物理学中的渐近行为与渐近分析方法
数学物理方法概论之——渐进方法
第三章 渐近方法
1、 量级符号； 2、 渐近展开； 3、 渐近展开式的运算； 4、 积分的渐近展开式； 5、 最陡下降法； 6、 驻定相位法； 7、 常微分方程的渐近解；
那么称此为 f (x) 在 z0 点的渐近展式。记为
f (z) anwn (z) z z0
n
注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近 展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足
渐近展式的定义式，则当 z z0 时，取确定的项数n会得
到对函数非常好的近似。
§ 3.2 渐近展开
例： n , Pn (x) O(xn ),
x 0, x cos(1/ x) O(x)
也可以说若存在某个常数A，使对定义域D某个内点x0的邻
域
V内的所有xf ，(x满) 足A g(x) 或 lim f (x) A xx0 g(x)
称函数f (x)至多与g (x)同阶。
§ 3.1 量级符号
§ 3 渐近方法
例1：求 f (x) etdt
分值。
0 xt
x当
即求 x 时f (x) 的渐近展
解：
式。
利用分部积分法，多次分部积分
时的积
f
(
x)
1 x
et dt
0 x t2
＝ 1
x
1 x2
2！ x3 -
x3！4
(-1)n
(n 1)! xn2
结构力学之渐近法
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
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感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
大学物理-函数的渐近表示 最陡下降法
t za 2
e2 d
ei(3 ) 2
0
0 za 2
e 2 d}
z
g
(t0
)e
zh(t0
)
i0 2
2i
z za 2
e 2 d
0
当 z 大时，类似于上例中的做法，将积分上限扩展到 ， 即得
f (z) ~ i
2
az
g
(t0
)e
zh(
t0
)
i0 2
(3-4-18)
(3-4-14) (3-4-15)
“最陡”方向是 Su 最大的方向，即 |cos(2 + 0)| =1 的
方向,即有
2 0 n ,
n 0
2
(n 0,1, 2,3)
(3-4-16)
它决定两条相互垂直的直线，n = 0,2 和 n =1,3,如图 3-4-4。
由 (3-4-15) 可见，沿 n= 0,2 的线 Su 0 ，这是“最陡上升”
并不失去一般性。]
用 u 和 v 表示 h (t) 的实部和虚部，则
I e e zu izvgdt C
(3-4-9)
当 z 大时，决定被积函数大小的主要因子是 ezu 。根据
在上一例子中得到的经验，应该设法使积分路径通过 zu 的
极大值点，然后在这一点附近取一小段进行积分。然而，由
于 u 是解析函数 h (t) 的实部，满足拉普拉斯方程 u = 0，它
因而有
e dx ~ e dt x(lntt)
1 x[1 1 (t 1)2 ] 2
0
1
ex
xu2
e 2 du
式中 u = t – 1。最后一个积分中的被积函数在 x 大时，很 快地随 |u| 的增加而减小，因而可以近似地将积分限扩展 到 ± ，而有
结构力学09第九章渐近法
MB11kN.m
9 B -8
例9-1-2 讨论悬臂端的处理。
200kN
20kN/m
30kN
A
EI B
EI C D
a)
3m
3m
6m
2m
解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向
的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。
200kN
20kN/m 60KN.m 30kN
A
EI B
3m
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
分配法进行计算，见图 c）。
解： i E I
6
1）求分配系数
SBA 4i
BA
4 7
0.571
SBC 3i
BC
3 7
0.429
2）求固端弯矩
M A FB1 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
结构力学第八章渐近法及其他算法概述)
20 62 8
90kN m
200kN 60 20kN/m
MB= MBA+ MBC= 60kN m
（2）放松结点B，即加-60进行分配
A -150
A -17.2 A -150
B
150
-90
-60 0.571 0.429
-34.3 B -25.7
0.571 0.429 150 B -90
=
+
0
C 设i =EI/l 计算转动刚度：
7.5 7.5 1.58 －1.508.75
3.75 －1.50
0.37 0.38 M图（kN.m)
0.19
0.79
－ 0.04 0.79－0.08
0.02 0.02
M －7.11 7.11
2.36
C CH 0.2
－0.75 －0.03
－0.78
E
CE
CH
0.4
－1.50 － 0.75 －0.08 － 0.04 －1.58 －0.79
F
例3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
A
EI=常数
B
C
50kN D
1m
5m
1m
A
EI=常数
B
50kN·m C
50kN D
1m
5m
1m
5/6 1/6
25
50
-20.8 -4.2
-20.8 +20.8
+50
M
A
B
M/2
例4.用力矩分配法计算，作M图。 2kN/m
取EI=5
A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
独立使用时只适用于解算无侧移（无独立结点线位 移）的结构。
光学中数学方法之渐近方法定义与应用
§ 2 渐近方法
三、 展开式系数：
当 z z 0 时，f ( z ) 的渐近展式 a n w n ( z ) 的系数为
四、
an
展开式的构成
lim
zz0
N 1
n
f (z) anwn (z)
n1
wN ( z)
证明略
设 f(z),w 1(z),w 2(z), ,w N (z)在区域D中有定义，若
例： n,Pn(x)O(xn), x0,xcos(1/x)O(x)
也可以说若存在某个常数A，使对定义域D某个内点x0的邻域 V内的所有x，满足
f(x)Ag(x)或limf(x) A x x0 g(x)
称函数f (x)至多与g (x)同阶。
§ 2.1 量级符号
§ 2 渐近方法
3) 量级小于
若 x x 0o ( g ( x ) )
§ 2.1 量级符号
§ 2 渐近方法
由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是 微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或 傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近 展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它 可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。
同量级
比较函数趋于某个极限时的性质常定义： O 量 级 最 多 为
称函数f (x)是函数g (x)的高阶小量。
§ 2.2 渐近展开
§ 2 渐近方法
下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复 平面上进行。
一、 渐近序列 设 w 0(z),w 1(z), ,w n(z)，是定义在区间D上的连续函数序列，
z 0 是D中的一固定点，若对每一个固定的n，有
w n 1 (z ) o (w n (z )) (z z 0 )
数学物理方法概论之——渐进方法
§ 3 渐近方法
3) 量级小于
若x x0时，f (x) / g(x) 0，则记f (x) o(g(x))
例： x 0, tan(x3) o(x2 ),
x , 对n 0, xn o(ex )
f (x) O(1) 的意义是说 f (x)有界，而f (x) o(1) 义是说f (x)趋于零。
§ 3 渐近方法
获得积分 渐近展式的
一、 逐项积分法： 瓦特森引理：设
方法有两种 (1)F (t) f (ta )tb , a 0,b 1;
(1)把被积函数 (2) f (x)对 | x | 有麦克劳林展式；
的一部分展 （3）t 时, 存在常数M 和C,| F (t) | Mect ;
§ 3.2 渐近展开
§ 3 渐近方法
六、 幂函数的展
式
wn (z) (z z0 )n, n 0,1, 2, , 在D 中，
若当z → z0,对每一个N 有：
N
f (z) an (z z0 )n o[(z z0 )n ]
N
n0
则： an (z z0 )n 是D中，z z0 时，f (z)
的
n0
一个渐近
幂级数展式，f (z记) 为 N an (z z0 )n z z0 n0
其中一种重要的特殊情形是在D中，当z0 时，如
果
f (z)
N n0
an zn
o(zn )
则在D中，当 z 时
f
(z)
~
N n0
an zn
§ 3.3 渐近展式的运算
例： n , Pn (x) O(xn ),
线性微分方程的渐近性和渐进解
线性微分方程的渐近性和渐进解线性微分方程是微积分中的重要内容之一，它在物理，工程，经济等领域有着广泛的应用。
本文将探讨线性微分方程的渐近性和渐进解，以及渐进解在实际问题中的应用。
一、线性微分方程的基本概念线性微分方程是指形如 $y'+p(x)y=q(x)$ 的微分方程，其中$p(x),q(x)$ 为已知的连续函数，$y$ 为未知函数。
这种微分方程有很多解法，其中最常用的是特解与通解的方法。
通解可以表示为$y=y_h+y_p$，其中 $y_h$ 是齐次方程 $y'+p(x)y=0$ 的通解，即$y_h=c\cdot e^{-\int p(x)dx}$，$c$ 为常数；$y_p$ 是非齐次方程的一个特解。
二、线性微分方程的渐近性对于一些特殊的线性微分方程，它们的解会体现出一些渐近性。
渐近性是指当自变量趋近于某个极限时，函数的变化趋势。
例如$y=\dfrac{1}{x}$ 在 $x\rightarrow 0$ 时趋于 $\infty$，表现出了渐近性。
对于线性微分方程 $y'+p(x)y=q(x)$，如果 $p(x),q(x)$ 在$x\rightarrow \infty$ 时变化趋于某个值或趋于无穷，那么它的通解将体现出一些渐近性质。
1. 当 $p(x)\rightarrow 0$ 且 $q(x)\rightarrow 0$ 时，方程的通解$y$ 会趋于 $0$。
这种情况下，$y$ 的渐近解为 $y_{\infty}=0$。
2. 当 $p(x)\rightarrow 0$ 且 $q(x)$ 趋于一个常数 $c$ 时，方程的通解 $y$ 会趋于一个常数 $k$。
这种情况下，$y$ 的渐近解为$y_{\infty}=k$。
3. 当 $p(x)\rightarrow \infty$ 时，方程的通解 $y$ 会趋于$Ce^{\int p(x)dx}$。
这种情况下，$y$ 的渐近解为$y_{\infty}=Ce^{\int p(x)dx}$。
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物理学中的渐近行为与渐近分析方法物理学中的渐近行为是指在某些极限情况下，物理系统呈现出
的特殊性质。
例如，在极高速度下运动的质点会呈现出相对论效应，而在低温环境下的材料会表现出超导等奇特现象。
由于渐近
行为具有重要的科学意义和应用价值，因此物理学家们一直在努
力研究这个领域，并发展了一系列渐近分析方法来处理这些特殊
情况。
一、渐近行为的定义与分类
渐近行为可以定义为物理系统随着某些参数趋向于某个特殊值时，呈现出的特殊性质和规律。
例如，当电子在高能量下运动时，会产生相对论效应，如长度收缩、时间膨胀等等。
这种特殊情况
可以用Lorentz变换来描述。
根据研究对象的不同，渐近行为可以分为两类：
1.单个物理系统的渐近行为。
这类渐近行为主要研究一个系统
随某些参数趋近于某个特殊值时，呈现出的特殊性质。
例如，当
一只二维布朗粒子以无限小角速度旋转时，它的随机漫步会产生
完全不同的行为，这种情况是通过求解涨落定理来研究的。
2.多个物理系统的统计渐近行为。
这类渐近行为主要研究一群
系统随某些参数趋近于某个特殊值时，呈现出的统计规律。
例如，当大量无规则孔洞随机分布在一个物体中时，这个物体中微小缺
陷的分布将呈现出泊松分布。
这种情况是通过求解一组随机过程
的均值函数来研究的。
二、渐近分析方法的基本思想
渐近分析方法的基本思想是利用物理系统随某些参数趋向于某
个特殊值时的特殊性质来揭示物理规律。
这种方法的优点在于，
它可以简化问题的复杂性，减少计算难度，同时还可以发掘出问
题的本质结构，从而更好地理解物理现象。
其中，渐近分析方法主要包括：
1.渐进展开法。
渐进展开法是一种分析物理系统在某些参数趋近于某个特殊值
时的行为的方法。
该方法通过将物理量展开成一些无穷级数的形式，然后利用渐进计算技巧来求解这些级数，从而得到物理系统
在渐近情况下的行为。
例如，在流体力学中，我们经常使用渐进
展开法来求解涡旋强度在边界层附近的渐近表达式。
2.渐进分析法。
渐进分析法是一种研究微小量的行为的方法。
它主要利用渐近
展开法和合理的近似方法来研究物理系统在某些参数趋近于某个
特殊值时的行为。
例如，在随机过程中，我们经常使用渐进分析
法来研究大偏差理论，即研究一个事件的概率在大偏差下的行为。
3.渐进计算法。
渐进计算法是一种利用计算机来求解物理问题的方法。
该方法
通过利用计算机的高速计算能力和并行计算模型来模拟物理系统
在渐近情况下的行为。
例如，在大规模分子动力学模拟中，我们
可以使用并行计算技术来加速系统的计算，从而获得更高的分辨
率和更高的准确性。
三、渐近行为与科学研究的关系
渐近行为是物理学研究中的一个核心领域，它不仅涉及到理论物理的基本原理，还与现代科技的发展密不可分。
例如，相对论物理已经成为了现代物理学和宇宙学领域的核心内容，而超导、新材料等渐近行为也成为了当今物理学与工程实践的研究热点。
总之，渐近行为是物理学研究中的一个极为重要的领域，渐近分析方法也成为了解决物理问题的重要工具之一。
它不仅可以帮助我们更好地理解物理现象，还能够为工程实践、科技开发等提供有用的参考和指导，因此在未来的科学研究中，它也将扮演越来越重要的角色。