第七章 潮流计算的数学模型及基本解法
第7章潮流计算的数学模型及基本解法
代入(7-10)式，经整理后有
Vn D I n Ys Vs L Vn U Vn 1
2013-1-10
（7-11）
12
考虑到电流和功率的关系式，上式写成迭代格式为
（ k 1）
Vi
i -1 n （ k） （ k） 1 Si Ys Vs Yij V j Yij V j i 1,2, ,n Yii j1 ji 1 k Vi
2013-1-10
7
综上所述，若选第N个节点为平衡节点，剩下n个节点（n=N-1） 中有r个节点是PV节点，则有n-r个节点是PQ节点。因此除了平衡 节点外，有n个节点注入有功功率，n-r个节点注入无功功率以及r 个节点的电压幅值是已知量。 在直角坐标系，待求的状态变量共2n个，用
x e
T
f
T T
2013-1-10 13
0
（7-12）
考所以，用 V j 代替 V j 可出得到更好的收敛果。 这就是高斯，赛德尔(Gauss-Seidel)选代的基本思 想，即一旦求出电压新值，在随后的迭代中立即使 用。这种方法的选代格式是
（ k 1）
（ k 1）
（ k）
Vi
（ k） （ k） i -1 n 1 Si Ys Vs Yij V j Yij V j i 1,2, ,n Yii j1 ji 1 k Vi
（7-13）
考高斯一赛德尔法比高斯迭代法收敛性要好。 考在导纳矩阵法的迭代公式中，导纳矩阵高度稀 疏，每行只有少数几个是非零元素，非对角非零元 素个数与和节点j相联的支路数相等。所以，上一次
潮流计算的基本算法及使用方法之欧阳音创编
潮流计算的基本算法及使用方法一、二、潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。
1．2一般概念对于非线性代数方程组 即()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1=(1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f(1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1(1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。
现代电力系统分析理论与方法 第7章 电力系统最优潮流
最优潮流计算
在系统的结构参数及负荷情况给定情况下，通过控制变量的优选， 找到能够满足所有给定的约束条件，并使系统的某一技术指标达到 最优（如网损、煤耗）时的潮流分布。
注：u为待选变量 约束条件分为等式约束条件和不等式约束条件。 采用的方法为：非线性规划
4
第一节
概述
随着电力系统规模扩大，对计算速度和系统安全性提出了更高要求，这 些经典调度理论已不能满足要求。将电力系统的潮流计算和优化理论结合， 并且计及系统的各种约束条件和电能质量，即形成了经典的优化理论—— 最优潮流(OPF)。OPF已在电力市场很多经济理论中广泛应用。
11
第二节
最优潮流的数学模型
考虑电力系统的经济因素，20世纪60年代末出现了一些经济调度理论， 例如最优分配有功负荷分布的等耗量微增率和无功电源最优分布的等网损 微增率。等耗量微增率准则是指系统所有发电机组具有同样的耗量微增率 时，系统运行所需要的费用最小，等网损微增率是指系统所有无功电源配 置具有相同的网损微增率时，系统网损最小。
最优潮 流的目 标函数
全系统火电机组燃料总费用，即 f Ki (PGi ) inG
式中：nG 为全系统所有发电机的集合，Ki (PGi ) 为第i台发 电机的耗量特性，一般用二次多项式表示，PGi 为第i台发电
机的有功出力。
有功网损，即 f (Pij Pji ) (i, j )nl 式中，nl 表示所有支路的集合。 9
可以证明最优潮流包含了等耗量微增率和等网损微增率，是这2个准则 在电力系统中的进一步发展运用（通过对目标函数的比较、约束条件的比 较、物理含义的分析等等）。
12
第三节
最优潮流的简化梯度算法
13
第三节
潮流计算的基本算法及使用方法
潮流计算的基本算法及使用方法Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】潮流计算的基本算法及使用方法一、 潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。
1．2 一般概念对于非线性代数方程组即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= (1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
潮流计算的基本算法及使用方法之欧阳家百创编
潮流计算的基本算法及使用方法一、欧阳家百（2021.03.07）二、潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。
1．2一般概念对于非线性代数方程组即()0,,,21=nixxxf ()ni,2,1= (1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。
潮流计算的基本算法及使用方法之欧阳德创编
潮流计算的基本算法及使用方法一、二、潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。
1．2一般概念对于非线性代数方程组即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= (1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。
第七章 潮流计算的数学模型及基本解法
3 关于高斯法的讨论 非线性代数方程组 高斯迭代公式：
高斯法迭代的收敛性主要由
的谱半径[或矩阵 φ ( x* ) 的最大特征值]决定。当φ ( x* )的谱 半径小于1时高斯法可以收敛，φ ( x* ) 的谱半径越小收敛 性越好。
7.3 牛顿—拉夫逊法潮流计算
1. 牛顿拉夫逊法的一般描述
节点功率方程, x是节点电压。
2. 基于阻抗矩阵的方法 以平衡节点为电压给定节点的阻抗矩阵法
解法： (1) Yn 的稀疏因子表法+前代回代
(2) Z n法
(3) 高斯—赛德尔迭代
2．将接地支路用等效注入电流代替的阻抗矩阵法 节点导纳矩阵拆成不包含接地支路和只包含接地支 路的两部分。把平衡节点列写在最后
高斯迭代格式：
高斯—赛德尔迭代格式：
主要内容：从数学上说，潮流计算是要求解一组由 主要内容 潮流方程描述的非线性代数方程组。潮流计算问题 的数学模型；高斯迭代法(Gauss法)为基础的潮流计 算方法；牛顿—拉夫逊法潮流计算。
研究意义： 研究意义 确定电力系统稳态运行状态的方法之一。是电 力系统运行、规划以及安全性、可靠性分析和优化 的基础，也是各种电磁暂态和机电暂态分析的基础 和出发点。 对潮流计算方法的基本要求 基本要求： 基本要求 (1) 要有可靠的收敛性，对不同的系统及不同的运 行条件都能收敛； (2) 占用内存少、计算速度快； (3) 调整和修改容易，能满足工程上提出的各种要 求。
潮流计算结束时若平衡节点的有功功率无功功率和实际情况不符就要调整其它节点给定的边界条件以使平衡节点的功率在实际允许的范围之内
第二篇 电力系统潮流计算
主要内容：潮流计算的数学模型及基本解法；潮流方 主要内容 程的特殊解法；潮流计算中的特殊问题；潮流计算问 题的扩展。
电力系统潮流计算
电力系统潮流计算
Power System Load Flow Calculation 主要内容：
一． 二． 三． 四．
潮流计算的数学模型及解算方法 潮流方程的特殊解法 潮流计算中的特殊问题 潮流计算问题的扩展
一、潮流计算的数学模型及解算方法
什么是潮流计算？ 对电力系统正常运行状况的分析和 计算。通常需要已知系统参数和条件， 给定一些初始条件，从而计算出系统运 行的电压和功率等。 潮流计算有什么作用？ 确定系统的运行方式；系统规划设 计；稳定计算；故障计算等等。
四、潮流计算问题的扩展
3、约束方程 对控制变量的约束
– – – – – – –
发电机有功出力上、下限 发电机机端电压上、下限 无功电源控制电压上、下限 可投切电容、电抗容量上、下限 变压器变比上、下限 移相器可调相角上、下限 允许切除负荷容量上、下限
u
min
≤u≤u
max
四、潮流计算问题的扩展
3、约束方程 对依从变量的约束
– – –
负荷母线电压 发电机无功出力 线路有、无功潮流或电流
min
h
≤ h( x, u , D, p, A) ≤ h
max
四、潮流计算问题的扩展
4、常规潮流
f ( x, u , D, p, A) = 0 u h
minx
≤ h( x, u , D, p, A) ≤ h
四、潮流计算问题的扩展
四、潮流计算问题的扩展
1、变量的划分
网络结构关联阵A 网络结构关联阵A 网络元件参数p 干扰变量D 控制变量u 依从变量x
四、潮流计算问题的扩展
2、潮流方程
PGi − PDi − ∑ Pij (θ ,U , Y ) = 0 j∈i QGi − QDi − ∑ Qij (θ , U , Y ) = 0 j∈i f ( x, u, D, p, A) = 0
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研究意义： 研究意义 确定电力系统稳态运行状态的方法之一。是电 力系统运行、规划以及安全性、可靠性分析和优化 的基础，也是各种电磁暂态和机电暂态分析的基础 和出发点。 对潮流计算方法的基本要求 基本要求： 基本要求 (1) 要有可靠的收敛性，对不同的系统及不同的运 行条件都能收敛； (2) 占用内存少、计算速度快； (3) 调整和修改容易，能满足工程上提出的各种要 求。
2. 基于阻抗矩阵的方法 以平衡节点为电压给定节点的阻抗矩阵法
解法： (1) Yn 的稀疏因子表法+前代回代
(2) Z n法
(3) 高斯—赛德尔迭代
2．将接地支路用等效注入电流代替的阻抗矩阵法 节点导纳矩阵拆成不包含接地支路和只包含接地支 路的两部分。把平衡节点列写在最后
高斯迭代格式：
高斯—赛德尔迭代格式：
在 x0 处将上式进行一阶台劳展开
f 潮流雅可比矩阵： J = T x
一般形式：
2. 直角坐标的牛顿—拉夫逊法
修正x( k ) 得x( k +1) 的新值。 重复上述过程直至max fi ( x( k ) ) < ε 。
3. 极坐标的牛顿—拉夫逊法
x = [θ U ]
T T T
雅可比矩阵的各部分子矩阵具有公式一致的形式
3 关于高斯法的讨论 非线性代数方程组 高斯迭代公式：
高斯法迭代的收敛性主要由
的谱半径[或矩阵 φ ( x* ) 的最大特征值]决定。当φ ( x* )的谱 半径小于1时高斯法可以收敛，φ ( x* ) 的谱半径越小收敛 性越好。
7.3 牛顿—拉夫逊法潮流计算
1. 牛顿拉夫逊法的一般描述
节点功率方程, x是节点电压。
第二篇 电力系统潮流计算
主要内容：潮流计算的数学模型及基本解法；潮流方 主要内容 程的特殊解法；潮流计算中的特殊问题；潮流计算问 题的扩展。
第七章 潮流计算的数学模型及基本解法
主要内容：从数学上说，潮流计算是要求解一组由 主要内容 潮流方程描述的非线性代数方程组。潮流计算问题 的数学模型；高斯迭代法(Gauss法)为基础的潮流计 算方法；牛顿—拉夫逊法潮流计算。
U i = ei + jf i
极坐标形式： 极坐标形式
2. 潮流方程的讨论和节点类型的划分 对于N个节点的电力系统，每个节点有四个运行 变量。共有4N个变量。实数方程为2N个。给定2N个， 求其余2N个。 全系统还应当满足功率平衡条件，即全网注入 功率之和应等于网络损耗
ห้องสมุดไป่ตู้
节点类型： 1．PQ节点：负荷 2．PV节点：发电机 3．节点：平衡节点（松弛节点） 平衡节点的选取是一种计算上的需要，有一定的 任意性。为使潮流计算结果符合实际，常把平衡节点 选在有较大调节余量的发电机节点。 潮流计算结束时若平衡节点的有功功率、无功功 率和实际情况不符，就要调整其它节点给定的边界条 件以使平衡节点的功率在实际允许的范围之内。
V N个节点的系统中： θ 节点1个，剩下共 n = N 1 个
节点， PV 节点
r 个，PQ节点n r 个。
直角坐标形式:待求量共2n个
极坐标形式：待求量共2n r 个
7.2 高斯迭代法为基础的潮流计算方法
1. 基于导纳矩阵的方法 将平衡节点s排在最后，取出前n个方程
高斯—赛德尔法 高斯 赛德尔法： 赛德尔法
发展状况： 发展状况 （1）高斯迭代法（导纳矩阵），收敛性极差； （2）牛顿—拉夫逊（阻抗矩阵），收敛性好， 内存占用量大； （3）牛顿—拉夫逊+Tinney提出的稀疏矩阵技 术和节点优化编号技术 （4）快速分解法，计算速度快，在线
7.1 潮流计算问题的数学模型
1. 潮流方程
直角坐标形式： 直角坐标形式 令