甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析

甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）A．－1B．1C．－2D．22.已知集合，，若，则的子集个数为（）A．5B．4C．3D．23.在中，分别是三等分点，且，若，则（）A．B．C．D．4.已知函数，则函数的大致图象为（）5.如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的左视图为（）6.已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7.已知：函数在上是减函数，恒成立，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.设函数为偶函数，且；满足，当时，，则当时，（）A．B．C．D．9.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值是（）A．18B．50C．78D．30610.已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为（）A．B．C．D．二、填空题1.观察下列各式：…照此规律，当时，．2.已知函数，若，则 .3.已知中，分别为内角的对边，且，则．4.设实数满足不等式组，则的最大值为．5.已知抛物线的准线方程为，焦点为为抛物线上不同的三点，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为．三、解答题1.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表,规定：三级为合格等级，为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照，的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（Ⅰ）求和频率分布直方图中的的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（Ⅱ）在选取的样本中,从两个等级的学生中随机抽取了2名学生进行调研，求至少有一名学生是等级的概率.2.已知函数在处取得最值，其中.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求.3.如图，已知等腰梯形中，,是的中点，是与的交点，将沿向上翻折成，使平面平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面.4.已知正项数列的前项和为，且，数列满足，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求.5.已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动直线交椭圆于不同两点，设，为坐标原点.当以线段为直径的圆恰好过点时，求证：的面积为定值，并求出该定值.6.函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若是极大值点.（ⅰ）当时，求的取值范围；（ⅱ）当为定值时，设（其中)是的3个极值点.问：是否存在实数，可找到，使得，的某种排列成等差数列？若存在求出的值及相应的，若不存在，说明理由.甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）A．－1B．1C．－2D．2【答案】D【解析】试题分析:因,故.应选D.【考点】复数的概念及运算.2.已知集合，，若，则的子集个数为（）A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】试题分析:因,故的子集个数为.故应选B.【考点】集合的交集运算.3.在中，分别是三等分点，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:因.故应选A.【考点】向量的几何形式的运算.4.已知函数，则函数的大致图象为（）【答案】B【解析】试题分析:因是偶函数，且当,.故应选B.【考点】函数的奇偶性及对称性等知识的综合运用.5.如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的左视图为（）【答案】C【解析】试题分析:依据三视图的知识可知,其左视图的正面是直角梯形，且被遮挡看不见.故应选C．【考点】三视图的知识及运用.【易错点晴】三视图是立体几何中的重要题型之一，也是高中数学中的重要题型之一,也历届高考必考的题型之一.本题以正方体的直观图为背景，考查是三视图的识读能力和空间想象能力.解答时先搞清楚正方体中的剩余部分的形状，再从左视图的概念入手，对所给的四个选择支进行比对，从而获得答案.6.已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:由题设因,故，即，则，应选B.【考点】双曲线的几何性质及运用.7.已知：函数在上是减函数，恒成立，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:因,故.应选A.【考点】复合命题的真假及充分必要条件的判定.8.设函数为偶函数，且；满足，当时，，则当时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:由可得，则当时，即时，；当时，，应选D.【考点】分段函数的解析式及分类整合思想.【易错点晴】函数的周期性、奇偶性及分类整合思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的已知条件入手，探究出其周期为，再分类求出当时，和当时函数的解析表达式分别为和，从而使得问题巧妙获解．9.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值是（）A．18B．50C．78D．306【答案】C【解析】试题分析:从题设中所提供的算法流程图可以看出：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，此时输出，且，即输入的整数的最大值是.故应选C．【考点】算法流程图的识读与理解.【易错点晴】算法流程图的识读和理解不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的算法程序框图入手，搞清算法的操作步骤及运算程序，进而按步求解最后算出当时，，此时输出，且，即输入的整数的最大值是，使得问题巧妙获解．10.已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:令,则，，即，也即，同理可得，故，也即.故应选D.【考点】换元法及函数的零点等有关知识的综合运用.【易错点晴】函数的零点不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先将函数的零点问题转化为方程有解的问题，进而运用换元法转化为二次方程的根与系数之间的关系求解，然后运用这一条件,使得问题巧妙获解．二、填空题1.观察下列各式：…照此规律，当时，．【答案】【解析】试题分析:观察所给的几个不等式的左右两边可以看出：不等式的右边的分子是的形式，分母是的形式，故由归纳推理的模式可得该不等式的右边是.故应填答案.【考点】归纳推理及运用．2.已知函数，若，则 .【答案】【解析】试题分析:若，则由题设可得不合题意；当时，，解之得.故应填答案.【考点】分段函数的求值及指数对数方程的求解．3.已知中，分别为内角的对边，且，则．【答案】【解析】试题分析:由正弦定理可得，即.故应填答案.【考点】正弦定理及两角和的正弦公式的综合运用．4.设实数满足不等式组，则的最大值为．【答案】【解析】试题分析:画出不等式组表示的平面区域如图，结合图形可以看出：当动直线经过点时，动直线在轴上的截距最小，取最大值为.故应填答案.【考点】线性规划的知识及运用．【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时先准确的画出不等式组表示的区域,再搞清的几何意义,将问题转化为求动直线在轴上的截距最小，取最大值的问题。

结合图形可知动直线经过点时，,使得问题获解.5.已知抛物线的准线方程为，焦点为为抛物线上不同的三点，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为．【答案】【解析】试题分析:由题设可得，设，则，由可得，即，又，故由成等差数列可得，由此可得．而，且，即的中点坐标为由此可得.故由点斜式方程可得，应填答案.【考点】抛物线的几何性质及向量等差数列等知识的综合运用．【易错点晴】抛物线是平面解析几何中的重要圆锥曲线之一，也是高中数学中的重要知识点和历届高考必考的考点之一.本题以抛物线的焦点弦满足的向量等式成等差数列，且点在轴下方，若为背景，考查是抛物线的定义和平面向量的坐标运算及分析问题解决问题的综合能力.解答时先设三点的坐标，再借助向量等式建立坐标之间的关系，从而使得问题获解.三、解答题1.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表,规定：三级为合格等级，为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照，的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（Ⅰ）求和频率分布直方图中的的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（Ⅱ）在选取的样本中,从两个等级的学生中随机抽取了2名学生进行调研，求至少有一名学生是等级的概率.【答案】(I)，，，；(II).【解析】(I)借助题设条件运用频率分步表及频率分布直方图的知识求解；(II)依据题设运用列举法及古典概型的计算公式探求.试题解析：（Ⅰ）由题意可知，样本容量因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，根据样本估计总体的思想，所以，该校一年级学生成绩是合格等级的概率为.（Ⅱ）由茎叶图知，等级学生共有3名，等级学生共有名,记等级学生为,等级学生为,则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为：共28个基本事件.记“至少有一名学生是等级”事件为，则事件的可能结果为:共10种.∴【考点】频率分布表频率分布直方图古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．2.已知函数在处取得最值，其中.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求.【答案】(I)；(II).【解析】(I)借助题设条件运用三角变换公式及周期公式求解；(II)依据题设运用三角变换公式及诱导公式探求.试题解析：（Ⅰ）∵在处取得最值，∴，∴，∵，即，∴，又，∴当时，则，∴，∴.（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，得到再将图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到故，，因为为锐角，所以因此故.【考点】三角变换公式、周期公式及诱导公式等有关知识的综合运用．3.如图，已知等腰梯形中，,是的中点，是与的交点，将沿向上翻折成，使平面平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面.【答案】(I)证明见解析；(II)证明见解析.【解析】(I)借助题设条件运用线面垂直的性质定理求解；(II)依据题设运用线面平行的判定定理探求.试题解析：（Ⅰ）连接，∵，∴,又为的中点，，∴,∴四边形为平行四边形，又∵,∴四边形是菱形，∴，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，又∵平面，∴.（Ⅱ）取的中点为，连结，∵在中，分别为的中点，∴,又∵在中，分别为的中点，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，∴平面.【考点】线面垂直的性质定理线面平行的判定定理等有关知识的综合运用．4.已知正项数列的前项和为，且，数列满足，且. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求.【答案】(I)，；(II).【解析】(I)借助题设条件运用等差数列等比数列的通项公式求解；(II)依据题设运用错位相减求和法探求. 试题解析：（Ⅰ）∵，①，②①－②得：，∴，∵，∴，∴又由得，即，∴（舍去）.∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数列，∴.又∵③④得：又由，可求，故是首项为1，公比为3的等比数列，是首项为3，公比为3的等比数列. ∴.∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，⑤，⑥⑥－⑤得：，由，∴∴【考点】等差数列等比数列的定义及通项公式错位相减求和的方法等有关知识的综合运用．5.已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动直线交椭圆于不同两点，设，为坐标原点.当以线段为直径的圆恰好过点时，求证：的面积为定值，并求出该定值.【答案】(I)；(II)证明见解析，.【解析】(I)借助题设条件建立方程组求解；(II)依据题设运用直线与椭圆的位置关系进行探求.试题解析：（Ⅰ）由题意知得，即. ①因为直线过左焦点且倾斜角为30°可得直线方程为又因为直线与圆相交弦长为1，所以圆心到直线距离，再由勾股定理得：②由①②联立可知即椭圆方程为（Ⅱ）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，因为以线段为直径的圆过原点，所以，即，所以，即，③又因为点在椭圆上，所以，④把③代入④得：，所以.（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，因为交于不同两点，所以，，即，由韦达定理得：，由题意知即，又，所以，即整理，得.即.⑤因为点到直线的距离，所以，⑥将⑤代入⑥得，综上，三角形的面积为定值1.【考点】椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是椭圆的标准方程等基础知识与直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用椭圆的几何性质和椭圆的有关概念建立方程组，进而求得,求得椭圆的标准方程为；第二问的求解过程中,先设直线的方程为,再借助题设中的当以线段为直径的圆恰好过点时满足的条件建立方程,建立三角形的面积函数，最后计算证得改三角形的面积是定值,从而使得问题获解.6.函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若是极大值点.（ⅰ）当时，求的取值范围；（ⅱ）当为定值时，设（其中)是的3个极值点.问：是否存在实数，可找到，使得，的某种排列成等差数列？若存在求出的值及相应的，若不存在，说明理由.【答案】(I)函数的单调递增区间为，单调递减区间为；(II) （i）；（ii）存在可找到，使得,成等差数列.【解析】(I)借助题设条件运用导数知识求解；(II) （i）依据题设运用导数和二次函数的知识求解；（ii）依据题设运用导数和二次函数的知识探求.试题解析：（Ⅰ）当时，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，单调递增.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）（ⅰ）当时，，，令，故有两根，不妨设，当与有一个为零时，不是的极值点，故与均不为0；当或时，是函数的极小极点，不合题意；当时，是函数的极大值.∴，即，∴.（ⅱ），令，因此，有两个不同的根，不妨设这两个根为，且又因为为极大值点，所以，从而.所以的三个极值点分别为，其中，令，即也即时，存在使,成等差数列，此时有：，所以，故存在可找到，使得,成等差数列.【考点】导数知识二次函数及等差数列等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数的单调区间,求解时运用求导法并分类讨论的范围,借助导数与函数的单调性的关系,分别求出其单调区间；第二问则依据题设中的三个极值点满足的等差数列进行分析推证，从而使得问题获解．。