云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第7讲
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[解](1)记“从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球”为 事件 A，设袋中白球的个数为 x， C2 7 10－x 则 P(A)＝1－ 2 ＝ ，得到 x＝5. C10 9 故白球有 5 个．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1 1 1 1 解析：由分布列的性质，得 ＋ ＋ ＋ p4＝ 1，所以 p4＝ . 2 4 8 8
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
k 4．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝ k)＝ ，k＝ 1，2，3，4， 15 1 1 5 5 5，则 P <X< ＝ ________ ． 2 2
概率分布列 ，简 称为 X 的 称为 离散型随 机变量 X 的 ____________ 分布列 ，有时为了表达简单，也用等式 P (X＝ xi)＝ pi，i＝ ________
1， 2，„， n 表示 X 的分布列．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(2)离散型随机变量的分布列的性质
0 ① pi≥ ________( i＝ 1， 2，„，n)；
n
②∑ pi ＝ ________ ． 1 i＝ 1
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量 X 服从两点分布，则其分布列为 X P 0 ________ 1－p 1
p ________
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[解]由分布列的性质知： 0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得 m＝0.3. 首先列表为： X 2X＋1 |X－1| 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
从而由上表得两个分布列为： (1)2X＋1 的分布列： 2X＋ 1 P |X－ 1| P 1 0.2 0 0.1 3 0.1 1 0.3 5 0.1 2 0.3 7 0.3 3 0.3 9 0.3
________
________
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1．辨明两个易误点 (1)确定离散型随机变量的取值时， 易忽视各个可能取值表示 的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质 p1＋p2＋„＋pn＝1 及 pi≥0(i＝ 1，2，„，n)，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分 布列是否正确．
(2)|X－ 1|的分布列：
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
离散型随机变量分布列性质的应用 (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值， 此时要注意 检验，以保证每个概率值均为非负； (2)若 X 为随机变量，则 2X＋ 1， |X－ 1|等仍然为随机变量， 求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值， 再根据对 应的概率写出分布列．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2.(2016· 兰州双基过关考试 )一盒中装有 9 张各 写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1， 3 张卡 片上的数字是 2， 2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡 片． (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布 列．(注：若三个数 a，b，c 满足 a≤ b≤ c，则称 b 为这三个 数的中位数 )
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点二
离散型随机变量的分布列 (高频考点)
离散型随机变量的分布列是高考命题的热点， 多以解答题的 形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度： (1)与排列、组合有关的分布列的求法； (2)与互斥事件有关的分布列的求法； (3)与独立事件 (或独立重复试验 )有关的分布列的求法． (下 一讲内容 )
解： (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为
3 C3 ＋ C 4 3 5 P＝ ＝ . C3 84 9
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(2)X 的所有可能取值为 1， 2， 3，且 C4C5 ＋ C4 17 P (X＝ 1)＝ ＝ ， 3 C9 42 C3C4 C2＋ C3 C 6＋ C3 43 P (X＝ 2)＝ ＝ ， 3 C9 84 2 1 C2C7 1 P (X＝ 3)＝ 3 ＝ . C9 12 故 X 的分布列为 X P 1 17 42 2 43 84 3 1 12
(2)X 服从超几何分布，其中 N＝ 10， M＝ 5， n＝ 3， C5C5 P (X＝ k)＝ 3 ， k＝ 0， 1， 2， 3. C10 于是可得其分布列为 X 0 P 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12
k 3－ k
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
在本例条件下，若从袋中任意摸出 4 个球， 记得到白球的个数为 X，求随机变量 X 的分布列．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(2015· 高考安徽卷节选 )已知 2 件次品和 3 件正品 混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件 产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件 正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概 率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检 测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单 位：元 )，求 X 的分布列． [ 解 ](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正
1 1 1 2 1 3 2 1 3
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点三 超几何分布 一个袋中有大小相同的黑球和白球共 10 个． 已知 7 从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出 3 个球， 记得到白球的个数为 X， 求随机 变量 X 的分布列．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第7讲
离散型随机变量及其分布列
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1．随机变量的有关概念
而变化 的变量， (1)随机变量： 随着试验结果变化________ 常用字母
X，Y，ξ ，η ，„表示．
一一列出 的随机变量． (2)离散型随机变量：所有取值可以__________
1．10 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变 量的是( C ) A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2．袋中装有 10 个红球、 5 个黑球． 每次随机抽取 1 个球后， 若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为 止．若抽取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( C ) A． X＝ 4 C． X＝ 6 B． X＝ 5 D． X≤ 5
3 1 1 2 2
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
Байду номын сангаас
求离散型随机变量的分布列的三个步骤 (1)找：找出随机变量 X 的所有可能取值 xi(i＝ 1，2，„，n)， 并确定 X＝ xi 的意义； (2)求：借助概率的有关知识求出随机变量 X 取每一个值的 概率 P(X＝ xi )＝ pi (i＝ 1， 2，„， n)； (3)列： 列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性 质．
min{M，n} ，且 n≤ N，M≤ N，n，M， 2，„，m，其中 m＝ _____________
N∈ N ，称分布列为超几何分布列． X P 0
n－ 0 C0 MCN － M Cn N
*
1
n－ 1 C1 MCN － M Cn N
„ „
m
n－ m Cm M C N－ M Cn N
________
其中 p＝____________ P(X＝1) 称为成功概率．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(2)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中， 任取 n 件， 其中恰有 X 件次品， k n－ k 则事件 { X＝ k}发生的概率为
CMCN－ M P (X＝ k)＝ ___________ ， k＝ 0， 1， Cn N
解析：事件“放回 5 个红球”表示前 5 次摸到黑球，且第 6 次摸到红球，故 X＝ 6.
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
3． (选修 23 P49 习题 2.1A 组 T4 改编 )设随机变量 X 的分布 列如下表所示，则 p4 的值是 ( D ) X 1 2 1 1 P 2 4 A.1 C. 1 4 3 1 8 4 p4 1 B. 2 1 D. 8
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2．分布列的三种求法 (1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列； (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型随机变量的分 布列．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1 1 A2 A3 3 品”为事件 A，P(A)＝ 2 ＝ . A5 10
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(2)X 的可能取值为 200， 300， 400. A2 1 P (X＝ 200)＝ 2 ＝ ， A5 10 A3＋ C2 C3A 2 3 P (X＝ 300)＝ ＝ ， 3 A5 10 1 3 6 P (X＝ 400)＝ 1－ P (X＝ 200)－P (X＝ 300)＝ 1－ － ＝ . 10 10 10 故 X 的分布列为 X P 200 1 10 300 3 10 400 3 5
高三数一轮复习课件：第九章 平面解析几何. .ppt..
kBP＝ 03－－10＝－ 3， 所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)． 故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
2019年5月30日
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类型二 求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
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类型一 直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞， －2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，
y＝
.
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2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与 直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0； 当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示 直线的倾斜程度．
2017版高考数学一轮复习课件：第九章 平面解析几何 第7讲
2.已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则
该抛物线焦点坐标为( )
A.(－1，0)
B.(1，0)
C.(0，－1)
D.(0，1)
解析 由于抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线方程为 x＝－p2，
由题意得－p2＝－1，p＝2，焦点坐标为1，0，故选 B.
第十一页，编辑于星期六：十九点 四十一分。
考点一 抛物线的定义及应用
【例 1】(1)(2016·郑州质量预测)F 是抛物线 y2＝2x 的焦点，A， B 是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为________. (2)已知点 P 是抛物线 y2＝4x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射 影是 M，点 A 的坐标是(4，a)，则当|a|＞4 时，|PA|＋|PM| 的最小值是________.
第二十五页，编辑于星期六：十九点 四十一分。
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的斜率为 k， 则 l：y＝k(x－8). 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则Q→M＝(x1＋1，y1)，Q→N＝(x2＋1，y2)， 由Q→M·Q→N＝97， 得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97. 即 x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97， ∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97.② 将 y＝k(x－8)代入 y2＝－4x，
第二十四页，编辑于星期六：十九点 四十一分。
解 (1)设 B(0，b)，C(c，0)，P(x，y)； 则A→B＝(－8，b)，B→P＝(x，y－b)， B→C＝(c，－b)，C→P＝(x－c，y). ∴A→B·B→P＝－8x＋b(y－b)＝0，① ∴由B→C＝C→P，得c－＝bx＝－yc，，∴b＝－y 代入①得 y2＝－4x. ∴动点 P 的轨迹方程为 y2＝－4x. (2)当直线 l 的斜率不存在时，x＝8 与抛物线没有交点，不合 题意.
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.6
顶点 性 渐近线 质 离心率
A1(－a,0)，A2(a,0)
y＝±bax
A1(0，－a)，A2(0，a)
y＝±abx
e＝
c a
，e∈
(1，＋∞)
，其中c＝
a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a ；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b ；a叫做双曲线 的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做
双曲线的焦点 ， 两 焦 点 间 的 距 离
叫做 双曲线的焦距 .
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当
时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 2a＝|F1F2| 时，P点不存在.
解析 双曲线 C 的标准方程为3xm2 －y32＝1(m>0)，
其渐近线方程为 y＝±mmx，即 my＝±x，不妨选取右焦点 F( 3m＋3，0)
3m＋3
到其中一条渐近线 x－ my＝0 的距离求解，得 d＝
＝ 3.
m＋1
1 2345
第十三页解，析编辑答于案星期六：二十点 十六分。
5.(教材改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程 为______x8_2－__y_82_＝__1____.
解析 设双曲线的方程为ax22－ay22＝±1(a>0)，把点 A(3，－1)代入，得 a2 ＝8，故所求方程为x82－y82＝1.
1 23 45
解析答案 第十四页，编辑于星期六：二十点 十返六分回。
【第7-9章】2017版高考数学北师大版(理)一轮复习配套课件 共2083张PPT
同向可加性 同向同正可乘性
a>b ⇒ a＋c>b＋d c>d
⇒ ⇒
a>b>0 ⇒ ac>bd c>d>0
可乘方性 可开方性
a>b>0⇒ an>bn
(n∈N＋)
n a b (n∈N ) a>b>0⇒_____________ ＋ n
a，b同为正数
答案
3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 1 1 ①a>b，ab>0⇒a<b. 1 1 ②a<0<b⇒a<b. a b ③a>b>0,0<c<d⇒ c>d. 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒b<x <a.
(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 b b＋m b b－m ①a< ；a> (b－m>0)． a ＋m a－m a a＋m a a－m ②b> ；b< (b－m>0)． b ＋m b－m
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
1
2 3
4
5
解析答案
4.(教材改编)下列各组代数式的关系正确的是________. ①x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9； ②(x－3)2<(x－2)(x－4)； ③当x>1时，x3>x2－x＋1； ④x2＋y2＋1>2(x＋y－1).
1
2
3
4
5
解析答案
1 2 ＋ b2 从小 5.(教材改编)若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b， ， 2 ab ， a 2 到大排列为__________________.
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.2
)
×
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(
)×
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、
C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(
) √
第八页，编辑于星期六：二十点 十五分。
答案
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为
3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
第七页，编辑于星期六：二十点 十五分。
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(
不必要条件，故选A.
1
2
3
4
5
第十页，编辑于星期六：二十点 十五分。
解析答案
2.(教材改编) 已知点 (a,2)(a>0) 到直线 l ： x －y ＋ 3 ＝0 的距离为 1，则a等于
( C )
A. 2
B.2－ 2
C. 2－1
D. 2＋1
|a－2＋3|
解析 依题意得
＝1.
1＋1
解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.
2
8
l2 的斜率为－
，在 y 轴上的截距为
.
5＋m
5＋m
3＋m
2
又∵l1∥l2，由－ 4 ＝－
得，m2＋8m＋7＝0， 得m＝－1或－7.
5＋m
5－3m
8
m＝－1 时， 4 ＝
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习配套课件 第九章 解析几何9.3
解析答案
(2)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，
2＋y2＝2
(
x－
3)
则圆C的方程为________________.
解析
由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.
①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋y－3＝0，
②
x＝3，
.
2
第四页，编辑于星期六：二十点 十五分。
答案
5.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.
第五页，编辑于星期六：二十点 十五分。
1
2
3
4
5
第十一页，编辑于星期六：二十点 十五分。
解析答案
4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程
(x－2)2＋y2＝10
为______________.
解析
设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即 a＋12＋1＝ a－12＋9，
第三十八页，编辑于星期六：二十点 十五分。
解析答案
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解
设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第2讲
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[解析](1)分两类进行分析：第一类是万位数字为 4，个位数 字分别为 0，2；第二类是万位数字为 5，个位数字分别为 0， 2，4. 当万位数字为 4 时，个位数字从 0，2 中任选一个， 共有 2A3 4 个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0，2，4 中任选一
3 3 1 3 个， 共有 C1 A 个偶数． 故符合条件的偶数共有 2A ＋ C 3 4 4 3A4＝
120(个)． (2)将产品 A 与 B 捆绑在排列，共有 A2 A4种方法，将产品 A，B，C 捆绑在一起，且 3 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A2 A 2 3种 4 2 3 方法．于是符合题意的排法共有 A2 A － A 2 4 2A3＝36(种)．
3 10 人中任选 3 名即可，共有 C2 C 2 10＝ 120 种选法．
(3)间接法： “男生甲、 女生乙至少有一个人入选”的反面是 “两人都不入选”， 即从其余 10 人中任选 5 人有 C5 10种选法， 所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为 C12 － C5 10＝ 540(种 )．
＝1 440(种)．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
在本例条件下，求不同的排队方案的方法种 数： (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端．
解： (1)先排甲有 4 种，其余有 A6种， 故共有 4· A6 6 ＝ 2 880 种排法． (2)先排甲、乙，再排其余 5 人， 共有 A2· A5＝ 240 种排法．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门， 求：(1)甲、 乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？ (2)甲、 乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。
云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第6讲
解析：设圆的半径为 R，由题意知圆内接三角形为等腰直角 三角形，其直角边长为 2R， 则所求事件的概率为 1 × 2R× 2R S阴 2 1 P＝ ＝ ＝ . 2 S圆 π πR
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考点一
与长度有关的几何概型
(1)(2015· 高考山东卷 )在区间[0， 2]上随机地取一 1 个数 x，则事件“－ 1≤ log1(x＋ )≤ 1”发生的概率为 ( A ) 2
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1．(2014· 高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数 X， 则 X≤1 的概率为( B ) 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5
解析：在区间 [－ 2，3]上随机选取一个数 X，则 X≤ 1，即－ 3 2≤ X≤ 1 的概率为 P＝ . 5
2 1 3 y≤ x2的概率为 ________ ．
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
解析：
(1)如图所示，集合 A 所表示的平面区域 Ω1 的面积为 16π ， 1 集合 B 所表示的平面区域 Ω2(阴影部分)的面积为 × 42＝ 8， 2 8 1 所以点 M 落在区域 Ω2 内的概率为 ＝ ，故选 A. 16π 2π
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
(1)(2014· 高考辽宁卷 )若将一个质点随机投入如图 所示的长方形 ABCD 中，其中 AB＝ 2，BC＝ 1，则质点落在 以 AB 为直径的半圆内的概率是 ( B ) π A. 2 π C. 6 π B. 4 π D. 8
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第九章平面解析几何9.9
(3)直线方程涉及斜率 k 要考虑其不存在的情形．
第三页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题 (1)直线 l：y＝kx＋m 与二次曲线 C：f(x，y)＝0 交于 A，B 两点，设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，由yf（＝xk，x＋y）m，＝0得 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则 x1＋x2＝________，
错的地方，切记)，即kΔ≠＝0，（2k2－4）2－4k4>0，解得 k∈(－1，
0)∪(0，1)，而当 k＝±1 时，直线 l 恰好与抛物线相切，似与题 意不符．本节课时作业第 8 题对本题已知条件数据作了修改， 使满足题意的直线 l 是存在的，进而可求得直线 l 的斜率．
第十四页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
Q－1＋k22，2k，又 F(1，0)，∴|FQ|＝ －1＋k22－12＋2k2＝2，
解得 k＝±1.故填±1.
第十三页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
【点拨】(1)本题的三种解法很经典，各有特色，解法一思 路直接，但计算量大，解法三计算简捷，所列式子“整齐、美 观，对称性强”，但消去 x1，x2，y1，y2 时，要求灵活性高，整 体意识强．(2)本题解答看似正确，但细想会发现：缺少对“直 线与抛物线相交于 A，B 两点”这一几何条件的检验(这是易出
x1＋x2＝2x0，③ y1＋y2＝2y0，④
∵M，N 关于直线 y＝x＋m 对称，
∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.
又∵y0＝x0＋m，∴P－m4 ，34m， 代入抛物线方程得196m2＝18·－m4 ，
解得 m＝0 或－8，经检验都符合．故填 0 或－8.