渐进符号的含义
数据结构(朱战力版)第1章
内容安排
章 内 容 绪 论 学时 章 内 容 树和二叉树 图 排序 查找 学时
1 2 3 4 5 6
3 9 6 3 3 2
7 8 9 10
10 4 6 6 1264
7
线性表 栈和队列 串 数组 递归算法
11 上机（共六次） 12
合计
对学生的几点要求
1、上课认真听讲，适当做好笔记，按时交作业。
2、考试成绩分两部分：平时成绩（包括出勤和上机实验）占 30%，期末成绩占70%。
渐进符号（O）的定义：当且仅当存在一个正的常
数 C，使得对所有的 n n0 ，有 f(n) Cg(n)， 则： f(n) = O(g(n))
例：
3n+2=O(n) 因为 3n+24n for n2
6*2n+n2=O(2n) 因为6*2n+n2 7*2n
for n4
28
3 计算举例 例：分析以下程序段的时间复杂度。
正确性、可读性、健壮性、高效率与低存储量需求(见课本P20) 常用时间复杂度来衡量 常用空间复杂度来衡量
26
2 时间复杂度和空间复杂度如何表示？
多项式阶 时间复杂度T(n)按数量级递增顺序为：
复杂度低
复杂度高
注： 1） O（）为渐近符号。 2） 空间复杂度S(n)按数量级递增顺序也与上表类似。
27
讨论： 1 什么是算法？如何评判算法的好坏？
2 时间复杂度和空间复杂度如何表示？
3 计算举例
25
1 什么是算法？如何评判一个算法的好坏？
算法：是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令 的有限序列，是一系列输入转换为输出的计算步骤。 好的程序设计：好算法＋好结构 算法的基本特性：有穷性、确定性、可行性、必有输出 算法评价指标：
渐近符号算法
lim
n →∞
f ( n) ≠∞ g ( n)
直观含义： f(n) 的阶不高于g(n)的阶。
7
cg (n)
f (n)
注意： 注意： O(g(n))的定义 的定义 要求任意f(n) =O(g(n)) 要求任意 都是渐进非负的。 都是渐进非负的。
n0
f (n) = Ο( g (n))
12
渐进符号的性质
定理2.2 ：对于f1(n)和f2(n) , 如果f1(n) =O(g1(n))， f2(n) =O(g2(n)) ，则必有 f1(n)+ f2(n)= O(max{g1 (n), g2(n)) }) 。 例： O(n2lgn)+O(n2)=O(n2lgn). 推论：对于任意给定的非负函数f (n), g(n)，如 果f (n)<=g(n)，则f (n)+g(n)=O(g(n))。
14
Homework
page
每组必须完成学号尾数与题号尾数相同的习题
15nLeabharlann 8推论：如果f(n) =Θ(g(n)) ，则必有f(n) = O(g(n)) 。 O符号描述了时间复杂度f(n)的上界, 也就是描述算 法运行的最坏运行时间。 回顾：插入排序算法中主要有2重循环，for循环和 while循环，他们最多各执行n次，所以最坏运行时 间或者说时间复杂度上界为O(n2)。 没有必要计算算法每一行执行的时间以及每行执行 的次数，然后求和，只需要考虑算法中主要循环执 行的次数即可。
n→∞
lim
f (n) g (n)
lim
n →∞
f ( n) = c(0 < c < ∞) g (n)
03、1数据结构第一部分--线性表-树与二叉树
数据结构(一)目录第1章序论 (1)1.1 什么是数据? (1)1.2 什么是数据元素? (1)1.3 什么是数据结构及种类? (1)1.4 数据的逻辑结构 (1)1.5 数据的物理结构 (1)1.6 算法和算法分析 (1)1.7 算法的五个特性 (1)1.8 算法设计的要求 (2)1.9 算法效率的度量 (2)第2章线性表 (3)2.1 线性表举例 (3)2.2 线性表的存储 (4)2.3 线性表-栈 (4)2.4 队列 (4)2.5 双端队列 (6)第3章树和二叉树 (6)3.1 树 (6)3.1.1 树的基本概念 (6)3.1.2 树的常用存储结构 (6)3.1.3 树的遍历 (7)3.2 二叉树 (7)3.2.1 二叉树的基本概念 (7)3.2.2 二叉树与树的区别 (7)3.2.3 树及森林转到二叉树 (7)3.2.4 二叉树的性质 (8)3.2.5 满二叉树 (8)3.2.6 完全二叉树 (8)3.2.7 完全二叉树的性质 (9)3.2.8 二叉树的四种遍历 (9)3.2.9 二叉排序树 (10)3.2.10 平衡二叉树 (11)3.2.11 m阶B-树 (11)3.2.12 最优二叉树 (11)3.2.13 二叉树的存储结构 (12)3.3 广义表 (13)3.4 矩阵的压缩存储 (14)3.4.1 特殊矩阵 (14)3.4.2 压缩存储 (14)第4章历年真题讲解 (15)4.1 2009年上半年 (15)4.2 2009年下半年 (15)4.3 2010年上半年 (15)4.4 2011年上半年 (16)4.5 2011年下半年 (16)4.6 2012年上半年 (17)4.7 2012年下半年 (17)4.8 2013年上半年 (18)4.9 2013年下半年 (18)4.10 2014年上半年 (18)4.11 2014年下半年 (19)4.12 2015年上半年 (19)4.13 2015年下半年 (19)4.14 2016年上半年 (20)第1章序论什么是数据?所有能输入到计算机中并能够被计算机程序处理的符号的总称,它是计算机程序加工的原料。
渐进记号的定义
渐进记号的定义渐进确界Θ Θ(g(n))={ f(n)：存在正常数c1,c2和n0，使对所有的n>=n0，有0<=c1g(n)<=f(n)<=c2g(n) }(在集合表⽰法中，“：”应读作“满⾜......的特性”)渐进上界O O(g(n))={ f(n)：存在正常数c和n0，使对所有n>=n0，有0<=f(n)<=cg(n) }渐进下界Ω Ω(g(n))={ f(n)：存在正常数c和n0，使对所有n>=n0，有0<=cg(n)<=f(n) }⾮渐进紧确的上界o其中，O记号所提供的渐进上界可能是也可能不是渐进紧确的。
我们使⽤o记号表⽰⾮渐进紧确的上界： o(g(n))={ f(n)：对任意正常数c，存在常数n0>0，使对所有的n>=n0，有0<=f(n)<=cg(n) }⾮渐进紧确的下界ωω记号与Ω记号的关系就好像o记号与O记号的关系⼀样。
我们⽤ω记号来表⽰⾮渐进紧确的下界: ω(g(n))={ f(n)：对任意正常数c，存在常数n0>0，使对所有的n>=n0，有0<=cg(n)<f(n) }或者另⼀种定义为 f(n)∈ω(g(n))当且仅当g(n)∈o(f(n))记号Θ，O和Ω的图例。
在每个部分中，n0是最⼩的可能值；⼤于n0的值也有效。
a）Θ记号限制⼀个函数在常数因⼦内。
如果存在正常数n0，c1和c2使得在n0右边f(n)的值永远在c1g(n)与c2g(n)之间，那么可以写成f(n)=Θ(g(n))。
b）O记号给出⼀个函数在常数因⼦内的上限。
如果存在正常数n0和c使得在n0右边f(n)的值永远等于或⼩于cg(n)，那么可以写成f(n)=O(g(n))。
c）Ω记号给出⼀个函数在常数因⼦内的下限。
如果存在正常数n0和c使得在n0右边f(n)的值永远等于或⼤于cg(n)，那么可以写成f(n)=Ω(g(n))。
公文常见标点符号用法
公文常见标点符号用法公务活动中易用错读错的标点和字词一、公文中易误用的标点1．顿号的误用。
一是顿号、逗号、分号、句号混用。
在完整的句子里，顿号是句子内部并列词语之间的停顿；逗号是单句内部成分与成分之间或复句内部各分句之间的停顿；分号是复句内部并列分句之间的停顿；句号是陈述句末尾用的点号。
这4个点号在句子中是循序渐进的，通俗地说，句号管分号、逗号、顿号；分号管逗号、顿号；逗号管顿号。
行政机关公文问题通常出在：⑴混用顿号和逗号；⑵混用逗号和分号；⑶分号内部用句号。
如“要加强东、西方文化交流。
”在表示方位时，“东、西”可用顿号隔开（二者是并列关系），也可以不用顿号隔开，如“地不分南北，人不分东西”；但“东西方”不能用顿号隔开（“东”和“西方”不是并列关系）,类似的还有“上、下午，前、后台”等，都不正确。
二是表示概数不应用顿号隔开。
如“参加培训班大概有七、八十人。
”这句话中“七八十”是概数，不能用顿号隔开。
三是表示结构层次序数的阿拉伯数字后面应为圆点，不是顿号。
这个不规范现象比较普遍。
在题序后面误用顿号。
例如：第一、第二、首先、其次、等等，顿号（、）应改为逗号（，）。
（一）、（二）、（三）、（1）、（2）、（3）、①、②、③、等等，这些序号既然用了括号，就不能再加顿号及其他标点。
1、2、3、A、B、C、a、b、c、等等，阿拉伯数字和拉丁字母作序号时后面不用顿号，应该用下脚圆点号“．”（只有中文数字序号后面才使用顿号如“一、二、三、等”）。
2．冒号“:” 误为比号“︰”。
3．破折号误为两个一字线“——”或一个化学单键号“—”，破折号应为“——”。
把“——”改为“——”的方法是：将其刷黑再选择成黑体，两个一字线就连在一起了。
4．表示数量范围的数字之间误用了一字线“—”或半字线“-”，应该用浪纹线“～”，如11月1日～11月5日，2～3天，20～30人，等等。
浪纹线“～”可在插入菜单中的特殊符号里查找，也可在新罗马字体下按Shift+～。
数学的语言学习数学中的专业术语和符号
数学的语言学习数学中的专业术语和符号数学是一门理性而精确的学科，其中运用了许多专业术语和符号来表达数学思想和解决问题。
掌握这些术语和符号对于学习和理解数学概念至关重要。
本文将探讨数学中的专业术语和符号，重点介绍其使用方法和意义。
一、数学专业术语的学习数学专业术语是数学领域内的特定词汇，用于描述概念、定理和推理过程等。
学习数学专业术语有助于准确理解和表达数学思想。
以下是一些常见的数学专业术语：1. 函数（Function）：函数是数学中常见的概念，表示一种特定的对应关系。
函数通常用符号 f(x) 或 g(x) 表示，其中 x 为自变量，f(x)为关于 x 的函数值。
2. 导数（Derivative）：导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化速率。
导数常用符号 f'(x) 或 dy/dx 表示，其中 f'(x)表示函数 f(x) 的导数。
3. 积分（Integral）：积分是求函数面积或曲线长度的方法，也是导数的逆运算。
积分常用符号∫f(x)dx 表示，其中∫表示积分运算符。
4. 矩阵（Matrix）：矩阵是由数字排列成的矩形数表，用于表示线性方程组或进行线性变换。
矩阵通常用方括号 [] 表示，例如 A = [a_ij]，其中 a_ij 表示矩阵 A 中的元素。
5. 向量（Vector）：向量是表示大小和方向的量，常用于描述物理力学和几何概念。
向量通常用有方向的箭头表示，例如向量 v。
学习数学专业术语时，可以通过阅读教材、参考词典以及专业论文等渠道进行学习。
同时，积极解决数学问题，参与数学讨论和实践操作，也能够加深对数学术语理解和运用的熟练程度。
二、数学符号的学习除了专业术语外，数学领域中还广泛使用各种符号来简化表达和表示数学关系。
掌握数学符号对于理解和解决数学问题非常重要。
以下是一些常见的数学符号：1. 加号（+）和减号（-）：加号表示两数之和，减号表示两数之差。
例如，a + b 表示 a 和 b 的和，a - b 表示 a 和 b 的差。
3 渐进符号与递归式
渐进上界O（读作：“大oh”）
渐进下界Ω（“ome ga”）
（2）递归式
• 递归式是一组等式或不等式，它所描述的 函数是用在更小的输入下该函数的值来定 义的。例如Merge-Sort的最坏情况运行时 间T(n)可以用以下递归式来表示：
• 解递归式的方法主要有三种：代换法、递 归树方法、主方法。
算法导论
3 渐进符函数，定义域 为自然数集N。
渐进确界 （读作“theta”）
p • 一般地，对任意一个多项式： (n) ai n
i 0
d
i
其中ai为常数且ad>0，有T(n)= (nd)。 • 因为任何常数都是0次多项式，所以可以 把任何常数表示成(n0)= (1)。 • 常使用记号(1)表示一个常数或某个变量 的常系数。
The master method
master theorem
该定理的意义
渐进符号的含义
§1.3 渐近符号设)(n T 是算法A 的复杂性函数。
一般说来，当n 单调增加趋于∞时，)(n T 也将单调增加趋于∞。
如果存在函数)(~n T ，使得当∞→n 时有0)(/))(~)((→-n T n T n T ，则称)(~n T 是)(n T 当∞→n 时的渐近性态，或称)(~n T 是算法A 当∞→n 的渐近复杂性。
因为在数学上，)(~n T 是)(n T 当∞→n 时的渐近表达式，)(~n T 是)(n T 中略去低阶项所留下的主项，所以它无疑比)(n T 来得简单。
进一步分析可知，要比较两个算法的渐近复杂性的阶不相同时，只要确定出各自的阶，就可以知道哪一个算法的效率高。
换句话说，渐近复杂性分析只要关心)(~n T 的阶就够了，不必关心包含在)(~n T 中的常数因子。
所以，我们常常有对)(~n T 的分析进一步简化，即假设算法中用到的所有不同的运算（基本）各执行一次所需要的时间都是一个单位时间。
综上分析，我们已经给出了简化算法复杂性分析的方法和步骤，即只考虑当问题的规模充分大时，算法复杂性在渐近意义下的阶。
为此引入渐近符号，首先给出常用的渐近函数。
常 用 的 渐 进 函 数在下面的讨论中，用f(n)表示一个程序的时间或空间复杂性，它是实例特 征n （一般是输入规模）的函数。
由于一个程序的时间或空间需求是一个非负的实数，我们假定函数f(n)对于n 的所有取值均为非负实数，而且还可假定n>=0。
渐近符号O 的定义：f(n)=O(g(n))当且仅当存在正的常数c 和n 0，使得对于所有的n>=n 0，有f(n)<=cg(n)。
此时，称g(n)是f(n)的一个上界。
函数f 至多是函数g 的c 倍，除非0n n <。
即是说，当n 充分大时，g 是f 的一个上界函数，在相差一个非零常数倍的情况下。
通常情况下，上界函数取单项的形式，如表1所列。
C 0=O(1): f(n) 等于非零常数的情形。
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§1.3 渐近符号
设)(n T 是算法A 的复杂性函数。
一般说来，当n 单调增加趋于∞时，)(n T 也
将单调增加趋于∞。
如果存在函数)(~n T ，使得当∞→n 时有
0)(/))(~)((→-n T n T n T ，则称)(~n T 是)(n T 当∞→n 时的渐近性态，或称)(~n T 是
算法A 当∞→n 的渐近复杂性。
因为在数学上，)(~n T 是)(n T 当∞→n 时的渐近
表达式，)(~n T 是)(n T 中略去低阶项所留下的主项，所以它无疑比)(n T 来得简单。
进一步分析可知，要比较两个算法的渐近复杂性的阶不相同时，只要确定出各自的阶，就可以知道哪一个算法的效率高。
换句话说，渐近复杂性分析只要关
心)(~n T 的阶就够了，不必关心包含在)(~n T 中的常数因子。
所以，我们常常有对
)(~n T 的分析进一步简化，即假设算法中用到的所有不同的运算（基本）各执行一次所需要的时间都是一个单位时间。
综上分析，我们已经给出了简化算法复杂性分析的方法和步骤，即只考虑当问题的规模充分大时，算法复杂性在渐近意义下的阶。
为此引入渐近符号，首先给出常用的渐近函数。
常 用 的 渐 进 函 数
在下面的讨论中，用f(n)表示一个程序的时间或空间复杂性，它是实例特 征n （一般是输入规模）的函数。
由于一个程序的时间或空间需求是一个非负的实数，我们假定函数f(n)对于n 的所有取值均为非负实数，而且还可假定n>=0。
渐近符号O 的定义：f(n)=O(g(n))当且仅当存在正的常数c 和
n 0，使得对于所有的n>=n 0，有f(n)<=cg(n)。
此时，称g(n)是f(n)的一个上界。
函数f 至多是函数g 的c 倍，除非0n n <。
即是说，当n 充分大时，g 是f 的一个上界函数，在相差一个非零常数倍的情况下。
通常情况下，上界函数取单项的形式，如表1所列。
C 0=O(1): f(n) 等于非零常数的情形。
3n+2=O(n): 可取c ＝4，n 0＝2。
100n+6=O(n): 可取 c=101，n 0＝6。
10n 2+4n+3=O(n 2): 可取
6×2n +n 2=O(2n ): 可取c =7，n 0=4.
3×log n + 2×n + n 2 =O(n 2).
n ×log n +n 2=O(n 2).
3n+2=O(n 2).
三点注意事项：
1． 用来作比较的函数g(n)应该尽量接近所考虑的函数f(n).
3n+2=O(n 2
) 松散的界限；3n+2=O(n) 较好的界限。
2． 不要产生错误界限。
n 2+100n+6，当n<3时，n 2+100n+6<106n ，由此就认为n 2+100n+6＝O(n). 事实上，对任何正的常数c ，只要n>c-100就有n 2+100n+6>c ×n 。
同理，3n 2+4×2n =O(n 2)是错误的界限。
3． f(n)=O(g(n))不能写成g(n)=O(f(n))，因为两者并不等价。
实际上，这里的等号并不是通常相等的含义。
按照定义，用集合符号更准确些： O(g(n))={f(n)|f(n)满足：存在正的常数c 和n 0，使得当n>=n 0时，f(n)<=cg(n)}
所以，人们常常把f(n)=O(g(n))读作：“f(n)是g(n)的一个大O 成员”。
大O 比率定理：对于函数)(n f 和)(n g ，如果极限))(/)((lim n g n f n ∞
→存在，则))(()(n g O n f =当且仅当存在正的常数c ，使得 c n g n f n ≤∞
→))(/)((lim . 证明：略。
例子 ，所以)(23n O n =+；
，所以)(241022n O n n =++； ，所以)2(2*62n n O n =+； ，所以)2(*3216n O n n =+， 但是这不是一个好的上界估计，问题出在极限值不是正的常数。
下述不等式对于复杂性阶的估非常有帮助：
定理2.3.1. 对于任意一个正实数x 和ε，有下面的不等式：
1) 存在某个0n 使得对于任何0n n ≥，有ε+<x x n n )(log )(log 。
2) 存在某个0n 使得对于任何0n n ≥，有n n x <)(log 。
3) 存在某个0n 使得对于任何0n n ≥，有ε+<x x n n 。
4) 存在某个0n 使得对于任何0n n ≥，有n x n 2<。
5) 对任意实数y ，存在某个0n 使得对于任何0n n ≥，有ε+<x y x n n n )(l o g 。
例子 根据定理1，我们很容易得出：)(log 323n O n n n =+ ；)(log 4205.24n O n n n =+；)2(log /2log 253534n O n n n n n n n =＋。