人教B版高中数学必修五高一假期预习《1.2应用举例》练习.docx
新高中人教B版数学必修五课时作业：1.2应用举例(含答案)
§ 1.2应用举例(二).2.利用正、余弦定课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的相关高度的问题理及三角形面积公式解决三角形中的几何胸怀问题．1．仰角和俯角：与目标视野在同一铅垂平面内的水平视野和目标视野的夹角，目标视线在水平线 ____方时叫仰角，目标视野在水平线____方时叫俯角．(如下图 )2．已知△ ABC 的两边 a、 b 及其夹角C，则△ ABC 的面积为 ________．一、选择题1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为() A．α >β B ．α＝βC．α <β D ．α＋β＝ 90°2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是 ()40A． 20 3 m，33mB． 10 3 m,20 3 mC． 10(3－ 2) m,203 m1520D. 2 3 m，3 3 m3．如图，为测一树的高度，在地面上选用 A 、B 两点，从 A 、 B 两点分别测得望树尖的仰角为 30°， 45°，且 A 、 B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为()A． 30＋ 30 3 m B． 30＋ 153mC． 15＋ 30 3m D ．15＋ 33m4．从超出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为 ()A． 2h 米 B. 2h 米C. 3h 米 D ． 22h 米5．在某个地点测得某山岳仰角为θ，对着山岳在平行地面上行进600 m 后测仰角为原来的 2 倍，持续在平行地面上行进2003m 后，测得山岳的仰角为本来的 4 倍，则该山岳的高度是 ()A． 200 m B． 300 mC． 400 m D． 100 3 m6．平行四边形中， AC ＝ 65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是() A． 16B． 17.5C． 18D． 18.53二、填空题7．甲船在 A 处察看乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距 a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向 __________ 才能追上乙船；追上时甲船行驶了 ________海里．8．△ ABC 中，已知 A ＝ 60°，AB ∶ AC ＝ 8∶5，面积为 10 3，则其周长为 ________．9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为 ________．10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为 10 n mile 的 C 处，此时得悉，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛凑近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇抵达渔船的最短时间是______小时．三、解答题11．如下图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β已.知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.12．已知圆内接四边形ABCD 的边长 AB ＝ 2，BC＝ 6， CD＝ DA ＝ 4，求圆内接四边形ABCD 的面积．能力提高13．如下图，为认识某海疆海底结构，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行丈量．已知 AB ＝ 50 m ，BC ＝ 120 m，于 A 处测得水深 AD ＝ 80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF＝ 110 m，求∠ DEF 的余弦值．14．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和 30°，并且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．1．丈量底部不行抵达的建筑物的高度问题．因为底部不行抵达，这种问题不可以直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，而后转变为解直角三角形的问题．2．丈量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依据需要求出所求的角．§ 1.2 应用举例 (二)答案知识梳理11．上下2.2absin C作业设计1． B 2．A[h＝ 20tan 60 ＝°20 3(m)． h403(m)． ]甲 乙＝ 20tan 60 －°20tan 30 ＝°31＝ PB60×＝ 303．A[ 在△ PAB 中，由正弦定理可得60 ，PB ＝ 2 ，－3sin 30 ° sin 15 °sin 15 °h ＝PBsin 45 ＝°(30＋ 30 3)m.]4. A [如下图，BC ＝ 3h ， AC ＝h ，∴ AB ＝ 3h 2＋ h 2＝ 2h.]5． B [ 如下图， 600 · sin 2＝ 200θ 3· sin 4，θ∴ cos 2 θ＝3，∴ θ＝ 15°，∴ h ＝ 200 3·sin 4＝θ300 (m) ． ] 26．A[ 设两邻边 AD ＝ b ， AB ＝ a ，∠ BAD ＝α，则 a ＋b ＝ 9， a 2＋ b 2－ 2abcos α＝ 17， a 2＋ b 2－ 2abcos(180 °－ α)＝65.解得： a ＝ 5， b ＝ 4， cos α＝ 35或 a ＝ 4， b ＝ 5， cos α＝ 35，∴ S＝ ab sin＝α16.]7．北偏东 30°3a分析如下图，设到C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t ，乙船速度为 v ，则 BC ＝ tv ，AC ＝ 3tv ， B ＝ 120°，BCAC由正弦定理知 sin ∠ CAB ＝sin B ，∴1 ＝ 3 ， sin ∠ CAB sin 120°∴ sin ∠ CAB ＝ 1，∴∠ CAB ＝ 30°，∴∠ ACB ＝30°， 2∴ BC ＝AB ＝ a ，∴ AC 2＝ AB 2＋BC2－ 2AB ·BCcos 120°＝ a 2＋ a 2－ 2a 2·－ 1＝ 3a 2，∴ AC ＝ 3a.28． 20分析1 3k 2＝10 3.设 AB ＝ 8k ， AC ＝ 5k ， k>0，则 S ＝ AB ·AC ·sin A ＝ 102∴ k ＝1， AB ＝ 8， AC ＝ 5，由余弦定理：222 221 BC ＝AB＋ AC－ 2AB ·AC ·cos A ＝ 8 ＋ 5－ 2×8×5× ＝ 49.2∴ BC ＝7，∴周长为 AB ＋ BC ＋ CA ＝ 20.27 π 9. 5分析不如设三角形三边为a ，b ，c 且 a ＝ 6， b ＝ c ＝ 12，由余弦定理得：222222＝7，cos A ＝ b ＋ c － a ＝ 12 ＋12 － 62bc 2×12×12 8 ∴ sin A ＝1－ 7 2＝ 15.881 1 3 15由 (a ＋ b ＋ c) ·r ＝ bcsin A 得 r ＝5.22∴ S2 27π内切圆＝ πr＝5.210.3分析设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在△ ABC 中，由已知可得：∠ ACB ＝120°，设舰艇抵达渔船的最短时间为t ，则 AB ＝ 21t ， BC ＝9t ，AC ＝ 10，则 (21t) 2＝ (9t) 2＋ 100－2×10×9tcos 120 ，°解得 2或 t ＝－5t ＝ 312(舍 )．11．解 在△ ABC 中，∠ BCA ＝ 90°＋β，∠ ABC ＝ 90°－ α，∠ BAC ＝ α－ β，∠ CAD ＝ β.依据正弦定理得：AC＝BC，sin∠ ABC sin∠ BAC即AC＝BC，－－∴AC＝BCcos α＝hcos α.－－在 Rt△ACD中， CD ＝ACsin ∠ CAD ＝ ACsin β＝hcosα sin β－.即山高 CD 为hcosα sin β－.12．解连结 BD ，则四边形面积S＝ S△ABD＋ S△CBD＝1A B·AD·sin A ＋1B C·CD·sin C.22∵A ＋ C＝ 180°，∴ sin A＝ sin C.1∴S＝2(AB ·AD ＋ BC·CD)·sin A ＝16sin A.由余弦定理：在△ ABD 中， BD 2＝22＋42－2×2×4cos A＝ 20－16cos A ，在△ CDB 中， BD 2＝ 42＋ 62－ 2×4×6cos C＝ 52－ 48cos C，∴20－16cos A＝ 52－ 48cos C.1又 cos C＝－ cos A，∴ cos A＝－2.∴ A＝ 120 °.∴四边形 ABCD的面积 S＝ 16sin A ＝ 8 3.13．解作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF于 M.DF＝MF 2＋DM 2＝302＋ 1702＝ 10 298(m)，DE＝DN 2＋ EN 2＝502＋ 1202＝ 130(m) ，EF＝－2＋BC 2＝902＋ 1202＝150(m) ．在△ DEF 中，由余弦定理的变形公式，得22－ DF222－ 10216DE ＋EF＝130 ＋150×298 cos∠ DEF＝2DE·EF ＝65.2×130 ×15016即∠ DEF 的余弦值为65.14．解如下图：∠CBD ＝ 30°，∠ ADB ＝30°，∠ ACB ＝45°∵ AB ＝30，∴BC＝30，30BD ＝＝30 3.tan 30°在△ BCD 中，CD2＝ BC2＋ BD 2－ 2BC·BD·cos 30 °＝ 900，∴ CD＝30，即两船相距30 m.。
高中数学：1.2《应用举例》试题(新人教必修5).
第1题. 如图，一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20 的方向，30 min 后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东65 的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？答案：在A B S △中，32.20.516.1A B =⨯=n mile ，115A B S ∠=þ， 根据正弦定理，()sin sin 6520A S AB A B S=∠-，()sin sin 16.1sin 115sin 6520AB B AS AB ABS ⨯==⨯∠⨯=⨯⨯-S 到直线A B 的距离是sin 2016.1sin 115sin 207.06d AS =⨯=⨯⨯≈（cm ）．所以这艘船可以继续沿正北方向航行．南第2题. 如图，在山脚A 测得出山顶P 的仰角为a ，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高()()sin sin sin -a a h a γβγ-=．答案：在A B P △中，180+ABP γβ∠=- ， ()()()180- 180-180+ =-BPA ABPαβαβγβγα∠=--∠=---．在A B P △中，根据正弦定理，()()()()s i n s i n s i n -s i n 180+αs i n -s i n -A PA B A B PA P BAPAP αγαγβγβγα=∠∠=-⨯=所以山高为()()sin sin -sin sin -h AP ααγβαγα==．第3题. 测山上石油钻井的井架B C 的高，从山脚A 测得65.3A C =m ，塔顶B 的仰角α是2525'．已知山坡的倾斜角是1738' ，求井架的高B C ．答案：在A B C △中，65.3A C =m ，=25251738747BAC αβ'''∠=--=，90=9017387222ABC β''∠=--=，根据正弦定理，sin sin A C B C A B CB A C=∠∠()sin 65.3sin 7479.3m sin sin 7222AC BAC BC ABC'∠==≈'∠井架的高约为9.3m ．(6739)第4题. 如图，货轮在海上以35n mile / h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148的方向航行．为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是126，航行半小时后到达Ｃ点，观察灯塔A 的方位角是78．求货轮到达Ｃ点时与灯塔A 的距离ＡβαDＢＣ（精确到１ n mile ）．答案：在A B C △中，B C ＝350.517.5⨯=n mile ，14812612ABC ∠=-= ，()78180148110ACB ∠=+-=，1801101258BAC ∠=--= ，根据正弦定理，sin sin A C B C A B CB A C=∠∠，sin 17.5sin 12 4.29sin sin 58BC ABC AC BAC∠==≈∠（nmile ）． 货轮到达Ｃ点时与灯塔的距离是约4.29n mile ．第5题. 轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120 ，轮船A 的航行速度是25 n mile/h ，轮船B 的航行速度是15 n mile/h ，下午2时两船之间的距离是多少？答案：70 n mile ．第6题. 如图，已知一艘船从30 n mile/h 的速度往北偏东10 的A 岛行驶，计划到达A 岛后停留10 min 后继续驶往B 岛，B 岛在A 岛的北偏西60的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B 岛在北偏西30 的方向，经过20 min 到达Ｄ处，测得B 岛在北偏西45的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B 岛？答案：在BC D △中， 30104B C D ∠=+=304560BCA20 min1801804510125BDC ADB ∠=-∠=--=，130103C D =⨯=（n mile ）， 根据正弦定理，sin sin C D BD C BDBC D=∠∠，()10sin 40sin 18040125BD =∠--，10sin 40sin 15BD ⨯=．在ABD △中，451055ADB ∠=+=，1806010110BAD ∠=--=， 1801105515ABD ∠=--=．根据正弦定理， s i n s i n s i n A DB DA BA B DB A D A D B ==∠∠∠，就是sin 15sin 110sin 55A DB D A B ==，sin 1510sin 40 6.84sin 70sin 110BD AD ==≈（n mile ）． sin 5510sin 40sin 5521.65sin 110sin 15sin 70BD AB ==≈(n mile)．如果这一切正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030A D A B+++⨯+≈+⨯≈（min ）即约１小时26分59秒．所以此船约在11时27分到达Ｂ岛．第7题. 一架飞机在海拔8000m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是2739和，计算这个海岛的宽度．答案：约5821.71m ．第8题. 一架飞机从A 地飞到B 到，两地相距700km ．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21 角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35 夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km 远了多少？答案：在A B C △中，700A B =km ，1802135124ACB ∠=--= ， 根据正弦定理，700sin 124sin 35sin 21A CBC ==，700sin 35sin 124AC =，700sin 21sin 124BC =，700sin 35700sin 21786.89sin 124sin 124AC BC +=+≈（km ），所以路程比原来远了约86.89km ．第9题. 为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．B答案：在21.418.6 2.8ABT ATB ∠=-=△中，，9018.6ABT ∠=+ ，15A B =（m ）．根据正弦定理，sin 2.8cos 18.6A B A T =，15cos18.6sin 2.8AT ⨯=．塔的高度为15cos18.6tan 21.4tan 21.4114.05sin 2.8AT =≈（m ）．第10题. A ，B 两地相距2558m ，从A ，B 两处发出的 两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离 两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？答案：飞机离A 处控照灯的距离是4801.53m ， 飞机离B 处探照灯的距离是4704.21m ， 飞机的高度是约4574.23m ．第11题. 一架飞以326km/h 的速度，沿北偏东75的航向从城市A 出发向城市B 飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C ，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？答案：A E =3261897.860⨯=km ，在AC D △中，根据余弦定理：AC ==101.235=根据正弦定理：sin sin AD AC AC DAD C=∠∠，sin 57sin 66sin 0.5144101.235AD ADCACD AC∠∠==≈，30.96ACD ∠≈，13330.96102.04ACB ∠≈-=．在A B C △中，根据余弦定理：AB ==245.93≈，222cos 2AB AC BCBAC AB AC+-∠=222245.93101.2352042245.93101.235+-=⨯⨯0.5847≈，54.21BAC ∠=．在A C E △中，根据余弦定理：CE ==90.75≈，222cos 2AE EC ACAEC AE EC+-∠=．22297.890.75101.2350.4254297.890.75+-≈≈⨯⨯，64.82AEC ∠=，()180180757564.8210.18AEC -∠--=-=．所以，飞机应该以南偏西10.18 的方向飞行，飞行距离约90.75km ．第12题. 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为1830' ，经过150s 后又看到山顶的俯角为81 ，求山顶的海拔高度（精确到1m ）．答案：飞行在150秒内飞行的距离是150100010003600d =⨯⨯m ，根据正弦定理，()sin 18.5sin 8118.5dx =-，这里x 是飞机看到山顶的俯角为81时飞机与山顶的距离．飞机与山顶的海拔的差是： ()sin 18.5tan 81tan 8114721.64sin 8118.5d x =≈-(m)，CDBAE山顶的海拔是2025014721.645528-≈m ．第13题. 一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶的仰角是α，这个人再从A 点向南走到B 点，再测得建筑物顶的仰角是β，设A ，B 间的距离是a ．．答案：设建筑物的同度是h ，建筑物的底部是C ， 则tan tan h h AC BC αβ==，．A B C △是直角三角形，B C 是斜边，所以222tan tan b h a αβ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222211tan tan a h βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 222222tan tan tan tan a h αβαβ=-2222222sin sin sin cos cos sin a αβαβαβ=-()()222sin sin sin sin a αβαβαβ=--．所以，h =αABDCβah。
人教B版高中数学必修五高一假期预习《1.2应用举例》练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.如右图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A.502mB.503mC.252mD.2525m 2.如图D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC=10m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A.10mB.53mC.5(31)m -D.5(31)m +3.在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A.320(1)3m +B.20(13)m +C.10(62)m +D.20(62)m +4.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是 海里。
5.在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角θ，由此点向塔底沿直线走30m ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 m.6.如图所示，在高山地面30m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度。
综合提高7.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A.103mB.1003mC.203mD.30m8.甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A.1507分钟 B.157小时 C.21.5分钟 D.2.15分钟9.太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛离开公路的距离是km.10.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为11.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求（1）A处与D处的距离；（2）灯塔C与D处的距离。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例同步练习新人教B版必修5(2021学年)
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1。
２应用举例1．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据,应当测量的数据是（ )A.α、a、bB.α、β,ａＣ.ａ、b、γＤ．α、β，ｂ2．已知两座灯塔Ａ和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔Ａ在观察站C的北偏东20°方向,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为( )Ａ．ａkm B．3a km Ｃ。
2a km Ｄ．2a km3．某人向东走了ｘ km,然后向右转150°，向新方向走了3 km,结果他离出发点错误! km,则x 的值为＿＿_____＿__．4.在高出海平面200 ｍ的小岛顶上A处，测得位于正西和正东的两船的俯角分别为4５°和30°,此时两船的距离为＿＿_＿＿__＿__.答案:1.C 选择易到达、容易测量的长度a、b和∠γ，然后利用余弦定理求ＡＢ的长度.2．B 如图所示,可知∠ACB＝120°,AＣ＝BC=ａ,在△ABC中，过点C作CＤ⊥ＡB,则AＢ=２AD=2acｏs3０°＝＼r(3）a。
3.错误!或2错误!根据余弦定理知(错误!）２=x２＋3２-2·3·ｘ·cos3０°，解得x=错误!或2错误!.4．200(错误!+1) m 如图，BH=AH＝200 ｍ,而CH=AH·tan６０°＝2０0错误! m,∴两船相距2０0（＼ｒ（3)+1） m．课堂巩固1.两座灯塔A和B到海岸观察站Ｏ的距离相等,灯塔A在观察站沿北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( ）A．北偏东10°B．北偏西10° C．南偏东１0°Ｄ．南偏西10°2.如图,Ｄ、C、B三点在地面同一直线上,DC＝a,从Ｃ、D两点测得A点的仰角分别是α、β(α〈β),则点Ａ离地面的高AB等于( )A。
人教B版人教B版高中数学必修五第1章1.2应用举例(人教实验B版)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2 应用举例（人教实验B版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题6分，共24分）1.某人朝正东方向走了x km后，向左转150︒后，再向前走了3 km，结果他离出发点恰好是3km，那么x=（）A. B.2C.或2D.2.在△ABC中，已知2sin Acos B = sin C，那么△ABC是（）三角形.A.锐角B.直角C.等边D.等腰3.一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10 000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为（）米．A.2 000B.2 500C.5 000D.7 5004.在平行四边形ABCD中，已知AB=1，AD=2，1AB AD⋅=，则||AC=( )A. B.C. D.2 5.把一根30厘米长的木条锯成两段，分别作为钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120︒，当AB=（）厘米时，才能使第三条边AC最短.A.13B.14C.15D.166.在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且BCACA222sinsinsinsinsin=⋅-+，则角B =( )A. B.C. D.二、填空题（每小题5分，共10分）7.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD， AD = 10，AB =14，∠BDA=60︒，∠BCD=135︒，则BC= .8.为了测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标识物C，测得∠CAB =45︒，∠CBA=75︒，AB=120米，则河宽米.三、解答题（共66分）9.（8分）某人在草地上散步，看到他的正西方向有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南偏西45︒方向上，另一根标杆在其南偏西︒30方向上，求此人步行的 速度．10. （12分）江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和︒30 ，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，那么这两条船相距多少米.11.（14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =． （1）求b 的值；（2）求sin C 的值．12.（16分）某海轮以30海里/时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东︒60，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东︒30方向上，海轮改为北偏东︒60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．13.（16分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan21tanA cB b+=．（1）求角A；（2）若m(0,1)=-，n()2cos,2cos2CB=，试求|m+n|的最小值．1.2 应用举例答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.1.2应用举例参考答案1.C 解析：由余弦定理知3=x2+32-6xcos 30 ，解得x =3或23.故选C.2.D 解析：由2sin Acos B = sin C，知2sin Acos B = sin(A+B)，∴2sin Acos B = sin Acos B+cos Asin B，即cos Asin Bsin Acos B = 0. ∴ sin(B-A)=0，∴ B =A.故选D.3.C 解析：设这时飞机与地面目标C 的距离为x 米，由正弦定理得10 000sin 45sin 30x︒︒=，得x =50002 . 故选C.4.B 解析：由||||cos 1AB AD AB AD A ⋅=⋅=，得cos A =12， A = 60︒，故B = 120︒. 由余弦定理知：AC 2=12+22-4cos 120︒=7， 故||AC =7.故选B. 5.C 解析：在△ABC 中，设AB = x （0＜x ＜30）厘米 ，由余弦定理，得AC 2=x 22)30(x -+－2x （30-x ）cos 120︒ 229003015675x x x =-+=-+（），所以当AB=15厘米时，第三条边AC 最短.故选C. 6.A 解析：由正弦定理可设sin sin sin a b cA B C===k ，则 sin ,sin ,sin .a b cA B C k k k===代入已知式，可得ac b c a =-+222，由余弦定理，得2122cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，故3B π=.故选A. 7.82 解析：在△ABD 中，设BD =x ， 则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ， 整理得 096102=--x x ，解得161=x ，62-=x （舍去）. ∵ ∠ADC= 90°，∠BDA=60°，∴ ∠CDB=30°.由正弦定理得 BCD BDCDB BC ∠=∠sin sin ， ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC .8.（60+203） 解析：把AB 看成河岸，要求的河宽就是C 到AB 的距离，也就是△ABC 的边AB 上的高.在△ABC 中，由正弦定理，得BC =120sin 45sin 60︒︒=406（米）. 则河宽为h =BCsin 75︒=406×426+=(60203)()+米. 9.解：如图所示，A 、B 两点的距离为6米， 当此人沿正北方向走到C 点时，测得∠BCO =︒45， ∠ACO =︒30，∴ ∠BCA =∠BCO －∠ACO =︒45－︒30=︒15．由题意，易知∠BAC =︒120，∠ABC =︒45．在△ABC 中，由正弦定理，得ABC AC ∠sin =BCAAB∠sin ，即AC = BCA ABC AB ∠∠⋅sin sin =︒︒⨯15sin 45sin 6=36＋6．在直角三角形AOC 中，有 OC = AC ·cos ︒30= (36＋6)×23= 9＋33． 设此人步行速度为x 米/分，则x =3339+= （3＋）（米/分）． 10. 解：设炮台顶部位置为A ，炮底为O ，两船位置分别为B 、C. 在Rt △AOB 中，BO=OA =30米.在Rt △AOC 中，CO=303米. 在△BOC 中，由余弦定理，得BC 22230(303)230303cos30900=+-⨯⨯︒=，所以 BC=30米,即这两条船相距30米.11.解：（1）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-， 即222123223104b =+-⨯⨯⨯=， ∴10b =．（2）方法一：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-=41091082210+-==⨯⨯. ∵ C 是△ABC 的内角， ∴ 236sin 1cos 8C C =-=． 方法二：∵ 1cos 4B =，且B 是△ABC 的内角， ∴ 215sin 1cos 4B B =-=． 根据正弦定理sin sin b cB C=， 得153sin 364sin 810c BC b⨯===．12.解：如图，在△ABP 中，AB = 30×6040= 20， ∠APB =︒30，∠BAP =︒120.由正弦定理，得BPA AB ∠sin =BAPBP∠sin ，即2120=23BP ，解得BP =320． 在△BPC 中，BC = 30×6080= 40， 由已知∠PBC =︒90，∴ PC ==+22BC PB 2240)320(+=720 (海里)．∴ P 、C 间的距离为720海里． 13.解：（1）由正弦定理得，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， ∴ 1cos 2A =．∵0πA <<，∴ π3A =．（2）∵ m +n 2cos ,2cos 1(cos ,cos )2C B B C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos 1sin 2326B C B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ π3A =，∴ 2π3B C +=， ∴ 2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．从而ππ7π2666B -<-<． ∴ 当πsin 26B ⎛⎫-⎪⎝⎭＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12． ∴ |m +n |min 22=.。
数学人教B版必修5自主训练：1.2应用举例 含解析 精品
自主广场我夯基 我达标1.如图1-2-12，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，其中可以实现并可以计算得出AB 长的数据是( )图1-2-12A.α,a,bB.α,β,aC.a,b,γD.α,β,b思路解析:根据实际情况,α、β都是不易测量的数据，而C 中的a 、b 、γ很容易测量到，并且根据余弦定理AB 2=a 2+b 2-2abcos γ能直接求出AB 的长.答案:C2.已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°的方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A.a kmB.a 3 kmC.a 2 kmD.2a km思路解析:由图可知∠ACB=120°，AC=BC=a.在△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB ，则AB=2AD=2acos30°=3a.图1-2-13答案:B3.在200 m 的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( ) A.m 3400 B.m 33400 C.m 33200 D.m 3200 思路解析:如图1-2-14所示，设塔高AB 为h ，图1-2-14在Rt △CDB 中，CD=200，∠BCD=90°-60°=30°,∴BC=3340030cos 200=︒. 在△ABC 中，∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°, ∴∠BAC=120°.︒=︒30sin 120sin AB BC ,∴AB=3400120sin 30sin =︒︒∙BC m. 答案:A4.在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且其最大内角为120°，则其最大边长为____________. 思路解析:由已知所给三边间的关系，先判断其最大边，再利用余弦定理把问题解决.由已知a-b=4,a+c=2b,得a=b+4,c=2b-a=b-4，故a 为最长边.∴A=120°.∴cosA=21)4(2)4()4(222-=-+--+b b b b b ，即8216--b b =21-.解得b=10.∴a=14. 答案:145.在△ABC 中，若(sinA+sinB+sinC)·(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB ，则C=_____________. 思路解析:本题所给条件中涉及的是三内角的正弦，容易想到将其展开化简，得到sin 2A+sin 2B-sin 2C=sinAsinB ，而这个形式与余弦定理极为相似，然而余弦定理所涉及的是边角关系，于是可以先用正弦定理将三内角的正弦转化为边，即为a 2+b 2-c 2=ab ，所以cosC=2122222==-+ab ab ab c b a ，C=60°. 答案:60°6.为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B,望对岸的标记物C ，测得∠CAB=45°,∠CBA=75°，AB=120米，求河的宽度.思路分析:由题意画出示意图，把问题转化为求△ABC 的AB 边上的高的问题.而由已知及正弦定理，可先求出AC ，进而求得河宽.解:如图所示，在△ABC 中，由已知可得图1-2-15 AC=)623(2060sin 75sin 120sin sin +=︒︒=∙C B AB . 设C 到AB 的距离为CD ，则CD=22·AC=20(3+3)， ∴河的宽度为20(3+3)米.7.已知关于x 的方程x 2+xcosAcosB-1+cosC=0的两根之和等于其两根之积的一半，试判断△ABC 的形状.思路分析:本题与一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的关系，容易根据题意及根与系数间的关系得到三内角间的关系，从而判定△ABC 的形状.解:依题意,得-cosAcosB=21cos -C ,即2cosAcosB=1-cosC. ∴cos(A+B)+cos(A-B)=1+cos(A+B).∴cos(A-B)=1.又-π＜A-B ＜π，∴A-B=0,A=B.故△ABC 是等腰三角形.我综合 我发展8.在△ABC 中，A ＞B ＞C ，且三边a 、b 、c 为连续自然数，且a=2ccosC.求sinA ∶sinB ∶sinC 的值.思路分析:本题已知条件中给出了边角间的关系，要求三内角正弦之比，可以根据正弦定理转化为求三边之比，进而去求三边长，从而将问题解决.解:∵A ＞B ＞C,∴a ＞b ＞c.又三边a 、b 、c 为连续自然数，∴可设a=b+1,c=b-1.由a=2ccosC,得cosC=)1(212-+=b b c a .由余弦定理,得 cosC=)1(24)1(2)1()1(2222222++=+--++=-+b b b b b b b ba c a b ，∴)1(21)1(24-+=++b b b b ， 即(b+1)2=(b-1)(b+4),b=5.∴a=6,c=4.由正弦定理,得sinA ∶sinB ∶sinC=6∶5∶4.9.小明在内伶仃岛上的点A 处，上午11时测得在A 的北偏东60°的C 处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西60°的B 处，12时40分时又测得轮船到达位于A 正西方5千米的港口E 处，如果该船始终保持匀速直线运动.求：(1)点B 到A 的距离；(2)船的航行速度.思路分析:本题所涉及的角比较多，首先应该考虑画出示意图，将题中所述条件正确地反映在图形上，这样比较直观，然后结合图形分析，不难根据正、余弦定理把问题解决.解:(1)轮船从C 处到点B 用了80分钟，从点B 到点E 用了20分钟，轮船保持匀速直线运动.故BC=4BE ，设BE=x ，则BC=4x.由已知,得只要求出x 的值即可.在△AEC 中，由正弦定理,得sinC=xx EC EAC AE 215150sin 5sin =︒=∠∙. 在△ABC 中，由正弦定理,得AB=334120sin 214120sin sin =︒∙=︒∙x x C BC . (2)在△ABE 中,由余弦定理,得BE 2=AB 2+AE 2-2AB·AE·cos30° =25+316-2×5×334cos30°=331.∴BE=393. 故轮船的速度为936020393=÷千米/时.10.有一条河MN ，河岸的一侧有一很高的建筑物AB(底部为A,顶部为B)，一人位于河岸另一侧P 处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米).请你根据所学数学知识，设计多种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB 及距离PA 的公式.解:(1)如图1-2-16，点P 位于开阔地域，被测量的数据为PC(测角器的高)和PQ(Q 为在PA 水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角为α和β(其中∠BDO=β,∠BCO=α).图1-2-16设AB=x,PA=y ，则有⎩⎨⎧+=-=-,tan )(,tan βαPQ y PC x y PC x ∴x=βαββαβαtan tan tan ,tan tan tan tan -∙=-∙+PQ y PQ PC . (2)如图1-2-17，P 位于开阔地域，被测量的数据为PR(PR 在水平线上，且PQ ＜5米)，在P 、Q(Q 是PR 的中点)、R 处测得建筑物AB 的仰角分别为α、β、γ(其中∠APB=α,∠AQB=β,∠ARB=γ)，设AB=x,PA=y ，则y=xcot α,AQ=x cot β,AR=x cot γ.图1-2-17在△APQ 与△APR 中，由余弦定理,得AP 2+PQ 2-2AP·PQ·cos ∠APQ=AQ 2,AP 2+PR 2-2AP·PR·cos ∠APQ=AR 2，即(xcot α)2+(2PR )2-2·(xcot α)·2PR cos ∠APQ=(xcot β)2， (xcot α)2+(PR)2-2·(xcot α)·PR cos ∠APQ=(xcot γ)2,两式相减,得βγαβγ2222cot cot 2cot 3,cot cot 23-=-=PR y PRx .(3)如图1-2-18，若P 处是一可攀建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个测量点C 、D ，被测数据为PC 和PD 的长度，仰角为α、β(其中∠BDF=β,∠BCE=α).图1-2-18设AB=x,PA=y ，则在Rt △BCE 与Rt △BDF 中，CE=BEcot α,DF=BF cot β，又BF=x-PD,BE=x-PC,DF=CE ，由此解得 x=ββαβαβαβαcot )cot cot cot cot (,cot cot cot cot PD PD PC DF PA y PD PC ---===--.。
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1.如右图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算
A 、
B 两点的距离为( )
A.502m
B.503m
C.252m
D.2525
m 2.如图D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC=10m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别
为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )
A.10m
B.53m
C.5(31)m -
D.5(31)m +
3.在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )
A.320(1)3m +
B.20(13)m +
C.10(62)m +
D.20(62)m +
4.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是 海里。
5.在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角θ，由此点向塔底沿直线走30m ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 m.
6.如图所示，在高山地面30m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度。
综合提高
7.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）
A.103m
B.1003m
C.203m
D.30m
8.甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）
A.150
7
分钟 B.
15
7
小时 C.21.5分钟 D.2.15分钟
9.太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏
西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛离
开公路的距离是km.
10.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为
11.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126n mile，在A处看
灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求
（1）A处与D处的距离；
（2）灯塔C与D处的距离。
12.如图所示，A、B两个小岛相距21海里，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9海里的速度向B岛行驶，而乙船同时以6海里的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离。