2017安徽蚌埠二中自主招生数学试题及答案
数学---安徽省蚌埠二中2017-2018学年高一(上)期中试卷(解析版)
安徽省蚌埠二中2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，全集B={x|2x+1＞1}，则集合A补集=（）A．[3，+∞） B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．（5分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=|x|，B．f（x）=2x，C．f（x）=x，D．f（x）=x，3．（5分）已知函数y=f（x）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是（）A． B．[﹣1，4] C．D．[﹣5，5]4．（5分）设集合A和集合B都是自然数集N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素n2+n，则在映射f下，像20的原像是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）可作为函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＞f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）7．（5分）已知函数y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（2a﹣1）＜f（1﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（）B．（C．（0，2）D．（0，+∞）8．（5分）幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣2或19．（5分）已知a=log23，b=8﹣0.7，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a10．（5分）若函数f（x）=log3（x2+ax+a+5），f（x）在区间（﹣∞，1）上是递减函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，﹣2] B．[﹣3，﹣2）C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若任意x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]12．（5分）已知函数f（x）=|log a|x﹣1||（a＞0，a≠1），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则=（）A．2 B．4 C．8 D．随a值变化二、填空题13．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=．14．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=．15．（5分）设关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m﹣1=0的两个根为α，β，且0＜α＜1＜β＜2，则实数m的取值范围是．16．（5分）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设函数f（x）=min{x+2，14﹣x，x2}（x≥0），则函数f（x）的最大值为．三、解答题17．（10分）已知集合A={x|﹣3≤x≤2}，集合B={x|1﹣m≤x≤3m﹣1}．（1）求当m=3时，A∩B，A∪B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=x+，且函数y=f（x）的图象经过点（1，2）．（1）求m的值；（2）判断函数的奇偶性并加以证明；（3）证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．19．（12分）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0和f（x+2）﹣f（x）=4x（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[a，a+2]（a∈R）上的最小值g（a）．20．（12分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（log3）（log33x）（1）若x∈[，]，求函数f（x）最大值和最小值；（2）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求αβ的值．22．（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a•2x﹣a），其中f（x）是偶函数．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求函数g（x）的定义域；（Ⅲ）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．A【解析】集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，全集B={x|2x+1＞1}={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，则集合A补集为{x|x≥3}=[3，+∞）．故选A．2．C【解析】函数f（x）=|x|的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；函数f（x）=2x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；f（x）=x，=x，两函数为同一函数；f（x）=x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数．故选：C．3．C【解析】∵函数y=f（x）定义域是[﹣2，3]，∴由﹣2≤2x﹣1≤3，解得﹣≤x≤2，即函数的定义域为[﹣，2]，故选：C．4．C【解析】由2n+n=20求n，用代入验证法法可知n=4．故选C.5．D【解析】由函数的定义可知：每当给出x的一个值，则f（x）有唯一确定的实数值与之对应，只有D符合．故正确答案为D．故选D．6．D【解析】∵f（x）为R上的减函数；∴由得：；解得x＜1，或x＞2；∴x的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故选D．7．B【解析】函数y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，则有：，解得：，故选B．8．B【解析】由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m=﹣1，故选B．9．A【解析】∵a=log23∴a＞1∵b=8﹣0.7∴0＜b＜1∵=sin（4π﹣）=sin（﹣）=﹣＜0∴a＞b＞c故选A．10．A【解析】有题意知f（x）在（﹣∞，1）上是递减函数；由f（x）=log3（x2+ax+a+5）得知，此复合函数外层函数为：f（x）=log3x，在定义域上为增函数；内层函数为h（x）=x2+ax+a+1；要使得f（x）在（﹣∞，1）上是递减函数，根据复合函数“同增异减”原则，内层函数h（x）在（﹣∞，1）必须为减函数，同时须保证最大值h（1）＞0；∴⇒﹣3≤a≤﹣2．（注意h（1）=0情况）故选：A.11．B【解析】当x≥0时，f（x）=，由f（x）=2x﹣6a2，x≥2a2，得f（x）＞﹣2a2；由f（x）=﹣2a2，a2＜x＜2a2，得f（x）=﹣2a2；由f（x）=﹣2x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣2a2．∴当x＞0时，f（x）min=﹣2a2．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）max=2a2．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：﹣≤a≤．故选：B.12．A【解析】设g（x）=|log a|x||，则g（x）为偶函数，图象关于y轴对称，而函数f（x）=|log a|x﹣1||是把g（x）的图象向右平移一个单位得到的，故f（x）的图象关于直线x=1对称．∵x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），∴x1+x4=2，x2+x3=2．再由函数f（x）的图象特征可得，log a x1=﹣log a x2，log a x3=﹣log a x4，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=1，得x1x2=x1+x2，得+=1，同理可得=1，∴=2．故选：A．二、填空题13．﹣4【解析】∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，∴f（f（﹣1））=f（2）=﹣2×2=﹣4．故答案为：﹣4．14．﹣6【解析】∵函数f（x）=ax3+bx+1，f（a）=8，∴f（a）=a4+ab+1=8，∴a4+ab=7，∴f（﹣a）=﹣a4﹣ab+1=﹣7+1=﹣6故答案为：﹣6．15．2＜m＜【解析】方程x2﹣2（m﹣1）x+m﹣1=0对应的二次函数f（x）=x2﹣2（m﹣1）x+m﹣1，方程x2﹣2（m﹣1）x+m﹣1=0两根根为α，β，且0＜α＜1＜β＜2，∴，即：，解得2＜m＜．故答案为：2＜m＜．16．8【解析】法一：画出y=x2，y=x+2，y=14﹣x的图象，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=x2，当2≤x≤6时，f（x）=x+2，当x＞6时，f（x）=14﹣x，f（x）的最大值在x=6时取得为8，故答案为8法二：x+2﹣（14﹣x）=2x﹣12≥0，得x≥6．0＜x≤2时x2﹣（x+2）≤0，x2≤2+x＜14﹣x，f（x）=2x，此时函数为增函数；2＜x≤6时，x+2＜x2，x+2≤14﹣x，f（x）=x+2，此时函数为增函数；x＞6时，x2＞x+2＞10﹣x，f（x）=10﹣x，此时函数为减函数；∴f（x）max=f（6）=8．故答案为8.三、解答题17．解：（1）当m=3时，B={x|﹣2≤x≤8}，∴A∩B={x|﹣3≤x≤2}∩{x|﹣2≤x≤8}={x|﹣2≤x≤2}，A∪B={x|﹣3≤x≤2}∪{x|﹣2≤x≤8}={x|﹣3≤x≤8}．（2）由A∩B=A得：A⊆B，则有：，解得：，即：m≥4，∴实数m的取值范围为m≥4．18．（1）解：由函数f（x）=x+的图象过点（1，2），得2=1+，解得m=1；（2）解：由（1）知，f（x）=x+，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）具有对称性，且f（﹣x）=﹣x+=﹣（x+）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（3）证明：设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数.19．解：（1）∵f（0）=0，∴设f（x）=ax2+bx，∴a（x+2）2+b（x+2）﹣ax2﹣bx=4ax+4a+2b=4x，∴，解得：a=1，b=﹣2，∴f（x）=x2﹣2x．（2），当a＜1＜a+2时，即﹣1＜a＜﹣1时，f（x）min=f（1）=﹣1，∴．20．解：（I）由题意得，∴a=2，b=3，∴f（x）=3•2x.（II）设，则y=g（x）在R上为减函数．∴当x≤1时，∵在x∈（﹣∞，1]上恒成立，∴g（x）min≥2m+1，∴，∴∴m的取值范围为：．21．解：（1）函数f（x）=（log3）（log33x）化简可得：f（x）=（log3x﹣log227）（log33+log3x）令log3x=t，∵x∈[，]，∴﹣3≤t≤﹣2．∴g（t）=t2﹣2t﹣3．其对称轴t=1，∴f（x）的最大值为g（﹣3）=12，f（x）的最小值为g（﹣2）=5．（2）方程f（x）+m=0有两根α，β，即（log3x﹣log327）（log33+log3x）+m=0有两根α，β，∴方程（log3x）2﹣2log3x﹣3+m=0有两根α，β，∴log3α+log3β=2，即log3αβ=2那么：αβ=9．22．解：（I）f（x）的定义域为R，∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）恒成立，即log4（4﹣x+1）﹣kx=log4（4x+1）+kx恒成立，∴log4=2kx，即log4=2kx，∴42kx=4﹣x，∴2k=﹣1，即k=﹣12．（II）由g（x）有意义得a•2x﹣＞0，即a（2x﹣）＞0，当a＞0时，2x﹣＞0，即2x＞，∴x＞log2，当a＜0时，2x﹣＜0，即2x＜，∴x＜log2．综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log2，+∞），当a＜0时，g（x）的定义域为（﹣∞，log2）．（III）令f（x）=g（x）得log4（4x+1）﹣x=log4（a•2x﹣），∴log4=log4（a•2x﹣），即2x+=a•2x﹣，令2x=t，则（1﹣a）t2+at+1=0，∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点，∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1﹣a）t2+at+1=0只有一正数解，（1）若a=1，则+1=0，t=﹣，不符合题意；（2）若a≠1，且﹣4（1﹣a）=0，即a=或a=﹣3．当a=时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=﹣2，不符合题意；当a=﹣3时，方程（1﹣a）t2+at+1=0的解为t=，符合题意；（3）若方程（1﹣a）t2+at+1=0有一正根，一负根，则＜0，∴a＞1，综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．。
2017-2018年安徽省蚌埠二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
．
21． （12 分）已知关于 x 的方程：x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根 b． （1）求实数 a，b 的值． （2）若复数 z 满足| ﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求 z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的 最小值． 22． （12 分）已知函数 f（x）= x2，g（x）=elnx． （Ⅰ）设函数 F（x）=f（x）﹣g（x） ，求 F（x）的单调区间； （Ⅱ） 若存在常数 k， m， 使得 f （x） ≥kx+m，对 x∈R 恒成立， 且g （x） ≤kx+m， 对 x∈（0，+∞）恒成立，则称直线 y=kx+m 为函数 f（x）与 g（x）的“分界 线” ，试问：f（x）与 g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线” 的方程，若不存在，请说明理由．
2017-2018 学年安徽省蚌埠二中高二 （下） 期中数学试卷 （理科）
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求的. 1． （5 分）已知函数 f（x）=|x|，在 x=0 处函数极值的情况是（ A．没有极值 C．有极小值 2． （5 分）设 i 是虚数单位，复数 z= A．3﹣4i B．3+4i B．有极大值 D．极值情况不能确定 ，则 =（ C．﹣3﹣4i ） D．﹣3+4i ）
+
+
的最大值
16． （5 分）已知函数 f（x）=ex﹣x﹣1（x≥0） ，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若 f（a） =g（b） ，则 b 的最大值是 ．
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17． （10 分）在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 已知 ，
2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）判断圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切2．（5分）若直线l经过点P（2，3），且在x轴上的截距的取值范围是（﹣1，3），则其斜率的取值范围是（）A．k＜﹣3或k＞1 B．﹣1＜k＜C．﹣3＜k＜1 D．k3．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线4．（5分）一条光线从点A（2，4）射出，倾斜角为60°角，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）A．x﹣y+4﹣2=0 B．x﹣y﹣2﹣4=0 C．x+y+4﹣2=0 D．x+y﹣2﹣4=05．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．（5分）若圆x2+y2﹣2ax+3by=0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）已知点P（1，3）与直线l：x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为（）A．（﹣3，﹣1）B．（2，4） C．（﹣4，﹣2）D．（﹣5，﹣3）8．（5分）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°9．（5分）已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A．4B．2C．D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．411．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条12．（5分）设点P（a，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则a的取值范围是（）A．[﹣]B．[]C．[]D．[]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）母线长为1的圆锥体，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为．14．（5分）一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为cm．15．（5分）已知点P是圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0上的一点．直线l：3x﹣4y﹣5=0，若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有个．16．（5分）在平面内，•=•=•=6，若动点P，M满足||=2，=，则||的最小值是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题10分，第18～22题每题12分）17．（10分）已知两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y﹣4a2﹣2=0．（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．19．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的点，QA，QB分别切圆M 与A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|的长度及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．20．（12分）已知四边形ABCD与四边形CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．（1）求证：ED⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣BE﹣C的大小．21．（12分）如图组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点．（1）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；（2）当C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．22．（12分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）判断圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2=1的圆心C1为（0，0），半径r1=1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=9的圆心C2为（2，2），半径r2=3，则有2＜|C1C2|=2＜r1+r2=4，则两圆相交；故选：C．2．（5分）若直线l经过点P（2，3），且在x轴上的截距的取值范围是（﹣1，3），则其斜率的取值范围是（）A．k＜﹣3或k＞1 B．﹣1＜k＜C．﹣3＜k＜1 D．k【解答】解：取直线l与x轴的交点M（﹣1，0），N（3，0）．k PM==1，k PN==﹣3．∵直线l与线段MN相交，∴k＞1或k＜﹣3．故选：A．3．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解答】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选：D．4．（5分）一条光线从点A（2，4）射出，倾斜角为60°角，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）A．x﹣y+4﹣2=0 B．x﹣y﹣2﹣4=0 C．x+y+4﹣2=0 D．x+y﹣2﹣4=0【解答】解：∵tan60°=，∴k=tan（180°﹣60°）=﹣，∵点A（2，4）关于x轴的对称点A′（2，﹣4）在反射光线上，设反射光线所在的直线方程y=﹣x+b，∴﹣4=﹣×2+b，解得b=2﹣4，故反射光线所在的直线方程y=﹣x+2﹣4，即x+y+4﹣2=0，故选：C．5．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．（5分）若圆x2+y2﹣2ax+3by=0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵圆x2+y2﹣2ax+3by=0的圆心为（a，﹣）∴圆心位于第三象限，得a＜0且﹣＜0，解得a＜0且b＞0又∵直线x+ay+b=0，在x轴的截距为﹣b＜0，在y轴的截距为﹣＞0∴直线x+ay+b=0经过x轴负半轴一点和y轴正半轴一点由此可得直线经过一、二、三象限，不经过第四象限故选：D．7．（5分）已知点P（1，3）与直线l：x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为（）A．（﹣3，﹣1）B．（2，4） C．（﹣4，﹣2）D．（﹣5，﹣3）【解答】解：设点P关于直线l的对称点坐标为Q（a，b），则+1=0，=1，联立解得a=﹣4，b=﹣2．∴点P关于直线l的对称点坐标为（﹣4，﹣2）．故选：C．8．（5分）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A．AC⊥BDB．AC=BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．由BD∥PN，∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．∴，，而AN≠DN，PN=MN，∴BD≠AC．B错误．故选：B．9．（5分）已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A．4B．2C．D．【解答】解：正方体的顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，底面ABCD的中心到上底面顶点的距离就是球的半径=，半球的体积：×π×（）3=2π．故选：B．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．4【解答】解：由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的三棱锥，其体积V=×（×2×2）×2=，故选：B．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条【解答】解：在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图：故选：D．12．（5分）设点P（a，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点Q，使得∠OPQ=60°，则a的取值范围是（）A．[﹣]B．[]C．[]D．[]【解答】解：由题意画出图形如图：点Q（a，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OPQ=60°，则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OPQ=60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，QP与圆相切时∠OQP取得最大值，此时OP=1，|QP′|=．只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x0的取值范围是[﹣，]．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）母线长为1的圆锥体，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为．【解答】解：一个圆锥的母线长为1，它的侧面展开图为半圆，则半圆的弧长为π，即圆锥的底面周长为π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=π，解得：r=，∴圆锥的高为h=．∴圆锥的体积为：V=πr2h=．故答案为：．14．（5分）一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为8cm．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为cm，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2 cm，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：2（1+=8cm，故答案为：815．（5分）已知点P是圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0上的一点．直线l：3x﹣4y﹣5=0，若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有2个．【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，∴（x+2）2+（y﹣3）2=16，圆心O（﹣2，3），r=4，∴圆心到直线l：3x﹣4y﹣5=0的距离为：d=，∵圆上的点p到直线的距离最近为﹣4=＜2∴点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有2个，故答案为：216．（5分）在平面内，•=•=•=6，若动点P，M满足||=2，=，则||的最小值是2．【解答】解：∵•=•=•=6，∴=0，=0，=0，∴△ABC是等边三角形，设△ABC的边长为a，∴=a2cos60°==6，∴a=2．∵||=2，∴P在以A为圆心，以2为半径的圆上，∵=，∴M是PC的中点，以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立坐标系，则B（﹣，0），C（，0），A（0，3），设P（2cosθ，3+2sinθ），则M（cosθ+，+sinθ），∴=（+cosθ，+sinθ），∴||2=（+cosθ）2+（+sinθ）2=3cosθ+3sinθ+10=6sin（θ+）+10，∴当sin（θ+）=﹣1时，||2取得最小值4．||的最小值是2；故答案为：2．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题10分，第18～22题每题12分）17．（10分）已知两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y﹣4a2﹣2=0．（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．【解答】解：（1）由a（a﹣1）﹣2=0，解得a=2或﹣1．经过验证a=﹣1时两条直线重合．∴a=2．（2）a=1时，两条直线方程分别化为：x+2y+6=0，x﹣6=0．此时两条直线不垂直，舍去．a≠1时，由l1⊥l2，则×=﹣1，解得a=．综上可得：a=．18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．【解答】解：方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NE∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP⊥CD于P，连接MP∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP∵，∴，，所以AB与MD所成角的大小为．（3）∵AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，∵，，∴，所以点B到平面OCD的距离为．方法二（向量法）作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），，，O（0，0，2），M（0，0，1），（1），，设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0即取，解得∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，∴MN∥平面OCD．（2）设AB与MD所成的角为θ，∴，∴，AB与MD所成角的大小为．（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，由，得d==所以点B到平面OCD的距离为．19．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的点，QA，QB分别切圆M 与A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|的长度及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．【解答】（1）设直线MQ交直线AB于点P，由于：|AB|=，又|AM|=1，AP ⊥MQ，AM⊥AQ．|MP|=，|AM|2=|MQ||MP|，所以：|MQ|=3．设Q（x，0），而点M（0，2），由，得x=，则Q（，0）或Q（﹣，0）．所以直线MQ的方程为：2x+﹣2=0或2x﹣y=0．（2）设Q（q，0），由几何性质，可知A，B在以QM为直径的圆上，此圆的方程为：x2+y2﹣qx﹣2y=0，AB为两圆的公共弦，两圆方程相减，得qx﹣2y+3=0，即：AB的直线方程为：，过定点（0，）20．（12分）已知四边形ABCD与四边形CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．（1）求证：ED⊥平面ABCD；（2）求二面角D﹣BE﹣C的大小．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD 又因为四边形CDEF为正方形，所以ED⊥CD因为ED⊂平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD（2）解：以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，1）．所以平面BDE的法向量为=（﹣1，1，0）．…（5分）设平面BEC的法向量为═（x，y，z）．═（1，0，0），=0，﹣1，1），由令z=1，则=（0，1，1）．…6 分所以cos=∴二面角D﹣BE﹣C的大小为600．21．（12分）如图组合体中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点．（1）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；（2）当C是弧AB的中点时，求四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．【解答】解：（I）因为侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，所以AC⊥BC（2分）又圆柱母线AA1⊥平面ABC，BC属于平面ABC，所以AA1⊥BC，又AA1∩AC=A，所以BC⊥平面A1AC，因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1AC；（6分）（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为r2h，三棱锥A1﹣ABC的体积为，四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为r2h﹣=，（10分）圆柱的体积为πr2h，四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比为2：3π．（12分）22．（12分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）第21页（共21页）。
蚌埠二中自主招生数学试卷(2006～2012共7份)
2006 年 理 科 实 验 班 招 生数学素质测试试题一、选择题（每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。
）1、已知实数a 、b 、c 满足0254=-+-+++a b c b a ，那么bc ab +的值为（ ） A 、0B 、16C 、－16D 、－322、设βα、是方程02322=--x x 的两个实数根，则βααβ+的值是（ ）A 、－1B 、1C 、32-D 、32 3、a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，下列结论成立的是（ ） A 、AB AC 2= B 、AB AC 2< C 、AB AC 2> D 、AC 与AB 2大小关系不确定5、已知关于x 的不等式7<a x 的解也是不等式12572->-aa x 的解，则a 的取值范围 是（ ）A 、910-≥aB 、910->a C 、0910<≤-a D 、0910<<-a 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（ ） A 、32B 、2C 、3D 、4 第6题图二、填空题（每小题5分，共30分）准考证号 考场座位号 姓名 学校B AD ECF G 1 131、已知质数x 、y 、z 满足5719=-yz x ，则z y x ++= 。
2、已知点A （1，3），B （4，－1），在x 轴上找一点P ，使得AP －BP 最大，那么P 点的坐标是 。
3、已知AB 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，则当△ACD 为等腰三解形时，∠ACD 的度数为 。
2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷
2017-2018学年安徽省蚌埠二中高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数，在处函数极值的情况是A. 没有极值B. 有极大值C. 有极小值D. 极值情况不能确定【答案】C【解析】解：当时，，为减函数，当时，，为增函数，根据极值的定义可知函数，在处函数取极小值，故选C由在处左侧的导数小于零，在处右侧的导数大于零，根据极值的定义可知在处函数取极小值．本小题主要考查函数的导数的极值，属于基础题．2.设i是虚数单位，复数，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，则．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.在等分区间的情况下，及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：由已知，区间长度为2平均等分为n分，则每份为，则每一个小矩形的面积为，所以及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式是；故选：B．区间长度为2平均等分为n分，则每份为，则每一个小矩形的面积为，再由曲边梯形的面积的意义求之．本题考查了曲边梯形的面积求法以及极限思想按分割，近似代替，求和，取极限四个步骤进行．4.余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理A. 结论正确B. 大前提不正确C. 小前提不正确D. 全不正确【答案】C【解析】解：大前提余弦函数是偶函数，正确，小前提：是余弦函数，错误，是与余弦函数有关的复合函数，不是余弦函数，故小前提不正确故选：C．根据三段论进行判断即可．本题主要考查演绎推理的应用，根据三段论分别进行判断是解决本题的关键．5.在极坐标方程中，曲线C的方程是，过点作曲线C的切线，则切线长为A. 4B.C.D.【答案】C【解析】解：化为普通方程为，点的直角坐标是，圆心到定点的距离及半径构成直角三角形．由勾股定理：切线长为．故选：C．先将原极坐标方程是两边同乘以后化成直角坐标方程，点的坐标化成直角坐标，再利用直角坐标方程结合圆的几何性质进行求解即可．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，，，进行代换即可进行极坐标和直角坐标的互化．6.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的取值范围是A. B.C. D. 或【答案】D【解析】解：令，不等式的解集不是空集，函数y的最大值，又，，或，故选：D．问题转化为求函数的最大值，根据绝对值的性质求出a的范围即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查了转化思想，求出函数的最大值是解答本题的关键，本题属于中档题．7.已知函数，下列选项中不可能是函数图象的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：当时，函数的图象如图A所示：当时，，若，则导函数有两个负根，即原函数的两个极值点均为负，不存在满足条件图象；若，则导函数至多有一个根，即原函数在R上递增，图象如图B所示：当时，导函数有两个异号的根，即原函数的两个极值点异号，图象如图C所示，故D不可能是函数图象，故选：D．分类讨论函数的形状，结合四个答案，利用排除法，可得结论．本题考查的知识点是函数的图象，分类讨论思想，利用导数分析函数的单调性，难度中档．8.若，则A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】解：，，，故选：A．根据微积分基本定理，计算即可本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．9.设a，b，，则，，A. 都不大于B. 都不小于C. 至少有一个不大于D. 至少有一个不小于【答案】C【解析】解：假设，，都大于，即，，，将三式相加，得，又因为a，b，，所以，，，三式相加，得，所以不成立．故选：C．假设，，，由此利用反证法和均值不等式能求出结果．本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用．10.已知函数的最大值为，则a等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：，，解得：，故，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故的最大值是，，故选：B．求出函数的导数，计算的值，从而求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值点即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．11.2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼》上映三个月，以亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼》，并把标识分别为A，B，C，D的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是C；乙说：第2个盒子里面放的是B，第3个盒子里面放的是D；丙说：第4个盒子里面放的是D，第2个盒子里面放的是C；丁说：第4个盒子里面放的是A，第3个盒子里面放的是C．小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半”可以推测，第4个盒子里面放的电影票为A. A或BB. B或CC. C或DD. D或A【答案】D【解析】解：假设甲说：第1个盒子里面放的是B是对的，则乙说：第3个盒子里面放的是D是对的，丙说：第2个盒子里面放的是C是对的，丁说：第4个盒子里面放的是A是对的，由此可知第4个盒子里面放的是A；假设甲说：第3个盒子里面放的是C是对的，则丙说：第4个盒子里面放的是D是对的，乙说：第2个盒子里面放的是B是对的，丁说：第3个盒子里面放的是C是对的，由此可知第4个盒子里面放的是D．故第4个盒子里面放的电影票为D或A．故选：D．先假设甲说：第1个盒子里面放的是B是对的，推导出第4个盒子里面放的是A；再假设甲说：第3个盒子里面放的是C是对的，推导出第4个盒子里面放的是D．本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，是基础题．12.设函数满足，则时，的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由，当时，故此等式可化为：，且当时，，，令，，求导，当时，，则在上单调递增，的最小值为，则恒成立，的最小值，故选：D．由题意可知：，且当时，，构造辅助函数，求导，由在恒成立，则在处取最小值，即可求得在单调递增，即可求得的最小值．本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，考查构造法求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的平方根是______．【答案】，或【解析】解：设的平方根是，x、，则有，且，求得，，或，故的平方根是，或，故答案为：，或．设复数的平方根为所以，利用复数相等的定义，列出方程组，求出复数的平方根．求满足某条件的复数，一般利用待定系数法，通过复数相等的定义，列方程组，属于基础题．14.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______．【答案】【解析】解：同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为，故答案为．首先平面正方形的知识可知一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，结合空间正方体的结构特征，即可类比推理出两个两个正方体重叠部分的体积．本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类比推理出空间正方体的性质特征，本题难度不是很大．15.已知a，b，，且，则的最大值为______．【答案】【解析】解：由a，b，，且，由柯西不等式可得，则，当时，上式取得最大值．故答案为：．由条件运用柯西不等式可得，可得所求最大值．本题考查柯西不等式的运用：求最值，注意变形和等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．16.已知函数，，若，则b的最大值是______．【答案】3【解析】解：函数，，恒成立，，即函数的最小值为0，又的图象是开口朝下，且以直线为对称轴，且与x轴交于，点的抛物线，若，则，即b的最大值是3，故答案为：3由已知中函数的解析式可得，而时，，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的最值及其应用，指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，是函数的图象和性质的简单综合应用，难度中档．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，已知，P为圆C上一点，求面积的最小值．【答案】解：圆C的极坐标方程为，，圆C的直角坐标方程为，即分又，，，分P到直线AB距离的最小值为，分所以面积的最小值为分【解析】求出圆C的直角坐标方程、A，B的直角坐标和点P到直线AB的距离的最小值，由此能求出面积的最小值．本题考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标的互化公式的合理运用．18.已知不等式的解集为．求m，n的值；若，，，求证：．【答案】解：不等式，当时，，即，可得；当时，，即，可得；当时，，即，可得．综上可得，原不等式的解集为，由不等式的解集为，可得，；证明：由可得，，，则，当且仅当时，取得等号，则．【解析】运用绝对值的含义，讨论当时，当时，当时，去掉绝对值解不等式，再求并集，即可得到m，n的值；由可得，则，展开后运用基本不等式，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式的证明，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．19.用数学归纳法证明：．【答案】证明：当时，，命题成立．假设当时命题成立，即，则当时，．又，即时，命题成立．由和可知，命题对所有都成立．【解析】直接利用数学归纳法的证明步骤，利用假设转化证明即可．本题考查数学归纳法的证明方法的应用，是基本知识的考查．20.已知曲线C：．求曲线C在点处的切线方程；求与直线平行的曲线C的切线方程．【答案】解：，，求导可得，切线的斜率为，所求切线方程为，即；设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为，又所求切线与直线平行，，解得，代入可得切点为或，所求切线方程为或，即或．【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；设与直线平行的切线的切点为，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得切点坐标，即可得到所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查两直线平行的条件：斜率相等，以及直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．21.已知关于x的方程：有实数根b．求实数a，b的值．若复数z满足，求z为何值时，有最小值，并求出的最小值．【答案】解：是方程的实根，，解之得．设，由，得，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示，如图，当z点在的连线上时，有最大值或最小值，，半径，当时．有最小值且．【解析】复数方程有实根，方程化简为、，利用复数相等，即解方程组即可．先把a、b代入方程，同时设复数，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出z，得到．本题考查复数相等；考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．是有一定难度的中档题目．22.已知函数，．Ⅰ设函数，求的单调区间；Ⅱ若存在常数k，m，使得，对恒成立，且，对恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，试问：与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．【答案】解：由于函数，，因此，，则，，当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数；因此，函数的单调减区间是，单调增区间是．由可知，当时，取得最小值，则与的图象在处有公共点假设与存在“分界线”，则其必过点故设其方程为：，即，由对恒成立，则对恒成立，成立，因此，“分界线“的方程为：．下面证明对恒成立，设，则，当时，，当时，，当时，取得最大值0，则对恒成立，故所求“分界线“的方程为：．【解析】Ⅰ在定义域内解不等式，可得函数的单调区间；Ⅱ由可知，当时，取得最小值，则与的图象在处有公共点假设与存在“分界线”，则其必过点故设其方程为：，由对恒成立，可求得，则“分界线“的方程为：只需在证明对恒成立即可；本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题，考查转化思想，探究性题目往往先假设成立，再做一般性证明．第11页，共11页。
安徽省蚌埠市第二中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
蚌埠二中2017-2018学年高一第一学期期中数学试卷总分（150分）时间 120分钟注意：所有选择题的答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置，否则，该大题不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则集合A补集=（）A. [3，+∞）B. （3，+∞）C. （-∞，-1]∪[3，+∞）D. （-∞，-1）∪（3，+∞）2.下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A. f（x）=|x|，B. f（x）=2x，C. f（x）=x，D. f（x）=x，3.已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（）A. B. [-1，4] C. D. [-5，5]4.设集合A和集合B都是自然数集N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素n2+n，则在映射f下，像20的原像是（）A. 2B. 3C. 4D. 55.可作为函数y=f（x）的图象的是（）A. B.C. D.6.函数，满足f（x）＞1的x的取值范围（）A. （-1，1）B. （-1，+∞）C. {x|x＞0或x＜-2}D. {x|x＞1或x＜-1}7.已知函数y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，且f（2a-1）＜f（1-a），则实数a的取值范围是（）A. （）B. （C. （0，2）D. （0，+∞）8.幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A. 2或-1B. -1C. 2D. -2或19.已知a=，b=，，则（）A. b＜c＜aB. a＜b＜cC. b＜a＜cD. c＜a＜b10.若函数f（x）=log3（x2+ax+a+5），f（x）在区间（-∞，1）上是递减函数，则实数a的取值范围为（）A. [-3，-2]B. [-3，-2）C. （-∞，-2]D. （-∞，-2）11.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x-a2|+|x-2a2|-3a2），若任意x∈R，f（x-1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A. [-，]B. [-，]C. [-，]D. [-，]12.已知函数f（x）=|log a|x-1||（a＞0，a≠1），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则=（）A. 2B. 4C. 8D. 随a值变化二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则f[f（）]= ______ ．14.已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（-a）= ______ ．15.设关于x的方程x2-2（m-1）x+m-1=0的两个根为α，β，且0＜α＜1＜β＜2，则实数m的取值范围是______ ．16.用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设函数f(x)=min{x+2，14-x，x2}(x≥0)，则函数f(x)的最大值为____________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|-3≤x≤2}，集合B={x|1-m≤x≤3m-1}．18.（1）求当m=3时，A∩B，A∪B；19.（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．20.21.已知函数f（x）=x+，且函数y=f（x）的图象经过点（1，2）．22.（1）求m的值；23.（2）判断函数的奇偶性并加以证明；24.（3）证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．25.26.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0和f（x+2）-f（x）=4x27.（1）求f（x）；28.（2）求f（x）在区间[a，a+2]（a∈R）上的最小值g（a）．29.30.已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．31.（Ⅰ）求f（x）的解析式；32.（Ⅱ）若不等式在x∈（-∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．33.21.已知函数(1)若，求函数f(x)最大值和最小值；(2)若方程f(x)+m=0有两根α，β，试求α•β的值22.已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx与g（x）=log4（a•2x-a），其中f（x）是偶函数．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求函数g（x）的定义域；（Ⅲ）若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．答案和解析【答案】1. A2. C3. C4. C5. D6. D7.B8. B9. C10. A11. B12. A13.14. -615. 2＜m＜16. 817. 解：（1）当m=3时，B={x|-2≤x≤8}，∴A∩B={x|-3≤x≤2}∩{x|-2≤x≤8}={x|-2≤x≤2}A∪B={x|-3≤x≤2}∪{x|-2≤x≤8}={x|-3≤x≤8}．（2）由A∩B=A得：A⊆B，…（9分）则有：，解得：，即：m≥4∴实数m的取值范围为m≥4．18. 解：（1）由函数f（x）=x+的图象过点（1，2），得2=1+，解得m=1；…（3分）（2）由（1）知，f（x）=x+，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）具有对称性，且f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），所以f（x）为奇函数；（3）证明：设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）==，∵x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数19. 解：（1）∵f（0）=0，∴设f（x）=ax2+bx，∴a（x+2）2+b（x+2）-ax2-bx=4ax+4a+2b=4x，∴，解得：a=1，b=-2，∴f（x）=x2-2x．（2），当a＜1＜a+2时，即-1＜a＜-1时，f（x）min=f（1）=-1 ，∴．20. 解：（I）由题意得，∴a=2，b=3，∴f（x）=3•2x…（4分）（II）设，则y=g（x）在R上为减函数．∴当x≤1时，∵在x∈（-∞，1]上恒成立，∴g（x）min≥2m+1，∴，∴∴m的取值范围为：．21. 解：(1)根据对数的运算性质得出f(x)=(log3x-3)(log3x+1)令log3x=t，t∈[-3，-2]则g(t)=t2-2t-3，t∈[-3，-2]g(t)对称轴t=1(2)即方程(log3x)2-2log3x-3+m=0的两解为α，β∴log3α+log3β=222. 解：（I）f（x）的定义域为R，∵f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立，即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx恒成立，∴log4=2kx，即log4=2kx，∴42kx=4-x，∴2k=-1，即k=-．（II）由g（x）有意义得a•2x-＞0，即a（2x-）＞0，当a＞0时，2x-＞0，即2x＞，∴x＞log2，当a＜0时，2x-＜0，即2x＜，∴x＜log2．综上，当a＞0时，g（x）的定义域为（log2，+∞），当a＜0时，g（x）的定义域为（-∞，log2）．（III）令f（x）=g（x）得log4（4x+1）-x=log4（a•2x-），∴log4=log4（a•2x-），即2x+=a•2x-，令2x=t，则（1-a）t2+at+1=0，∵f（x）与g（x）的图象只有一个交点，∴f（x）=g（x）只有一解，∴关于t的方程（1-a）t2+at+1=0只有一正数解，（1）若a=1，则+1=0，t=-，不符合题意；（2）若a≠1，且-4（1-a）=0，即a=或a=-3．当a=时，方程（1-a）t2+at+1=0的解为t=-2，不符合题意；当a=-3时，方程（1-a）t2+at+1=0的解为t=，符合题意；（3）若方程（1-a）t2+at+1=0有一正根，一负根，则＜0，∴a＞1，综上，a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．。
安徽省蚌埠第二中学2020-2021学年第一学期高一自主招生考试试题数学
安徽蚌埠贰中2020高一自主招生考试试题科学素养数学试题◆注意事项：1．本卷总分值150分，考试时间120分钟；2．所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分．一选择题（本大题共6小题，每题5分，共30分．每题均给出了A、B、C、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得0分）1．完成一项工作，甲单独做需要a 天，乙单独做需要b 天，甲乙合作需要c 天，则丙单独做全部工作所需的天数是A ．abc ab ac bc--B ．abc ab ac bc+-C ．ab ac bcabc++D ．()ab c b a c--2．对于,,a b c ∈R ，若满足条件222()()()0a b b c c a -+-+-≠，则有BA ．,,a b c 互不相等B ．,,a b c 不全相等C ．,,a b c 互不相等且均不等于0D ．,,a b c 不全相等且均不等于03．如图所示，设G 为△ABC 的重心，过点G 分别交AB ,AC 于P ,Q 两点，且APm PB=，．AQn QC=，则11m n +=CA ．12B ．23C ．1D ．324．将一个圆分成三个相同的扇形，将其中一个卷成圆锥，锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值为DA ．13B ．37C ．12D ．595．如图所示，1O 半径为1，正方形ABCD 边长为6，2O 是正方形ABCD 的中心，12OO ⊥AD 于点P ，128OO =，若将1O 绕点P 顺时针方向旋转360︒，在旋转过程中，1O 与正方形ABCD 的便只有一个公共点的情况一共出现BA ．3次B ．5次C ．6次D ．7次6．对于a ∈R ，规定[]a 表示不大于a 的最大整数．则方程22[][]4x y +=的图象是CA ．B ．C ．D ．二填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）9．若6xx+=，则x =．10．已知代数式22342x xy y x by ---+-能分解为两个关于x ,y 的一次式的乘积，那么b =．11．在四边形ABCD 中，90ABC CDA ∠=∠=︒，5AD CD ==，7AB =，1BC =，则BD =．12．如图所示，P 为等边△ABC 内一点，3AP =，4BP =，5CP =，则四边形ABCP 的面积为．13．在直角坐标系内，如果一个点的横坐标合纵坐标均为整数，则称该点为整点．若凸n 边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其他整点，则n =．14．如图所示，将长为4，宽为2的长方形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转90︒得到AB C D '''，两段弧线分别为顶点C ,D 经过的路径，则阴影部分的面积为．(π取3)15．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，两条对角线的交点为O ．O 与AD 相切，并与以AD 为直径的O ' 内切．已知AD 长为h ，则梯形ABCD 的面积为．16．已知点A ,B ,P 是不同于O 上的三点，APB α∠=，点M 是O 上的动点，且使得△ABM 为等腰三角形．⑴若45α=︒，则所有符合条件的点M 共有个；⑵若符合题意的点M 有2个，则α=．三解答题（本大题共5小题，共60分）⑴已知231x x -=，求432912272020x x x x +--+的值；⑵设42423949()x x x x f x x-+-+=，求()f x 的最大值及相应的x 值．18．(10分)长边与短边之比为2:1的长方形称为“特征长方形”．约定用其短边为12345,,,,a a a a a 的5个不同的“特征长方形”拼成的长方形记为12345(,,,,)a a a a a 12345()a a a a a <<<<．如图所示，短边长分别为1,2,2.5,4.5,7的“特征长方形”拼成的长方形记为(1,2,2.5,4.5,7)．回答下列问题：⑴写出长方形45(1,2,5,,)a a 中45,a a 可取的值及相应的面积，并画出示意图；⑵长方形345(1,2,,,)a a a 的面积的最大值为多少？19．(12分)如图，二次函数28y x bx =-++的图象与x 轴交于A ,B 两点，与y 轴交于点C ，(4,0)B ．⑴求二次函数解析式及其图像的顶点D 的坐标；⑵如果点(,0)M p 是x 轴上的一个动点，则当MC MD -取得最大值时，求p 的值；⑶如果点(,)E m n 是二次函数28y x bx =-++的图像上的一个动点，求m 的取值范围．在直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++(,,a b c ∈Z *)与x 轴有两个不同的交点：1(,0)A x ，2(,0)B x ，若12,1x x >，求：⑴abc 的最小值；⑵在第⑴问的前提下，设m ,n ∈Z *n =，求n 的最大值．21．(12分)如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，点P 为△ABC 内一点，点M ,N 分别在AB ,AC 边上．⑴若3AP =，2AB BC =，求△PMN 的最小周长；⑵若2AB BC =，AP =2BP =，1CP =，求△ABC 的面积；⑶在⑵的条件下，求BPA ∠的度数．22．(14分)令mod(,)x y z =为x ,y 作除法运算后的余数z ，如：mod(3,2)1=，mod(9,2.2)0.2=．根据要求完成下列问题：⑴现给定m ∈Z *，m ≤10，使得2020mod(2020,5)0m m +=，求出m 的值；⑵若()f x 为多项式，mod((),22)3f x x +=，mod((),36)4f x x -=-，求出mod(3(),f x 24(2))x x --的余式；⑶若32()6116g x x x ax =-+-，mod((),23)0g x x -=，求出a 的值；并求出当()0g x >，x 的取值范围．安徽蚌埠贰中2020高一自主招生考试试题科学素养数学参考答案一选择题135678A BCDBC三解答题17．(10分)⑴2022；(4分)⑵x =()f x =．(6分)18．(10分)⑴(1,2,5,6,12)，(1,2,5,5.5,6)，(1,2,5,12,14.5)，(1,2,5,6,11)，(1,2,5,12,29)；图略；(5分)⑵2030．(6分)19．(12分)⑴228y x x =-++，(1,9)D ；(2分)⑵8p =-；(3分)⑶当1m <-2m ≠-，或1m >+4m ≠-．(7分)20．(12分)⑴228y x x =-++，(1,9)D ；(2分)⑵8p =-；(3分)⑶当1m <-2m ≠-，或1m >+4m ≠-．(7分)21．(12分)⑴3；(3分)(6分)⑶120BPA ∠=︒．(3分)21．(14分)⑴5；(3分)⑵54x -+；(4分)⑶7；32x >．(7分)。
2017届安徽蚌埠二中等四校高三10月联考数学(文)试卷
2017届安徽蚌埠二中等四校高三10月联考数学（文）试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．计算：cos 210=（ ）A ．12- B．2- C ．12D2．若集合2{|10}A x R ax ax =∈++=其中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或43．设2:,40p x R x x m ∀∈-+>，:q 函数321()213f x x x mx =-+--在R 上是减函数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若'0()3f x =-，则000()()lim h f x h f x h h→+--=（ ） A ．-3 B ．-6 C ．-9D ．-125．函数2233(2)()log (1)(2)x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1f a =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．1或 2D ．1或-26．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,(,0)()x x x x ∈-∞≠，都有1212()()0f x f x x x -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．20.32(0.3)(2)(log 5)f f f <<B ．0.322(log 5)(2)(0.3)f f f <<C ．20.32(log 5)(0.3)(2)f f f <<D ．20.32(0.3)(log 5)(2)f f f <<7．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则()2f =（ ） A. 11或18 B. 11 C. 18 D. 17或188．函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ）A ．24πB ．12πC ．8π D ．1124π 9．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，当12x >时，11()()22f x f x +=-，则(6)f =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0D ．210．在ABC ∆中，若3sin 4cos 6A B +=，4sin 3cos 1B A +=，则角C 为（ ）A ．30B ．30或150C ．150D ．60113sin x =的根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．已知集合{|(31)(1)220}A l m x m y m =++---=直线直线的方程是，集合3{|}B l y x ==直线直线是的切线，则A B =（ ）A ．{(,)|320}x y x y --=B ．{(1,1)}C ．{(,)|3410}x y x y -+=D ．{(,)|0}x y x y -=13．已知命题:p x 满足220x x --<，命题:q x 满足1m x m ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则m 的取值范围是 ．14．过点(2,4)作函数32y x x =-的切线，则切线方程是 ．15．在三角形ABC 中，则tan tan tan tan tan tan 222222A B B C A C ++的值是 ． 16．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)2016f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f = ．17．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．（1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知函数32()39f x x x x a =-+++．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．19．已知函数21()c s 3s i n c o s 2f x x x =-可以化为()sin()(0,0,(0,))f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈．（1）求出,,A ωϕ的值并求函数()f x 的单调增区间；（2）若等腰ABC ∆中，A ϕ=，2a =，求角B ，边c ．20．在ABC ∆中，已知6C π=，向量(sin ,1)m A =，(1,cos )n B =，且n m ⊥． （1）求角A 的值；（2）若点D 在BC 边上，且3BD BC =，AD =ABC ∆的面积．21．定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．（1）求(1),(1)f f -的值；（2）求证：()()f x f x -=；（3）解不等式1(2)()02f f x +-≤．22．已知函数()()x f x x ae a R =+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0,1x a <≤时，证明：2'(1)()x a x xf x ++>．参考答案1．B【解析】试题分析：根据三角恒等变换得︒210cos 2330cos )30180cos(-=︒-=︒+︒=．故选B ． 考点：正余弦函数的诱导公式．2．A【解析】试题分析：当0=a 时,方程无解．当0≠a 时,042=-=∆a a ,解得4=a ．故选A ． 考点：集合的含义与表示．3．A【解析】试题分析：若p 为真,则0416<-=∆m ,解得4>m ．若q 为真,04)(2≤-+-='m x x x f 在R 上恒成立,则0416≤-=∆m ,解得4≥m ,所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 考点：充分必要条件．4．B【解析】试题分析：'0()3f x =-,则000()()lim h f x h f x h h→+--=h h x f x f x f h x f h )()()()(00000lim --+-+→ h x f h x f h x f h x f h h ---+-+=→-→)()()()(000000lim lim6)(20-='=x f ．故选B ． 考点：极限及其运算．5．A【解析】试题分析：解:若2<a ,则由1)(=a f 得,132=-a ,即02=-a ,2=∴a ．此时不成立．若2≥a ,则由1)(=a f 得,23log (1)1a -=,得312=-a ,即42=a ,2=∴a ．故选A ． 考点：1．函数值的计算；2．分类讨论．6．A【解析】试题分析：由题意得)(x f 在)0,(-∞上单调递减,又)(x f 是偶函数,因此)(x f 在),0(+∞上单调递增．因为5log 2213.0023.02<<<<<,所以20.32(0.3)(2)(log 5)f f f <<．故选A ．考点：函数的单调性和奇偶性．7．C【解析】试题分析：,或． 当时,在处不存在极值．‚当时，，；,符合题意．所以．．故选C ．考点：函数的单调性与极值．【易错点晴】本题是一道利用极值求参数的题目,关键是掌握利用导数求极值的方法．首先根据已知函数得到导函数为,由在处有极值可得,得到关于的方程；根据在处的极值,同样可以得到另一个关于的方程,联立以上方程求出的值；接下来根据的值确定出函数解析式,便可求出的值．学生在处理本题时往往利用方程组求出的值,而忽略了去检验函数的单调性,从而会得出的增根,为本题的易错点． 8．A【解析】 试题分析：由题意,设两个函数关于a x =对称,则函数sin(2)3y x π=-关于a x =的对称函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3)2(2s i n πx a y ,利用诱导公式将其化为余弦表达式为⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=)3)2(2(2c o s ππx a y )4652c o s (a x -+=π,令)4652cos()322cos(a x x y -+=+=ππ,则24π=a ．故选A ． 考点：三角函数图象的对称性．9．D【解析】试题分析：当21>x 时,11()()22f x f x +=-,所以当21>x 时,函数)(x f 是周期为1的周期函数,所以)1()6(f f =,又函数)(x f 是奇函数,所以[]21)1()1()1(3=---=--=f f ,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．10．A【解析】试题分析：⎩⎨⎧=+=+1c o s 3s i n46c o s 4s i n 3A B B A ,两式分别平方再相加得,21)sin(sin cos cos sin =+=+B A B A B A ,于是︒︒=+15030或B A ,但当︒=+30B A 时,)6,0(π∈B A 、,从而)1,23(cos ),21,0(sin ∈∈A B ,于是,)5,233(cos 3sin 4∈+A B ,与1cos 3sin 4=+A B 矛盾,故︒=+150B A ,从而︒=30C ,故选A ．考点：两角和与差公式．11．C【解析】试题分析：大致图形如图所示,接下来比较x x f =)(与x x g sin 3)(=在0=x 处的切线斜,又个交的高低情况需要比较两个函数在0=x 处的切线斜率得到,为本题的易错点．12．C【解析】试题分析：设切点为),(3a a ，23x y =' ，∴切线方程的斜率为23a k =，故切线方程为l ：)(323a x a a y -=-．因此,B 中元素为切线:l )(323a x a a y -=-．直线022)1()13(=---++m y m x m 等价于02)23(=-++--y x y x m ，令⎩⎨⎧=-+=--02023y x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x ，即与m 无关，直线恒过定点)1,1(．因此A 中元素直线l 恒过)1,1(．又所求为B A ,即3x y =在)1,1(处的切线为)(323a x a a y -=-,)1(3123a a a -=-∴,解得1=a 或21-=a ,所以所求的切线方程为)1(31-=-x y 或)21(413)81(+⋅⋅=--x y ,即023=--y x 或0143=+-y x ．故选C ．考点：求曲线的切线方程．【方法点晴】本题考查的是集合之间的关系与利用导数求函数的切线方程问题的交汇点．题目已集合的形式出现,要求的为两个集合的交集,这就需要找到两个集合中的元素,要发现集合A 中的直线含有参数m ,即表示的是恒过定点的直线系,而B 中表示的是函数的切线,因此集合的交集为切线过定点问题,利用求导设点求出切线方程,把已知点代入即可． 13．11m -<<【解析】试题分析：由条件知:p :21<<-x ,q :1m x m ≤≤+,若p 是q 的必要条件,则[]()2,11,-⊆+m m ,所以⎩⎨⎧<+->211m m ,解得11m -<<．故正确答案为11m -<<．考点：1．充分必要条件；2．解不等式．14．1016y x =-或2y x =+【解析】试题分析：设切点为)2(030,0x x x -,232-='x y ,所以切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--,即30202)23(x x x y --=,又切线过(2,4),代入方程得:0432030=+-x x ,分解因式得:0)2)(2(0200=---x x x ,即0)1()2(20=+-x x ,解得20=x 或1-,当20=x 时,切线方程为1016y x =-;当10-=x 时,2y x =+．所以正确答案是1016y x =-或2y x =+．考点：函数的切线方程．15．1【解析】试题分析：在ABC ∆中,tan tan tan tan tan tan 222222A B B C A C ++= 2tan 2tan )2tan 2(tan 2tan C B C B A ++2tan 2tan )2tan 2tan 1)(22tan(2tan C B C B C B A +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= 2tan 2tan )2tan 2tan 1(2tan 2tanC B C B A A +⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π2tan 2tan )2tan 2tan 1(2tan 12tanC B C B A A +-⋅⋅= 12tan 2tan 2tan 2tan 1=+-=C B C B ．故填1． 考点：1．两角和的正切公式；2．诱导公式．【方法点晴】本题考查的主要为两角和与差的正切公式的应用．首先提取公因式,变形成为两个角的正切之和,再根据两角和与差的正切公式,由βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+变形成为)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-⋅+=+,然后根据三角形内角和为︒180,把C B +化为A -π,最后成为定值．16．1008【解析】试题分析： ()(2)2016f x f x +=,=++∴)4()2(x f x f 2016,)()4(x f x f =+∴,∴)(x f 是一个周期为4的周期函数．)1()1254()99(-=-⨯=∴f f f 1008)1(2016==f ．故应填1008．考点：函数的周期性．【方法点晴】本题考查抽象函数的周期性．通过对给定等式的变形,便可得到函数的周期性,从而根据给定的特值求出函数值．函数的性质是高考的重点内容,在讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则．对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响．运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：（1）综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；（2）及时地进行思维的转换，将问题等价转化；（3）不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；（4）要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题．17．（1）45x <<；（2）523m ≤≤． 【解析】试题分析：（1）q p ⋂为真时的条件,当且仅当p 与q 都为真时才为真；（2）判断充分不必要条件时,如果无法进行正面判断,则可以使用其逆否命题进行判断,然后转化为集合之间的包含关系,得出答案．试题解析：解：（1）由27100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x <<又22430x mx m -+<，因为0m >，解得3m x m <<，所以:3q m x m <<．当4m =时，:412q x <<，又p q ∧为真，,p q 都为真，所以45x <<．（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，p q ⌝⇒⌝，其逆否命题为,p q q p ⇒⇒，由（1）:25p x <<，:3q m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，即523m ≤≤． 考点：1．一元二次不等式．2．命题及其关系．3．充分必要条件．【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为q p ,命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题．另外需注意等号的取舍．18．（1）(,1)-∞-，(3,)+∞；（2）7-．【解析】试题分析：（1）先求出函数的导函数)(x f ',令)(x f '0<,解得的区间即为单减区间；（2）先求出端点的函数值)2(f 和)2(-f ,然后比较两者大小,再根据函数)(x f 在[]2,1-上单调递增,再[]1,2--上单调递减,得到)2(f 和)1(-f 分别是函数)(x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值；接下来联系已知条件,建立等式关系求出a ,从而求出最值．试题解析：解：（1）'2()369f x x x =-++令'()0f x <，解得1x <-或3x >∴函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞．（2）∵(2)812182f a a -=+-+=+ (2)8121822f a a =-+++=+，∴(2)(2)f f >-．∵在(1,3)-上'()0f x >，∴()f x 在(1,2]-上单调递增．又由于()f x 在[2,1]--上单调递减，因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值．于是有2220a +=，解得2a =-，∴32()392f x x x x =-++-．∴(1)13927f -=+--=-，即函数()f x 在区间[2,2]-上的最小值为7-．考点：1．函数的最值；2．导数的应用．19．（1）1A =,2ω=,56πϕ=,)65,3(ππππ++k k ,Z k ∈；（2）12B π=,c =． 【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简函数为单一函数,从而求出,,A ωϕ的值,进而求出单调增区间；（2）由等腰三角形且65π=A ,可得出12π==C B ,又2a =,可由正弦定理求出c ．试题解析：解：（1）21()cos cos 2f x x x x =- 1cos 2122x x x +=--15cos 22sin(2)sin(2)2266x x x x ππ=-=-=+ 所以1A =，2ω=，56πϕ=．（2）12B π=，c =考点：三角函数的图象和性质．20．（1）6A π=；（2）439． 【解析】试题分析：（1）由两向量的坐标及两向量垂直,可得0cos sin =+B A ,根据C 的度数,利用三角形内角和可求出B 的度数,代入关系式中便可得A 的角度；（2）设||BD x =,由3BD BC =得||3BC x =,由A 的度数与C 的度数相等,得出||3B A x =,23B π=,在ABD ∆中,利用余弦定理列出关于x 的方程,求出方程的解得到x 的值,即可定出AB 与BC的长,利用公式可求出三角形面积．试题解析：解：（1）由题意知：sin cos 0m n A B ∙=+=又6C π=，A B C π++=，所以5sin cos()06A A π+-=即1sin sin 02A A A -+=，即sin()06A π-=， 又506A π<<，所以2(,)663A πππ-∈-，所以06A π-=，即6A π=． （2）设||BD x =，由3BD BC =，得||3BC x =，由（1）知，6A C π==，所以||3BA x =，23B π=，在ABD ∆中，由余弦定理，得2222(3)23cos3x x x x π=+-⨯⨯， 解得1x =，所以3AB BC ==，所以112sin 33sin 2234ABC S BA BC B π∆=∙∙=⨯⨯⨯=． 考点：三角函数和平面向量．21．（1）(1)0f =,(1)0f -=；（2）证明见解析；（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,0 ． 【解析】试题分析：（1）利用赋值法可求)1(f ,)1(-f ；（2）根据函数的奇偶性定义即可证明函数是偶函数；（3）根据函数奇偶性,利用数形结合可解得不等式的解集．试题解析：解：（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+∴(1)0f =令1x y ==-，则(1)(1)(1)f f f =-+-，∴(1)0f -=（2）令1y =-，则()()(1)()f x f x f f x -=+-=，∴()()f x f x -=（3）据题意可知，函数图象大致如下：1(2)()(21)02f f x f x +-=-≤ ∴1210x -≤-<或0211x <-≤ ∴102x ≤<或112x <≤ 考点：抽象函数及应用． 22．（1）0a ≥,()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，0a <,()f x 在1(,ln())a -∞-上为增函数，在1(ln(),)a -+∞上为减函数；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）先求'()1x f x ae =+,再根据导函数零点分类讨论0a ≥和0a <时,导函数的正负情况确定单调区间；（2）先化简所证不等式0x x a ae +-<,再构造新函数()x H x x a ae =+-,求导研究单调性与最值,证得不等式成立．试题解析：解：（1）由()x f x x ae =+，可得'()1x f x ae =+当0a ≥时，'()0f x >，则函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数当0a <时，由'()0f x >可得1ln()x a <-，由'()0f x <可得1ln()x a >-则函数()f x 在1(,ln())a -∞-上为增函数，在1(ln(),)a-+∞上为减函数（2）证明：令2'()(1)()F x x a x xf x =+--则2'2()(1)()()x x F x x a x xf x x ax axe x x a ae =++-=+-=+-令()x H x x a ae =+-，则'()1x H x ae =-∵0x <，∴01x e <<，又1a ≤，∴110x x ae e -≥->∴()H x 在(,0)-∞上为增函数，则()(0)0H x H <=，即0x x a ae +-<由0x <可得()()0x F x x x a ae =+->，所以2'(1)()x a x xf x ++>．考点：1．求函数的单调区间；2．证明不等式．【方法点晴】函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用．本题考查的为利用导数判断函数的单调性以及最值等常见问题．而且涉及到参数的讨论,主要是以导函数的正负为分类标准,从而得出不同的单调性,注意给定的参数范围以及定义域．。
安徽省蚌埠二中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年安徽省蚌埠二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号用2铅笔涂在答题卡中相应位置，否则，该题不予记分．1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．2．在△ABC中，已知sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C，则A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．与不等式同解的不等式是（）A．（x﹣3）（2﹣x）≥0 B．lg（x﹣2）≤0 C．D．（x﹣3）（2﹣x）＞0 4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=1，S16=0，当S n取最大值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．数列{a n}满足：a n+1=λa n﹣1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{a n﹣1}是等比数列，则λ的值等于（）A．1 B．﹣1 C．D．26．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．在△ABC中，若（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）•sinC，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．已知数列{a n}的通项公式且数列{a n}为递增数列，则实数k的取值范围是（）A．k＞0 B．k＞﹣1 C．k＞﹣2 D．k＞﹣39．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）﹣1A．3 B．4 C．5 D．610．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1﹣a i x）2＜1（i=1，2，3）都成立的x取值范围是（）A．B．C．D．11．设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．10012．如果数列{a n}满足a1=2，a2=1，且（n≥2），则这个数列的第10项等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应横线上．13．的最小值是．14．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=1，c=2，∠C=60°，若D是边BC上一点且∠B=∠DAC，则AD=．16．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=（n∈N*），A=﹣a1a2+a2a3﹣a3a4+a4a5﹣…+a2n a2n+1，则A=．三、解答题：本小题共6小题，共70分．解答须写出说明、证明过程和演算步骤．17．解不等式0＜＜1，并求适合此不等式的所有整数解．18．△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知b2=ac，．（1）求的值；（2）设，求a+c的值．19．如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？20．设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若首项a1=，公差d=1．求满足的正整数k；（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{a n}，使得对于一切正整数k都有成立．21．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n．（1）求S n；（2）b n=，求数列{b n}的前n项和T n．22．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+12=4S n+4n﹣3，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，求实数k 的取值范围．2017-2018学年安徽省蚌埠二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号用2铅笔涂在答题卡中相应位置，否则，该题不予记分．1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．2．在△ABC中，已知sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C，则A等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b及c的关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出的关系式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：根据正弦定理===2R，化简已知的等式得：a2=b2+bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴根据余弦定理得：cosA==﹣，又A为三角形的内角，则A=120°．故选C【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．3．与不等式同解的不等式是（）A．（x﹣3）（2﹣x）≥0 B．lg（x﹣2）≤0 C．D．（x﹣3）（2﹣x）＞0 【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】先解得不等式的解集，再逐一解得各个答案的解集，进行比较即可．【解答】解：解不等式，得，2＜x≤3，A、不等式（x﹣3）（2﹣x）≥0的解集是2≤x≤3，故不正确．B、不等式lg（x﹣2）≤0的解集是2＜x≤3，故正确．C、不等式的解集是2＜x＜3，故不正确．D、不等式（x﹣3）（2﹣x）＞0的解集是2＜x＜3，故不正确．故选B．【点评】解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化成1．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=1，S16=0，当S n取最大值时n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】设公差为d，由a8=1，S16=0可求出d=﹣2，a1=15，即可得到a n=17﹣2n，可得数列{a n}前8项都是正数，以后各项都是负数，可得答案【解答】解：设公差为d，a8=1，S16=0，∴S16=16a1+=16a1+120d=0，a8=a1+7d=1，∴d=﹣2，a1=15，∴a n=a1+（n﹣1）d=17﹣2n，当a n=17﹣2n≥0时，即n≥8.5，故当S n取最大值时n的值为8，故选：B．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，从数列的项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．5．数列{a n}满足：a n+1=λa n﹣1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{a n﹣1}是等比数列，则λ的值等于（）A．1 B．﹣1 C．D．2【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；同一法；等差数列与等比数列．【分析】把已知数列递推式变形，由数列{a n﹣1}是等比数列求得λ的值．【解答】解：由a n+1=λa n﹣1，得．由于数列{a n﹣1}是等比数列，∴，得λ=2，故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题．6．若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b都是正数，则=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a＞0时取等号．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在△ABC中，若（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）•sinC，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用两角和与差的三角函数以及正弦定理，化简整理推出sin2A=sin2B，从而得出出A与B的关系，由此即可得到三角形的形状．【解答】解：∵（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sinC，∴（a2+b2）（sinAcosB﹣cosAsinB）=（a2﹣b2）（sinAcosB+cosAsinB），可得sinAcosB（a2+b2﹣a2+b2）=cosAsinB（a2﹣b2+a2+b2）．即2b2sinAcosB=2a2cosAsinB…（*）根据正弦定理，得bsinA=asinB∴化简（*）式，得bcosB=acosA即2RsinBcosB=2RsinAcosA，（2R为△ABC外接圆的半径）化简得sin2A=sin2B，∴A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°因此△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D【点评】本题考查三角形的形状的判断，两角和与差的三角函数的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．8．已知数列{a n}的通项公式且数列{a n}为递增数列，则实数k的取值范围是（）A．k＞0 B．k＞﹣1 C．k＞﹣2 D．k＞﹣3【考点】数列的函数特性．【专题】计算题．【分析】若数列{a n}为单调递增数列，则a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，得出2n+1+k ＞0，采用分离参数法求实数k的取值范围；【解答】解：∵a n=n2+kn+2…①∴a n+1=（n+1）2+k（n+1）+2…②②﹣①得a n+1﹣a n=2n+1+k．若数列{a n}为单调递增数列，则a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，即2n+1+k＞0．移项可得k＞﹣（2n+1），k只需大于﹣（2n+1）的最大值即可，而易知当n=1时，﹣（2n+1）的最大值为﹣3，所以k＞﹣3∴k＞﹣3．故选D；【点评】本题考查递增数列的函数性质，考查了转化思想、计算能力，分离参数法的应用，是一道好题；9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）﹣1A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1所以公差d=a m+1﹣a m=1，S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．10．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1﹣a i x）2＜1（i=1，2，3）都成立的x取值范围是（）A．B．C．D．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先解出不等式（1﹣a i x）2＜1的解集，再由a1＞a2＞a3＞0确定x的范围．【解答】解：，所以解集为，又，故选B．【点评】本题主要考查解一元二次不等式．属基础题．11．设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100【考点】数列的求和；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D【点评】本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．12．如果数列{a n}满足a1=2，a2=1，且（n≥2），则这个数列的第10项等于（）A．B．C．D．【考点】数列递推式．【专题】综合题．【分析】由题设条件知，所以，由此能够得到{}为等差数列，从而得到第10项的值．【解答】解：∵，∴，∴===（），∴∴=，即{}为等差数列，（n≥2）．然后可得d=，，∴．故选C．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应横线上．13．的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】先将化为形式，但是不能直接用基本不等式求最值，因为等号取不到，可采用导数判单调性求最值．【解答】解：，，则t≥2，则y′=≥0，所以在[2，+∝）上是增函数，所以在[2，+∝）上的最小值是2+=故答案为：【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时要注意等号是否能取到，容易出错．14．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由等比数列的通项公式及求和公式可得==代入可求．【解答】解：∵q=2，∴====．故答案为：．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=1，c=2，∠C=60°，若D是边BC上一点且∠B=∠DAC，则AD=．【考点】解三角形．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】在△ABC中使用正弦定理解出B，得出sin∠ADC，在△ACD中使用正弦定理解出AD．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinB=．∴cosB=．∴sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=．∵∠B=∠DAC，∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC．∴sin∠ADC=sin∠BAC=．在△ACD中，由正弦定理得，即，解得AD=．故答案为．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．16．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=（n∈N*），A=﹣a1a2+a2a3﹣a3a4+a4a5﹣…+a2n a2n+1，则A=8n2+4n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出a1=1，d=2，从而得到a n=2n﹣1，由此能求出A=﹣a1a2+a2a3﹣a3a4+a4a5﹣…+a2n a2n+1的值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=（n∈N*），∴=S2n，﹣1分别令n=1，n=2，得，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1，∴A=﹣a1a2+a2a3﹣a3a4+a4a5﹣…+a2n a2n+1a2（a3﹣a1）+a4（a5﹣a3）+…+a2n（a2n+1﹣a2n）﹣1=4（a2+a4+…+a2n）==8n2+4n．故答案为：8n2+4n．【点评】本题考查等差数列的若干项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．三、解答题：本小题共6小题，共70分．解答须写出说明、证明过程和演算步骤．17．解不等式0＜＜1，并求适合此不等式的所有整数解．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】圆不等式转化为，求出解集，再判断适合此不等式的所有整数解．【解答】解：∵0＜＜1，∴，解得0＜x＜3，且x≠1，故不等式的解集为{x|0＜x＜3，且x≠1}故适合此不等式的所有整数解x=2．【点评】本题考查适合于不等式的整数解的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和一元二次不等式的性质的合理运用，是中档题．18．△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知b2=ac，．（1）求的值；（2）设，求a+c的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用正弦定理化简b2=ac，得到一个关系式，再由cosB的值及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，根据诱导公式得到sin（A+C）=sinB，然后将所求的式子两分母分别利用同角三角函数间的基本关系切化弦，整理后，将sin（A+C）=sinB及得到的关系式代入，得到关于sinB的关系式，再将sinB的值代入即可求出值；（2）由a，c及cosB的值，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，得到ac的值，进而由b2=ac确定出b2的值，再利用余弦定理表示出cosB，将cosB，b2与ac的值代入，利用完全平方公式变形后再将ac的值代入，即可求出a+c的值．【解答】解：（1）∵b2=ac，∴由正弦定理得：sin2B=sinAsinC，又cosB=，且B为三角形的内角，∴sinB==，又sin（A+C）=sinB，∴+=+=====；（2）∵•=，cosB=，∴ac•cosB=ac=，即ac=2，∴b2=ac=2，∴cosB=====，∴（a+c）2=9，则a+c=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．19．如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】应用题；数形结合；分析法；解三角形．【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A 处130t m，由余弦定理即可得解．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×=，由正弦定理=，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得：d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．20．设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若首项a1=，公差d=1．求满足的正整数k；（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{a n}，使得对于一切正整数k都有成立．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ），由得，又k是正整数，所以k=4．（Ⅱ）设数列的公差为d，则在中分别取k=1，2得，由此能求出只有3个满足条件的无穷等差数列．【解答】解：（Ⅰ）∵首项a1=，公差d=1．∴，由得，即，∵k是正整数，∴k=4．…（Ⅱ）设数列的公差为d，则在中分别取k=1，和k=2得，即由①得a1=0或a1=1，当a1=0时，代入②得d=0或d=6．若a1=0，d=0则本题成立；若a1=0，d=6，则a n=6（n﹣1），由S3=18，（S3）2=324，S9=216知S9≠（S3）2，故所得数列不符合题意；当a1=1时，代入②得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2．若a=1，d=0则a n=1，S n=n从而成立；若a1=1，d=2，则a n=2n﹣1，S n=n2，从而成立．综上所述，只有3个满足条件的无穷等差数列：①a n=0；②a n=1；③a n=2n﹣1．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，具体涉及到等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化21．数列{a n }的通项a n =n 2（cos 2﹣sin 2），其前n 项和为S n ．（1）求S n ；（2）b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；二倍角的余弦． 【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）利用二倍角公式可得，由于，所以求和时需要对n 分类讨论，求出和（2）由（1）可得，利用错位相减求出数列的和【解答】解：（1）由于，故S 3k =（a 1+a 2+a 3）+（a 4+a 5+a 6）+…+（a 3k ﹣2+a 3k ﹣1+a 3k ） ==，，故（k ∈N *）（2），，，两式相减得，故．【点评】（1）本题三角公式中的二倍角公式及三角的周期性为切入点考查数列的求和，由于三角的周期性，在求的值时需要对n分类讨论（2）主要考查数列求和的错位相减，此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．22．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+12=4S n+4n﹣3，且a2，a5，a14恰好是等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．+4（n﹣1）﹣3，两个式子【分析】（Ⅰ）根据a n+12=4S n+4n﹣3得，当n≥2时，a n2=4S n﹣1相减利用a n与S n的关系化简，由等差数列的定义得：当n≥2时，{a n}是公差为2的等差数列，再由条件求出a2、a1的值，从而求出a n，由等比数列的通项公式求出b n；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比数列的前n项和公式得：T n=，代入不等式（T n+）k≥3n﹣6再分离参数得：，令，利用作差确定数列{c n}的单调性，求出数列的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，a n+12=4S n+4n﹣3，+4（n﹣1）﹣3，当n≥2时，a n2=4S n﹣1两个式子相减得，a n+12﹣a n2=4a n+4，即a n+12=（a n+2）2，又a n＞0，∴a n+1=a n+2，当n≥2时，{a n}是公差为2的等差数列，因为a2，a5，a14构成等比数列，所以，即，解得a2=3，把n=1代入a n+12=4S n+4n﹣3得，，解得a1=2，又a2﹣a1=3﹣2≠2，则数列{a n}是从第二项起以2为公差的等差数列，所以数列{a n} 的通项公式为a n=，由题意知，b1=a2=3，b2=a5=9，b3=a14=27，且{b n}是等比数列，所以{b n}的通项公式b n=3n；（2）由（1）得，b n=3n，所以数列{b n}的前n项和为T n==，因为对任意的n∈N*，（T n+）k≥3n﹣6恒成立，所以（+）k≥3n﹣6对任意的n∈N*恒成立，即对任意的n∈N*恒成立，令，则==，当n≤2时，c n+1＞c n，当n≥3时，c n+1＜c n，所以的最大项是c3==，所以．【点评】本题考查了a n与S n的关系，等差数列、等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，数列的恒成立转化为求数列的最大项问题，通过作差研究数列的单调性也是常用的方法，难度较大，一定要注意n的取值范围．。
安徽蚌埠二中2017年自主招生考试数学素质测试题(含答案)
安徽蚌埠二中2017年高一自主招生考试数学素质测试题◆注意事项：本试题共三大题，满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（每小题4分，共24分。
以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分）1、已知535-++=cx bx ax y 。
当3-=x 时，y =7，那么，当x =3时，y = （ ）A ．3-B ．7-C ．17-D ．7 2、在ABC ∆中，︒=∠90C ，B ∠的平分线交AC 于D 。
则=-ADBCAB A ．B sin B ．B cos C ．B tan D ．B cot3、四条直线6,6,6,6+=-=+-=--=x y x y x y x y 围成正方形ABCD 。
现掷一个均匀且各面上标有1、2、3、4、5、6的立方体，每个面朝上的机会是均等的。
连掷两次，以面朝上的数为点P 的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点P落在正方形面上（含边界）的概率是（ ）A ．21 B ．43 C ．97 D ．1254、已知函数c bx ax y ++=2，当0>y 时，3121<<-x 。
则函数a bx cx y +-=2的图象可能是下图中的学校姓名准考证号（ ）ACBDA ．B ．C ．D ． 5、有一堆形状大小都相同的珠子，其中只有一粒比其它都轻些，其余一样重。
若利用天平（不用砝码）最多两次就找出了这粒较轻的珠子，则这堆珠子最多有A ．8粒B ．9粒C ．10粒D ．11粒 6、在ABC ∆中，b CA c AB a BC ===,,。
且a 、b 、c 满足：2382-=-b a ，34102-=-c b ，762=-a c 。
则=+B A s i n si n 2（ ）A ．1B ．57C ．2D ．512二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知10<<a ，化简=-+-++2121aa a a 。