3不定积分
课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第3章 不定积分
(12) ∫
d
1− 2
= arcsin + ;
= arctan + .
注意 （1）与基本求导公式一样,这些基本积分公式必须熟记，它们是积分运算的基础;
(2) 上述积分公式中积分变量换成其他变量仍成立. 如 ∫ e d = e + , ∫ cos d = sin + .
න
1
1
令 =3 1
cos 3 d = න cos 3 d(3)
=
න cos d = sin +
3
3
3
回代 1=3 + . Nhomakorabea3
验证可知, 结论正确.
第二节 不定积分的积分方法
二、第一换元积分法（凑微分法）
一般地, 有
න ()d = න [()]′ ()d = න [()]d()
(8) ∫
(9) ∫
1
sin2
d = ∫ csc 2 d = −cot +
(11) ∫ csc cot d = −csc + ;
(13) ∫
d
1+ 2
1
cos2
d = ∫ sec 2 d = tan + ;
(10) ∫ sec tan d = sec + ;
注意, 求 ∫ ()d 时, 切记 “ + ”, 否则求出的只是一个原函数而不是不定积分.
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念——几何意义
在直角坐标系中，（）的任意一个原函数（）的图形
是一条曲线 = （），这条曲线上任意点（，（））处
的切线的斜率F′（x）恰为函数值（），称这条曲线为（）
3的不定积分
3的不定积分积分是数学中的一个重要概念，它是微积分的基础之一。
不定积分是微积分中的一种基本概念，也是最基本的积分形式之一。
不定积分的概念可以用来求函数的原函数，也是求定积分的重要工具之一。
在不定积分的学习中，3的不定积分是一个比较特殊的概念，下面我们来详细介绍一下。
首先，我们需要了解什么是不定积分。
不定积分是指对于一个函数f(x)，求出它的一个原函数F(x)，即F'(x)=f(x)，这个过程就叫做不定积分。
因为不定积分的结果不是一个具体的数值，而是一个含有常数C的函数，所以又称为积分常数。
在求不定积分的过程中，有一类比较特殊的函数，它们的积分形式都是3的倍数。
这类函数就是3的不定积分。
3的不定积分可以表示为：∫3^xdx = xln3 + C其中，C为积分常数。
我们可以通过求导验证一下上述式子是否成立。
对于xln3 + C，它的导数为：d/dx (xln3 + C) = ln3而3的x次方的导数为：d/dx (3^x) = ln3 * 3^x由此可见，积分结果的导数确实等于原函数。
那么，为什么3的不定积分是这个形式呢？这是因为3是一个常数，它的导数为0，所以3的x次方的导数就是ln3 * 3^x。
而在求不定积分的过程中，我们是要找到原函数，而不是具体的函数值，所以常数可以忽略不计，从而得到上述的结果。
除了3的不定积分，还有其他的不定积分形式，比如2的不定积分、e的不定积分等等。
它们的形式各不相同，但都可以通过求导验证是否成立。
在实际应用中，不定积分常常用于求解定积分。
定积分是指在一定区间内的函数面积，它可以用不定积分来求解。
具体来说，如果要求解f(x)在[a,b]区间内的定积分，可以先求出f(x)的一个原函数F(x)，然后计算F(b)-F(a)即可得到定积分的值。
因为不定积分的结果含有常数C，所以在求定积分时，常数C会被抵消掉，只剩下区间端点的函数值。
总之，不定积分是微积分中的一个基本概念，它可以用来求函数的原函数，也是求解定积分的重要工具。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法基本的三种不定积分方法是：代入法、分部积分法和换元法。
这些方法都用于求解函数的不定积分，即求函数的原函数。
1.代入法：代入法是基本的一种不定积分方法。
它通过选取适当的变量代换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
首先，通过观察被积函数的形式，选取一个变量代换来简化函数。
例如，如果被积函数中有一个较为复杂的根式，我们可以选取一个新的变量，使得根式可以被表示为新变量的幂函数。
然后对新变量进行求导和求逆，并用新变量替代原变量进行积分。
举个例子，如果我们计算不定积分∫(x/(1+x²)) dx，我们可以选取u=1+x²，使得被积函数可以表示为 du/dx。
然后我们对等式两边同时求导，得到 du=2xdx，进而得到∫(x/(1+x²)) dx = ∫(1/u) du。
通过代入法，我们将原来的被积函数转化为了一个更简单的函数进行积分。
2.分部积分法：分部积分法是另一种常用的求不定积分的方法。
它是导数乘积的逆运算，通过将一个积分分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数的导数形式可以被简化。
分部积分法的公式为∫(u dv) = uv - ∫(v du)。
其中 u 和 v 分别为两个待定函数，du 和 dv 分别为其导数。
具体应用分部积分法时，我们首先选择一个函数 u 作为被积函数的导数，然后选取另一个函数 dv，使得 dv 尽可能简单。
然后我们计算出u 的导数 du 和 v 的不定积分。
例如，对于不定积分∫(x sinx) dx，我们可以选取 u=x，dv=sinx。
然后计算出 du=dx 和v=∫sinx dx=-cosx。
最后根据分部积分法公式，我们得到∫(x sinx) dx = -xcosx + ∫cosx dx = -xcosx + sinx + C。
通过分部积分法，我们将原来的被积函数分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数可以更容易地被积分。
3.换元法：换元法是一种常用的不定积分方法。
4-3 不定积分的分部积分法
例1 求积分 x cos xdx .
u?
v?
解：令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
解： 令 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2de x x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）u x, e xdx dv
x2e x 2 xde x x2e x 2( xe x e x ) C
x2e x 2 xe x 2e x C .
u Pm ( x ) ，使其降幂一次(假定 幂指数是正整数).
题型 求导降幂
注：若取 u cos x ，由分部积分，则需计算
x2 2
sin
xdx，比
x
cos
xdx
难度更大.
例2 求积分 xe xdx.
怎
解：取 u x, e xdx de x dv,
么
选
xe xdx xe x e xdx xe x e x C .
例3 求积分 x2e xdx.
例4 求u x,
2x
dx
d
2x ln 2
dv,
则
x2xdx
x
2x ln2
l2nx2dx
x
2x ln2
2x (ln2)2
C.
小结 对 Pm ( x)sin xdx( Pm ( x)cos xdx) 及 Pm ( x)a xdx 型积分，考虑取
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
高等数学 第3章不定积分
4、基本积分表 由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公 式，不难得到基本初等函数的积分公式。
例4
解：
练习：
答：
例5
解：
例6
解：
经验之一：
整理为“多项式”形式是解决只含有幂 函数的积分方法之一
例7 解：
例8 解：
经验之二： 当含有指数函数或对数函数时，尽可能 化为公式形式积分。
经验：当被积函数为三角函数的奇次方时，我 们常分离出其中一个，放在微分因子中。
例24
解：
例25
解：
例26
解：
例27
解：
经验：降次总是一种求三角函数积分的有效方法。
例28
解：
例29
解：
经验： 利用三角恒等式转化被积函数也是方法之一
例30 解：
例31 解：
（二）第二换元积分法
但必须满足：
定理3.4（第二换元积分法） 证明:
例32
根式代换法
解：
例33
解：
（待续）
续
此时，为了计 算其它三角函数值， 可以借助辅助三角 形（如右）。
例34
解：
（待续）
续
例35
解：
被积函数定 义域为：x>a 或x<-a 此处先讨论 x>a的情形
由上例可知
（待续）
续
原式
思考x<-a的情形
三角代换法
高等数学
第3章 不定积分
主要内容:
一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、积分表的使用
一、不定积分的概念与性质
1、原函数的定义
如：
又如：
★注意：
★注意：
国开高等数学基础形考作业3不定积分
国开高等数学基础形考作业3不定积分摘要：1.不定积分的概念和性质2.常见不定积分公式及应用3.换元积分法和分部积分法4.反常积分及其计算方法5.积分技巧与实际问题求解正文：一、不定积分的概念和性质不定积分是一种数学运算，指的是对一个函数进行积分，但不需要求出具体的积分值。
它是一种广义的积分，可以表示为Integral from a to b f(x) dx，其中a 和b 是两个实数，f(x) 是定义在区间[a, b] 上的函数。
不定积分的结果是一个关于x 的函数，称为原函数，记作F(x)。
二、常见不定积分公式及应用1.基本初等函数的不定积分：- sin(x) 的不定积分是-cos(x) + C- cos(x) 的不定积分是sin(x) + C- exp(x) 的不定积分是exp(x) + C- log(x) 的不定积分是ln(x) + C2.常见公式：- 乘积法则：Integral (f(x)g(x)) dx = f(x) Integral g(x) dx + g(x)Integral f(x) dx- 商法则：Integral (x^2 / (x - a)) dx = (1/3)x^3 - (1/2)ax^2 + C- 反三角函数积分：Integral (1 / (x^2 + a^2)) dx = ln(x + a) + C三、换元积分法和分部积分法1.换元积分法：通过替换变量，将复杂函数转化为简单函数，再进行积分。
例如，令u = g(x)，则Integral f(u) du = Integral g(x) dx。
2.分部积分法：将两个函数的乘积变为另两个函数的乘积，从而简化积分。
例如，Integral u dv = uv - Integral v du。
四、反常积分及其计算方法反常积分是指对一个函数在无穷区间内进行积分，例如Integral from -∞ to ∞ f(x) dx。
反常积分的计算方法有：1.收敛性判断：判断函数在无穷区间内的敛散性，如f(x) = |x| 在(-∞, ∞) 内收敛。
不定积分的计算3-2
熟能生巧。
20
三、第二类换元法 问题 解决方法 过程
1 1 x dx ?
变量代换方法 令 u x
x u2 dx 2udu
1 1 1 x dx 1 u 2udu
再应用凑微分及积分公式即可求出
21
1 设函数 g 连续， 具有连续导数， 存在 定理
2
2
2
(13)
chxdx shx C
7
4、不定积分的性质: 1) f ( x )dx f ( x ) d[ f ( x )dx] f ( x )dx f ( x)dx f ( x) C df ( x ) f ( x ) C
、 是两个常数， 2) 设函数 f 和 g 的原函数都存在， 则 [f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
3
例3、设曲线通过点 (2, 1) ，曲线上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的三倍，求此曲线方程。 解： 设曲线方程为 y = f (x) , dy 3 x 即 f (x) 是3x 的一个原函数 dx 3 2 3 2 又 3 xdx x C f ( x ) 2 x C 2 ( x, y ) (2, 1) C 5 3 2 ∴所求曲线方程为 y x 5 2
可作为一般的常用积分公式
16
1 dx 例14、计算 2 x 8 x 25
1 dx 例15、计算 x 1 e 1 解： 1 e x dx (1) 1 e x e x dx x 1 e
e x x dx ( 2) e 1
17
x 1 dx 例16、计算 2 x x 1 1 3 (2 x 1) 2 2 dx 解：原式 2 x x 1
国开高等数学基础形考作业3不定积分
国开高等数学基础形考作业3不定积分国开高等数学基础形考作业3涉及到不定积分的概念和计算方法。
不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数的原函数的一个过程。
在数学中，函数的原函数是指对于给定的函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数。
而不定积分就是对给定函数进行求原函数的过程。
不定积分的求解方法有很多，常见的有基本积分公式、换元法、分部积分法等。
基本积分公式是指一些常见函数的不定积分公式，如幂函数、指数函数、三角函数等的不定积分公式。
这些公式是通过积分运算的逆运算得到的，可以直接使用。
换元法是一种常用的不定积分求解方法。
换元法的基本思想是通过引入新的变量，将原函数转化为新变量的函数，从而简化积分的计算。
常见的换元法有三角函数换元、指数函数换元等。
分部积分法是求解含有乘积形式的函数的不定积分的方法。
分部积分法是基于莱布尼茨公式，即(uv)' = u'v + uv'。
通过选择合适的u 和v，可以将被积函数转化为易于求解的形式。
在进行不定积分计算时，还需要注意一些常见的积分性质。
比如，常数的不定积分是它本身乘以自变量，常数倍的函数的不定积分等于常数倍的不定积分，可加性和可乘性等。
对于一些特殊的函数，如有理函数、反三角函数、指数函数等，还可以通过部分分式分解、三角函数的和差化积等方法来求解不定积分。
不定积分在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学中，不定积分可以用来计算曲线下面的面积、质心等问题；在经济学中，不定积分可以用来计算边际效用、边际成本等问题；在工程学中，不定积分可以用来计算电流、功率等问题。
不定积分是微积分中的重要概念，它可以用来求解函数的原函数，并在实际问题中有着广泛的应用。
掌握不定积分的求解方法和常见的积分性质，对于理解微积分的基本原理和应用具有重要意义。
通过不定积分的学习和练习，可以提升数学分析和问题解决的能力。
山西医科大学大一高数第三章不定积分
例 six ncoxs six n Ccoxs
（C为任意常数）
.
关于原函数的说明：
（1）若 F (x)f(x)，则对于任意常数 C， F (x ) C 都 是 f(x )的 原 函 数 .
（2）若F(x) 和 G(x)都是 f (x) 的原函数， 则 F (x ) G (x ) C（C为任意常数）
1arctxa C n. x
.
例8 求积分 1c1os2xdx.
解 1c1os2xdx12c1o2sx1dx
12co1s2
dx1tanxC. x2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
.
例9 已知一曲线y f(x)在点(x, f(x))处的 切线斜率为se2cxsinx，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程. 解 dyse2x csix n,
证 F ( x ) G ( x ) F ( x ) G ( x )
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （C为任意常数）
.
不定积分的定义：
在区间I内，函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称 为f(x)在 区 间 I内 的
不 定 积 分 ， 记 为 f(x )d. x
(6) coxsdxsix nC;
(7) six ndxcox sC ; (8) cod2sxxse2cxdxtaxn C;
(9) sidn2xxcs2cxdxco x tC ;
.
(1)0se xtca xn d sx excC;
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
(1)2exdx ex C;
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1
解：原式 =
=
∫ 4 − cos
- 81 -
同方专转本高等数学核心教程
=∫
d tan x 1 sin x 2 sec2 x 1 sin x + arctan( ) dx + arctan( ) = 2∫ 2 2 4 sec x − 1 4 tan x + 3 3 3 3 3 d 2 tan x
(2 tan x ) 2 + ( 3) 2 + 1 3 arctan( sin x 3 )
解：原式 =
= 1 ∫ (1 −
2
例 3.5 ．
1 ) du 2u + 1
= 1 u − 1 ln 2u +1 + C = 1 ln
2 4 2
1 x + ln 2 ln x + 1 + C 4
∫4+x
x
4
dx
解：原式=
1 1 1 x2 2 dx = arctan +C 2∫ 22 +(x2 )2 4 2
解：原式 =
2( x − 1) + 5 d ( x −1) 2 1 dx = ∫ ( x − 1) 2 + 1 ∫ (x − 1)2 + 1 + 5 ∫ (x − 1)2 + 1dx
= ln(
x 2 − 2 x + 2) + 5 arctan( x − 1) + c x dx
1 d ( x −1) 2 1 +∫ d ( x − 1) ∫ 2 4 − ( x −1) 2 4 − ( x −1) 2
x 2
1+ e 1+ e 1 例 3.20 ． ∫ dx （2 x + 1)( 3 x + 2 ) 3( 2 x + 1) − 2(3 x + 2 ) 3 2 解：原式 = − ∫ dx = − ∫ dx + ∫ dx ( 2 x + 1)( 3 x + 2) 3x + 2 2x +1
= − ln 例 3.21 ．
x x
解：原式 =
∫e
ex
例 3.9 ．
∫
x 3 + 3x + 2 dx x+2
解：利用综合除法知
ห้องสมุดไป่ตู้
x3 + 3x + 2 12 = x 2 − 2x + 7 − x+ 2 x + 12 12 1 2 原式 = ( x − 2 x + 7 − )dx = x 3 − x 2 + 7 x − 12 ln x + 2 + C ∫ x+2 3 6 3 x − x + x+3 例 3.10 ． ∫ dx x 2 +1 2x + 2 4 2 解：原式 = ( x − x − x + 1+ 2 ) dx ∫ x +1 1 1 1 1 1 = x 5 − x 3 − x 2 + x + ∫ 2 d (x 2 + 1) + 2∫ dx 5 3 2 x +1 1+ x2 1 1 1 = x 5 − x 3 − x 2 + x + ln(1 + x 2 ) + 2 arctan x + C 5 3 2 1 1 例 3.11 ． ∫ sin x dx, ∫ cos x dx
例 3.1 ． 等等。
2
∫ x(2 x
2
+ 1) 2007 dx
1 1 (2 x 2 + 1)2007 d (2x 2 + 1) = (2x 2 + 1)2008 + c ∫ 4 8032 1 3sinx − 1 1 3sinx − 1 3sin x −1 例 3.2 ． cos xe dx = e d (3sin x − 1) = e +c ∫ 3∫ 3
例 3.18 ．
∫ ∫
=-
3 − 2x − x 2
解：原式 =
x −1+1
4 − ( x − 1) 2
dx =
4 − ( x −1) 2 + arcsin
x 2
x −1 +c 2
例 3.19 ．
∫ 1+ e ∫
dx
解：原式 =
1+ e − e
x
2
x 2
x 2
dx
=x−2
∫
de
x 2 x 2
=
x − 2 ln( 1 + e ) + c
=∫ =
1 tan x 1 sin x arctan(2 )+ arctan x( )+C 3 3 3 3 sin x 例 3.13 ． ∫ sin x + cos x dx 1 (sin x + cos x + sin x − cos x) 1 1 −d (cos x − sin x) 解：原式= dx = ∫ dx + ∫ ∫2⋅ sin x + cos x 2 2 sin x + cos x 1 1 = x + ln sin x + cos x + c 2 2 cos x 例 3.14 ． ∫ 2 sin x + 3cos x dx 3 2 解：令 f ( x ) = 2sin x + 3cos x ，则 f ′( x ) = 2 cos x − 3sin x , cos x = f ( x) + f ′( x) 13 13 3 2 f ( x ) + f ′( x ) 3 2 13 原式＝ ∫ 13 dx = x + ln | 2 sin x + 3cos x | +C f ( x) 13 13 1 例 3.15 ． ∫ 2sin 2 x + cos 2 x dx
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C ∫ f ′(x )dx = ∫f
2．基本公式
( n)
f (x ) + C
dx = f ( n −1) ( x) + C
（1 ）
∫ x dx = n + 1 x
x ∫ a dx =
n
1
n +1
1 + c ( n ≠ −1) ， ∫ dx = ln | x | + c x
2∫ sin 2 2 xd x u = 2 x
1 1 1 (1 − cos 2u ) du = u − sin(2u ) + C ∫ 2 2 4
- 80 -
第三章 不定积分
=
e ∫e
1 x − sin(4 x ) + C 4
x
例 3.8 ．
+x
dx
⋅ e x dx = ∫ ee de x = ee + C
∫ cos x dx = ∫ cos
* 例 3.12 ．
注：此例对于三角函数相当重要，请熟练掌握。
∫ 2 − cos x dx ∫ ( 2 − cos x)( 2 + cos x) dx
2 + cos x 2 d sin x dx = ∫ dx + ∫ 2 2 x 4 − cos x 3 + sin 2 x 2 + cos x
解：原式＝
sec 2 x 1 1 ∫ 2 tan 2 x +1 dx = ∫ 2 tan 2 x +1 d tan x = 2 arctan( 2 tan x) + C
4
例 3.16 ．
∫ tan
xdx
4
解：原式=
∫ [tan ∫ tan
x + tan 2 x − (tan 2 x + 1) + 1]dx
解：原式＝ 2．直接交换法
a）题型
∫ f(
ax + b )dx
= ax + b ， x = (t 2 − b) a
，
方法：令 t
∫ f(
例 3.25 ．
ax + b ) dx =
2 tf ( t ) dt a∫
∫
1 dx x +1
解：令 t
= x, x = t2，
原式= 例 3.26 ．
∫ t + 12tdt = 2 ∫ dt − 2∫ t + 1 = 2t − 2 ln t + 1 + c = 2
=
2
x (1 + tan 2 x ) dx − ∫ sec 2 xdx + ∫ dx = ∫ tan 2 xd tan x − tan x + x + c
1 3 tan x − tan x + x + c 3 2x + 3 例 3.17 ． ∫ x 2 − 2 x + 2dx
=
- 82 -
第三章 不定积分
例 3.22 ．
∫
e −1
2x
dx
1
解：原式 =
∫e
x
1−e
3
−2 x
dx = ∫
e−x
1− e
− 2x
dx = − ∫
de − x
1− (e )
−x 2
=
− arcsin e − x + c
例 3.23 ．
∫ sec
x tan 3 xdx
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同方专转本高等数学核心教程
1 5 1 3 2 2 4 2 sec x tan xd sec x = (sec x − sec x ) d sec x = sec x − sec x + C ∫ ∫ 5 3 x arctan 3 x 2 例 3.24 ． ∫ dx 1+ x4 1 tan 3 x 2 2 1 1 解：原式＝ ∫ dx = ∫ tan 3 x 2 d (arctan x 2 ) = arctan 4 ( x 2 ) + C 4 2 1+ x 2 8