电磁场与电磁波课后习题与答案七章习题解答(2)
电磁场与电磁波课后习题与答案七章习题解答(2)
《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成j()e n r t m βω⋅-=e E E 。
解 E m 为常矢量。
在直角坐标中故 则 而 故可见，已知的()n j e r t m e βω⋅-=E E 满足波动方程 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。
7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。
解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 式中取显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。
7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/my z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度(,)z t H 。
解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90︒-。
与之相伴的磁场为 7.4 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1A/m 3π，以相位常数30rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。
当t=0和z=0时，若H 的取向为y -e，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频率和波长。
解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 与之相伴的电场为由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为 则磁场和电场分别为7.5 一个在空气中沿ye +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为（1）求β和在3ms t =时，z H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。
解（1）781π10πrad /m rad /m 0.105rad /m 31030β==⨯==⨯在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求 若取n =0，解得y =899992.m 。
考虑到波长260mπλβ==，故因此，t =3ms 时，H z =0的位置为（2）电场的瞬时表示式为7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。
当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。
《电磁场与电磁波》西安交大出版社 课后答案(全)
球坐标系中的坐标分量表示。 解：在圆柱坐标系中
F1 cos sin 0 Fx1 cos sin 0 1 cos F sin cos 0 F sin cos 0 0 sin 1 y1 F 0 0 1 F 0 0 1 0 0 z1 z1 ˆ sin ˆ F1 ( , , z ) cos F 2 cos sin 0 Fx 2 cos sin 0 0 sin F sin cos 0 F sin cos 0 1 cos 2 y2 F 0 0 1 F 0 0 1 0 0 z2 z2 ˆ cos ˆ F2 ( , , z ) sin
ˆ 2y ˆz ˆ 证明 ：因为 A B 2 x
A ( B) C 0
所以三个矢量 A 、B 和 C 形成一个三角形 此三角形的面积为
ˆ x 1 S A B Ax 2 Bx ˆ y Ay By ˆ y ˆ ˆ ˆ z x z Az 5 5 0 5 2 5 2 20 2 / 2 10.6 Bz 3 7 1
(e)A 和 B 之间的夹角 根据 A B AB cos 得
A B 7 cos 0.764 AB 9.163
40.19 0
(f) A 在 B 上的投影
A ˆ B 7 2.86 Ab B 2.45
电磁场与电磁波基础教程--符果行版(第2版)习题解答
《电磁场与电磁波基础教程》（第2版）（符果行编著）习题解答第1章1.1 解：（1）==A B=C（2）)))23452A x y zB y zC x z ==+-=-+=-，，；A a a a a a a a a a a A（3）()()+2431223x y z x y z =+-+-+=--=+；A B a a a a a a A B （4）()()23411x y z y z ⋅=+-⋅-+=-；A B a a a a a （5）()()234104x y z y z x y z ⨯=+-⨯-+=---；A B a a a a a a a a （6）()()()1045242x y z x z ⨯⋅=-++⋅-=-；A B C a a a a a（7）()()()x 104522405x y z x z y z ⨯⨯=-++⨯-=-+A B C a a a a a a a a 。
1.2解：cos 68.56θθ⋅===︒；A B A BA 在B 上的投影cos 1.37B A θ===A ；B 在A 上的投影cos 3.21A B θ===B 。
1.3 解：()()()()()()()4264280⋅=-++-=正交A B 。
1.4 解：1110x x y y z z x y y z z y ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；；a a a a a a a a a a a a 0x x y y z z ⨯=⨯=⨯=；a a a a a a x y z y z x z x y ⨯=⨯=⨯=；，a a a a a a a a a 。
1.5 解：（1）111000z z z z ρρϕϕρϕϕρ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；，，a a a a a a a a a a a a ；000z z z z z ρρϕϕρϕϕρρϕ⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=，，；，，a a a a a a a a a a a a a a a 。
电磁场与电磁波第四版课后答案
答案：① aA =
1 14
(ax
+
2ay
−
3az
)
；②
A−B =
53 ；③ A • B = −11；
④
θ AB = 135.48 ； ⑤
A× C = −(4ax +13ay +10az ) ； ⑥
A •（B × C）=（A • B）× C = −42 ； ⑦
（A× B）× C = 2ax − 40ay + 5az 和
托克斯定理求解此线积分。
∫ ∫ 答案：① A •dl = π a4 ；② (∇ × A) dS = π a4 。
l
4
l
4
1-18 试在直角坐标系下证明： − 1 ∇2 (1 R)=δ(r − r′)。 4π
∫ 1-19 若矢量 A = a（R cos2 ϕ
R3 ），1 ≤ R ≤ 2 ，求
∇• AdV 。
⎡ 2 sinhξ cosη
⎢ ⎢
cosh 2ξ − cos 2η
⎢
答案：[M ] = ⎢−
2 coshξ sinη
⎢ cosh 2ξ − cos 2η
⎢
⎢
0
⎢⎢⎣
2 coshξ sinη cosh 2ξ − cos 2η
2 sinhξ cosη cosh 2ξ − cos 2η
0
⎤ 0⎥
⎥ ⎥ 0⎥ 。 ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥⎥⎦
+ ay
y − 2x x2 + y2
。
1-22 已知 A = a a x + b a y + c a z ，写出圆柱坐标系和圆球坐标系下 A 的表达式。
答案： A = (a cosϕ + b sinϕ )ar + (b cosϕ − a sin ϕ )aϕ + caz ；
电磁场与电磁波第七章习题及参考答案
(1)
(2)
图无损耗传输线
入射电压电流波传输到负载后，一部分被负载吸收，一部分被反射。反射电压电流波可写为
(３)
(４)
传输线上的总电压电流波可写为
(5)
(6)
在终端 ，
（7）
（8）
解：
图7.2-2
(7.2-５)
(7.2-６)
串联支路上的电压为
（1）
并联支路上的电流为
(2)
由（1）和（2）式得
（3）
（4）
两边同除 得
（5）
（6）
（5）、（6）式就是(7.2-５)和(7.2-6)式对应的传输线方程的时域形式。
7-3、由(7.2-１０)、(7.2-3)、(7.2-4)和(7.2-９)式推导(7.2-１１)和 (7.2-１2)式。
习题
7-1、如果 已知,由无源区的麦克斯韦方程,求圆柱坐标系中 与 的关系。
解：设 ；
则 ；
在圆柱坐标系中展开无源区的麦克斯韦方程
；
得
由以上几式得
式中
7-2证明（7.2-6）式为(7.2-4)式的解。
证明：
由（7.2-6）式
可得：
因此 即(7.2-4)式
7-2、从图7.2-2的等效电路，求(7.2-５)和(7.2-6)式对应的传输线方程的时域形式。
解： 将
代入 并等式两边平方得
令等式两边实部和虚部分别相等，得
解以上两方程，得
(7.2-１１)
(7.2-１２)
7-4、证明（7.2-13）式为(7.2-7)式的解。
电磁场与电磁波第三版答案第七章
动时，电场强度将逐渐减少。试问当电场强度减少到最大值的 1 时，接收 2
电台的位置偏离正南方向多少度。 解：电基本振子的归一化方向函数为
f (θ ) = sinθ
109
习题七
由题意可知，当电场强度成为原来的 1 时，接收电台的位置偏离正南方向 45o 。 2
7-9 两个半波振子天线平行放置，相距 λ 。若要求它们的最大辐射方向在偏离天 2
∫ ∫ EP
=
j
ES0 2λ
b a e− jkr (1 + cosθ ′) d x′ d y′ r −b −a
式中， r 为口径面上 (x′, y′, 0) 点到场点 P(x, y, z) 的距离：
r = (x − x′)2 + ( y − y′)2 + z2
= x2 + y2 + x2 − 2xx′ − 2 yy′ + x′2 + y′2 = r02 − 2xx′ − 2 yy′ + x′2 + y′2
π 2
cosθ
⎢⎣ sinθ
⎟⎞ ⎠
e−
jkr
+
cos⎜⎛ π cos ⎝2 sin θ
θ
⎟⎞ ⎠
e
−
jkr
e−
jkh
cosθ
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
j 60Im r
cos⎜⎛ π cosθ ⎝2 sin θ
⎟⎞ ⎠
⎜⎜⎝⎛
2
e
−
j
kh 2
cosθ
⎟⎟⎠⎞
cos⎜⎛ ⎝
kh 2
cos
θ
⎟⎞ ⎠
e
−
jkr
远区 E 面方向因子为
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第七章)
第7章习题解答【7.1】 解：设第一个分子的球心位置为原点，即0d （d 为分子直径）处 依题意任意时刻都要满足%5)10()0(0≤-E d d E E （1）其中E 是空间变化的电场，其形式为)exp(0ikx E -=E ，ck ω=，则（1）式变为%5)210exp(1≤--cfdi π （2） 可以求出 15151019.11056.1215⨯≈⨯≤f 所以频率上限的数量级为1510【7.2】解p V k ω=p pg p g p kdV dV d V V V dk dk V d ωωω===+ 1pg pp V V V d ωω=-22()1p i o rcc V n n ωωαω==-+0i n → p V c ∴= g p V V c ==即 2g p V V c ⋅=【7.3】解（1）波数681221501022310k f πππ===⨯⨯⨯⨯=⨯（rad/m ） 相速81.510p v ===⨯ （m/s ）波长 21kπλ==（m ）波阻抗60ηπ==（Ω） （2）均匀平面波的平均坡印廷矢量26z m S 0.26510z e e -==⨯平均 （W/m 2）得 31010m E -=⨯（V/m ）当t = 0，z = 0时33sin 10100.8668.66103m E E π--⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭（V/m ）(3) t = 0.1s μ后210sin 23E ft kz ππ-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭267310sin 21501011028.66103z πππ---⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-+=⨯ ⎪⎝⎭得 1sin 3028.66103z πππ-⎛⎫+-=⨯ ⎪⎝⎭15z =（m ）【7.4】 解：电磁波的频率为8820310********v f λ-⨯===⨯⨯（Hz ） 在无损耗媒质中的波长为 12810vfλ-==⨯ （m ） 故波速为12888102510210v f λ-==⨯⨯⨯=⨯=（m/s ）而无损耗媒质的本征阻抗为505000.1E H η==== （Ω） 联解以下两式：8210=⨯500= 得 1.99, 1.13r r με==【7.5】 解： 803100.2c f fλ⨯===故 883101510()0.2f Hz ⨯==⨯ 而 0.09vfλ== 故 880.090.091510 1.3510(/)v f m s =⨯=⨯⨯=⨯ 又v ===故 2882(/)(310/1.3510) 4.94r c v ε==⨯⨯=【7.6】 解：由题意知 7610ωπ=⨯0.8k π==106016E Hηππ====联解6100.8ππ⨯= 和60π= 得 8,2r r εμ==【7.7】 解：因4101σωε=<<，为低损耗媒质。
电磁场与电磁波第四版课后答案
2—8 一长度 l = 1m ，内外导体半径分别为 a = 1m m ， b = 3.5 m m 的同轴电容器中填 充相对介电常数 εr = 7 的介质，内外导体间的外加电压 u = 200 sin（377t）V。求位
5
移电流 id ，并同传导电流 ic 比较。 答案： id = 2.34 ×10−5 cos(377t) A 。 2—9 一平板电容器的极板面积 s = 15 cm2 ，间距 d = 0.2 cm 电容器内填充媒质的电参数
答案： E = 8.34(ax − 3ay + 6az ) V m 。 2—5 一点电荷 Q = 50 nC ，位于直角坐标系的原点，求点（2，4，− 5）处的电通量密度。
答案： D
=
5 54π
(2ax
+ 4ay
− 5az ) 。
2—6 两种理想电介质的相对介电常数分别为 εr1 = 2.5和εr2 = 5 ，其分界面为 z = 0 的平
a
答案：
=
−
2
5 5
⎫ ⎪⎪ ⎬
或
b=
5 5
⎪ ⎪⎭
a
=
25 5
⎫ ⎪⎪ ⎬
b=−
5⎪ 5 ⎪⎭
( ) 1-3
若矢量 A 和矢量 B 是任意常矢量，证明：
2
A× B
=
A2B2 −
A•B 2。
1-4 求圆柱坐标系中从 z 轴上的 z = z0 指向点处 p（r，ϕ，0）的单位矢量。
答案： aR
=
rar − z0az r 2 + z02
⎡ 2 sinhξ cosη
⎢ ⎢
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《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波7.1 求证在无界理想介质沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成j()e n r t m βω⋅-=e E E 。
解 E m 为常矢量。
在直角坐标中故 则 而 故可见，已知的()n j e r t m e βω⋅-=E E 满足波动方程 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。
7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。
解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 式中取显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。
7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/my z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度(,)z t H 。
解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90︒-。
与之相伴的磁场为 7.4 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1A/m 3π，以相位常数30rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。
当t=0和z=0时，若H 的取向为y -e，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频率和波长。
解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 与之相伴的电场为由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为 则磁场和电场分别为7.5 一个在空气中沿ye +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为（1）求β和在3ms t =时，z H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。
解（1）781π10πrad /m rad /m 0.105rad /m 31030β==⨯==⨯在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求 若取n =0，解得y =899992.m 。
考虑到波长260mπλβ==，故因此，t =3ms 时，H z =0的位置为（2）电场的瞬时表示式为7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。
当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。
设1r μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。
解 在自由空间，波的相速80310m/sp v c ==⨯，故波的频率为在理想介质中，波长0.09m λ=，故波的相速为 而故7.7 海水的电导率4S/m γ=，相对介电常数81r ε=。
求频率为10kHz 、100kHz 、1MHz 、10MHz 、100MHz 、1GHz 的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。
解 先判定海水在各频率下的属性可见，当710Hz f ≤时，满足1γωε>>，海水可视为良导体。
此时f =10kHz 时 f =100kHz 时 f =1MHz 时 f =10MHz 时当f =100MHz 以上时，1γωε>>不再满足，海水属一般有损耗媒质。
此时，f =100MHz 时f =1GHz 时7.8 求证：电磁波在导电媒质传播时场量的衰减约为55dB/λ。
证明 在一定频率围将该导电媒质视为良导体，此时 故场量的衰减因子为即场量的振幅经过z =λ的距离后衰减到起始值的0.002。
用分贝表示。
7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数00.524rad /m β=，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为 1.81rad /m β=。
设1r μ=，求理想电介质的r ε和波在电介质中的传播速度。
解 自由空间的相位常数0β=在理想电介质中，相位常数 1.81rad /sβ==，故电介质中的波速则为7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm ；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm ，且已知此时的||50V /m =E ，||0.1A /m =H 。
求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的r μ、rε。
解 自由空间中，波的相速8310m/sp v c ==⨯，故波的频率为在无损耗媒质中，波的相速为 故8210=⨯ （1）无损耗媒质中的波阻抗为||50500||0.1η====ΩΕH （2）联解式（1）和式（2），得7.11 一个频率为f =3GHz ，e y 方向极化的均匀平面波在2.5r ε=，损耗正切2tan 10γδωε-==的非磁性媒质中沿()e x +方向传播。
求：（1）波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x =0处的950sin(610)V /m3y t ππ=⨯+E e ，写出H (x ,t )的表示式。
解 （1）29901810123 2.52310 2.51036r f γγγγωεπεεππ--====⨯⨯⨯⨯⨯⨯故而该媒质在f =3GHz 时可视为弱导电媒质，故衰减常数为由12x e α-=得（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为 而相位常数故波长和相速分别为（3）在x =0处， 故 则 故7.12 有一线极化的均匀平面波在海水(80,1,4/r r S mεμγ===)中沿+y 方向传播，其磁场强度在y =0处为 （1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H 的振幅为0.01A/m 时的位置；（3）写出E (y ,t )和H (y ,t )的表示式。
解 （1）10109044360.181080108010γπωεπεπ-⨯===⨯⨯⨯可见，在角频率1010ωπ=时，海水为一般有损耗媒质，故（2）由0.010.1yeα-=即0.1yeα-=得（3）83.910(,)0.1sin(10300)A/m3y x y t e t y πππ-=--H e其复数形式为故电场的复数表示式为 则7.13 在自由空间（z <0）沿+z 方向传播的均匀平面波，垂直入射到z =0处的导体平面上。
导体的电导率61.7MS/m γ=，1r μ=。
自由空间E 波的频率f =1.5MHz ，振幅为1V/m ；在分界面(z =0)处，E 由下式给出 对于z >0的区域，求2(,)H z t 。
解 696061.710704.4102 1.510γωεπε⨯==⨯⨯⨯可见，在f =1.5MHz 的频率该导体可视为良导体。
故 分界面上的透射系数为入射波电场的复数表示式可写为则z >0区域的透射波电场的复数形式为 与之相伴的磁场为 则7.14 一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？解 设媒质1为空气，其本征阻抗为0η；介质板的本征阻抗为2η。
故分界面上的反射系数和透射系数分别为 式中都是实数，故,ρτ也是实数。
反射波的电场为可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。
但波的传播方向变为-z 方向，故反射波也变为右旋圆极化波。
而入射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。
透射波的电场为式中，2β==2中的相位常数。
可见，透射波是沿+z 方向传播的左旋圆极化波。
7.15 均匀平面波的电场振幅0100V /m j m E e +=o，从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上（介质的20202,4,0μμεεγ===），求反射波和透射波的电场振幅。
解1120πη===Ω反射系数为 透射系数为故反射波的电场振幅为 透射波的电场振幅为7.16 最简单的天线罩是单层介质板。
若已知介质板的介电常数02.8εε=，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz 的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。
当频率分别为3.1GHz 及2.9GHz 时，反射增大多少？题7.16图解 天线罩示意图如题7.16图所示。
介质板的本征阻抗为2η，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为1η和3η。
设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。
设媒质1中的入射波电场只有x 分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为而媒质1中的反射波电场为 与之相伴的磁场为故媒质1中的总电场和总磁场分别为1111()()11111()()1111111j z d j z d x m x m j z d j z d m m y y E e E eE Ee e ββββηη-+++-+-+--+++-⎫=+=+⎪⎬=+=-⎪⎭E E E e e H H H e e （1）同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场2222222212222222j z j x m x m j z j z m m y y e E eE E e e ββββηη-+-+-+--+-⎫=+=+⎪⎬=+=-⎪⎭E E E e E e H H H e e （2）媒质3中只有透射波3333333j zx m j z my E eE e ββη-++-⎫=⎪⎬=⎪⎭E e H e （3）在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅1m E +，而2m E -、2m E +、2m E -和3m E +为待求量。
利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。
在分界面②处，即z =0处，应有2323,x x y yE E H H ==。
由式（2）和（3）得2232232311()m m m m m m E E E E E E ηη+-++-+⎫+=⎪⎬-=⎪⎭ （4）由式（4）可得出分界面②上的反射系数2322232m m E E ηηρηη-+-==+ （5）在分界面①处，即z =-d 处，应有12x x E E =，12y yH H =。
由式（1）和（2）得222222*********11222122()11()()()j d j d j d j d m m m m m j dj d j dj d m m m m m E E E e E e E ee E E E E eE ee e ββββββββρρηηη--+-+-++--+-+-⎫+=+=+⎪⎬-=-=-⎪⎭ （6）将分界面①上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗），由式（1）得11111111111()m m m m ef m m m m E E E E E E E E ηηη+-+-+-+-++==-- （7）将式（6）代入式（7）得2222222j d j def j dj d e e e e ββββρηηρ--+=- （8）将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得3222232tan tan ef j dj d ηηβηηηηβ+=+ （9）再由式（7）得分界面①上的反射系数11111ef mm ef E E ηηρηη-+-==+ （10）显然，若分界面①上的等效波阻抗efη等于媒质1的本征阻抗1η，则10ρ=，即分界面①上无反射。
通常天线罩的、外都是空气，即130ηηη==，由式（9）得 欲使上式成立，必须2,1,2,3d n n βπ==L 。