2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.1双曲线的标准方程学案含解析新人教B版
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何一、直线与圆1.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； < ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；4.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径r=2422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: .若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 7.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22B A CBb Aa d +++=.8.两圆位置关系的判定方法#设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .$二、圆锥曲线1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质&(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2=b 2+c 2，顶点为（a,0）,(0,b),焦点为（c,0）,离心率e=ac ，准线c a 2±=x (X 型). (2)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2+b 2=c 2，顶点为（a,0）,焦点为（c,0）,离心率e=a c （e>1）,渐近线为x ab y ±=. 4.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)共轭双曲线： 12222=-b y ax 与1-2222=a x b y 渐近线一样. (3)等轴双曲线：若双曲线与12222=-by a x 中a=b ，（e=2,渐近线为y=x ±）. 5.抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.准线：x=2p ,离心率为e=1.（点到焦点的距离等于点到准线的距离）.。
高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
e=
=
从而
−
2
5
,
3
5
b=4,c=3a,代入 c2=a2+b2,得 a2=9,
2
故双曲线的标准方程为
9
2
− =1.
16
2 =1(a>0,b>0),由题意知
2b=8,
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在 x 轴上,
2
2
故可设其方程为64 − 16=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得
且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲
线的渐近线方程.
2
2
2
2.与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 −
2
2 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程 ± =0 或 y=±x,则双曲线方程可设为
2
k2x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线为 ax±by=0 的双曲线
a2x2-b2y2=λ(λ≠0)
变式训练2
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为
5
8,离心率为3;
2
2
(2)过点(2,0),与双曲线64 − 16=1
的离心率相等.
2
解(1)设所求双曲线的标准方程为2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 ) -41 2 或
|AB|= 1 +
1
1
2
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何 2.6.2 双曲线的几何性质
故 e2-2e-1<0,解得-√2+1<e<√2+1.
又 e∈(1,+∞),故双曲线的离心率 e∈(1,√2+1).
答案:(1,√2+1)
随堂练习
1.双曲线y2-2x2=1的渐近线方程为(
A.y=±2x
B.y=±√2x
1
C.y=± x
2
√2
D.y=± x
2
答案:B
)
2.在平面直角坐标系
2
=1.
49
7
b= 或
2
3
b= (舍去).
2
解析几何中的面积、距离、范围等问题,往往可以转化为函数问题求解,这
样能使解题思路更清晰.
【变式训练】
2
已知双曲线 2
2
− 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在一点
的取值范围是
.
sin∠ 1 2
(2)双曲线在无穷远处可与渐近线相交.( × )
(3)双曲线的实轴比虚轴长.( × )
(4)双曲线的离心率e的取值范围为(0,1).( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
双曲线的几何性质
【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、
离心率和渐近线方程.
解:将 9y2-4x2=-36
2
解:设双曲线的方程为 2
2
− 2 =1(a>0,b>0).因为离心率
2 2
所以双曲线的方程为 -x =b2.设
4
意,|PQ|=
2
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 2.6.1 双曲线的标准方程
3
上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为 5+2√3
解析 如图,
2
由双曲线
3
-y2=1,得a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=4,则c=2,
则F2(2,0).
∵|PF1|-|PF2|=2√3,∴|PF1|=2√3+|PF2|,
a,b,c的关系
b2=a2-c2
标准
方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
2 2
+ 2 =1(a>b>0)
2
2 2
+ 2 =1(a>b>0)
2
b2=c2-a2
2 2
− 2 =1(a>0,b>0)
2
注意:在双曲线的标准方程中,a,b的大小关系不确定.
=1(a>0,b>0)
过关自诊
b
1.过点(1,1),且
程为
2
1
2
-x2=1.
2
1
2
−
2
=1,
2 2
1
=2,
2
-y2=1.同理求得焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方
2.[北师大版教材例题改编]已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),
该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6,则双曲线的标准方程
为
2
9
2
− 16 =1
.
重难探究·能力素养全提升
知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,所以||PN|-|PM||=4,即动点P到两定点的距离之
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
课堂检测·素养达标
1．已知点(x，y)到原点的距离等于 1，则实数 x，y 满足的条件是( )
A．x2－y2＝1
B．x2－y2＝0
C． x2＋y2 ＝1
D． x2＋y2 ＝0
【解析】选 C.因为点(x，y)到原点的距离等于 1， 所以 （x－0）2＋（y－0）2 ＝1，即 x2＋y2 ＝1.
2．直线 y＝x 上的两点 P，Q 的横坐标分别是 1，5，则|PQ|等于( ) A．4 B．4 2 C．2 D．2 2
△ABD 和△BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝ |CD|. 【证明】如图，以 B 为坐标原点，直线 AC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，
设△ ABD 和△ BCE 的边长分别为 a，c， 则 A(－a，0)，C(c，0)， D－2a， 23a ，E2c， 23c ， 则|AE|＝ 2c－（－a）2＋ 23c－02 ＝ a2＋ac＋c2 ， |CD|＝ －2a－c2＋ 23a－02 ＝ a2＋ac＋c2 ， 所以|AE|＝|CD|.
1．△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形 AB 边上的中线长为( ) A． 26 B． 65 C． 29 D． 13
【解析】选 A.AB 的中点 D 的坐标为(－1，－1)， 所以|CD|＝ （－1－4）2＋[－1－（－2）]2 ＝ 26 .
2．已知 A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则||ACBC|| 的值为( )
【解析】选 B.由题意知 P(1，1)，Q(5，5)， 所以|PQ|＝ 2（5－1）2 ＝4 2 .
3．已知点 A(－1，2)，点 B(2，6)，则线段 AB 的长为________．
双曲线重点难点知识点总结
双曲线重点难点知识点总结双曲线是几何学中的重要概念，是平面解析几何中一类具有独特性质的曲线。
以下是对双曲线重点、难点和知识点的总结：一、重点1.双曲线的定义和标准方程双曲线的定义包括焦点在x轴和y轴上的双曲线，以及等轴双曲线。
需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。
2.双曲线的几何性质双曲线的几何性质包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率等。
需要理解这些性质的含义和计算方法，以及它们在不同类型双曲线中的表现。
3.双曲线的标准方程的推导方法双曲线的标准方程可以通过代入法、点差法、平方差法等方法进行推导。
需要掌握这些方法，并理解它们在不同情况下的适用性。
二、难点1.双曲线标准方程的理解和应用双曲线标准方程的形式相对复杂，需要理解其含义和应用方法。
特别是对于焦点在y轴上的双曲线，标准方程的形式更为复杂，需要注意符号和系数的含义。
2.双曲线的几何性质的灵活运用双曲线的几何性质多样，不同情况下需要运用不同的性质进行求解。
需要具备灵活运用这些性质的能力，特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时。
3.双曲线与直线的交点坐标的求解方法求解双曲线与直线的交点坐标是双曲线学习中的一个难点。
需要掌握代入法、点差法等方法，以及了解它们在不同情况下的适用性。
同时还需要理解直线与双曲线的位置关系对交点数量的影响。
三、知识点总结1.双曲线的定义和标准方程定义包括焦点在x轴、焦点在y轴和等轴双曲线。
需要掌握每种双曲线的标准方程以及它们的特点。
同时还需要了解如何根据标准方程计算双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质。
2.双曲线的几何性质的灵活运用需要了解双曲线的范围、对称性、顶点、焦点和离心率等性质的计算方法和含义，并能够灵活运用这些性质进行求解。
特别是在求解双曲线与坐标轴的交点、求双曲线的离心率等问题时，需要运用相应的性质进行求解。
3.双曲线标准方程的推导方法需要掌握代入法、点差法、平方差法等方法，并理解它们在不同情况下的适用性。
2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.6.2双曲线的几何性质课时分层作业含解析人教B版选择性必修一
课时分层作业(二十二) 双曲线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．5B ．5C ．2D ．2A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2． ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝5．]2．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( ) A ．x 252－y 2122＝1 B ．y 2122－x 252＝1 C ．x 2122－y 252＝1D ．y 252－x 2122＝1D [依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13．又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1．]3．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±24xD [根据题意，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝±ab x ，若双曲线的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3∶1，则c ＝3a ，则b ＝9a 2－a 2＝22a ，则双曲线的渐近线方程为y ＝±24x ．]4．平行四边形ABCD 的四个顶点均在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB ，AD 的斜率分别为12，1，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±y ＝0D ．x ±3y ＝0A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)是中心对称的， 故平行四边形ABCD 的顶点B ，D 关于原点对称， 设A (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)，则D (－x 1，－y 1)， 故x 20a 2－y 20b 2＝1，x 21a 2－y 21b 2＝1，∴(x 0－x 1)(x 0＋x 1)a 2－(y 0－y 1)(y 0＋y 1)b 2＝0，整理得到：b 2a 2＝(y 0－y 1)(y 0＋y 1)(x 0－x 1)(x 0＋x 1)，即b 2a 2－k AB ·k AD ＝0，故b 2a 2＝12，即b a ＝22，∴渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0．]5．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A ． 5B ．14C ．2D ．2 5A [∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝5．]二、填空题6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．2 [根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1，考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2．再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2．]7．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为 ． y 24－x 212＝1 [椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)， ∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2， ∴4a ＝2，∴a ＝2． ∴b 2＝42－22＝12．∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1．]8．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝ ．3 [因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°．不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎨⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2＝3， 所以|MN |＝3|OM |＝3．] 三、解答题9．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．[解] 椭圆方程为x 264＋y 216＝1， ∴椭圆的焦距为83．①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝48b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36b 2＝12．∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1．②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝48a b ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12b 2＝36．∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1．由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1．10．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2． (1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2． ∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2．∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x ．∴l 1的方程为y ＝33x ，l 2的方程为y ＝－33x ． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|＝5×2c ＝20， ∴|AB |＝10， ∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10，即(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100． ∵y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2， x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴y ＝36(x 1－x 2)，y 1－y 2＝233x ， 代入(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝100，得3×(2y )2＋13(2x )2＝100，整理得x 275＋3y 225＝1．11．(多选题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，又点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，3b 22a ．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|＋|MN |＞4b ，则双曲线C 的离心率可能为( )A ．3B ．4C ．32D ．65ABD [双曲线C 左支上的任意一点M 均满足|MF 2|＋|MN |＞4b ，即(|MF 2|＋|MN |)min ＞4b ，又|MF 2|＋|MN |≥2a ＋|MF 1|＋|MN |≥2a ＋|NF 1|＝2a ＋3b 22a ，当且仅当M ，N ，F 1三点共线且M 在N ，F 1之间时取“＝”，即2a ＋3b 22a ＞4b ⇒3b 2－8ab ＋4a 2＞0⇒3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－8·b a ＋4＞0， 解得b a ＞2或b a ＜23，∴e 2＝1＋b 2a 2＞5或e 2＜139，∴e ＞5或1＜e ＜133．]12．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0C ．3x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0B [作F 2Q ⊥PF 1于Q ，因为|F 1F 2|＝|PF 2|， 所以Q 为PF 1的中点， 由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝2a ＋2c ， 故|F 1Q |＝a ＋c ， 因为cos ∠PF 1F 2＝45， 所以F 1QF 1F 2＝cos ∠PF 1F 2，即a ＋c 2c ＝45，得3c ＝5a ， 所以3a 2＋b 2＝5a ，得b a ＝43，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0．]13．(一题两空)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于M 、N 两点，与双曲线的渐近线交于P 、Q 两点．若|PQ ||MN |＞2，记过第一、三象限的双曲线C 的渐近线为l 1，则l 1的倾斜角的取值范围为 ，离心率的取值范围为 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 (1，2) [如图，在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1中，取x ＝c ，可得y ＝±b 2a ，∴|MN |＝2b 2a ．分别在双曲线的渐近线y ＝b a x 与y ＝－ba x ， 取x ＝c ，求得|PQ |＝2bca ．由|PQ| |MN|＞2，得2bca2b2a＞2，即c2＞2b2，∴a2＋b2＞2b2，∴ba＜1，∴l1的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π4e2＝b2a2＋1＜2，∴e的取值范围为(1，2)．]14．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>1，b>1)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，则双曲线的离心率e 的取值范围为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5[直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0．由点到直线的距离公式，且a>1，b>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝b(a－1)a2＋b2，点(－1,0)到直线l的距离d2＝b(a＋1)a2＋b2，s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc．由s≥45c，得2abc ≥45c，即5a c2－a2≥2c2．于是得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0．解不等式，得54≤e2≤5，由于e>1，因此e的取值范围是52≤e≤5．]15．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．[解]切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10，因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称．所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0．当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则其渐近线方程为y ＝±b a x ，即ba ＝3， 则双曲线方程可化为x 2a 2－y 29a 2＝1， 因为双曲线过点P (3，－1)，所以9a 2－19a 2＝1，所以a 2＝809，b 2＝80， 所以所求双曲线方程为x 2809－y 280＝1．当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则渐近线方程为y ＝±a b x ，即ab ＝3， 则双曲线方程可化为y 29b 2－x 2b 2＝1， 因为双曲线过点P (3，－1)， 所以19b 2－9b 2＝1，得－809b 2＝1，无解． 综上可知所求双曲线方程为x 2809－y 280＝1．。
高三双曲线的基本知识点
高三双曲线的基本知识点高中数学是一个相对抽象而又具有一定难度的学科，对于许多同学来说，数学中的各种曲线方程是难点之一。
而双曲线则是其中一种常见的曲线类型。
在高三阶段，学习双曲线的基本知识点对于数学学习的深入和成功备考非常重要。
本文将结合几个方面，介绍高三双曲线的基本知识点。
1. 双曲线的定义和特点双曲线是平面解析几何中的一种曲线类型，其定义是指平面上到两个给定点F1和F2的距离之差为常数的点的轨迹。
根据这个定义，我们可以知道，双曲线是对称于直线l的图形。
在双曲线上，各点到两个焦点的距离之差不断增大，而且双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线的距离越来越近且不断接近于0。
2. 双曲线的标准方程和性质双曲线的标准方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是正实数。
根据a和b的取值范围，双曲线可以分为四种情况：a>b，a=b，a<b以及a=0或b=0。
根据这些情况，双曲线的形状和性质也有所不同。
例如，当a>b时，双曲线的焦点在x轴上，且对称轴为y=0。
当a=b时，双曲线为特殊的双曲线x^2 - y^2 = 1，图形均为两支直线。
当a<b时，双曲线的焦点在y轴上，且对称轴为x=0。
3. 双曲线的参数方程除了标准方程外，双曲线还可以通过参数方程来表示。
双曲线的参数方程是由两个参数函数x(t)和y(t)组成。
通过适当选择参数函数，可以得到各种形态的双曲线。
例如，当选择参数函数x(t) = a·sec(t)和y(t) = b·tan(t)时，就可以得到标准方程x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1对应的双曲线。
4. 双曲线的经典问题在学习双曲线过程中，常常会遇到一些经典问题，例如焦点、顶点、渐近线等的求解问题。
焦点是指双曲线上离两个焦点F1和F2距离之差为常数的点，可以通过利用标准方程或参数方程来求解。
顶点是指双曲线的中点，可以通过求解双曲线的对称轴交点来得到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程必备知识·自主学习导思1.双曲线的定义是什么？ 2．双曲线的标准方程有哪些？1.双曲线的定义如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且2a ＜|F 1F 2|，则平面上满足||PF 1|－|PF 2||＝2a 的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F 1，F 2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F 1F 2|称为双曲线的焦距．(1)如何理解“绝对值”？提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支． (2)把“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“大于|F 1F 2|”或常数为0，结果如何？提示：①若将“小于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F 1F 2|”改为“大于|F 1F 2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴 y 轴 标准方程x 2a 2 －y 2b 2 =1 (a>0,b>0)y 2a 2 －x2b 2 ＝1 (a>0,b>0)图形焦点坐标 F 1(-c,0),F 2(c,0)F 1(0,-c),F 2(0,c)a,b,c 的关系式 a 2+b 2=c 2如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？提示：焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同．( ) (2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( ) (3)双曲线x 2a 2 －y2b 2 ＝1的焦点在x 轴上，且a>b.( )提示：(1)×.双曲线中b 2＝c 2－a 2，椭圆中b 2＝a 2－c 2.(2)×.因为|AB|＝2＝|AC|－|BC|，所以C 点的轨迹是两条射线．(3)×.在双曲线x 2a 2 －y 2b 2＝1中，焦点在x 轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b.2．(教材例题改编)设动点M 到点A ()0，－5 的距离与它到点B ()0，5 的距离的差等于6，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x 29 －y 216 ＝1 B ．y 29 －x216＝1C ．y 29 －x 216 ＝1()y>0 D ．x 29 －y216 ＝1()x>0【解析】选C.因为||MA|－|MB||＝6<10＝|AB|， 所以M 点轨迹是焦点在y 轴上的双曲线的上半支， 其中a ＝3，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2 ＝4，所以M 点轨迹方程为y 29 －x 216＝1()y>0 .3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________.【解析】令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点．令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， 所以双曲线的方程为x 24 －y 212 ＝1.答案：x 24 －y 212＝1关键能力·合作学习类型一 双曲线的定义及其应用(逻辑推理)1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．482．已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆B ：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心E 的轨迹方程为________．【解析】⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝24.2．由圆A ：(x ＋4)2＋y 2＝2，可得圆心A(－4，0)，半径＝ 2 ；由圆B ：(x －4)2＋y 2＝2可得圆心B(4，0)，半径＝ 2 .设动圆的半径为R ，由题意可得|EA|＝R ＋2 ，|EB|＝R －2 ，所以|EA|－|EB|＝22 ＜2×4，由双曲线的定义可得，动圆的圆心E 在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上， 因为a ＝2 ，c ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝14，所以动圆圆心E 的轨迹方程为x 22 －y 214 ＝1(x ≥2 ).答案：x 22 －y 214＝1(x ≥2 )1．利用双曲线的定义求双曲线方程的基本步骤 (1)寻求动点M 与定点F 1，F 2之间的关系．(2)根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a(常数，a>0).(3)判断：若2a<2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c.(4)根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程． 2．求解双曲线中焦点三角形面积的两种方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S△PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S△PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF 1|2＋|PF 2|2与|PF 1|·|PF 2|的关系． 【补偿训练】已知P 是双曲线x 216a 2 －y29a 2 ＝1()a>0 上的点，F 1、F 2是其左、右焦点，且PF 1·PF 2＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．3 D ．4 【解析】1·PF 2＝0得PF 1⊥PF 2，由勾股定理得||PF 1 2＋||PF 2 2＝||F 1F 2 2＝()216a 2＋9a 2 2＝100a 2.由双曲线的定义得⎪⎪⎪⎪⎪⎪||PF 1－||PF 2 ＝8a ，所以64a 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ·||PF 2 ＝100a 2－2||PF 1 ·||PF 2 ，所以||PF 1 ·||PF 2 ＝18a 2，则△PF 1F 2的面积为12||PF 1 ·||PF 2 ＝9a 2＝9，因为a>0，所以a ＝1.类型二 待定系数法求双曲线的标准方程(数学运算) 【典例】求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M(0，12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－4 2 )，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5 . 【思路导引】(1)判断焦点的位置，由c 和a 的大小，利用b 2＝c 2－a 2求得b ，写出方程． (2)设出双曲线的方程利用待定系数法求得参数，解得方程．【解析】(1)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13，所以b 2＝c 2－a 2＝25.所以双曲线的标准方程为y 2144 －x 225 ＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝116，m ＝－19，所以双曲线的标准方程为y 216 －x 29＝1.把本例(2)的条件改为“双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154 ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5 两点”，求双曲线的标准方程．【解析】若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2 －y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9 (舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2 －x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29 －x 216 ＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29 －x 216＝1.待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB<0)； ②与双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y2b 2＋k ＝1(－b 2<k<a 2).(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．1．求c ＝ 6 ，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．【解析】依题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0).则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 25 －y 2＝1.2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)c ＝5，b ＝3，焦点在x 轴上；(2)a ＝2 5 ，经过点A(2，－5)，焦点在y 轴上． 【解析】(1)因为双曲线的焦点在x 轴上，c ＝5，b ＝3， 所以a 2＝c 2－b 2＝16，所以双曲线的标准方程为：x 216 －y 29 ＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为由题设知，a ＝2 5 ，且点A(2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1，所以解得a 2＝20，b 2＝16，所以所求双曲线的标准方程为y 220 －x 216 ＝1.类型三 利用双曲线的标准方程求参数(数学运算)【典例】x 29－m ＋y24－m ＝1表示双曲线，则m 的取值X 围是( )A ．m ＜4B ．m ＞9C ．4＜m ＜9D ．m ＜4或m>92．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是________.【思路导引】1.根据双曲线的定义可知，要使方程表示双曲线，需9－m 和4－m 异号，进而求得m 的X 围．2．方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则1＋k 和1－k 同号，进而求得k 的X 围． 【解析】x 29－m ＋y 24－m ＝1表示双曲线，所以(9－m)(4－m)＜0，解得4＜m ＜9.2．方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则(1＋k)(1－k)>0，所以(k ＋1)(k －1)<0，所以－1<k<1. 答案：(－1，1)方程表示双曲线的条件及参数X 围求法(1)对于方程x 2m ＋y2n ＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)对于方程x 2m －y2n ＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值X 围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值X 围．求满足下列条件的参数的值．(1)已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值；(2)椭圆x 24 ＋y 2a 2 ＝1与双曲线x 2a －y22 ＝1有相同的焦点，求a 的值．【解析】(1)若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k＝1，所以k2＋k ＝32，即k ＝6；若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1，所以－k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2 ＝32，即k ＝－6.综上所述，k 的值为6或－6.(2)由双曲线方程知焦点在x 轴上且c 2＝a ＋2(a ＞0). 由椭圆方程，知c 2＝4－a 2，所以a ＋2＝4－a 2， 即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去). 因此a 的值为1.备选类型 与双曲线有关的轨迹问题(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2 ，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．【思路导引】建立直角坐标系，根据双曲线的定义求解．【解析】以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2 2 ，0)，B(22 ，0).由正弦定理，得sin A ＝|BC|2R ，sin B ＝|AC|2R，sin C＝|AB|2R(R 为△ABC 的外接圆半径).因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝|AB|2＝22 <|AB|.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点).由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(x>a)，因为a ＝2 ，c ＝22 ，所以b 2＝c 2－a 2＝6.即所求轨迹方程为x 22 －y 26＝1(x>2 ).求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．△ABC 的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A ．x 29 －y 216 ＝1 B ．x 216 －y29＝1C ．x 29 －y 216 ＝1(x>3) D ．x 216 －y29＝1(x>4)【解析】选C.由条件可得，圆与x 轴的切点为T(3，0)， 由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6<10＝|AB|， 因此点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支． 由2a ＝6，2c ＝10，得a ＝3，b ＝4， 所求的双曲线方程为x 29 －y 216 ＝1.考虑到点C 不在直线AB 上，即x ＞3.课堂检测·素养达标1．若方程y 24 －x2m ＋1 ＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．－1<m<3B ．m>－1C ．m>3D ．m<－1【解析】选B.依题意应有m ＋1>0，即m>－1.2．已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线【解析】1，F 2是定点且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射word - 11 - / 11 线． 3．已知左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2 －y 2＝1(a>0)过点⎝⎛⎭⎪⎫15，－63 ，点P 在双曲线C 上，若||PF 1 ＝3，则||PF 2 ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【解析】选C.由左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2 －y 2＝1(a>0)过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫15，－63 ，可得：15a 2 －69 ＝1，解得a ＝3，b ＝1，c ＝10 ，a ＋c ＞3，点P 在双曲线C 上，若|PF 1|＝3，可得点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|＝2a ＋|PF 1|＝6＋3＝9.4．已知双曲线的方程为x 2－y 24 ＝1，如图，点A 的坐标为(－5 ，0)，B 是圆x 2＋(y － 5 )2＝1上的点，点M 在双曲线的右支上，则|MA|＋|MB|的最小值为________.【解析】设点D 的坐标为( 5 ，0)，则点A ，D 是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a ＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B 是圆x 2＋(y －5 )2＝1上的点，圆的圆心为C(0， 5 )，半径为1， 故|BD|≥|CD|－1＝10 －1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥10 ＋1，当点M ，B 在线段CD 上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为10 ＋1. 答案：10 ＋1。