴△ANF ≌△CME(ASA)． ∴AF ＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF 是平行四边形． (2)∵AB＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4. 在Rt △CEM 中，(8－x)2＋42＝x 2， 解得x ＝5.∴S 四边形AECF ＝EC·AB＝5×6＝30.。