五阶KdV方程的行波解、周期波解及其渐近分析
一类广义五阶KdV方程的精确解
９７ ０
（） Ｄ 双曲函数解
专 ＋ ｓ 象ｉ （
＝ ＝
＞ 。 ，
ｓ （ ） ｃ ＝，＞， ０ ｉ ， ： ｏ ０ ， ｎ ｈ 当＝ ４
ｓｈ ） ＝ ＝， ｏ ｏ ｅ（ ， ＝ ｏ ，＜， ｃ√ 当 ＞ ｃ
一 ，
ｔ
（ 序 … 若 ， ＝
西南民族大学学报 ・ 自然科学版
第 ３ 卷 ４
以 ±，ｊ ＝ ，… ４是 数 及 ＝ １ （ ｏ， ， 常 ． ｃＪ １ ）
步骤 ３ 通过平衡方程 （ ）的最高阶导数项与最高阶非线性项来决定 ｎ ３ ．
步 骤４把（） ５代 方 ３， 后 和 ４和（） 入 程（ 然 设 ）
（ ｏ，… 的 数 零 由 得 一 ， ，）系 为 ， 此 到 ＝１ ２
（ ６）
、
八 知 。吣
（） 数函 指 数解
蒜
（ ） 函 解 ｃ 三角 数
（ ７）
专＋ ｉ ｓ ｎ （
ｓ（ ） ｃ ｉ ｎ ， 当＝
…４，。 ＿ ， ｏ
０ ０ ０ ， ， ，
ｓ（ ） ＝１ ｏ ｏ４ ｏ ｅ、 ， 。 ＝ ， ， ＞， ｃ／ 当 二 ： ＜ ｃ
系 关 （ ｏ，， 的 数 程 列 于 ，…刀 代 方 ． ＝１ ） 步 ５ 求 步 ４ 获 的 系 代 方 ， 出 ＝ ， ， 骤 解 骤 所 得 一 列 数 程 解 口 ｏ， （ １ ） …
步骤 ６ 方程 （ ） ５ 有下列形式的解
（） 项 解 Ａ多 式
第
ｉ ｆ
，，
Ｃ ｃ ‘ ２ｅｈ （ ｓ
２ ｔｎ ａｎ
１
，
当 ＝ ｌ ，２ ． ＝Ｏｃ ＞０
（） Ｅ有理函数解
广义五阶KdV方程的新的周期波解与孤立波解
第３ ３卷第 ３期
西南民族大学学报 ・ 然科学版 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ｕ ｈ ｓ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｒＮａ ｉｎ ｌ ｉｓ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ｏ ｒ ａ ｏ ｏ ｔ ｗｅ ｔ ｉ ｅ ｓ ｙ ｆ ｔ ａ ｉ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄ ｔ ｎ ｔ ｏ ｏ ｔ Ｓ ｉ
如齐次平衡法 ， 曲正切 函数展开法 ， Ｄ １双 １Ａ Ｍ方法［ 利用分支理论直接积分的方法【 ８ １ ， ９ ｊ ，Ｆ一 方法【 Ｊ 叫等． 本文 利用刘适式【１ ¨ 等人提 出的Ｊｃｂ ａｏ ｉ 椭圆函数展开法， 对广义的五阶Ｋ Ｖ ｄ 方程进行求解， 不仅得到了方程 的准确刷
期解， 而且周期解在极限情况下可 以退化为相应的孤立波解．
为零， 就可 以得到相应 的代数 方程． ｛ Ｊ待定的系数法得到 ａ （＝０ １ ２ ， … ，． 的值从而得到方程的 ｊ ｉ ， ， ，３… ，） ２
行波周期解． 当ｍ－ ｌ ｓ毛 ａｈ ， － 时，ｎ ｔ 毛 从而（） ￣ ｎ ３ 式就退化为
（ ＝ ｔｈ ∑ ，ｎ ） ａ ．
２ ａｏ ｉ 圆函数展开 法 Ｊｃ ｂ 椭
考虑 非线性波方程
， ， ， ， ，．．… ，
（） １
作行波变换为 ： ＝／～） 专＝／ｘ ） ｋ ＋ ｔ， ４￣ ， １ ｃ ＋ｃ （
＝
（） ２
其中 ｋ ｃ 和 分别为波数和波速 ．
将／ ） ４４ 展开为下列 Ｊｃｂ椭圆正弦函数 ２ ａｏｉ ， 的级数 ：
此方法就为双曲正切函数展开法． 所以 Ｊｃｂ椭 圆函数展开法包含了双 曲正切函数展开法． ａｏｉ
（ ７ ）
３ 求解
广义的五阶 Ｋ Ｖ方程为 ： ｄ
关于KdV方程行波解的一个注记
( JWCXSL090114) ; 河南科技大学青年科学基金项目 ( 2008QN026)
[5 - 7]
( Ⅰ)当 Δ = V 2 + 12C > 0 时 , 记 a =
关于 KdV 方程行波解的一个注记
李二强 ,李向正
1 1, 2
( 1. 河南科技大学 理学院 ,河南 洛阳 471003; 2. 上海理工大学 理学院 ,上海 200093 )
摘要 : 通过对 KdV 方程行波约化后所得常微分方程组 (ODEs)进行定性分析 ,结合 F2 展开法和 ( G′ /G) 展开法 的结果 ,指明了 KdV 方程的行波解可由 Jacobi椭圆函数 、 三角函数 、 双曲函数及有理函数表示 。这里精确求 解与定性分析相结合的思路对 mKdV 方程 , KP方程行波解的讨论同样有效 。 关键词 : F 2 展开法 ; KdV 方程 ; 行波解 ; Jacobi椭圆函数 ; 定性分析 ; 相图 中图分类号 : O175. 29 文献标识码 : A
( c )能量 E > U ( a ) 的每一个水平集确定系统 ( 5 ) 的一条无界轨线 , 如图 2 中 R E 所示 ;
能量 U ( b) < E < U ( a ) 的每一个水平集确定系统 ( 5 ) 的二条轨线 , 一条是位于奇异闭轨线 Γa 内部
+ 的周期闭轨线 (如图 2中 S E பைடு நூலகம்示 ) , 一条是位于 Γq 与 Ha ∪ Ha ∪A 之间的无界轨线 (如图 2中 KE 所示 ) ; 能量 E < U ( b) 的每一个水平集确定系统 ( 5) 的一条无界轨线 ,它位于轨线 Γq 左侧 (如图 2中 L E 所示 ) 。
KdV方程的近似行波解
KdV 方程地近似行波解数学与应用数学专业 学生：王芳 指导教师：高正晖摘 要：本文利用傅里叶级数法,吴消元法获得了KdV 方程地多组近似行波解.关键词：KdV 方程。
傅里叶级数法。
吴消元法。
近似行波解1 引言随着应用科学地发展,使得描述实际现象地非线性偏微分方程越来越突现其重要性.最早用于描述浅水波现象地KdV 方程0=++xxx b x a t ϕϕϕϕ.在经过长时间沉寂后,随着孤波理论地发展,方程本身和解地意义被人们重新认识,吸引了科学家地研究兴趣.人们发现各种不同形式地KdV 方程可以描述很多领域中地不同现象.如:弱非线性,弱色散地平面波系统运动,等离子体中地磁流体波.而方程地近似解能使物理现象得到进一步地解释.因此,对数学家、物理学家、工程学家及应用科学工作者来说,寻找对应实用背景方程地近似解一直是大家关注地问题.由于非线性方程问题地复杂性和特殊性,非线性方程没有统一地求解办法,因而出现求解非线性方程地各种方法,如直接积分法,混合指数法,齐次平衡法,双曲函数展开法及Baclund 变换法等.所有这些方法都有一定地局限性.本文采用傅里叶级数法和吴文俊消元法,获得了非线性方程 KdV 地多组近似行波解.2 KdV 方程地求解KdV 方程可表示为：06=+-xxx x t ϕϕϕϕ. （1） 现在用傅里叶级数法来求解上述KdV 方程，为了求解（1）式.令：wt x +==ξξϕϕ),( （2）将（2）式代入方程（1）可得常微分方程：06'''''=+-ϕϕϕϕw . （3）对（3）式积分一次，=+-⎰ξϕϕϕϕd w '''''6c w ++-''23ϕϕϕ 取积分常数0=c ，得：03''2=+-ϕϕϕw . （4）由傅里叶级数法,设方程（4）有如下形式地行波解ξξξϕn b n a A n n n sin cos )(1++=∑∞=. （5）2.1当1=n 时：ξξξϕsin cos )(11b a A ++=. （6）其中11,,b a A 为待定系数.将（6）式代入（4）式即：)sin cos ()cos sin sin 2sin cos 2cos 2(3)sin cos (3112212211111211''2ξξξξξξξξξξϕϕϕb a a b Ab b a Aa A b a A w w --++++++-++=+- ξξξξξξsin cos 6cos 3sin 3sin )6(cos )6(3112212211111112b a a b b Ab w b a Aa w a A wA -----+--+-=0= （7）令(7)式中地常数项以及各次项地系数为零，得到如下方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+--=-063306603112121111`1112b a a b b Ab w b a Aa w a A wA 解得：①;,0,,111k w A k b k a ===-=②.,3,,1111k w k A k b k a ==-==其中1,k k 为任意常数.于是方程（4）有如下形式地解：①;sin cos )(ξξξϕk k +-=②.sin cos )(1k k k +-=ξξξϕ2.2当2=n 时：ξξξξξϕ2sin 2cos sin cos )(2211b a b a A ++++= （8）其中2211,,,,b a b a A 为待定系数.将（8）式代入（4）式即：ξξξξϕϕϕ2sin )6(2cos )6(sin )6(cos )6(332222*********''2b Ab w b a Aa w a b Ab w b a Aa w a A wA w --+--+--+--+-=+-ξξξξξξξξξξξξξξξξ2sin 32cos 3sin 3cos 32sin 2cos 62sin sin 6sin 2cos 62sin cos 62cos cos 6sin cos 6222222221221222112212111b a b a b a b b b a b a a a b a ----------0= （9） 令（9）中地常数项及各次项地系数为零，得到如下方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++++=+++++++=--------+--=--------+--=-0336666660336666660666666466066666646603222122122121211122212212212121112212212121112221112212212121112221112b b b a b b b a b b a b b a a a b a b a a a b a a a b a b a b b b a b b a b b a b Ab w b b Ab w b b a b a a a b a a a b a a Aa w a a Aa w a A wA （10）利用吴消元法解上述关于,,,,,,2211b a b a A w 地方程组得： ①;2)71(20735,,,)3437(,)3437(,02211k w k b k a k b k a A -++===-=-== ②;2)71(20735,,,)3437(,)3437(,02211k w k b k a k b k a A ++-===--=--== ③;2)71(20735,)3437(,,,)3437(,02211k w k b k a k b k a A -+-=-===-== ④;2)71(20735,)3437(,,,)3437(,02211k w k b k a k b k a A ++-=--===--== ⑤;3,,,)3437(,)3437(,6)878()573(22112A w k b k a k b k a k k A ===-=-=-++-=⑥;3,,,)3437(,)3437(,6)878()573(22112A w k b k a k b k a k k A ===--=--=+--= ⑦;3,)3437(,,,)3437(,6)878()573(22112A w k b k a k b k a k k A =-===-=-++-= ⑧.3,)3437(,,,)3437(,6)878()573(22112A w k b k a k b k a k k A =--===--=+--= 其中k 为任意常数.于是方程（4）有如下形式地解： ①;2sin 2cos sin )3437(cos )3437()(ξξξξξϕk k k k ++-+-= ②;2sin 2cos sin )3437(cos )3437()(ξξξξξϕk k k k ++--+--= ③;2sin )3437(2cos sin cos )3437()(ξξξξξϕk k k k -+++-= ④;2sin )3437(2cos sin cos )3437()(ξξξξξϕk k k k --+++--= ⑤;6)878()573(2sin 2cos sin )3437(cos )3437()(2k k k k k k -++-+++-+-=ξξξξξϕ ⑥;6)878()573(2sin 2cos sin )3437(cos )3437()(2k k k k k k +--+++--+--=ξξξξξϕ ⑦;6)878()573(2sin )3437(2cos sin cos )3437()(2k k k k k k -++-+-+++-=ξξξξξϕ⑧.6)878()573(2sin )3437(2cos sin cos )3437()(2k k k k k k +--+--+++--=ξξξξξϕ 3 结束语本文以KdV 方程为例,介绍了用傅里叶级数法和吴消元法求解近似行波解地方法,从而揭示了求解非线性发展方程精确行波解理论与技巧.参考文献：[1]赵长海.KdV 方程地显示行解[J].海南师范大学学报（自然科学版），2010,23（3）:142-146.[2]高正晖，罗李平，杨柳.求非线性发展方程精确行波解地几种方法[J].衡阳师范学院学报，2009,30（6）：13-17.[3]高正晖.(2+1)维CD 方程地精确行波解[J].科学技术与工程，2009,9（8）：2122-2125.[4]刘洪林，刘洪元.吴消元法地初等代数形式[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2005,23（3）：248-251.[5]刘洪元.吴消元法与四元术[J].辽宁大学学报（自然科学版）,2004,1(4)：338-341. [6]张克磊.几类非线性波动方程行波解分支地研究[D].桂林：桂林科技大学数学研究所，2010.[7]殷俊.三类广义KdV 方程地行波解[D].成都：四川师范大学，2008.[8]傅海明.一类五阶KdV 方程行波解[J].鸡西大学学报，2008,8（6）：142-143.[9]叶健芬，蔡桂平，虞凤英.利用双曲函数法研究非线性方程地行波解[J].温州师范学院学报(自然科学版) ，2006,27(2)：1-4.[10]李俊焕，郑一.两种方法求KdV 方程地新解[J].青岛理工大学学报，2011,32（5）：123-126.Approximate Traveling Wave Solutions of KdV Equation Mathematics and Applied Mathematics Author ：Wang Fang Tutor: Gao Zhenghui Abstract: In this paper, KdV equation groups of traveling wave solutions are obtained by using Fourier series method and Wu elimination method.Key words: KdV equation 。
非线性电报方程解的渐近性质及广义KdV方程的行波解的开题报告
非线性电报方程解的渐近性质及广义KdV方程的行波解的开题报告开题报告：一、选题背景：随着科学技术的不断发展和进步，非线性物理学越来越受到了人们的关注和重视。
非线性电报方程（NLE）以其在科学中具有的广泛应用性和重要性而成为了研究的热点之一。
NLE方程是指其解不具有可加性质，从而使其解的行为更为复杂。
NLE方程的解对于理解物理过程具有极其重要的作用，并且在实际应用中也具有广泛的应用。
同时，在研究NLE方程时，KdV方程也是研究的重点之一。
广义KdV方程具有比KdV方程更广泛的应用，能够解释更多的现象，使用更加广泛和灵活。
二、研究内容：本文主要研究NLE方程解的渐近性质以及广义KdV方程的行波解。
在解非线性电报方程时，我们将研究NLE的一些基本性质，并结合非线性方程求解的方法来研究其解的渐近性质，进而深入理解其在实际应用中的物理意义以及对系统的影响。
并且，本文将进一步研究广义KdV方程的行波解，包括特征线分析和行波解的求解方法，通过数学计算来研究其解的特性。
三、研究意义：本文的研究对于深入理解非线性电报方程、深入探讨其应用以及对实际应用中各种问题的解决和优化都具有重要的意义。
同时，研究广义KdV方程的行波解，也能够发掘出更多的物理现象，并加深人们对其本质的理解。
最终，通过本文的研究成果，人们可以更好地理解和应用相关的数学知识，促进在实际应用中解决真正的问题。
四、研究方法：本文主要采用数学方法，包括对方程的基本理解、特征线分析、行波解的求解等方面，进行探究和研究。
具体来说，需要深入理解非线性方程的基础性质，包括解的可穿透性、解的唯一性等，并运用变换方法等数学技巧来求解方程的解。
在研究行波解方面，需要对广义KdV方程的基本特征进行分析，并结合求解方程的行波解的公式来研究其解的特性。
五、预期成果：本文的主要预期成果是对非线性电报方程解渐近性质以及广义KdV 方程的行波解等方面进行理论分析，研究其基本特性和物理意义，并运用数学方法对其解的特性进行研究。
一类五阶KdV方程行波解
＝
ｂｌｉ ｈ ＋ ａＩ ｏ ｈ￣ ＋ ｂ ｓｎｈ ｎＯ ｓ ｓ ｃ ２ｉ
＋ａ２ ｉ ｈ ｃ ｓ ＋ ｓｎ ｏ ｈ
２ｆ ＋ ４ｂ ｉ
＋ ２ｂ ＝ ７０２ ０
（ １ １） （ ２ １） （ ３ １）
＋６ｂ ｉ ｈ ２ ｎ ｓ
１０ ａ ｂ ＋ ｑ 。 ｂ ＋１ｆ ＋１０ ｌ ０ ２／ ２ｌ ３ ｌ２ ８ ａ ３ ｌ ２ａ ＝ （） ５
ｓ ｈ 中 ｏｈ ｉ 。 ｃｓ（ （ ２／ ２１ ｎ ＋ １０ ａｂ ３ ＋３ ｌ２ ＋ １ｆ ＋ １０ １ ｑ ｂ ８ａ ｌ ２ａ ）
ｓ ｈ ＋（ ｏ ｂｂ ｉ。 ｎ ３／ １２＋１卢 １２＋１卢ｚｂ ＋１０ ｌ ６ ａ ） ３ ２ 。ａ ８ ｆ ２ ２ ｂ ＋３０ ２ ２
ｕ ｌ ＋ 。 ｕ“ ＋ 『Ｍ 上 ＋ｕ
…
ｓ ｈ ￣ ｏｈｐ＋ （ ａ ２２＋ １ ＩＩ＋ １ 口ａ ０ａ ｉ ｃｓｑ ｎ ４ａｂ ２Ⅱｂ ｌ２＋ ０２＋
３／ ２２＋１４ ２ ｓ ｈ ＋（ ａ ＋２ ａ ４ａｂ ３ ７ａ）ｉ ｎ ２ｂ ａ ＋１ ０ｂ ＋６ 口 ２ｌ
１ 引 言 非线性科学是 现代科 学 的核心 ， 自然科 学 中许 多 在 现 象 的 描 述 都 涉 及 到 孤 子 方 程 ， 孤 子 理 论 中 ， 子 方 程 在 孤
把 （ ） （ ） （ ） ８ 式代入（ ） ３ ，４ ，６ 和 （ ４ ￣ 。 ３． ２２ ８ ａ ） ｉ ０ ｎ ２ ／ ＋ ３ ＋７ ０ ２ ２ｂ）
＋ａ ａ ＋２ ａｂ 卢 ＋ Ⅱ ａ ０２＋ ６ 卢 ＋８ ａｂ ／ ０２＋１ ｂ ）ｉｈＯｃｓＯ ３ ６２ ｓ ｏｈ ｎ
(2+1)-维5阶KdV方程的相互作用解
(2+1)-维5阶KdV方程的相互作用解孟勇【摘要】使用Hirota双线性方法求出(2+1)-维5阶KdV方程的单孤子解、呼吸子解、Lump孤子解,并且通过理论计算的方法得到Lump型孤子的运动轨迹、有效体积、有效动能等动力学特征量,然后通过单孤子解与呼吸子解的叠加方式发现呼吸子被单孤子吞噬的现象,以及探究Lump型孤子与单孤子的相互作用过程中所表现出来的碰撞、反弹、吸收、分裂等粒子性特征,从而揭示现象背后所反映出来的物理学规律.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2018(020)006【总页数】12页(P30-41)【关键词】单孤子解;呼吸子解;Lump孤子;粒子性;动力学特征量【作者】孟勇【作者单位】宁波大学,浙江宁波 315211【正文语种】中文【中图分类】O175.291 引言世界的本质是非线性，线性只是在某些条件下的近似。
世界之所以色彩斑斓和变幻万千，究其原因是事物之间存在着非线性的联系。
孤立子作为非线性科学的主要分支之一，对它的研究伴随着整个非线性科学的发展，这也使得孤立子方程的求解成为重中之重的问题。
在众多学者的努力下，反散射方法[1]、李群与非经典李群法[2－3]、达布变换[4－5]、函数展开法[6-9]等一系列求解方法应运而生。
在孤立子领域中，Lump解[10-13]越来越受到研究者的关注。
作为一种有理函数解，Lump解在空间的各个方向都是局域的。
在文献[14]中，通过Hirota双线性方法[15-17]探究了Lump解与双曲函数解之间的相互作用，对形成的新型怪波做出了科学的解释，并且命名为共振怪波。
作为补充与发展，本文以（2+1）-维5阶KdV方程为例先探究了单孤子与呼吸子的相互作用解，发现了呼吸子被单孤子吞噬的现象，然后探究了Lump型孤子与单孤子之间的相互作用，揭示在相互作用过程中所表现出来的碰撞、反弹、吸收、分裂等粒子性特征以及背后所反映的物理学规律。
除此之外，还对Lump型孤子进行了动力学分析，求出了它运动轨迹、有效面积、有效动量等等动力学特征量。
孤立子kdv方程及其解
孤立子kdv方程及其解浅水波孤子2. KdV方程的行波解在实验中我们可以观测到，有长时间保持外形不变的波向前传播。
则我们可猜测KdV方程具有行波形式的解。
设KdV方程∂u∂t+∂3u∂x3+6u∂u∂x=0的解为u=u(x,t)=f(ξ),ξ=x−vt将行波解代入KdV方程中，将其化为对ξ的常微分方程。
f‴+6f′f−vf′=0积分一次，得f″+3f2−vf−A2=0其中A为积分常数。
将上式乘以f′，再积分一次，引入积分常数B，得12(f′)2=−12(2f3−vf2−Af−B)将右式做（形式上的）因式分解，设这个关于f的三次方程的三个根为a,b,c：12(f′)2=−(f−a)(f−b)(f−c)其中2(a+b+c)=v−2(ab+bc+ca)=A2abc=B对上式积分需要椭圆积分的相关知识。
考虑积分，I=∫0θdθ(1−msin2θ)1/2，0≤m≤1为了表达这个积分的值，我们引入雅可比椭圆函数，不加证明的给出以下四个式子：sn[I,m]=sinθ,cn[I,m]=cosθ,cn[I,0]=cosv,cn[I,1]=sechv.某种意义上，我们可以把雅可比椭圆函数看作是椭圆积分的反函数。
不妨假定三个根a,b,c都是实根，且a≤b≤c。
让我们考虑微分方程的右边这个式子y(f)=−(f−a)(f−b)(f−c)在三个实根互不相同的一般情况下，函数的大致图像应为：方程的左式是一个平方项，而我们想要的显然是一个束缚的震荡解，故y的值应该在b和c之间做非线性的震荡。
那么，我们就可以做如下变换：f=c+(b−c)sin2θ=b−(b−c)cos2θ则−(f−a)(f−b)(f−c)=[(c−a)+(b−c)sin2θ][(b−c)cos2θ][(b−c)sin2θ]df=2(b−c)sinθcosθdθ这样，积分式就可以化为：ξ−ξ0=2c−a∫0θdθ(1−msin2θ)12,m=c−bc−a这样一来，我们就可以把f表示为：u(x,t)=f=b+(c−b)cn2[c−a2⋅(ξ−ξ0),m]注意到ξ=x−vt=x−2(a+b+c)t，再令x0=−ξ0为一个常数，则上式变为：u(x,t)=f=b+(c−b)cn2[c−a2⋅(x−2(a+b+c)t+x0),m]若a,b,c两两不相同，则KdV方程的解被称为“瞬态波”（cnoidal waves）解。
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五阶KdV方程的行波解、周期波解及其渐近分析
秦春艳
【期刊名称】《长春大学学报》
【年(卷),期】2022(32)8
【摘要】五阶KdV方程主要用于模拟非线性色散波,如激光光学和等离子体物理在量子力学和非线性光学中有着广泛的应用。
利用Tanh-coth法,得到了五阶KdV 方程的行波解,再根据Riemann theta函数周期波解的方法,构造了五阶KdV方程的2-周期波解。
借助数学软件Maple绘制了2-周期波解的传播形式的图,对周期波解和孤子解之间的关系做了分析,证明了参数在一定的极限条件下,周期波解趋近于孤子解。
【总页数】8页(P8-15)
【作者】秦春艳
【作者单位】宿州学院数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.微分-差分KdV方程的黎曼谆函数周期波解及其渐近性质
2.一类五阶KdV方程行波解
3.利用分数阶(G′G)展式法构造分数阶KdV-Burger方程方程的精确行波解
4.广义五阶KdV方程的新的周期波解与孤立波解
5.辅助方程法的推广与1+1维五阶kdv方程的精确孤立波解
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