线段和的最小值问题
线段和的最小值 万能方法
M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或 者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请 求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最 小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作 出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直 径，AB=4，点C是半圆的三等份点， 点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小 值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线 表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂
线段和最小值问题整理
线段和最小值问题是一类数学问题，通常涉及到在给定的线段上找到使某个函数取得最小值的点。
这类问题在数学建模、优化问题和几何学中都有应用。
下面是对线段和最小值问题的整理：
1. 定义线段：线段是由两个端点确定的一段连续的直线部分。
2. 定义函数：线段和最小值问题通常需要定义一个函数，该函数将线段上的点映射到一个实数上。
3. 最小值问题：线段和最小值问题的目标是找到线段上使函数取得最小值的点。
4. 解决方法：解决线段和最小值问题的方法通常包括数学分析和优化算法。
a. 数学分析：通过分析函数的性质、导数和极值点等，可以找到函数取得最小值的点。
b. 优化算法：如果函数较为复杂或者无法通过数学分析得到解析解，可以使用优化算法，如梯度下降法、遗传算法等，来搜索最小值点。
5. 约束条件：线段和最小值问题中，通常会存在一些约束条件，如线段的端点范围、函数的可行域等。
这些约束条件需要考虑在解决问题时。
线段和最小值问题的具体形式和解决方法会因具体情况而异，可以根据具体问题的特点来选择合适的方法进行求解。
数学北师大版七年级下册线段和的最小值问题
线段和的最值小值问题第8课时线段和、差的最值问题是一类综合性较强的问题，主要归于两个几何模型：1．求“变动的线段之和的最小值”时，可归于“两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）”．如图，在直线l 上确定一点P ，使PB PA最小．一、选择题1．下列说法中正确提（ ）（A ）到直线l 的距离相等的两点关于直线l 对称 （B ）角是轴对称图形，对称轴是角平分线 （C ）圆是轴对称图形，有无数条对称轴 （D ）有一个内角是60º的三角形是轴对称图形 2．已知△ABC 和△ADC 关于直线AC 轴对称，若 ∠BAD +∠BCD =170º，那么△ABC 是（ ）（A ）直角三角形（B ）等腰三角形 （C ）钝角三角形 （D ）锐角三角形 3．如图，点P 、Q 在直线AB 外，点O 在直线AB 上从左往右运动形成无数个三角形：△O 1PQ 、△O 2PQ 、△O 3PQ 、…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长（ ）（A ）不断变大（B ）不断变小 （C ）先变小再变大 （D ）先变大再变小4．如图所示，在正方形网格中有格点A 、B ，在数轴上找一点P A ，使P 到点A 和点B 的距离之和最小．则点P 所对应的数为（ ）（A ）−2 （B ）0 （C ）2 （D ）3 二、填空题5．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，沿DE 折叠△ABC 后，点A 落在点A ′处，若∠C =120º，∠A =26º，则∠A ′DB = º．6．在△ABC 中，AC 边的垂直平分线l 交AC 于D ，BC =4，点P 在直线l 上，则P A +PB 的最小值是 ． 7．如图所示，点A 、B 均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上，若要在直线l 上找一点，使得P A 与PB 的差最大，那么P 点应在 点处． 8．如图，点P 在∠AOB 的内部， 点M 、N 分别点P 关于直线OA 、 OB 的对称点，线段MN 交OA 、 OB 于点E 、F ．若△PMN 的周 长为20cm ，PG =2cm ，PH =4cm ， 则△PEF 的周长为 cm ． 三、解答题9．（1）如图①，等边△ABC 中，点E 是AB 的中点，AD 是高，P 为AD 上一点，当BP +PE 的值最小时，画出图形说明P 点的位置．知识要点APQO 1O 2O 3B第3题第4题第7题ABC lD P 第6题A′ B C 第5题DEAO B P GM EFN HlB A（2）如图②，四边形ABCD 中，∠A =∠D =90°，在AD 上确定点P ，使△PBC 的周长最小．10．已知：如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，对角线BD 平分∠ABC ，E 是BC 的中点，P 是对角线BD 上的一个动点，则当PE +PC 的最小值时，试确定P 点的位置（画出图形说明理由）．一、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90º，AD =5，对角线BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．P 是BC 边上一动点，连结PD ，则PD 的最小值为12．如图，在Rt △ABC 中，D 、E 为斜边AB 上两点，且BD =BC ，AE =AC ，则∠DCE 的大小为 º． 13．如图，等腰三角形ABC 的面积为48cm 2，底边BC 的长为8cm ，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于F ，若D 是BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为 cm ．二、解答题14．如图，已知两点P 、Q 在锐角∠AOB 内，分别在OA 、OB 上求作点M 、N ，使四边形PMNQ 的周长最小（简要说明作法及理由）．15．如图①，在∠AOB 内有一点P ，先作点P 关于直线OA 的对称点P 1，再作点P 关于直线OB 的对称点P 2． （1）猜想∠P 1OP 2与∠AOB 的数量关系，并证明； （2）当点P 在∠AOB 外部时，上述结论还成立吗？请在图②中画出相应的图形并说明理由．A图①DCBA图②DAB C P 第11题C 第12题第13题ABC F E MD DA能力提升P图① 图②A。
两定点到圆上一动点的线段和最小值
两定点到圆上一动点的线段和最小值1. 引言大家好！今天我们聊聊一个有趣的几何问题，那就是“两定点到圆上一动点的线段和的最小值”。
这个问题看似复杂，但其实非常有趣。
让我们一起揭开这个谜团，看看怎么找到这个最小值吧！2. 问题背景2.1. 定义问题设想我们有一个圆和两个定点A和B。
在这个圆上，有一个点P在移动，我们关心的是，从点A到点P的线段长度加上从点P到点B的线段长度的和，也就是AP + PB的和。
这种情况下，我们想找出这个和的最小值。
2.2. 问题的意义这个问题在现实生活中其实有点像“走最短的路”。
比如你在城市里走路，要从家到公司，你会选择最短的路径，减少走的距离。
在几何中，这个最小值也就是我们要寻找的目标。
3. 方法探讨3.1. 对称性分析先来简单理解一下，对称性是如何帮助我们解决问题的。
我们可以把点A和点B看成两个固定的点，圆上的点P可以移动。
如果我们把圆外的点A和B连接起来，形成一条线段，然后再考虑圆的对称性，这样我们可以发现，从点P到A和B的总距离，其实可以用镜像反射的技巧来简化。
3.2. 反射法来个小窍门，设想把圆以点P为对称中心，进行镜像反射。
这样，圆上的点P变成了圆外的点P'。
这时候，我们可以得到从点A到点P加上从点P到点B的最短路径等于从点A到点P'的直线距离。
听起来是不是很简单？4. 解决过程4.1. 几何直观好啦，现在我们开始具体计算了。
通过反射，我们就可以知道最短路径的长度是线段AP' + P'B。
因为线段AP'是直线段，而圆上的任何点到这个直线段的距离都不会比直线段的长度长。
所以最短的总和就是AP' + P'B，也就是我们最初所说的最小值。
4.2. 代数验证为了更加确信，我们也可以通过代数方法来验证一下。
假设圆心为O，半径为r，那么AP + PB的最小值就等于A和B之间的距离。
这个距离可以通过简单的几何公式或者代数运算得出，结果是最小值等于线段AB的长度。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
线段和差最值问题-经典模型
For personal use only in study and research; not for commercial use线段和（差）的最值问题此类问题特点：1.两个定点，一个定点；2. 线段和最小值，线段差最大值一、线段和最小值问题若在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。
（PA+PB=AB）（2）同侧型：定点A、B在动点P所在直线m同侧：（方法：一找二作三连）：一找：找定点A、B，动点P及动点所在的直线m；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P，该点P即为所求。
（PA+PB=PA’+PB=A’B）二、线段差最大值问题若在一条直线m上，求一点P，使得最大（1）同侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所求点。
()（2）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。
()线段和最小值练习题1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为?????????????．2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为?????????.3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．图1 图2 图3 图44. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为????????????．5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为?????????? ?．8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为????????????????????cm．（结果不取近似值）图5 图6 图79. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．10. 如图9，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______.如图8 如图9解答题1.如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C 的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．?2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；?3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.4. 如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．5.抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C。
求线段之和的最小值问题的常用方法
求线段之和的最小值问题的常用方法嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。
比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。
先来说说对称法吧。
这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。
再讲讲三角形三边关系法。
这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。
就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。
就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。
比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。
咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。
有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。
你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。
哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。
咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！。
线段和的最小值问题
课堂小结
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
达标检测
已知平面直角坐标系内两点A(1，2), B(2，-1),点P在y轴上运动，求当PA+PB取 得最小值时P点的坐标。
（第 1 题）
能力提升：已知A(0,5),EF=2,且EF在x轴 上平行移动，当AE+AF最小时求E、F 坐标。
典例一：两定一动,求和最小
例1：如图矩形顶点O在坐标原 点，OA=6，OB=8，D为OB边的 中点，若E为OA边上的一个动 点，当△DCE的周长最小时， 在图中画出E点的位置并求点 E的坐标；
变式练习1：已知平面直角坐标系中的两点A （1，2），B（4,2），点P在x轴上运动，则 PA+PB的最小值是_5__。
典例二：两定两动,求和最小
作图2：已知线段EF=1且EF在直线a上平行 移动，A 、B为两个定点，E点在什么位置 时，使得AE+BF最小，请在图中画出点来
• 变式练习2：如图矩形OACB，OA=6， OB=8，D为OB边的中点，若E、F为OA边 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、F的坐标。
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
自主学习
作图1：已知直线l，在直线l同侧 有两点A、B，在直线l上找一点P， 使+PB的值最小。
·B A﹒
l
知识点拨：
1、轴对称性； 2、三角形两边之和大于第三边。
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最值问题——用轴对称解决线段和的最小值问题
一：【情景引入】
如图：要在河边修建一个水泵站,分别向张村A 和李庄B 送水,问水泵站应修建在河边的什么地方,可使使用的水管最短?
图①
图②
二：【精选例题】 如图：在正方形ABCD 中, E 在BC 上, 且 BE=2, CE=1, 点P 在线段BD 上运动, 求PE+PC 的最小值为多少？
三：【巩固练习】
1、如下图：E 在菱形ABCD 中，∠DAB=120°,E 为DC 中点，点O 是BD 上一动点，若AB=2，则PE+PC 的最小值是___________________
A B
2、如右上图：⊙O 的半径为1, 点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点， 点P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为_________________________．
144
3、若抛物线y= x 2 + bx + c 与x 轴交于A (1, 0 ) 、B (3, 0 ) 两点．
①求出抛物线的解析式。
②设此抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小?若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
四：拓展与提高
已知在平面直角坐标系xoy 中，A 、B 两点的坐标分别为A(2,-3)、B(4,-1).
①若P (x,0 )是x 轴上的一个动点, 则当x 为何值时,△PAB 的周长最短？
②设M 、N 分别为x 轴和y 轴上的动点, 请问:是否存在这样的点M(m,0)、N(0,n), 使四边形 ABMN 的周长最短? 若存在, 求出m 、n 的值；若不存在,说明理由。
③若C (a , 0 )、D (a+3 , 0 )是x 轴上的两个动点, 则当a 为何值 时,四边形ABDC 的周长最短；。