第7章 电磁感应与电磁场
电磁场与电磁感应
电磁场与电磁感应电磁场与电磁感应是电磁学中非常重要的概念，它们在现代科技和工程中发挥着重要作用。
本文将从电磁场和电磁感应的基本原理、应用和未来发展等方面进行探讨。
一、电磁场的基本原理电磁场是由带电粒子产生的一种物理场，它包括电场和磁场两部分。
电场是由电荷产生的力场，用于描述电荷之间的相互作用；磁场是由电流或者磁体产生的力场，用于描述磁体之间的相互作用。
电磁场的特点是可以相互转换，即电场变化会产生磁场，磁场变化也会产生电场。
这种相互作用导致了电磁波的产生和传播。
电磁场的数学描述是通过麦克斯韦方程组来完成的。
其中包括了麦克斯韦方程和洛伦兹力公式等。
通过这些数学表达式，我们可以详细描述电磁场的性质和行为。
二、电磁感应的基本原理电磁感应是指当磁通量发生变化时，导线中就会产生感应电动势。
这个现象是由法拉第电磁感应定律描述的。
根据法拉第电磁感应定律，当导线中的电流变化或者导线与磁场之间的相对运动发生变化时，就会在导线两端产生感应电动势。
电磁感应的重要性体现在电磁感应现象的广泛应用中。
例如，变压器是利用电磁感应的原理来实现电能的传输和变换的。
此外，电动发电机、电磁炉、感应加热等设备也都是基于电磁感应原理工作的。
三、电磁场与电磁感应的应用电磁场和电磁感应作为电磁学的重要内容，在现实生活中有着广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用。
1. 通信技术电磁波在通信技术中起到了至关重要的作用。
手机、电视、无线网络等设备都是基于电磁波的传播原理来实现信息的传输和接收。
无线电技术、雷达技术和卫星通信等都离不开对电磁场和电磁波的深入研究和应用。
2. 医学影像在医学影像领域，核磁共振成像（MRI）和计算机断层扫描（CT）等技术都依赖于电磁场和电磁感应原理。
医生可以通过这些技术来观察人体内部的结构和病变情况，为诊断提供重要依据。
3. 发电和能源转换发电机是将机械能转化为电能的设备，它的工作原理就是基于电磁感应的原理。
通过旋转电磁场中的电导体来产生感应电动势，并最终转化为电能。
第七章 时变电磁场
在电导率较低的介质中 Jd Jc
在良导体中
Jd Jc
麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述安 培环路定律变为
l H dlS(JJd)dS
现在学习的是第8页，共66页
即 l HdlS(JD t)dS
HJD t
上两式称为全电流定律。它表明时变磁场是由传导电
流、运流电流以及位移电流共同产生的。
位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以 产生时变磁场。
例 已知内截面为a b 的矩形金属波导中的时变电
磁场的各分量为
y
b a
z
EyEy0sin a πxcost (kzz) HxHx0sin a πxcost (kzz) HzHz0coa πsxsi nt(kzz)
x
其坐标如图所示。试求波导中的位移电流分布和波导内
壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。
③ 电通密度的法向分量边界条件与介质特性有关。
在一般情况下，由高斯定律求得 D2nD1n S
或写成矢量形式 en(D 2D S
式中, S 为边界表面上自由电荷的面密度。
现在学习的是第18页，共66页
两种理想介质的边界上不可能存在表面自由电
荷，因此
D1nD2n
对于各向同性的线性介质，得
1E1n2E2n
2E 2 tE 2 J t1
2H2H J
t2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量。
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2A2AJ
t2
2Φ2Φ t2
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。
在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程。
现在学习的是第31页，共66页
5. 位函数方程的求解 根据静态场结果，采用类比方法推出其解。
电磁感应-麦克斯韦电磁场理论
dB dt
导体
• 涡电流的机械效应(磁阻尼摆) • 涡电流的热效应
电磁灶
第24页 共48页
§13.4 自感和互感
13.4.1 自感 • 自感现象
因回路中电流变化,引起穿 过回路包围面积的全磁通变 化,从而在回路自身中产生感 生电动势的现象叫自感现象. • 自感系数
B I, 又 Ψ B Ψ I
1 12
2 21
• 互感系数
I1 I2
21 N221 M21I1
M12 M21 M 单位: 亨利(H)
M 称为互感系数简称互感.
12 N112 M12I2
第29页 共48页
• 互感电动势
根据法拉第电磁感应定律:
21
dΨ 21 dt
(M
dI1 dt
I1
dM dt
)
若M 保持不变
12
B
E内
E感 半 径 Oa Oc 0
o
E外
Oac Oa ac Oc ac
Rh
通过 Oac 的磁通量:
a
E内 b
c
Φm
B dS
S
B(SOab
S扇)
B(3
3 π R2) 12
dΦm 3 3 π R2 dB a () , c ( )
dt
12
dt
第22页 共48页
例题9. 某空间区域存在垂直向里且随时间变化的非均匀磁
场B=kxcost. 其中有一弯成角的金属框COD,OD与x轴重
合, 一导体棒沿x方向以速度v匀速运动. 设t =0时x =0, 求框
内的感应电动势. 解: 设某时刻导体棒位于l 处
y B
C
任取 dS ydx x tan dx
电磁场与电磁感应的关系
电磁场与电磁感应的关系电磁场和电磁感应是电磁学的两个重要概念，它们之间存在紧密的关系。
电磁场是指由电荷或电流所产生的物理场，而电磁感应则是指当一个导体磁通量发生变化时，在导体中会产生感应电动势。
本文将详细探讨电磁场和电磁感应之间的关系，并介绍它们在现实生活和科技应用中的重要性。
一、电磁场的基本原理电荷和电流都是产生电磁场的重要因素。
根据库仑定律，电荷之间的相互作用力与它们之间的距离成平方反比。
这意味着电荷会在周围形成一个电场，电场中的电荷会受到电场力的作用。
同样地，电流也会产生磁场，磁场中的磁感应强度会影响磁场中的电流。
二、电磁感应的原理电磁感应是指当导体中的磁通量发生变化时，在导体中会产生感应电动势。
磁通量是磁场线穿过某个面积的数量，用符号Φ表示。
根据法拉第电磁感应定律，当磁通量Φ发生变化时，感应电动势E的大小与磁通量的变化率成正比。
三、电磁场与电磁感应的关系电磁场和电磁感应之间存在着紧密的关系。
首先，电磁场的存在是电磁感应的基础。
只有当存在磁场时，导体才会感应出电动势。
其次，电磁感应也会产生磁场。
根据安培环路定律，当导体中有电流通过时，会形成闭合的磁场线。
这个磁场又会影响到其他导体中的电流。
在实际应用中，电磁感应的原理被广泛应用于发电机、变压器等设备中。
发电机通过旋转的磁场线穿过线圈，感应出电动势，从而转化为电能。
变压器利用电磁感应的原理来调整电压的大小。
另外，电磁场和电磁感应也在电磁波的传播中起着重要作用。
电磁波是一种由振荡的电场和磁场组成的波动现象，广泛应用于通信、无线电等领域。
总结起来，电磁场和电磁感应是相辅相成的概念。
电磁场的存在为电磁感应提供了基础，而电磁感应又反过来影响着电磁场的分布。
它们之间的关系不仅仅是理论上的联系，更在现实生活和科技应用中发挥着重要作用。
理解和掌握电磁场与电磁感应的关系，对于深入理解电磁学的原理和应用具有重要意义。
哈工大-大学物理-习题课-电磁感应和电磁场理论的基本概念-2010.7.9
设单位长度电缆的自感为L，则单位长度电缆储存的磁能也可 设单位长度电缆的自感为 ， 表示为
由方程
µ0I 2 1 R 1 2 2 LI = + ln R 2 4 4 π 1
µ0 1 R 2 可得出 L = + ln 从能量出发，求解自感系数 2 4 R π 1
10cm
或
dϕ 2 dB ei = = πr = π ×(10×10−2 )2 ×0.1 dt dt
= π ×10−3 = 3.14×10−3V
(3) 根据欧姆定律，圆环中的感应电流为 根据欧姆定律， ei π −3 −3
Ii = R = 2 ×10 =1.57×10 A
× × × × × × × × × × × ×
电场的电力线是同心圆， 且为顺时针绕向。 因此， 电场的电力线是同心圆 ， 且为顺时针绕向 。 因此 ， 圆环上 任一点的感生电场，沿环的切线方向且指向顺时针一边。 任一点的感生电场 ， 沿环的切线方向且指向顺时针一边 。 其大小为
1 dB 1 E旋＝ r = ×10×10−2 ×0.1 2 dt 2
3、 在图示虚线圆内的所有点上，磁感 、 在图示虚线圆内的所有点上， 应强度B为 应强度 为 0.5T，方向垂直于纸面向里 ， ， 方向垂直于纸面向里， 且每秒钟减少0.1T。虚线圆内有一半径 且每秒钟减少 。 的同心导电圆环， 为 10 cm 的同心导电圆环，求： (1)圆环上任一点感生电场的大小和方向。 圆环上任一点感生电场的大小和方向。 圆环上任一点感生电场的大小和方向 (2)整个圆环上的感应电动势的大小。 整个圆环上的感应电动势的大小。 整个圆环上的感应电动势的大小
在圆柱与圆筒之间的空间距轴线r处 取一半径为 、厚为dr、 在圆柱与圆筒之间的空间距轴线 处，取一半径为r、厚为 、 单位长度的共轴薄壁圆柱壳、 单位长度的共轴薄壁圆柱壳、薄壁圆柱壳内磁能密度
电磁感应课件
由N 匝导线构成旳线圈时：
i
d dt
(1
2
N )
d dt
(
N i 1
i
)
d
dt
N
全磁通： i i 1
磁通链数： N
i
N
d
dt
伏特 1V 1Wb s1
设闭合线圈回路旳电阻为R
感应电流：
Ii
i
R
1 R
d
dt
感应电量： q
t2 t1
I i dt
1 R
2 d
1
1 R
(1
2 )
结论：在 t1 到 t2 时间内感应电量仅与线圈回路 中全磁通旳变化量成正比，而与全磁通变化旳快
dB dt
导体
电磁灶
电磁感应炉
§8.3 自感和互感
8-3-1 自感
当经过回路中电流 发生变化时，引起穿过 本身回路旳磁通量发生 变化，从而在回路本身 产生感生电动势旳现象 称为“自感现象”。所 产生旳电动势称为“自 感电动势” 。
B I ,又Ψ B
LI
L称为自感系数简称自感。 单位：“亨利”（H）
dV 2 rldr
Wm
V wmdV
R2 o I 2 2 lrdr R1 8 2r 2
o I 2l R2 dr o I 2l ln R2
4 r R1
4 R1
法二：
先计算自感系数
L ol ln R2 2 R1
Wm
1 2
LI 2
oI 2l 4
ln
R2 R1
§8.5 位移电流
8-5-1 位移电流
1H 1Wb A 1
1H 103 mH 106 μH
电磁感应与电磁场的实验教案
电磁感应与电磁场的实验教案一、实验目的通过本实验，学生将能够深入了解电磁感应和电磁场的相关概念，并通过实际操作及观察，探索电磁感应现象和电磁场的基本特性。
二、实验器材和材料1. 电磁铁2. 电池3. 小灯泡4. 导线5. 磁铁6. 螺线管7. 磁感应扣8. 金属杆9. 纸片10. 纳米铁粉三、实验步骤和内容1. 实验一：电磁感应现象a. 将两根导线分别连接到电池的两极，然后将导线的两端分别与小灯泡的两端相连。
b. 将电池连接到电磁铁的线圈上，打开电池开关，观察小灯泡亮起。
c. 将导线的一个端与电磁铁的线圈相连，将另一个导线端在电磁铁附近移动，观察小灯泡的亮灭情况。
d. 思考：为什么在导线静止时，灯泡不亮；而在移动导线时，灯泡却亮起来？2. 实验二：法拉第电磁感应定律a. 将导线的一个端与电磁铁的线圈相连，将另一个导线端连接到纸片上。
b. 将磁铁快速通过螺线管的中心，观察螺线管两端纸片的运动情况。
c. 分析纸片的运动规律，并进一步讨论法拉第电磁感应定律的实际应用。
3. 实验三：电磁感应与磁场a. 将一个磁感应扣连接到电磁铁的线圈上，并将其悬挂于一个金属杆上。
b. 将磁感应扣靠近磁铁，观察磁感应扣的运动情况。
c. 思考：为什么会出现这样的运动情况？4. 实验四：探究电磁感应与电磁场a. 将纳米铁粉撒在纸上，放置在电磁铁的附近。
b. 打开电磁铁开关，观察纳米铁粉的运动情况。
c. 思考：为什么纳米铁粉会受到电磁铁的吸引？四、实验结果及分析根据实验步骤和观察结果，学生可以得出以下结论：1. 当导线与电磁铁的线圈相连时，通过导线的电流会使小灯泡亮起。
当导线移动时，导致磁场发生变化，从而产生电动势，使小灯泡亮灭。
2. 快速通过螺线管的磁铁，会在螺线管中产生感应电流，通过纸片的运动可直观地展示电磁感应现象。
3. 当磁感应扣靠近磁铁时，磁感应扣会发生运动。
这是由于磁感应扣在磁场中受到的力导致的。
4. 电磁铁产生的磁场可以对附近的纳米铁粉产生吸引力，使其发生运动。
基础物理学第七章(电磁感应)课后习题答案
第七章电磁感应变化电磁场思考题7-1感应电动势与感应电流哪一个更能反映电磁感应现象的本质？答：感应电动势。
7-2 直流电流表中线圈的框架是闭合的铝框架，为什么？灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就发生偏转。
切断电流后线圈在回复原来位置前总要来回摆动好多次。
这时如果用导线把线圈的两个接头短路，则摆动会马上停止。
这是什么缘故?答：用导线把线圈的两个接头短路，线圈中产生感应电流，因此线圈在磁场中受到一力偶矩的作用，阻碍线圈运动，使线圈很快停下来。
7-3让一块磁铁在一根很长的铅直铜管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的运动情况，并说明理由。
答：当磁铁在金属管中时，金属管内感应感生电流，由楞次定律可知，感生电流的方向，总是使它所激发的磁场去阻止引起感应电流的原磁通量的变化，即：阻碍磁铁相对金属管的运动。
磁铁在金属管内除重力外，受到向上的磁力，向下的加速度减小，速度增大，相应磁力增大。
当磁力等于重力时，磁铁作匀速向下运动，达到动态平衡。
7-4用金属丝绕制的标准电阻是无自感的，怎样绕制才能达到自感系数为零的目的？答：如果回路周围不存在铁磁质，自感L的数值将与电流无关，仅由回路的几何性质、匝数以及周围磁介质的磁导率所决定。
把一条金属丝接成双线绕制，就能得到自感系数为零的线圈。
做纯电阻用的电阻器都是这样绕制的。
7-5 举例说明磁能是贮藏在磁场中的。
7-6如果电路中通有强电流，当你突然拉开闸刀断电时，就会有火花跳过闸刀。
试解释这一现象。
答：当突然拉开通有强电流电路中的刀闸而断电时，电路中电流迅速减小，电流的变化率很大，因而在电路中会产生很大的自感电动势。
此电动势可以把刀闸两端间的空气击穿，因而在刀闸处会有大的火花跳过。
7-7 变化的电场所产生的磁场，是否一定随时间而变化？变化的磁场所产生的电场，是否也一定随时间而变化？7-8 试比较传导电流与位移电流。
答：位移电流具有磁效应-与传导电流相同。
两者不同之处：产生机理不同，传导电流是电荷定向运动形成的，位移电流是变化的电场产生的；存在条件不同，传导电流需要导体，位移电流不需要导体，可以存在于真空中、导体中、介质中；位移电流没有热效应，传导电流产生焦耳热。
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第七章 电磁感应与电磁场思 考 题7-1 一个导体圆线圈在均匀磁场中运动，在下列几种情况下，那些会产生感应电流？为什么？(1)线圈沿磁场方向平移；(2)线圈沿垂直方向平移；(3)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。
答：(1)当线圈沿磁场方向平移和沿垂直方向平移时，磁感应强度和面积矢量方向相同，且大小不变，所以，磁通量也保持不变。
由法拉第电磁感应定律d /d Φt e =-可知，线圈中感应电动势为零，因而线圈中也就没有感应电流。
(2) 在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向平行）转动过程中，磁感应强度和面积矢量方向保持垂直，磁通量为零，因此，线圈中也没有感应电流。
(3) 在线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向垂直）转动过程时，由于磁通量为cos BS q ，其中q 是磁感应强度和面积法向矢量方向的夹角，它随时间的变化而变化。
所以，磁通量发生变化，线圈中会产生感应电动势，也就有感应电流产生。
7-2 灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就会发生偏转，切断电流后线圈在回到原来位置前总要来回摆动几次。
这时，如果用导线把线圈的两个头短路，摆动就会马上停止，这是为什么？答：处于永磁体磁场中的灵敏电流计的通电线圈要受到四个力矩的作用，它们是：（1）磁场对线圈的电磁力矩BSNI g ，其中，B 为磁场的磁感应强度，S 为线圈的截面积，N 为线圈的总匝数，I g 为线圈中通过的电流；（2）线圈转动时张丝扭转而产生的反抗（恢复）力矩－Dθ，其中，D 为张丝的扭转系数，θ为线圈的偏转角；（3）电磁阻尼力矩；（4）空气阻尼力矩。
电磁阻尼力矩产生的原因是因为线圈在磁场中运动时的电磁感应现象。
根据电磁感应定律，线圈在磁场中运动时会产生感应电动势。
灵敏电流计的内阻R g 和外电路的电阻R 构成一个回路，因而有感应电流i 流过线圈，这个电流又与磁场相互作用，产生了一个阻止线圈运动的电磁阻尼力矩M 。
可以证明，M 与回路的总电阻R g +R 成反比，有tBNSi M d d θρ-=-=其中，RR S N B g +=222ρ，称为阻尼系数。
当用导线把线圈的两个头短路时，外电路的电阻R 减小，阻尼系数增大，电磁阻尼力矩M 增大。
设计时使短路后的外阻等于临界阻尼，摆动就会马上停止。
7-3 变压器的铁芯为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？答：变压器中的铁芯由于处在交变电流的磁场中，因而在铁芯内部要出现涡流，由于金属导体电阻很小，涡流会很大，从而产生大量的焦耳热，使铁芯发热，浪费电能，甚至引起事故。
为了较少涡流，将铁芯做成片状，而且涂上绝缘漆相互隔开，可以减小电流的截面，增大电阻，减小涡流，使涡流损耗也随之减小。
为了减小磁通量，进而减小涡流，铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向平行。
7-4 让一块磁铁在一根长的铅直管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的运动情况，并说明理由。
答：磁铁入管前后，铁管中磁通量发生变化而出现感生电流，从而阻碍磁铁的运动，此时磁铁作加速度小于重力加速度的加速运动。
磁铁在管内运动时，铁管中磁通量不发生变化，此时磁铁作自由落体运动。
磁铁出管前后，管中也出现感生电流，磁铁的运动受到阻碍，作加速度小于重力加速度的加速运动。
7-5 要求用金属线绕制的标准电阻无自感，怎样绕制才能达到此目的？答：将金属线对折，然后绕成螺线圈。
螺线圈内的磁感应强度为零，电阻也就无自感。
7-6什么叫位移电流？位移电流和传导电流有什么不同？答：通过电场中某一横截面的位移电流等于通过该截面电位移通量的时间变化率。
位移电流的实质是电场的时间变化率，即变化的电场要激发磁场。
而传导电流则是电荷的时间变化率，其对应着电荷的移动。
7-7感生电场与静电场有什么相同之处？又有什么不同？答：感生电场与静电场都对电荷有力的作用，他们的不同之处在于：静电场存在于静止电荷周围的空间内，而感生电场则是由变化的磁场所激发，不是由电荷所激发；静电场的电场线起始于正电荷，终止于负电荷，而感生电场的电场线则是闭合的。
正是由于感生电场的存在，才在闭合回路中形成感生电动势。
7-8变化磁场所产生的电场是否也一定随时间变化？B t为常数，即磁场答：变化磁场所产生的电场不一定随时间变化。
如果d/d均匀变化时，感生电场不会随时间变化。
7-9 电荷作下列两种运动时，能否辐射电磁波？(1) 电荷在空间作简谐振动；(2)电荷作圆周运动。
答：变化着的电场和磁场相互激发，形成在空间中传播的电磁波。
电磁场的传播，也就是电磁波的产生总是和电荷的加速运动相联系的。
电荷在空间作简谐振动，它的加速度和时间就按正弦关系变化。
离它较远各点的电场和磁场也将随时间按正弦变化，这种变化的电磁场还不断向外传播，这就形成了最简单形式的电磁波——简谐电磁波。
电子作圆周运动时，在圆周平面远处进行观察，电子可以看作是简谐振动，因此电荷作圆周运动时，也能辐射电磁波。
练习题7-1 如本题图所示，在通有电流I 的无限长直导线近旁有一个导线ab ，导线长为l ，ab 导线与载流长直导线的距离为d 。
当它沿平行于长直导线的方向以速度v 平移时，导线中的感应电动势有多大？a 、b 哪端的电势高？解：建立如图7-1所示的坐标系，在导线ab 中取导体元d d l x =，由于无限长载流直导线I 在该处产生的磁感应强度为02IB xμπ=导线ab 在磁场中运动时产生的感生电动势为dld Iv x v x I l vB ld dabab +-=-==⎰⎰+ln 2d 2d 00πμπμε 其中负号表示电动势方向由b 指向a ，故a 端电势较高。
7-2 在图7-2中，无限长直导线通有电流A)(100sin 5t I π=，另一个矩形线圈共1310⨯匝，宽a =10cm ，长L =20cm ，以2m /s v =的速度向右运动。
当d =10cm 时求：（1）线圈中的动生电动势；（2）线圈中的感生电动势。
解：（1）导体在磁场中运动时产生的感应电动势就是动生电动势。
在图7-2中，易知导体eh 段和fg 段上的动生电动势为零，因而一匝线圈中的动生电动势为⎰⎰+=+='ghefgh ef l vB l vB d d εεε⎰⎰-=hgefl vB l vB d d()⎰⎰+-=L L l a d Ivl d Iv 0000d 2d 2πμπμ ()Lv a d I Lv d I +-=πμπμ2200 N 匝线圈中的总动生电动势为()Lv a d IN Lv d I N +-=πμπμε22001 带入数据后解得()V 100sin 10231t πε-⨯=（2）由磁通量变化引起的电动势为感生电动势。
为求线圈中的磁通量，取如图7-3所示的坐标系。
现考虑一匝线圈的情况。
If g图7-2x图7-1电流I 在图7-3所示阴影区域产生的磁通量为S B d d ⋅=Φx L xIS B d 2d 0πμ== 在整个线圈中产生的磁通量为dad IL x L x I ad d+==⎰+ln 2d 200πμπμΦ 于是，在d =10cm 时，一匝线圈中产生的感生电动势为tId a d L d d ln 20⋅+='πμε N 匝线圈中产生的感生电动势为tId a d L N N d d ln 202⋅+='=πμεε 由于t tIππ100cos 500d d = 带入数据，得()V 100cos 1036.422t πε-⨯-=7-3 只有一根辐条的轮子在均匀外磁场B 中转动，轮轴与B 平行，如图7-4所示。
轮子和辐条都是导体，辐条长为R ，轮子每秒转N 圈。
两根导线a 和b 通过各自的刷子分别与轮轴和轮边接触。
求:（1）a 、b 间的感应电动势 ；（2）若在a 、b 间接一个电阻，流过辐条的电流方向如何？（3）当轮子反转时，电流方向是否会反向？（4）若轮子的辐条是对称的两根或更多，结果又将如何？解：（1）在辐条上距离轴心r 处取长度为d r 的微元，当辐条运动时在该微元上产生的动生电动势为r B v d )(d ⋅⨯=εr r B d ⋅=ω指向d r 的正方向。
则整个辐条上产生的动生电动势为r B v Rd )(d 0⋅⨯==⎰⎰εε221R B ω=其方向由轴心沿辐条向外。
于是，ab 之间的感应电动势为图7-4图7-322222121NBR NR B R B ππωε=⨯==（2）由于电动势的方向由轴心沿辐条向外，故电流方向由b 到a 。
（3）当轮子反转时，由于感应电动势方向相反，故电流方向也会反向。
（4）若轮子的辐条是对称的两根或更多时，相当于两个或多个电源的并联，所有，电动势也相同。
7-4 法拉第盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。
设圆盘的半径为R ，它的轴线与均匀外磁场B 平行，它以角速度ω绕轴转动，如图7-5所示。
求：（1）盘边与盘心的电位差；（2）当R =15cm 时，B =0.60T 。
若转速n =30rad/s ，电压u 等于多少？（3）盘边与盘心哪处电位高？当盘反转时，它们的电位高低是否会反过来？解：（1） 盘上沿半径方向产生的感应电动势可以认为是沿任意半径的一个导体杆在磁场中运动时产生的动生电动势。
与7-3题类似，在一段导体杆线元d l 上产生的动生电动势为l B v Rd )(d 0⋅⨯==⎰⎰εε221R B ω=此即盘边与盘心的电位差。
（2）将数据代入上式，知导体盘边与盘心之间的电压为()V 2.0)15.0(306.0212=⨯⨯⨯==εu（3）由右手定则，电动势由盘心指向盘边，故盘边的电位高。
当盘反转时，它们的电位高低会反过来。
7-5 在半径为R 的圆柱体内充满均匀磁场B ，如图7-6所示。
有一个长为l 的金属杆放在磁场中，若B 随时间的变化率为d B /d t ，金属杆上的电动势是多少？ 解：如图7-6所示，连接OP 、OQ ，设想PQOP 构成一个闭合导体回路，由于OP 、OQ 沿半径方向，与通过该处的感生电场强度E k 处处垂直， E k ·d l=0，故OP 和OQ 两段上均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出闭合回路的电动势就是导体棒PQ 上的电动势。
按此思路，设闭合导体回路PQOP 的环绕方向为逆时针方向，其环绕面积S 的方向与磁场方向相反，则通过该回路的磁通量为⎰⎰⋅=S S B d Φ2222d ⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-=⎰⎰l R l B BS S B S根据法拉第电磁感应定律得回路中的电动势，亦即导体棒PQ 上的电动势为图7-5图7-6d d PQ Φεt =-=7-6 环形螺线管的截面为矩形，内径为D 2，外径为D 1，高为h ，总匝数为N ，介质磁导率为μ，如图7-7所示。