第四讲 均值-方差组合边界
4 均值-方差分析方法(二)
∂u (x) / ∂µ = 1 + 2aµ > 0 ∂u (x) / ∂σ
2
= a < 0
效用函数与期望收益正相关： 效用函数与期望收益正相关： 一阶随机占优
效用函数与风险负相关： 效用函数与风险负相关： 二阶随机占优
Sichuan University
一、最优风险资产组合
2、投资者均值-方差无差异曲线 、投资者均值 方差无差异曲线 对一个特定的投资者而言，任意给定一个证券组合， 对一个特定的投资者而言，任意给定一个证券组合，根据 他对期望收益率和风险的偏好态度， 他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收益率对风险补 偿的要求，可以得到一系列满意程度相同的（无差异） 偿的要求，可以得到一系列满意程度相同的（无差异）证券组 所有这些组合在均值方差（或标准差） 合。所有这些组合在均值方差（或标准差）坐标系中形成一条 曲线，这条曲线就称为该投资者的均值-方差无差异曲线（ 曲线，这条曲线就称为该投资者的均值 方差无差异曲线（ 方差无差异曲线 Indifference Curve）。 ） 一条无差异曲线代表给投资者带来同样满足程度的预期收 益率和风险的所有组合
w多种证券则有：
∑w
i
=1
Sichuan University
一、最优风险资产组合
2、证券约束 、 投资者的投资支出只能购买市场上的证券， 投资者的投资支出只能购买市场上的证券，而且是市 场价格的接受者。假设市场上有N种证券 种证券， 种证券有 种证券有N个 场价格的接受者。假设市场上有 种证券，N种证券有 个 价格p 种收益率r 个购买量Q 价格 i 、N种收益率 i和N个购买量 i 。 种收益率 个购买量 则投资者的投资约束为： 则投资者的投资约束为：
有效组合边界分析
定义2：
• 在均值-方差分析中，如果有两个均值方差前沿组 合xP和xQ ，它们满足以下两个条件之一：（1） ~ ~ ~ ~ E(rP ) ≥ E(rQ )并且var(rP ) < var(rQ ) ；（2） ~ ~ ~ ~ E(rP ) >E(rQ )并且var(rP ) ≤var(rQ ) ，则称在均值 方差意义上xP占优于xQ 。 • 可以比较一下均值方差意义上的占优和随机占优。 可以看出，均值方差意义上的占优比随机占优更 综合的兼顾了预期收益和风险两个方面。
§6.2 均值-方差前沿组合
• 首先，市场上有N项风险资产，k=1,2, …,N ，各 ~ ~ 项资产的收益率合记为收益率向量r =（ r1 ， ~ ~ ~ ~ T r2 …, rN ） 。预期收益率向量记为r =（E( r1 ), ~ ~ E( r2 ), …, E(rN )）T，收益率的协方差矩阵记为 ~ ~ N ={σij}ij=1 ，其中σij=cov(ri ， rj )。 ak， k=0,1, …,N，是0时期投资于第k项金融资产的资 金额，显然有ak=w，w是0时期投资者拥有的禀 赋。 xk= ak/w表示投资组合中的权重，权重向量记 为x=（ x1， x2,…, xN）T,xk =1。到1时期，投资 ~ ~ ~ 者拥有的财富是w =ak（1+ rk ），即w =a T (1+ ~ r )。
涵义：
• 式中，μ是一个预期收益水平。加上系数1/2是为 了数学处理的方便，不影响优化解的结果。 • 优化模型的经济涵义是，在设定了投资组合的预 期收益水平后，要使投资组合的风险（方差）尽 可能的小。 • σP= xTx就是投资组合的方差。因为组合中的资 产是风险资产，所以σP≥0。这样，可以通过构造 拉格朗日函数来解前面的二次规划，得到xP 。
均值-方差
均值-方差理论马克维茨开创性的提出了证券组合的均值方差模型，将证券及其组合用收益率均值和方差来描述，并在此基础上给出了组合的可行域空间及其有效组合，但是它的缺点就是没有描述在拥有无风险证券的情况下组合的状态，也没有给出期望收益与系统风险之间的关系(只有系统风险才会受到补偿，非系统风险不会得到补偿)，只是给出了一定的期望收益和一定风险会画出怎么样的图形，得到什么样的有效组合，再次就是该模型计算太复杂。
传统的证券投资基金的绩效评价方法孕育于“金融大爆炸”的1952年，即投资组合理论的开端。
自美国经济学家马科维茨（Harry Markowtitz）在其《资产选择：有效的多样化》一文中，第一次使用边际分析的原理，用期望收益率（均值）和方差（或标准差）代表的风险来研究投资组合的报酬。
这在当时引起了极大反响，属于金融界上里程碑式的伟大发现。
它在很大程度上帮助了基金管理公司的基金管理者、经理人们和投资者们合理组合其持有的金融资产，确保在具有一定的风险时还能取得最大的收益。
马科维茨的投资组合理论需要两个重要的假设前提：第一，投资者们都使用预期收益率的均值来衡量未来的实际收益率水平，使用预期收益率的方差或标准差来衡量未来的实际收益率的所需要承担的风险；第二，每个投资者都是风险厌恶者，投资者在追求收益率最大化的同时也在追求风险的最小化，即希望收益率均值越大越好，其方差获标准差越小越好。
在满足上述假设条件后，马科维茨发现了收益和风险的度量方法，并建立了均值—方差模型。
每一项投资结果都可以用收益率来衡量，投资组合的投资收益率计算公式如下：（2—1）其中表示投资组合P的预期收益率，表示证券i在投资组合中所占比例，表示证券的收益率。
投资组合方差的计算公式如下：（2—2）其中表示投资组合的方差，表示与的相关系数。
当投资者们只关心收益和风险时，马科维茨的均值—方差模型可以比较精确地计算出收益与风险的大小。
当时在20世纪50年代的早期，计算机技术尚未普及，该模型的计算量是相当之大的，故当时仅用于小单位之间，并未广泛运用于大规模市场。
均值-方差分析方法和投资组合有效边界模型
该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。
在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。
但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。
从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。
本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。
人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。
投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。
所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。
当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。
所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。
人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。
投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。
所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。
因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。
这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。
这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。
投资组合有效边界一条单调递增的凹曲线。
如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。
A点对应于投资范围中收益率最高的证券。
如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。
C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。
M点对应的投资组合被称为“市场组合”。
如果市场允许卖空，那么AMB是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。
均值-方差分析方法讲解
（2）各种证券投资组合的预期收益率：
RP X i Ri 18% 40% 6% 50% 39 0 37% 67% 34.99%
i 1 4
Return
二、资产组合的风险与收益衡量
2、组合资产的风险 （1）两种证券组合的风险测定
① 协方差：两种证券收益变动相互关系的指标
σAB代表A、B两种证券收益率的协方差。
二、资产组合的风险与收益衡量
注： 协方差>0，则两种证券的回报率正相关
协方差<0，则两种证券的回报率负相关
协方差=0，则两种证券没有任何互动关系
二、资产组合的风险与收益衡量
② 相关系数（测量两种股票收益共同变动的趋势 ） ：协方差的标准化
AB
COV ( A, B)
在 -1和 +1之间的相关性可减 少风险但不是全部
A B
1 AB 1
相关系数的符号取决于协方差的符号：
AB 0 ，两个变量负相关 1 ，完全负相关
AB
AB 0 ，两个变量完全不相关
AB 0 ，两个变量正相关 AB 1 ， 完全正相关
二、资产组合的风险与收益衡量
1、组合资产的收益
（1）两种证券形成的投资组合的收益率的测定
投资者将资金投资于A、B两种证券，其投资比重分 别为XA和XB，XA+XB=1，则两证券投资组合的预期收益 率Rp等于每个预期收益率的加权平均数，即： E（Rp）= XA E（RA） +XBE（RB）
其中：Rp代表两种证券投资组合预期收益率；
均值-方差分析方法
一、均值-方差分析的一般性释义
（一）问题的提出 Markowitz(1952)发展了一
均值--方差模型(金融经济学导论-对外经济贸易大学
异常年份
股市的牛市
股市的熊市
糖的生产危机
概率
0.5
0.3
0.2
收益率
10
-5
20
一、价格与回报率
对于单期投资而言，假设你在时间0（今天）以价格S0购买一种资产，在时间1（明天）卖出这种资产，得到收益S1。那么，你的投资回报率为 r=(S1-S0)/S0 。对于证券组合而言，它的回报率可以用同样的方法计算：
注4 均值-方差模型不是一个资产选择的一般性模型。它在金融理论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。
第二节 证券收益与风险的度量及证券组合的风险分散化效应
一、价格与回报率二、期望收益率三、方差四、协方差五、相关系数六、证券组合的方差 、协方差和风险的分散化
一个资产组合预期收益和风险的案例
四、二次效用函数和市场的资产回报率服从正态分布
M-V模型以资产回报的均值和方差作为选择对象，但是一般而言，资产回报和方差不能完全包含个体做选择时的所有个人期望效用函数信息。在什么条件下，期望效用分析和均值方差分析是一致的？
假设2或假设3之一成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数
假设个体的初始财富为W0,个体通过投资各种金融资产来最大化他的期末财富 .设个体的VNM效用函数为u,在期末财富的期望值这点，对效用函数进行Taylor展开
二、证券的期望收益率
第一个概念：单个证券的期望值定义为：
式中：
E(r)－收益率期望值；
R(s)－s状态下的收益率；
Pr(s)－r(s)状态的发生概率
或者;E(rp)=X’E(r)第二个概念：一个证券组合的预期收益率：是其所含证券的预期收益率的加权平均，以构成比例为权重.每一证券对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率，以及它在组合初始价值中所占份额，而与其他一切无关。那么，一位仅仅希望预期收益率最大的投资者将持有一种证券，这种证券是他认为预期收益率最大的证券。很少有投资者这样做，也很少有投资顾问会提供这样一个极端的建议。相反，投资者将分散化投资，即他们的组合将包含不止一种证券。这是因为分散化可以减少由标准差所测度的风险。
资产组合选择理论——均值方差方法
规则4 相关系数。两个随机变量间的协方差等 于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各 自的标准差的积。 证券A与B的相关系数为
ρ
AB
σ AB = σ Aσ B
相关系数总落在-1与+1之间，-1的值表明完全 负相关，+1的值表明完全正相关，多数情况是 介于这两个极端值之间
2012/9/24 12
10 23.33 17.94
0 10 20 26.67 30.00 33.33 18.81 22.36 27.60
30 36.67 33.37
40.00 40.00 40.00
2012/9/24
27
16 14 12 预期收益 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 标准差 40 50 下界 前沿证券 上界
B
C
D
E
F
G
1.00 0.83 0.67 0.5 0.00 0.17 0.33 0.5
0.33 0.17 0.00 0.67 0.83 1.00
2012/9/24
26
组合
A 5
B 6.7
C 8.3
D 10
E 11.7
F 13.3
G 15
预期收益 标准差 下限ρ=-1 上限ρ=1 ρ=0
20 20 20
系列1
定理，给定风险厌恶水平，最优风险资产配 置； E (rP ) − rf y= 2 0.01Aσ P
2012/9/24 24
情况2 两个风险资产
由下列两个风险资产构成的所有资产组 合的形状如何？ 举例
证券 A B 预期收益 5% 15% 标准差 20% 40%
2012/9/24
25
《均值、方差、标准差》课件
详细描述
通过对一个班级的学生成绩进行均值分析， 可以了解整体平均水平；通过方差分析，可 以了解成绩分布的离散程度，即个体成绩与 平均成绩的偏差程度；通过标准差分析，可 以进一步了解成绩分布的稳定性，即成绩分 布是否过于集中或分散。
实例二
总结词
投资组合风险的均值、方差和标准差分析有 助于评估投资组合的风险水平。
06
详细描述
方差越小，说明数据点越集中在平均值周围， 数据的离散程度越低。
方差和标准差的关系
总结词
标准差是方差的平方根
详细描述
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度。标 准差的单位与数据的单位相同，而方差的单位是该数据 的单位的平方。
总结词
标准差和方差具有相同的符号
详细描述
如果数据的方差为正，则标准差也为正；如果方差为负 ，则标准差也为负。这是因为标准差是方差的平方根， 所以它们的符号必须相同。
均值、方差、标准差之间的关 系
均值和方差的关系
总结词
方差越大，数据分布越分散
01
总结词
均值相同，方差不一定相同
03
总结词
方差越小，数据越集中
05
02
详细描述
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的 指标。方差越大，说明数据点在平均值周围 的分布越分散，离散程度越高。
04
详细描述
即使两个数据集的平均值相同，它们 的方差也可能不同。这取决于数据点 与平均值的离散程度。
其中 $n$ 是数值的个数，$x_i$
是每一个数值。
计算方法
首先，将所有数值加起来得到总和。 然后，将总和除以数值的个数得到均值。
均值的应用
描述一组数据的“平均水平”。 比较不同组数据的“平均水平”。
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第4讲 均值-方差组合边界4.1 组合边界（前沿） ● 经济描述可卖空；n 种风险资产(2)n ³收益率是非共线性的(non-collinear )，所以()Cov(,)i jn nR R ´W=%%非退化，而且正定（因为2Cov(,)0ii iR R s =>%%）；T W=W 暂设经济中不存在无风险资产 ● 记号 投资组合w期望收益率向量：T 1(,,)n m m =e K 组合的期望收益率：T 1np i i i w m m ===åw e 组合的方差：2T 11Cov(,)NNp i j i jj i w w R R s ====W 邋w w %% ● 组合边界若投资者具有二次效用函数，或者所有资产收益率都呈正态分布，投资者的期望效用函数可写为2(,)V m s ，满足20,0VVm s抖><抖 均衡中这种投资者的投资组合特征？定义 4.1：给定收益率水平m ，所有期望收益率为m 的组合中方差最小者称为一个边界组合（frontier portfolio ）；所有边界组合构成的集合称为组合边界，记为PF ；换言之，边界组合为下面最小值问题的解：TT T 1min 2..1s t m W ==w w w w e w 1求解w拉格朗日函数T T T1()(1)2L l m g =W +-+-w w w e w 1FOC 解得边界组合：11()()l g --=W +W w e 1(4.3)只要求出系数l 和g 即得解——分别在上式两端左乘T e 和T 1，联立得(4.5) (4.6) 其中T 1T 1T 1T 12A B C D BC A----=W =W =W =W =-1e e 1e e11其中,0,B C >（因W 正定），进一步： T 120()()()A B A B B BC A BD -<-W -=-=e 1e 1故0D > 边界方程 根据解（4.3），2T T 11T T 22()21()C A B C A D D C Cs l g l g l m gm m m --=W =W W +W =+=+-+==-+w w w e 1w e w 1——2(,)s m 平面的抛物线or ：222()11A C CD Cm s--=——(,)s m 平面的双曲线4.2 两基金分解定理 ● 最小方差组合mvp易知mvp 在2(,)s m 坐标系中的坐标为(/,1/)A C C ，求出相应的0,1/mvp mvp C l g ==，故11T 1mvpC ---W W ==W 11w 11● 有效边界T{|(4.3)&}m v p m ³w w e● 边界组合的分解将11()()l g --=W+W w e 1标准化： 11T 1T 1()()A C l g ----W W =+W W e 1w 1e 11(4.11)2σμC A 图4.1 ),(2μσ平面上的组合边界−−抛物线PF图4.2 ),(μσ平面上的记11T 1d A---W W ==W e ew 1e (4.12)则(4.11)变为()()d mvp A C l g =+w w w(4.13)在（4.3）两端左乘T 1：T T 1T 11()()A C l g l g --==W +W =+1w 1e 11这说明由d w 和mvp w 可生成组合边界上的任意组合。
两基金分解定理定理 4.1（两基金分解）：任何两个不同的边界组合a w 和b w 均可生成整个组合边界。
即是说，对任何一个组合边界*w ，都存在某个a ，使得*(1)a b a a =+-w w w(4.14)【证明】对边界组合a w 和b w ，根据（4.13），存在,[0,1]a b Î，a b ¹，使得(1)a d mvp a a =+-w w w (1)b d mvp b b =+-w w w对任何一个边界组合mvp *(*)(*)d A C l g =+w w w 容易验证它还可以写为下面的形式：***a b A b a A a b a b l l --=+--w w w4.3 组合边界的其他性质 组合边界的凸性推论 4.1：（1）组合边界是凸集：如果1,,k w w K 是边界组合，那么它们的凸组合：11,[0,1],1k kiii ii i a a a ===?邋w w也是一个边界组合；（2）有效边界是凸集：如果1,,k w w K 是有效边界组合，那么它们的凸组合：11,[0,1],1k kiii ii i c c c ===?邋w w也是一个有效边界组合。
利用组合方差的非线性性质解释组合边界曲线为凸集与直觉并不矛盾● mvp 与任意组合间的协方差定理 4.2：任何一个资产组合P （可能是非边界组合）与最小方差组合间的协方差都是一个常数：mvp 1cov(,)P R R C =%% 证明：mvp cov(,)P R R =%%T 1T mvp C-W W W =w 1w w ● 边界组合间的协方差假设a w 和b w 是两个边界组合，由两基金分解定理，存在,a b ，使得：mvp mvp (1)(1)a db da ab b =-+=-+w w w w w w其中1/d A -=Ww e ，故 2T T 11221()ddd BA As --=W =W W W =w w e e因此T 22mvp mvp 22cov(,)(1)(1)[(1)(1)]cov(,)(1)(1)21a b ab d dR R a b ab a b b a R R a b abB a b ab C A C abD C CA s s =W =--++-+---+-=++=+w w %%%%(4.17)还可证明，对于任意一个资产组合P w 和边界组合a w ，T 1cov(,)P P a P a a a R R C A m -=W =+w w %%（作练习） 4.4 存在无风险资产时的组合边界● 引入无风险资产对4.1节推导过程有哪些影响？1. 如果包含了无风险资产，协方差矩阵W 必然是退化的，其逆矩阵不存在！2. T T 0(,)w w ：T 1=1w Þ T 01w +=1w ，3. 相应地，组合的期望收益率变为T T T T 0(1)()w R R R Rm =+=-+=-+e w 1w e w e 1w4. 无风险资产投资机会不影响组合的收益方差T W w w ！ ● 边界组合问题0T(,)T 0T 1min 2..1()w s t w R Rm W +=-=-w w w 1w e 1wTT T 01(1)[()()]2L w R R l g m =W -+-----w w 1w e 1w 由FOC 解得1**()R g -=W -w e 1(4.23)*T 01*w =-1w(4.24)将（4.23）代入均值约束求出g ：T 12*()()*(2)R R R B RA R C m g g --=-W -=-+e 1e 1 (4.25)从而，最优组合的方差2T 2T 1122(*)**()()()*()2R R R R B R A R Cs g m g m --=W =-W W W --=-=-+w w e 1e 1(4.26)——2(,)s m 坐标平面的抛物线PFF(4.27)——(,)s m 平面上的两条射线向上的一条直线为有效组合边界，亦即投资学上的资本市场线（Capital Market Line, CML ）4.5 货币基金分解定理切点组合（tangent portfolio ）由（4.23），个体对风险资产的最优投资比例为*w ，将其规范化为一个只含风险资产的投资组合：11T T 1*()()*()t R R R A CR---W -W -===W --w e 1e 1w 1w 1e 1(4.28)其期望收益率和方差：T 1T ()t t R B AR A CR A CRm -W --===--e e 1e w ，22T 22()t t t B A R CR A CR s -+=W =-w w 很显然，0t 骣÷ç÷ç÷ç÷ç桫w 是一个PFF 组合，因为它同时满足（4.23）和（4.24）。
● 货币基金分解定理定理 4.1：在无风险资产存在的条件下，任意一个边界组合都可以分解为无风险资产和切点组合（4.28）的组合。
证明：任意边界组合都可作以下的自然分解：*0**0010(1)*t w w w 骣骣骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç=+-ç÷÷ç÷ç÷ç÷÷ççç÷桫ç桫桫w 0w (4.31)● 切点组合的几何意义在(,)s m 坐标平面上，如果由无风险资产所在的点(0,)R 向PF 引一条切线，那么切点t 恰好就是t w 所在的坐标。
（/R A C =时的特殊情况？）要证明这一断言，我们需要证明两点：（i ）t w 处于不包含无风险资产的组合边界PF 上；（ii ）曲线PF 过t w 点的切线斜率恰好与t w 连接(0,)R 点的直线斜率相同。
关于（i ），需要验证2(,)t t s m 满足方程（4.8）或（4.9）。
这可以由前面计算的t m 和2ts 进行验证。
现在证明（ii ）。
为求曲线PF 过切点组合的斜率，在PF 方程222C A B Dm m s -+=中对s 求导： 222C A d D d m m s s-= 在t w 取值： 1/22(2)t t t d D B A R CR d C Am s s m ===-+-w w (4.32)另一方面，(0,)R 和(,)t t s m 两点间直线斜率为：221/2(2)t t R B A R A R CR B A R CR m s ---+=-+。