电磁场与电磁波第七章
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电磁场理论-导行电磁波
第7章 导行电磁波
上式给出了 g、 和 c 之间的关系。 c 由导波系统的截 面形状、尺寸和模式决定，可以根据具体导波结构求出。 对于 TEM 模， c ，所以 g
可见，TEM 模的波导波长等于填充相同介质的无界空 间中的波长。
(3) 相速
由vp
，可得
TE
和
TM
波相速：
vp
v
v
1 ( c )2
第七章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
电磁波除了在无限空间传播外，还可以在某种特定 结构的内部或周围传输，这些结构起着引导电磁波传输 的作用，这种电磁波称为导行电磁波(简称导波)，引导 电磁波传输的结构称为导波结构。导波结构可以由金属 材料构成，也可以由介质材料构成，还可以由金属和介 质共同构成。这里主要讨论在其轴线方向上截面形状、 面积以及所填充媒质均不变的均匀导波结构。无限长的 平行双导线、同轴线、金属波导、介质波导以及微带传 输线等等都是常用的导波结构。
0
，可得：
对 TM 模
Ez 0
对 TE 模，由
(k 2
2
)Et
j
ez
t Hz
t Ez
可得
(k
2
2
)n
Et
j
n ez t H z
n t Ez
j
n ez t H z
0
j n ez t H z
j (n t Hz )ez j
(n ez )t H z
j
H z n
ez
H z 0 n
第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
1、纵向分量与横向分量的关系
导波结构中电磁场满足无源区域的麦克斯韦方程组：
H
《电磁场与电磁波》课件第七章
1
0 0
ln
D
d
120 ln
D
D d
2
2
d
300
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7-3 无损传输线的工作状态
• 一、波的反射 • 二、传输线中电压波的特点
• 三、传输线与负载的阻抗匹配
• 四、例题
一、波的反射
V ( z ) V0 e
I (z)
j z
V ( z ) V0 e
a
E 0 ( x , y ) dl V0e
jkz
任一导体在位置z处的电流为：
H ( x , y , z ) H 0 ( x , y )e
jk z z
I(z)
H ( x , y , z ) dl
l
I(z) e
jkz
l
H 0 ( x , y ) dl I 0e
I (z)
j z
V
0
e
j z
V0
e
j z
ZC
Rg
ZC
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Eg
ZC
ZL
z
V V
定义终端电压反射系数为：
(z 0) (z 0)
V0 V0
z0
传输线上各点的电压和电流分别为： 在z=0处
V ( z ) V (e
0 j z
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e
j
j z
)
E 1 x E 0 (e
i
jk 1 z
Re
j
第7章电磁波的辐射
④ 取向： E 在与赤道面平行的平面内，而 H 在子午面。 这点与电基本阵子电磁场取向正好相反。
第七章 电磁波的辐射
例 7-2 计算长度 dl=0.1λ0的电基本振子当电流振幅值 为2 mA时的辐射功率和辐射电阻。 解：辐射功率:
Pr 40
2
Idl
2
o
2
15.791W
2
辐射电阻：
dl Rr 80 7.8957 0
第七章 电磁波的辐射
例7-3.将周长为0.1λ0的细导线绕成圆环，以构造磁基
本振子，求此磁基本振子的辐射电阻。
解： 此电基本振子的辐射电阻为
a 6 1 Rr 320 320 2 0.01 0 1.9739 10 2
Pr Pr r Pin Pr PL
PL表示天线的总损耗功率。通常，发射天线的损耗功率 包括：天线导体中的热损耗、介质材料的损耗、天线附 近物体的感应损耗等。
第七章 电磁波的辐射
4、增益系数：方向性系数表示天线辐射能量的集中程 度，辐射效率表征在转换能量上的效能。将两者结合起 来 ——天线在其最大辐射方向上远点某点的功率密度与 输入功率相同的无方向性天线在同一点产生的功率密度 之比为增益系数，是表现天线总效能的一个指标。
E ( , ) E max
式中|Emax|是|E(θ，φ)|的最大值。 电（磁）基本振子的方向性函数为：F ( , ) sin
第七章 电磁波的辐射
2、方向性系数：当辐射功率相同时，天线在最大辐 射方向上远区某一点的功率密度与理想无方向性天线在 同一位置处辐射功率密度之比，为此天线的方向性系数。
第七章 电磁波的辐射
第七章 电磁波的辐射
7电磁场与电磁波-第七章(上)图片
第二节 平均坡印廷矢量
同样可导出:
则得坡印廷矢量的平均值:
第三节 理想介质中的均匀平面波
平面波：波阵面为平面的电磁波（等相位面为平 面）。 均匀平面波：等相位面为平面，且在等相位面上，电、 磁场场量的振幅、方向、相位处处相等的电磁波。 在实际应用中，纯粹的均匀平面波并不存在。但某 些实际存在的波型，在远离波源的一小部分波阵面，仍 可近似看作均匀平面波。 一、亥姆霍兹方程的平面波解 在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区 域中，电场场量满足亥姆霍兹方程，即：
量：
Ey
y
ZExz源自若Ex和Ey的相位相同或 相差180°，则合成波为直 线极化波。
沿z轴传播的电波 Ex和Ey的合成图 直线极化波示意图
x
特性：合成波电场大小随时间变化，但矢端
轨迹与x轴夹角不变。
常将垂直于大地的直线极化波称为垂直极化波， 而将与大地平行的直线极化波称为水平极化波。
圆极化
若Ex和Ey的振幅相同，相位差90°,合成波为圆 极化波。
设入射波电场为： 则入射波磁场为
则反射波电场为： 则反射波磁场为
由理想导体边界条件可知：
理想媒质中的合成场为：
合成波场量的实数表达式为：
讨论：1、合成波的性质：
Ex 合成波的性质： 合成波为纯驻 3 波 2 振幅随距离变化 电场和磁场最大值和最小 值位置错开λ/4 z
2
第一节 亥姆霍兹方程
时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程。
一、时谐场场量的复数表示 对于时谐场，其场量E和H都是以一定的角频率 w随时间t按正弦规律变化。 在直角坐标系下，电场可表示为：
式中： 由复变函数，知：
为电场在各方向分量的幅度 为电场各分量的初始相位
电磁场与电磁波课后习题及答案七章习题解答
《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成j()e n r t m βω⋅-=e E E 。
解 E m 为常矢量。
在直角坐标中cos cos cos n x y z x y z x y zαβγ=++=++e e e e r e e e故(cos cos cos )()cos cos cos n x y z x y z x y z x y z αβγαβγ⋅=++⋅++=++e r e e e e e e则j()[(cos cos cos )]22222[(cos cos cos )]2e ()()n r t j x y z t m m x x y y z zj x y z t m e j e j βωβαβγωβαβγωββ⋅-++-++-==∇=∇+∇+∇==e E E E E e E e E e E E E而22j[(cos cos cos )]222{e }x y z t m t t βαβγωω++-∂∂==-∂∂E E E故222222()(0j j t μεβμεωμεω∂∇-=+=+=∂EE E E E E 可见，已知的()n j e r t m e βω⋅-=E E 满足波动方程2220t με∂∇-=∂EE故E 表示沿e n 方向传播的平面波。
7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。
解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为12()j z x x y y E jE e β-=+=+E e e E E式中取121[()()]21[()()]2j zx x y y x y j zx x y y x y E E j E E e E E j E E e ββ--=+++=---E e e E e e显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。
电磁场与电磁波(第7章)1
Ex
ez Ex H x H y H z e y z (ex t e y t ez t ) z 0
由此可得
H x H z t t 0
H
x
H y Ex z t 和 H 均与时间无关，因此它们不是波动的部分，故可取
定义
无损耗介质是一种理想情况，在这里指电导率
0
平面波中的电场复数表示形式
E ex Ex ex E0 exp[i(t kz)]＝ex E0 exp[i(t kz / )]
理解
电场矢量的方向是 x 方向，电磁波则是沿 z 方向传播
波速为
v / k 1/ k / v
0
及
Jc 0
H E B t t B 0或 H 0 H E t
一般媒质中的麦克斯韦方程组变为： D 0
( H ) ( D) ( E ) t t
7.3 平面电磁波在有损耗介质中的传播
定义
实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在有损耗介质中的传 播具有实际意义。有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电 导率 0 ,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。 有损耗介质中出现的传导 电流会使在其中传播的电 磁波发生能量损耗，从而 导致波的幅值随着传播距 离的增大而下降。研究表 明，传播过程中幅值下降 的同时，波的相位也会发 生变化，致使整个传输波 的形状发生畸变，如图所 示 平面波在有耗介质中的传播
1. 等效介电系数
对于随时间按照正弦规规律变化的电磁场，其复数形式的麦克斯韦方程中有
E i H H Jc i E E i E
ez Ex H x H y H z e y z (ex t e y t ez t ) z 0
由此可得
H x H z t t 0
H
x
H y Ex z t 和 H 均与时间无关，因此它们不是波动的部分，故可取
定义
无损耗介质是一种理想情况，在这里指电导率
0
平面波中的电场复数表示形式
E ex Ex ex E0 exp[i(t kz)]＝ex E0 exp[i(t kz / )]
理解
电场矢量的方向是 x 方向，电磁波则是沿 z 方向传播
波速为
v / k 1/ k / v
0
及
Jc 0
H E B t t B 0或 H 0 H E t
一般媒质中的麦克斯韦方程组变为： D 0
( H ) ( D) ( E ) t t
7.3 平面电磁波在有损耗介质中的传播
定义
实际的介质都是有损耗的，因此，研究波在有损耗介质中的传 播具有实际意义。有损耗介质也称为耗散介质，在这里是指电 导率 0 ,但仍然保持均匀、线性及各向同性等特性。 有损耗介质中出现的传导 电流会使在其中传播的电 磁波发生能量损耗，从而 导致波的幅值随着传播距 离的增大而下降。研究表 明，传播过程中幅值下降 的同时，波的相位也会发 生变化，致使整个传输波 的形状发生畸变，如图所 示 平面波在有耗介质中的传播
1. 等效介电系数
对于随时间按照正弦规规律变化的电磁场，其复数形式的麦克斯韦方程中有
E i H H Jc i E E i E
电磁场与电磁波第三版答案第七章
动时，电场强度将逐渐减少。试问当电场强度减少到最大值的 1 时，接收 2
电台的位置偏离正南方向多少度。 解：电基本振子的归一化方向函数为
f (θ ) = sinθ
109
习题七
由题意可知，当电场强度成为原来的 1 时，接收电台的位置偏离正南方向 45o 。 2
7-9 两个半波振子天线平行放置，相距 λ 。若要求它们的最大辐射方向在偏离天 2
∫ ∫ EP
=
j
ES0 2λ
b a e− jkr (1 + cosθ ′) d x′ d y′ r −b −a
式中， r 为口径面上 (x′, y′, 0) 点到场点 P(x, y, z) 的距离：
r = (x − x′)2 + ( y − y′)2 + z2
= x2 + y2 + x2 − 2xx′ − 2 yy′ + x′2 + y′2 = r02 − 2xx′ − 2 yy′ + x′2 + y′2
π 2
cosθ
⎢⎣ sinθ
⎟⎞ ⎠
e−
jkr
+
cos⎜⎛ π cos ⎝2 sin θ
θ
⎟⎞ ⎠
e
−
jkr
e−
jkh
cosθ
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
j 60Im r
cos⎜⎛ π cosθ ⎝2 sin θ
⎟⎞ ⎠
⎜⎜⎝⎛
2
e
−
j
kh 2
cosθ
⎟⎟⎠⎞
cos⎜⎛ ⎝
kh 2
cos
θ
⎟⎞ ⎠
e
−
jkr
远区 E 面方向因子为
电磁场与电磁波理论PPT第7章
7.1.3 传播模式及其传播特性
♥ 纵向场法——先求解其导行电磁波的纵向场分量所满足的 亥姆霍兹方程得到纵向场分量，然后利用麦克斯韦方程直 接由纵向场导出其它的横向场分量。
7-6
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
7.1.1
横向场和纵向场的亥姆霍兹方程
广义柱坐标系 四点假设 纵向场和横向场的导波方程
◘ 最简单的TE模是
7-25
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
2. 矩形波导中的TM模
♥ TM模——
♥ 矩形波导中的TM模的纵向场的解
7-26
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
2. 矩形波导中的TM模
矩形波导中的 模的所有场分量
7-27
《电磁场与电磁波理论》
7-12
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
7.2.1
直角坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解
直角坐标系中横向场与纵向场的关系 直角坐标系中纵向场所满足的导波方程 直角坐标系中纵向场导波方程的解 关于通解的几点说明
7-13
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
◘ 最简单的TM模是
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
波导的正规模及其重要特性
♥ 正规模——各种不同金属波导中所有的 模和 模。 它们是满足麦克斯韦方程的两套独立的解，可以认为它们 是金属波导中的基本模式，具有很重要的特性的。
◘ 正规模的完备性——金属波导内传输的任意的电磁波可以
表示为正规模的线性叠加。尤其是在激励源附近，都会存
第7章均匀波导中的导行电磁波
♥ 纵向场法——先求解其导行电磁波的纵向场分量所满足的 亥姆霍兹方程得到纵向场分量，然后利用麦克斯韦方程直 接由纵向场导出其它的横向场分量。
7-6
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
7.1.1
横向场和纵向场的亥姆霍兹方程
广义柱坐标系 四点假设 纵向场和横向场的导波方程
◘ 最简单的TE模是
7-25
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
2. 矩形波导中的TM模
♥ TM模——
♥ 矩形波导中的TM模的纵向场的解
7-26
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
2. 矩形波导中的TM模
矩形波导中的 模的所有场分量
7-27
《电磁场与电磁波理论》
7-12
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
7.2.1
直角坐标系中标量亥姆霍兹方程的通解
直角坐标系中横向场与纵向场的关系 直角坐标系中纵向场所满足的导波方程 直角坐标系中纵向场导波方程的解 关于通解的几点说明
7-13
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
◘ 最简单的TM模是
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
波导的正规模及其重要特性
♥ 正规模——各种不同金属波导中所有的 模和 模。 它们是满足麦克斯韦方程的两套独立的解，可以认为它们 是金属波导中的基本模式，具有很重要的特性的。
◘ 正规模的完备性——金属波导内传输的任意的电磁波可以
表示为正规模的线性叠加。尤其是在激励源附近，都会存
第7章均匀波导中的导行电磁波
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2.TE波和TM波 若电场在电磁波传播方向上的分量 Ez= 0 ，即电场仅在横
截面内，则此种波型称为横电波，简称 TE 波或 H 波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁场仅在横截面
内，则此种波型称为横磁波，简称 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波传输系统是单导
其中
T
1 k c2
h1u1
h2u2
h2 u 2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的 场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
决于传播常数 ，而 满足关系：
2
k
2 c
k2
（7-2-1）
对于无损耗的理想导行系统, k 2 是实数， 为工作
波长，kc 是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也
是实数。令 kc c
2 c
，c 称为截止波长。因此，随着工作
波长的不同， 2 的取值有三种可能，即 2 > 0， 2 < 0, 2 = 0。
E(u1 ,u2 , z) E(u1 ,u2 ) e- z （7-1-2a）
H (u1 ,u2 , z) H (u1 ,u2 ) e- z （7-1-2b）
第七章 导行电磁波
拉普拉斯算子可写为
2
2 T
2 z 2
（7-1-3）
将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 满足的方程为
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 HT，而是结合导行系统的边界条件 求解标量波动方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到纵向场分量 后，再利用场的横向分量与纵向分量之间的关系求得所有横向 分量。场的横向分量与纵向分量之间的关系式可由麦克斯韦方 程组导出。
第七章 导行电磁波
第七章 导行电磁波
本章讨论局域在导波装置中沿一定方向传输的电磁波—— 导行电磁波。
导波装置也称为传输线或导行系统。如果导波装置的横截 面尺寸、形状、介质分布、材料及边界均沿传输方向不变，则 称之为规则导波装置。常用的导行系统如图7-1所示。其中最简 单、最常用的是矩形波导、圆柱形波导和同轴线。
若电场和磁场在传播方向上的分量 Ez= 0、 Hz= 0 ，即电磁 场各分量均在横截面内，则此种传输波型称为横电磁波，简称 TEM 波或 TEM 模。对于 TEM 波，kc=0 。
TEM波是双导体结构传输系统（例如平行双导线、同轴线） 的主模。单导体结构的规则金属波导中不能传输TEM波。
第七章 导行电磁波
第七章 导行电磁波
7.3.1 矩形波导中的 TE 波
行波状态下，TE 波满足
Ez 0, H z (x, y , z) H z (x, y)e-j z
其中，Hz(x,y) 满足标量波动方程：
2 T
H
z
(x,
y)
k
2 c
H
z
(x,
y)
0
在直角坐标系中，上述方程可写为
（7-3-1） （7-3-2）
2Hz x 2
k 2 ET T Ez j T H z ez c
kc2 HT T H z j T Ez ez
（7-1-10）
可见，只要求得了导波场的纵向分量，由式（7-1-10）便 可确定导波场的所有横向分量。式（7-1-10）即为行波状态下 场的横向分量与纵向分量之间的关系式，简称行波横-纵关系式。
T2 E(u1 ,u2 ) kc2 E(u1 ,u2 ) 0
（7-1-4a）
2 T
H (u1
,u2 )
kc2
H (u1
,u2 )
0
（7-1-4b)）
其中
k
2 c
k2
2
（7-1-5）
当 kc 0 时，kc 称为本征值，由导行系统的边界条件和传 输模式决定。导行系统问题归结为求解方程（7-1-4）。
（7-2-9） （7-2-10）
第七章 导行电磁波
由式(7-2-7)和(7-2-10)可见，对于 TE 波和 TM 波，kc 0， 因而，其相速和群速都是频率的函数，即 TE 波和 TM 波为色
散波。对于TEM波，kc = 0，则有，
vp vg v
c
r r
其相速和群速均与频率无关，因此 TEM 波为非色散波。
第七章 导行电磁波
7.1.1 导行电磁波的表达式
无源区域内，时谐电磁场满足齐次亥姆霍兹方程：
2 E k2 E 0
2 H k2 H 0
（7-1-1a） （7-1-1b）
在导行系统中，电磁波沿其轴向（纵向）传播。建立广义
柱坐标系 (u1, u2, zz)。对于规则导行系统，电磁场在横截面内的 分布与纵向坐标 z 无关，行波状态下沿 z 方向传播的导行电磁 波可写为
第七章 导行电磁波
7.1.3 导波场的横向分量与纵向分量之间的关系式
哈密顿算子也可表示为横向分量与纵向分量之和，即
T
ez
z
（7-1-8）
将式（7-1-6）和（7-1-8）代入无源区域时谐场麦克斯韦方 程组的两个旋度方程，并注意到对于行波状态下的导行波有
可得
z
T ez Hz ez HT jω ET
第七章 导行电磁波
由上述可知，当 c 时为传输状态，而 c 时为截止状态， 故导行系统的传输条件为
c
（7-2-5）
2．相速、波导波长与群速
无耗的传输状态下， = j ，由式（7-2-1），有
k2
k
2 c
2
1 ( )2 c
按相速的定义，可得导行波的相速表达式：
（7-2-6）
vp
v
1 ( )2 c
主要内容：首先讨论导行电磁波的分析方法，然后具体讨论 矩形波导、圆柱形波导的传输模式、场分布以及传输特性。
第七章 导行电磁波
图 7-1 常用的导波装置
第七章 导行电磁波
7.1 导行电磁波的一般分析
分析导行电磁波，就是要得出导行电磁波沿轴向（纵 向）的传播规律以及电磁场在横截面内的分布情况。通常 有纵向分量法和赫兹矢量法两种分析方法，这里仅采用纵 向分量法。纵向分量法的思想是，将导行系统中的电磁场 矢量分解为纵向分量和横向分量，由亥姆霍兹方程得出纵 向分量满足的标量微分方程，求解该标量微分方程，得到 纵向分量；再根据麦克斯韦方程组，找出横向分量与纵向 分量之间的关系，用纵向分量来表示横向分量。
第七章 导行电磁波
7.1.2 导波场纵向分量与横向分量的微分方程
将电磁场矢量表示为横向分量和纵向分量之和，即
E ET ez Ez H HT ez Hz
（7-1-6a） （7-1-6b）
将式(7-1-6)代入式(7-1-4)，可得到关于电场 E (u1, u2)以及磁 场 H (u1, u2)横向分量的矢量亥姆霍兹方程和纵向分量的标量 亥姆霍兹方程，即
1
k
2 c
(
H z h2 u 2
j
Ez ) h1u1
（7-1-11a） （7-1-11b） （7-1-11c） （7-1-11d）
第七章 导行电磁波
式（7-1-11）还可以写成便于记忆的矩阵形式：
EEuu12
T
j
Ez
H
z
，
H u1 H u2
T
Hz j E
z
（7-1-12a）
3．波阻抗
导行系统中，传输模式的横向电场分量振幅与横向磁场分 量振幅之比称为导行波的波阻抗，记为Zw，即
ZW
ET HT
Eu1 Hu2
Eu2 H u1
（7-2-12）
第七章 导行电磁波
对于 TE 波，Ez= 0，注意到 = j，由行波横—纵关系式
(7-1-11)，可得
Z WTE
1( )2
（7-2-17）
第七章 导行电磁波
7.3 矩形波导
规则矩形波导（简称矩形波导）的横截面为矩形，它是微 波导行系统的主要形式。对于矩形波导，横截面坐标采用直角 坐标 (x,y)，设矩形波导横截面的宽边尺寸为 a，窄边尺为 b ， 如图所示。
在单导体结构的波导中，只能存在TE波和TM波。下面具 体分析矩形波导中的这两种波型。
（1） 2 > 0 ，即 >c，则 = 为实数，导波场表示为
第七章 导行电磁波
E E(u1 ,u2 )e- z H H (u1 ,u2 )e- z 这表明，导行系统中的电磁场沿传输方向（ +z 轴）指数衰
减，不是传输的波，故称 2 > 0 时为截止状态。 (2) 2 < 0，即 < c，则 = j 为虚数，导波场表示为
1 X (x)
d2 X (x) dx 2
k
2 x
1 Y ( y)
d2Y ( y) dy 2
k
2 y
则有 其中
d2 X (x) dx 2
k
2 x
X
(x)
0
d
2Y (x) dy 2
k x2Y
(
y)
0
k
2 x
k
2 y
kc2
（7-3-6a） （7-3-6b）
（7-3-7）
第七章 导行电磁波
式 (7-3-6) 是二阶常系数齐次微分方程，其解为 X (x) A1cos(kx x) A2sin(kx x)
E E(u1 ,u2 )e-j z H H (u1 ,u2 )e-j z 上式表明，导行系统中的电磁场是沿 +z 轴传输的等幅波，故
截面内，则此种波型称为横电波，简称 TE 波或 H 波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁场仅在横截面
内，则此种波型称为横磁波，简称 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波传输系统是单导
其中
T
1 k c2
h1u1
h2u2
h2 u 2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的 场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
决于传播常数 ，而 满足关系：
2
k
2 c
k2
（7-2-1）
对于无损耗的理想导行系统, k 2 是实数， 为工作
波长，kc 是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也
是实数。令 kc c
2 c
，c 称为截止波长。因此，随着工作
波长的不同， 2 的取值有三种可能，即 2 > 0， 2 < 0, 2 = 0。
E(u1 ,u2 , z) E(u1 ,u2 ) e- z （7-1-2a）
H (u1 ,u2 , z) H (u1 ,u2 ) e- z （7-1-2b）
第七章 导行电磁波
拉普拉斯算子可写为
2
2 T
2 z 2
（7-1-3）
将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 满足的方程为
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 HT，而是结合导行系统的边界条件 求解标量波动方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到纵向场分量 后，再利用场的横向分量与纵向分量之间的关系求得所有横向 分量。场的横向分量与纵向分量之间的关系式可由麦克斯韦方 程组导出。
第七章 导行电磁波
第七章 导行电磁波
本章讨论局域在导波装置中沿一定方向传输的电磁波—— 导行电磁波。
导波装置也称为传输线或导行系统。如果导波装置的横截 面尺寸、形状、介质分布、材料及边界均沿传输方向不变，则 称之为规则导波装置。常用的导行系统如图7-1所示。其中最简 单、最常用的是矩形波导、圆柱形波导和同轴线。
若电场和磁场在传播方向上的分量 Ez= 0、 Hz= 0 ，即电磁 场各分量均在横截面内，则此种传输波型称为横电磁波，简称 TEM 波或 TEM 模。对于 TEM 波，kc=0 。
TEM波是双导体结构传输系统（例如平行双导线、同轴线） 的主模。单导体结构的规则金属波导中不能传输TEM波。
第七章 导行电磁波
第七章 导行电磁波
7.3.1 矩形波导中的 TE 波
行波状态下，TE 波满足
Ez 0, H z (x, y , z) H z (x, y)e-j z
其中，Hz(x,y) 满足标量波动方程：
2 T
H
z
(x,
y)
k
2 c
H
z
(x,
y)
0
在直角坐标系中，上述方程可写为
（7-3-1） （7-3-2）
2Hz x 2
k 2 ET T Ez j T H z ez c
kc2 HT T H z j T Ez ez
（7-1-10）
可见，只要求得了导波场的纵向分量，由式（7-1-10）便 可确定导波场的所有横向分量。式（7-1-10）即为行波状态下 场的横向分量与纵向分量之间的关系式，简称行波横-纵关系式。
T2 E(u1 ,u2 ) kc2 E(u1 ,u2 ) 0
（7-1-4a）
2 T
H (u1
,u2 )
kc2
H (u1
,u2 )
0
（7-1-4b)）
其中
k
2 c
k2
2
（7-1-5）
当 kc 0 时，kc 称为本征值，由导行系统的边界条件和传 输模式决定。导行系统问题归结为求解方程（7-1-4）。
（7-2-9） （7-2-10）
第七章 导行电磁波
由式(7-2-7)和(7-2-10)可见，对于 TE 波和 TM 波，kc 0， 因而，其相速和群速都是频率的函数，即 TE 波和 TM 波为色
散波。对于TEM波，kc = 0，则有，
vp vg v
c
r r
其相速和群速均与频率无关，因此 TEM 波为非色散波。
第七章 导行电磁波
7.1.1 导行电磁波的表达式
无源区域内，时谐电磁场满足齐次亥姆霍兹方程：
2 E k2 E 0
2 H k2 H 0
（7-1-1a） （7-1-1b）
在导行系统中，电磁波沿其轴向（纵向）传播。建立广义
柱坐标系 (u1, u2, zz)。对于规则导行系统，电磁场在横截面内的 分布与纵向坐标 z 无关，行波状态下沿 z 方向传播的导行电磁 波可写为
第七章 导行电磁波
7.1.3 导波场的横向分量与纵向分量之间的关系式
哈密顿算子也可表示为横向分量与纵向分量之和，即
T
ez
z
（7-1-8）
将式（7-1-6）和（7-1-8）代入无源区域时谐场麦克斯韦方 程组的两个旋度方程，并注意到对于行波状态下的导行波有
可得
z
T ez Hz ez HT jω ET
第七章 导行电磁波
由上述可知，当 c 时为传输状态，而 c 时为截止状态， 故导行系统的传输条件为
c
（7-2-5）
2．相速、波导波长与群速
无耗的传输状态下， = j ，由式（7-2-1），有
k2
k
2 c
2
1 ( )2 c
按相速的定义，可得导行波的相速表达式：
（7-2-6）
vp
v
1 ( )2 c
主要内容：首先讨论导行电磁波的分析方法，然后具体讨论 矩形波导、圆柱形波导的传输模式、场分布以及传输特性。
第七章 导行电磁波
图 7-1 常用的导波装置
第七章 导行电磁波
7.1 导行电磁波的一般分析
分析导行电磁波，就是要得出导行电磁波沿轴向（纵 向）的传播规律以及电磁场在横截面内的分布情况。通常 有纵向分量法和赫兹矢量法两种分析方法，这里仅采用纵 向分量法。纵向分量法的思想是，将导行系统中的电磁场 矢量分解为纵向分量和横向分量，由亥姆霍兹方程得出纵 向分量满足的标量微分方程，求解该标量微分方程，得到 纵向分量；再根据麦克斯韦方程组，找出横向分量与纵向 分量之间的关系，用纵向分量来表示横向分量。
第七章 导行电磁波
7.1.2 导波场纵向分量与横向分量的微分方程
将电磁场矢量表示为横向分量和纵向分量之和，即
E ET ez Ez H HT ez Hz
（7-1-6a） （7-1-6b）
将式(7-1-6)代入式(7-1-4)，可得到关于电场 E (u1, u2)以及磁 场 H (u1, u2)横向分量的矢量亥姆霍兹方程和纵向分量的标量 亥姆霍兹方程，即
1
k
2 c
(
H z h2 u 2
j
Ez ) h1u1
（7-1-11a） （7-1-11b） （7-1-11c） （7-1-11d）
第七章 导行电磁波
式（7-1-11）还可以写成便于记忆的矩阵形式：
EEuu12
T
j
Ez
H
z
，
H u1 H u2
T
Hz j E
z
（7-1-12a）
3．波阻抗
导行系统中，传输模式的横向电场分量振幅与横向磁场分 量振幅之比称为导行波的波阻抗，记为Zw，即
ZW
ET HT
Eu1 Hu2
Eu2 H u1
（7-2-12）
第七章 导行电磁波
对于 TE 波，Ez= 0，注意到 = j，由行波横—纵关系式
(7-1-11)，可得
Z WTE
1( )2
（7-2-17）
第七章 导行电磁波
7.3 矩形波导
规则矩形波导（简称矩形波导）的横截面为矩形，它是微 波导行系统的主要形式。对于矩形波导，横截面坐标采用直角 坐标 (x,y)，设矩形波导横截面的宽边尺寸为 a，窄边尺为 b ， 如图所示。
在单导体结构的波导中，只能存在TE波和TM波。下面具 体分析矩形波导中的这两种波型。
（1） 2 > 0 ，即 >c，则 = 为实数，导波场表示为
第七章 导行电磁波
E E(u1 ,u2 )e- z H H (u1 ,u2 )e- z 这表明，导行系统中的电磁场沿传输方向（ +z 轴）指数衰
减，不是传输的波，故称 2 > 0 时为截止状态。 (2) 2 < 0，即 < c，则 = j 为虚数，导波场表示为
1 X (x)
d2 X (x) dx 2
k
2 x
1 Y ( y)
d2Y ( y) dy 2
k
2 y
则有 其中
d2 X (x) dx 2
k
2 x
X
(x)
0
d
2Y (x) dy 2
k x2Y
(
y)
0
k
2 x
k
2 y
kc2
（7-3-6a） （7-3-6b）
（7-3-7）
第七章 导行电磁波
式 (7-3-6) 是二阶常系数齐次微分方程，其解为 X (x) A1cos(kx x) A2sin(kx x)
E E(u1 ,u2 )e-j z H H (u1 ,u2 )e-j z 上式表明，导行系统中的电磁场是沿 +z 轴传输的等幅波，故