动量定理及动量守恒定理

第三章：动量定理及动量守恒定理运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。

即使在今天已知运动求力的问题仍然不断提到人们面前怎样安排火间推力才能将它送上巧妙设计的轨道？这便是动力学问题。

自牛顿发表他的《原理》以来，牛顿三定律成为动力学的基础。

所以我们下面研究牛顿三定律。

§3.1 牛顿第一定律和惯性叁考系一、牛顿第一定律一个物体，如果不受到任何力的作用，它将保持静止转台或匀速直线运动状态，把这个定律称为牛顿第一定律。

物体保持这种运动状态的特性称为惯性。

所以牛顿第一定律又称为惯性定律。

在第一定律尚未建立以前，许多人误认为力是维持速度的原因。

误认为物体不受力。

物体一定静止不动。

力并不是维持速度的原因，而是改变速度的原因。

任何物体是不可能完全不受处力的作用的。

当物体受到两个获两个以上的处力作用时，如果处力的矢量和为零时，物体将与不受处力一样。

保持静止或匀速直线运动状态。

如果这些力的作用不等于零，物体将在合力的作用下改变速度。

这条定律说明了两个问题：（一）它正确地说明了，力和运动的关系。

物体的运动并不需要力去维持，只有当物体的运动状态发生变化即产生加速度时，才能需要力的作用。

力是一物体对另一物体的作用，它使受力物体改变运动状态。

（二）牛顿第一定律，实际上提出了惯性的概念。

物体之所以能保持静止或匀速直线运动是在不受力的条件下由物体本身的特性来决定的，物体所固有的保持原来运动状态。

不变的特性叫做惯性，物体不受力对所作的匀速直线运动也叫做惯性运动。

二、惯性叁考系牛顿第一定律能成立的叁考系叫做惯性叁考系或惯性系。

判断一叁考系是否惯性系？只能根据观察和实验，实验证明。

地球不是精确的惯性系，若以地球为叁考系存在着与牛顿第一定律不相符合的现象。

如果选择一个叁考系，以太阻的中心为原点，以指向任一横星的直线为坐标轴，那么观察和实验证明，牛顿第一定律相对于该叁考系十分精确地成立。

因此这个叁考系是一个十分精确的惯性系。

但当我们在一段较短的时间内研究力学问题时，常常可以把地球看成近似程度相当好的惯性系。

在绝大多数场合下都是把地球当作惯性系处理的。

故：相对于惯性系作等速直线运动的叁考系亦为惯性系。

§3.2 惯性质量、动量和动量守恒定律一、惯性质量与引力质量在牛顿运动定律中所说明的质量为惯性质量。

反映着质点保持其原来运动状态不变的顽强程度，不涉及引力。

（ F ma = ）万有引力定律中出现的引力质量，则反映质点吸引其它物体的能力，并不涉及惯性。

它的分别反映质点的不同属性，那么惯性质量和引力质量之间没有关系呢？如图（3-2.1）所示设某质点离地心距离为R, 受到地球的引力 12M m f GR=引地。

1m 引表示该质点的引力质量，另处一个引力质量为2m 引的质点。

在同一位置受引力。

22M m f GR=2地 。

则根据牛顿第二定律。

f ma m g ==u v v惯 。

1112,GMm f f m g R =\=Q 引引 ① 2222,GMm f f m g R =\=Q 引引 ② 12g g =Q ①② 12212GM R m m gm m ?==L L 惯惯引引这一关系对多个质点仍然成立。

即12212GM R m m g m m ===L L 惯惯引引故，可以适当选择G 值，使任何质点惯性质量与引力质量相等。

m m \=引惯 11226.6710/G m s kg -\=?。

在经曲力学中质量为一恒量。

当质点速度可以光速相比时。

经曲力学应让位于相对论力学，这时质量随速度增加而增加，即m =；式中m 0表示静止质量，u 速度，c 为光速度。

一、 动量、动量守恒定律在生产实践和日常生活中，人们经常遇到碰撞问题，动量概念就是人们在研究碰撞问题的过程中建立起来的。

一个质点的质量与其速度的乘积定义为该质点的动量。

动量是矢量与速度的方向相同，分别用,m u 和p 表示质点速度，质量和动量，则P m u =u v v（3．2．4）在1S 中，动量单位是/kgm s （千克/米/秒）。

量组为 1LMT -。

在经曲力学中，质点的质量m 是常数，所以可把牛顿第二定律，()d d m d P F ma m dt dt dtu u ====v v u v u v v （3-2.5）上式说明质点动量对时间的变化率等于质点所受到的合力。

牛顿第二定律就是以这种形式提出来的。

在经曲物理学中，质点是常量，实际上质点的质量并非常量。

由相对论提出，质点的质点m ，将随速度而变，m =（ 3-2.6 ）M 0时质点的 00u =v时的质量称为质点的静止质量，c 为真空中的光速，c u £时220cu =，0m m \= 。

u 与c 可以比时m 不能再当作常量了。

();d d m dm d F ma m m dt dt dt dt u u u u ====+v v vu v v v 0dm dt¹Q (3-2.7)d p F d pFdt dt=?u v u v u v u v冲量。

将该式积分，时，动量P 1，时间2t 时动量P 2 。

22211121p t t p t t d p Fdt p p Fdt =?=蝌?u v u vu v（3-2.8）。

力对时间的积分叫做力在这段时间内的冲量。

说明: 在时刻t 1,到时间t 2这段时间内质点动量变化等于作用在质点上的合力在这段时间内的冲量。

这个结论叫做质点的动量定理。

冲量的概念。

经常在碰撞问题中用到，在碰撞过程中，物体相互作用的时间极短，但力却很大。

而且力在这段短暂的时间变化十分剧烈，力随时间变化如图（3-2.2）所示。

这种类型的力通常叫做冲力。

如果用方程d F m dtu=vu v 或d P F dt=u v u v 来研究冲力对质点运动的影响。

然而在各种具体的碰撞过程中，冲力随时间变化曲线是很难确定的。

三、质点系动量定理质点系中各质点动量的总和称为质点系的总动量。

设质点系有n 个质点，它们的动量粉分别为 1234,,,n p p p p p L L ，总动量p u v时，12341nn i i p p p p p p p ==+++++=åu v u v u v u v u v u v u v L ，i i i p m u =u v v Q1231231nn i n i i p m m m m m u u u u u ==++++=åu v v v v v v L1ni i m M ==å总质量。

i P M u \=u v v；双方微分，11()n n ii i i i i d p d M M a M a F dt dtu ======邋u v vv v u v11nn i i i i d p F d p F dt dt ===?邋u v u v u v u v；1t Q 时1p ，2t 时2p ，2221112111n n p t t p t t i i d Fdt p p Fdt u ===?=邋蝌?vu vu v ； （3-2.11）这一结论称为质点系的动量定律。

四、动量守恒定律由质点系动量定理可以得到一个重要的结论，若质点系所受处力的和10ni i F ==åu u v时质点系的总动量p u v保持不变。

1231n n i p p p p p i p \=++++==åu v u v u v u v u v u vL =常数；这就是动量守恒定律。

11n n i i i i i p p m u =====邋u v u u v v恒矢量。

例如：两质点的质量为m 1, m 2碰撞前后的速度为010212,,,u u u u 质点系受到的合处力是10ni i F ==åu u v时动量守恒1012021122m m m m u u u u \+=+；如果质点系所受的处力的总和1ni i F =åu u v的某方向投影为o 则质点的总动量在该方向上的投影保持不变。

这个结论叫做某一方向的动量守恒定律。

若10ni i F ==åu u v时，1012021122x x x x m m m m u u u u \+=+；动量守恒定律成立的条件是: 质点系所受处力的总和10ni i F ==åu u v。

在解决实际问题时，如果质点系内部的相互作用力之比它们的所受的处力大，就可略去处力的作用而动量守恒定律来处理。

动量守恒定律是关于自然界的基本定律。

[例1]. 如图（3-3.3）所示，大炮和炮弹的质量分别为M 和m ，炮弹在出处相对于大炮的速度为1u 。

1u 与地面的夹角为a ，求大炮反冲的速度，（大炮与地面之间无摩擦）。

解：0x F =åQ；x \方向的动量守恒。

Q 反决速度为2u ，炮弹相对地面的速度为u v。

12u u u \=+v v v；所以质点系的总动量为12212()p m m m M u u u u u =+=++u v v v v2u 和1u 反向； 122cos 0x P m m M u a u u \=--= 12cos ()m m M u a u \=+； 12cos m m Mu au \=+；§3.3 牛顿运动定律牛顿第一定律反定性地指出力和质点运动的关系，牛顿第二定律。

将进一步给处为，质点加速度以及惯性的量度，惯性质量之间的定量关系。

一、牛顿第二定律1.力和受力质点加速度的关系。

研究力和加速度的定量关系，首先要能够定量地描述力和加速度，加速度的定量描述在运动学中一解决，即然力的效果在于产生加速度，因此有理由利用力产生的加速度来量度力。

如图（3-3.4）所示，现在用任意的几个力123,,F F F ⅱ?L 使标准物体产生任意相同或不同的加速度123,,a a a L L 既然加速度是力产生的；因为随力的大家速度也大，力小加速度也小，a F ¢\?；二、加速度与质量的关系实验证明：用相同的力作用于不同的物体，所产生的加速度也不同，这表明加速度不仅与力有关，而且物体的质量也关系，物体的加速度与物体质量之间的反比关系。

1a mµ； 因此如图（3-3.5）所示，当力一定时，物体的惯性越大，则所产生的加速度越小，惯性越少，则加速度越大，a F µv u v ，1a mµ。

F a F ma F kma m缔缔=u v v u v v u v v ；式中k 为比列常数，k 为数值决定于力，质量，加速度的单位，如果选用适当的单位，可使k=1于是上式可写为 F ma =u v v；这表明，作用在物体上各力的合力F u v等于物体质量m 与加速度a v 的乘积，这是称为质点动力学的基本方程。