2019-2020年高二学业水平考试数学试题 含答案
2019-2020年高二上学期学业水平测试数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二上学期学业水平测试数学试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1个B．2个C．4个D．8个2．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．a（c2+1）＞b（c2+1）D．a|c|＞b|c|3．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β4．函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（）A．（3，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）5．化简=（）A．1 B．2 C．D．﹣16．已知非零向量，满足||=||，（﹣）⊥，则向量与的夹角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．在等比数列中{a n}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（）A．9 B．1 C．2 D．38．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．359．若实数x、y满足=1，则x2+2y2有（）A．最大值3+2 B．最小值3+2C．最大值6 D．最小值610．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．711．已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+7=0互相平行，则它们之间的距离是（）A．4 B． C．D．12．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2000cm3D．4000cm3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．+a n=16，若S n=50，则n的值14．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3=6，a n﹣2为．15．已知变量x、y满足，则z=2x+y的最大值．16．过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内一点M（3，0）作圆的割线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是．三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=1，S10=45（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．①求角A的大小．②若．19．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．20．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．22．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）学业水平测试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1个B．2个C．4个D．8个【考点】子集与真子集．【专题】集合．【分析】通过已知条件便知，3是B的元素，1，2可以是集合的元素，所以B的可能情况为：B={3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，所以集合B的个数便是4．【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}；∴3∈B，1，2可能是集合B的元素；∴B={3}，{1，3}，{2，3}，或{1，2，3}；∴集合B的个数是4．故选C．【点评】考查并集的概念及运算，以及元素与集合的关系．2．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．a（c2+1）＞b（c2+1）D．a|c|＞b|c|【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】题中给了一个条件a＞b，四个选项就是在考四条不等式的基本性质．逐个选项应用性质进行简单证明，即可得出正确答案．【解答】解：当ab＞0时，∵a＞b，∴，但A选项中没有ab＞0的条件，如果a＞0，b＜0，则a＞b时，，∴A选项不正确；当a＞0，b＞0时，∵a＞b，∴a2＞b2，但B选项中没有a＞0，b＞0的条件，如果a=3，b=﹣5，则a＞b，∴a2=32=9，b2=（﹣5）2=25，即a2＜b2，所以B选项也不正确；在C选项中，∵c2+1＞0，a＞b，∴a（c2+1）＞b（c2+1），即C选项为正确选项；在D选项中，∵|c|≥0，a＞b，∴a|c|≥b|c|，∴D选项也不正确．故选C．【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用不等式的性质是关键．3．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面垂直的性质．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选B．【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．4．函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（）A．（3，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】根据函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的解析式，根据对数的真数部分必须为正，我们可以求出函数的定义域，在各个区间上分类讨论复合函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调性，即可得到函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间．【解答】解：要使函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的解析式有意义x2﹣2x﹣3＞0解得x＜﹣1，或x＞3当x∈（﹣∞，﹣1）时，内函数为减函数，外函数也为减函数，则复合函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）为增函数；当x∈（3，+∞）时，内函数为增函数，外函数为减函数，则复合函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）为减函数；故函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（3，+∞）故选A【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中复合函数单调性的确定原则“同增异减”是解答问题的关键，但解题中易忽略函数的定义域而错选B．5．化简=（）A．1 B．2 C．D．﹣1【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的求值．【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．【解答】解：===2．故选：B．【点评】本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．6．已知非零向量，满足||=||，（﹣）⊥，则向量与的夹角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的定义公式进行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即•=2，∵||=||，∴2||=||，则向量与的夹角满足cosθ==，则θ=30°，故选：A．【点评】本题主要考查向量夹角的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．7．在等比数列中{a n}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（）A．9 B．1 C．2 D．3【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比中项的性质可知，a3a11=a72，a5a9=a72，代入题设等式求得a7，进而利用等比中项的性质求得的值．【解答】解：a3a5a7a9a11=a75=243∴a7=3∴=a7=3故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题过程充分利用等比中项的性质中G2=ab的性质．等比中项的性质根据数列的项数有关．8．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．35【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】根据题意，设班中的女生数为x，由班级的总人数可得“选出代表是女生”的概率与“选出代表是男生”的概率，依题意可得=，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设班中的女生数为x，则“选出代表是女生”的概率为，“选出代表是男生”的概率为1﹣，则有==，解可得x=30，故选C．【点评】本题考查概率的运用，关键是根据题意用x表示出“选出代表是女生”与“选出代表是男生”的概率．9．若实数x 、y 满足=1，则x 2+2y 2有（ ）A ．最大值3+2B ．最小值3+2C ．最大值6D ．最小值6【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得 x 2+2y 2=（ x 2+2y 2）•（）=1+2++，再利用基本不等式求得它的最小值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得 x 2+2y 2=（ x 2+2y 2）•（）=1+2++≥3+2，当且仅当=时，即 x=±y 时，等号成立，故x 2+2y 2有最小值为 3+2，故选 B ．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题．10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1； 当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2； 当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3； 当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4； 当S=2049时，不满足继续循环的条件， 故输出的k 值为4， 故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．已知直线3x+2y ﹣3=0与6x+my+7=0互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4B ．C ．D ．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】利用直线平行关系求出m ，然后求解平行线之间的距离． 【解答】解：直线3x+2y ﹣3=0与6x+my+7=0互相平行， 可得m=4，直线3x+2y ﹣3=0与3x+2y+=0，它们之间的距离是： =．故选：B ．【点评】本题考查两条直线平行，平行线之间距离的求法，考查计算能力．12．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A．B．C．2000cm3D．4000cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；作图题．【分析】由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．【解答】解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，．故选B．【点评】本题考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于180．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴展开式的通项为=令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为：180【点评】本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键．+a n=16，若S n=50，则n的值为10．14．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3=6，a n﹣2【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．+a n=16可得公差d=，利用S n=50计算即【分析】通过S3=3a2=6可得a2=2，利用a n﹣2得结论．【解答】解：∵S3=3a2=6，∴a2=2，+a n=16，又a n﹣2化为：a2+d（n﹣4）+a2+d（n﹣2）=16，∴4+d（2n﹣6）=16，即d（n﹣3）=6，∴d=，而S n=na1+d=n（2﹣）+=50，化简得：（n﹣3）（n﹣10）=0，解得n=10或n=3（增根，舍去），故答案为：10．【点评】本题考查等差数列的相关知识，注意解题方法的积累，属于中档题．15．已知变量x、y满足，则z=2x+y的最大值12．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由可解得，x=5，y=2；故z=2x+y的最大值为2×5+2=12；故答案为：12．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．16．过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内一点M（3，0）作圆的割线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是x+y﹣3=0．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标，由垂径定理得到与直径AM垂直的弦最短，根据A和M的坐标求出直线AM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出直线l的斜率，由求出的斜率及M的坐标，即可得到直线l的方程．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y+2）2=9，∴圆心A坐标为（1，﹣2），又M（3，0），∵直线AM的斜率为=1，∴直线l的斜率为﹣1，则直线l的方程为y=﹣（x﹣3），即x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据垂径定理得到与直径AM垂直的弦最短是解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=1，S10=45（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求出首项和公差，由此能求出a n=n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n==2﹣（n﹣1）=，由此能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，S10=45，∴，解得a1=0，d=1，∴a n=n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n==2﹣（n﹣1）=，∴T n==2﹣．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．18．已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．①求角A的大小．②若．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】①把已知等式的左边去括号后，分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得出sin（2A﹣）的值为1，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；②利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinA及已知的面积代入求出bc的值，利用余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA，根据完全平方公式变形后，将cosA，a及bc的值代入，求出b+c的值，将bc=8与b+c=2联立组成方程组，求出方程组的解集即可得到b与c的值．【解答】解：①∵cosA（sinA﹣cosA）=，∴sinAcosA﹣cos2A=sin2A﹣（1+cos2A）=sin2A﹣cos2A﹣=，即sin（2A﹣）=1，又A为三角形的内角，∴2A﹣=，解得：A=；②∵a=2，S△ABC=2，sinA=，∴bcsinA=2，即bc=8①，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，即8=（b+c）2﹣24，解得：b+c=4②，联立①②，解得：b=c=2．【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．19．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图．【专题】图表型．【分析】（1）利用频率分布直方图中利用纵坐标乘以组距求出第四组的频率，利用频率乘以样本容量求出频数，利用等比数列的中项列出方程求出第五、六组的频数．（2）利用各个小矩形的中点乘以各个矩形的面积求出高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．【解答】解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y由题设得，第四组的频数是0.024×10×50=12则x2=12y又x+y=50﹣（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9∴x=6，y=3补全频率分布直方图（2）该校高一学生历史成绩的平均分+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：500×（0.024+0.012+0.006）×10=210【点评】解决频率分布直方图时一定要注意直方图的纵坐标为：；频数=样本容量×频率．20．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．【考点】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】证明题；综合题；转化思想．【分析】（1）取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．证明DE的平行线CF 垂直平面ABB1A1，内的相交直线AB，BB1，即可证明平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）建立空间直角坐标系，求出中的相关向量，直接求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D的一个法向量，以及平面ABC的一个法向量，利用向量的数量积求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．【解答】解：（1）证明：取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．故．又．∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1，CF⊥AB，而AB∩BB1=B，∴CF⊥平面ABB1A1，又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．又DE⊂平面AB1D．所以平面AB1D⊥平面ABB1A1．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则设异面直线AB1与BC所成的角为θ，则，故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为，（3）由（2）得，设=（1，x，y）为平面AB1D的一个法向量．由得，，即显然平面ABC的一个法向量为m（0，0，1）．则，故．即所求二面角的大小为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数便可得到，这样便可求出a=2，b=1；（2）分离常数可以得到，根据指数函数y=2x的单调性可以判断出x 增大时，f（x）减小，从而可判断出f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；（3）根据f（x）的奇偶性和单调性便可由f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得到（3x）2﹣（k+1）•3x﹣2＞0对于任意的x≥1恒成立，可设3x=t，从而有t2﹣（k+1）t﹣2＞0对于任意的t≥3恒成立，可设g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，从而可以得到，这样解该不等式组便可得出k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）在R上为奇函数；∴；∴；解得a=2，b=1；（2）；x增大时，2x+1增大，减小，f（x）减小；∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；（3）∵f（x）为奇函数，∴由f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得，f（k•3x）＞f（9x﹣3x﹣2）；又f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴k•3x＜9x﹣3x﹣2，该不等式对于任意x≥1恒成立；∴（3x）2﹣（k+1）3x﹣2＞0对任意x≥1恒成立；设3x=t，则t2﹣（k+1）t﹣2＞0对于任意t≥3恒成立；设g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，△=（k+1）2+8＞0；∴k应满足：；解得；∴k的取值范围为．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，减函数的定义，指数函数的单调性，根据减函数的定义解不等式，换元法的运用，要熟悉二次函数的图象．22．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题．【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．。
2019-2020学年绍兴市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年绍兴市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】【分析】通过充分必要条件的定义判定即可.【详解】 若，显然；若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【点睛】 本题主要考查充分必要条件的相关判定，难度很小.2．曲线sin 22x y x e π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在点()0,3处的切线方程是（ ） A ．230x y +-=B ．30x y -+=C ．260x y -+=D ．230x y -+=【答案】D【解析】【分析】求导得到sin 2x y x e '=-+，故0022x y ==+='，计算切线得到答案.【详解】sin 2cos 22x x y x e x e π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，sin 2x y x e '=-+，0022x y ==+='， 所以切线方程为()320y x -=-，即230x y -+=.故选：D .【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.3．已知数列{}n a 为等差数列，且55a =，则9S 的值为A ．25B ．45C ．50D ．90【答案】B由已知及等差数列性质有9129192855()()945S a a a a a a a a a =+++=+++++==L L ，故选B. 4．已知函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]22ln 2,e 2--B ．(]22ln 2,e 2--C ．122ln 2,2e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．122ln 2,2e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】【分析】 本题可转化为函数y a =与e 2x y x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，然后对e 2xy x =-求导并判断单调性，可确定e 2xy x =-的图象特征，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意，可知e 20x x a --=在[]1,1-恰有两个解，即函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，令()e 2x g x x =-，则()e 2xg x '=-，当()0g x '=可得ln 2x =， 故1ln 2x -<<时，()0g x '<；ln 21x <<时，()0g x '>.即()e 2xg x x =-在[]1,ln 2-上单调递减，在(]ln 2,1上单调递增， ()112eg -=+，()1e 2g =-，()ln 222ln 2g =-， 因为()()11g g ->，所以当22ln 2e 2a -<≤-时，函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，即22ln 2e 2a -<≤-时，函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点. 故选B.【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. 5．若a b >，则（ ）A ．()lg 0a b ->B ．33a b <C ．a b >D ．330a b ->【答案】D【分析】结合函数、不等式及绝对值含义判断即可【详解】对A ，若a b >，则0a b ->，但推不出()lg 0a b ->，故A 错；对B ，若a b >，设3xy =，则函数为增函数，则33a b >，故B 错；对C ，若23>-，但推不出23>-，故C 错误；对D ，设3y x =，则函数为增函数，当a b >时，33a b >，则330a b ->，故D 正确；故选：D【点睛】本题考查由指数、对数、幂函数及绝对值的含义比大小，属于基础题6．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】C【解析】【分析】由()0h x =，得出()()f x g x =，转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．【详解】由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数，由()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，由图象可知，()01f x ≤≤，当10x >时，()lg 1g x x =>， 则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点，故选C.本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．7．已知正项等差数列{}n a 满足：211(2)n n n a a a n +-+=≥，等比数列{}n b 满足：112(2)n n n b b b n +-⋅=≥，则220182018log ()a b +=（ ）A ．-1或2B ．0或2C ．2D ．1 【答案】C【解析】分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论． 详解：由()2112n n n a a a n +-+=≥，得211n n n a a a +-=+ ，∵{}n a 是正项等差数列，∴2112n n n n a a a a +-=+=，22n a n ∴=≥，（） ，111120222n n n n n n b b b n b b b n +-+-⋅-=≥∴⋅=≥Q （），（），∵{}n b 是等比数列，2112222n n n n n b b b b n b n +-∴⋅==≥∴=≥（），，（）， 则2222242n n log a b log log （）（）+=+==，即()220182018log 4a b += 故选：D ．点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．8．设集合A ＝{x|x 2－3x ＜0}，B ＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝( )A ．{x|2≤x＜3}B ．{x|－2≤x＜0}C ．{x|0＜x≤2}D ．{x|－2≤x＜3}【答案】C【解析】【分析】求出集合A 中不等式的解集，结合集合B ，得到两个集合的交集．【详解】A={x|x 2﹣3x ＜0}={x|0＜x ＜3}，∵B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故选：C ．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．9．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A ．1603B ．160C ．2563D ．64【答案】A【解析】【分析】【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积. 详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2-CD 1【答案】D【解析】 分析：设2PF m =，则根据平面几何知识可求121,F F PF ，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒o设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=则离心率212c c e a a ====， 故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.11．设lg 2lg5a =+，e (0)x b x =<，则a 与b 大小关系为( )A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a b ≤ 【答案】A【解析】 0lg2lg511x a b e e a b ，=+===∴,选A.12． (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80【答案】C【解析】 ()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2r r r r T x y -+=-可得： 当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设全集U =R ，集合{|13}P x R x =∈≤≤，2{|4}Q x R x =∈≥，则U P Q ⋃=ð_．【答案】(2,3]-【解析】【分析】利用已知求得：{|2,2}Q x R x x =∈≥≤-或，即可求得：{|22}U Q x R x =∈-<<ð，再利用并集运算得解.【详解】由24x ≥可得：2x ≥或2x -≤所以{|2,2}Q x R x x =∈≥≤-或所以{|22}U Q x R x =∈-<<ð所以{|23}U P Q x R x ⋃=∈-<≤ð故填：(]2,3-【点睛】本题主要考查了补集、并集的运算，考查计算能力，属于基础题．14．已知偶函数()()y f x x R =∈在区间[1,0]-上单调递增，且满足(1)(1)0f x f x -++=，给出下列判断：①()50f =；②()f x 在[]1,2上是减函数；③函数()f x 没有最小值；④函数()f x 在0x =处取得最大值；⑤()f x 的图象关于直线1x =对称．其中正确的序号是________．【答案】①②④【解析】【分析】先利用题中等式推出()()2f x f x +=-，进一步推出()()4f x f x +=，得知该函数是周期为4的周期函数，作出满足条件的图像可得出答案．【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()()111f x f x f x +=--=--，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数．由题意知，函数()()y f x x R =∈关于点()1,0对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．故答案为①②④.【点睛】本题考查抽象函数的相关问题，解题的关键在于充分利用题中等式进行推导，进一步得出函数的单调性、周期性、对称性等相关性质，必要时结合图象来考查．15．已知变量,x y 满足约束条件2823y x x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则目标函数62z x y =-的最小值为 __________．【答案】4【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义和数形结合即可得到答案详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由62z x y =-可得：32z y x =-平移直线32z y x =-，由图象可知当直线32z y x =-经过点A 时， 直线32z y x =-的截距最大，此时z 最小 23y x x y =⎧∴⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即()11A ， 此时61214z =⨯-⨯=故目标函数62z x y =-的最小值为4点睛：本题主要考查的知识点是线性规划的应用，画出可行域，转化目标函数，将其转化为几何意义，在y 轴的截距问题即可解答。
广东省江门市2019-2020学年高二下学期学业水平考试数学(理)试题Word版含答案
广东省江门市2019-2020学年下学期学业水平考试高二数学（理）试题（测试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.（1）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则=B A Y（A ）{1,2} （B ）{0,1,2} （C ）{}22≤≤-x x （D ）{}20≤≤x x（2）已知i 是虚数单位，若复数()()z i a i a R =-+∈的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z = （A ）1i -+ （B ）1i + （C ）1i - （D ）1i --（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9- （C ）9 （D ）9（5）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A （B （C ）14 （D ）17图2俯视图侧视图（6）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 0（B ）12 （C ）32- （D ）1- （7）已知向量(sin 2,cos 2)a b x x ==r r ，()f x a b =⋅r r，则函数()f x 的最小正周期为 （A ）π （B ）2π （C ）2π（D ）4π （8）在区间[]m ,1-上随机选取一个数x ，若1≤x 的概率为52，则 实数m 的值为 （A ）32（B ）2 （C ）4 （D ）5 （9）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是（A ）90 （B ）92 （C ）98 （D ）104（10）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与ln y x =的图象关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若2()f m e -=，则m 的值是（A ）e -（B ）2 （C ）－2 （D ）1e（11）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP⊥，则实数a的取值范围为（A）[ （B）[0, （C ）[- （D ）[2,2]-(12) 已知函数()f x =3221ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）(2,)+∞ （B）(0,9 （C ）9∞（-,-) （D ）+9∞（）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题∽第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题∽第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题DC 1B 1CBA卡相应的横线上．（13）6(2x 展开式中常数项是 ． （14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）某次数学竞赛后，小军、小民和小乐分列前三名.老师猜测：“小军第一名，小民不是第一名，小乐不是第三名”.结果老师只猜对一个，由此推断：前三名依次为 . （16）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B 是A 、C 的等差中项，且2b =，则△ABC 面积的最大值为 .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,7a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1, （1）求BD 的长；（2）求B 1D 与平面ABB 1所成角的正弦值． （19）（本小题满分12分） 图3某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二级学生和15名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X型车，高一级学生都租Y 型车.（1）如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租X 型车的概率; （2）已知该地区X 型车每小时的租金为1元，Y 型车每小时的租金为1.2元，设ξ为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求ξ的数学期望（20）（本小题满分12分） 已知如图4，圆C 、椭圆(2222:1x y E ab a b+=>经过点M (，圆C 的圆心为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆E 的两焦点分别为()()122,0,2,0F F -.（Ⅰ）分别求圆C 和椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过1F 作直线l 与圆C 交于A 、B 两点，试探究22F A F B ⋅是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由． （21）（本小题满分12分）已知函数2()2xx f x e x -=+. （Ⅰ）确定函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：函数221()2x e x g x x --=在(0,)+∞上存在最小值.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式5)(≥x f ；(Ⅱ)如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．广东省江门市2019-2020学年下学期学业水平考试高二数学（理）试题参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（9）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其表面积为(254+42+44+245=92+⨯⨯⨯⨯⨯）. （10）由题知(),()xxg x e f x e -==则2m e e =，2m =.（11）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤≤.（12）当0a =时，函数2()21f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()34(34)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或43x a =，由题意知，0a >，且4()03f a>，解得9a >． 二、填空题：（16）由2,,B A C A B C π=+++=得3B =，由余弦定得2222cos 4b a c ac B =+-=,即224a c ac +-=，又222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立）得4ac ≤，所以1sin 2ABC S ac B ∆==≤即△ABC三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,7a a == ∴公差4123a a d -==，---------------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)21n a a n d n =+-=-，-------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==3，25b a ==9，∴11222,6,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，------------------------------------------------------------------5分∴1111()23n n n n b a b a q ---=-=⋅，∴12123n n b n -=-+⋅；--------------------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ)由12123n n b n -=-+⋅得21(132-1)2(1333)n n S n -=++++++++L L -------------------------------------------------------9分(121)2(31)231n n n +--=+- 231n n =+-.---------------------------------------------------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ，------------------------------------------1分∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点， ∴EABCB 1C 1DDE//AB,-------------------------------------------------------------------------------------------------- --------2分又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥,又∵1BC CC ⊥,1AC CC C =I ， ∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC , ∴BC CD ⊥,------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===,∴BD =;-------------------------------------------------------------------------------------------------8分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）依题意知AC 、BC 、CC 1两两互相垂直， 以C 为原点，CB 所在的直线为x 轴、CC 1为y 轴建立空间直角坐标系如图示，易得1,0,0B （），1B ，1(0(001)C A ，，，1(0)2D ，，故11(1)2B D =--u u u u r ，，,(1,0,1)AB =-u u ur,1BB =u u u r ,----------------------------------------9分设平面1ABB 的一个法向量为(,,)m a b c =u r，由1,m AB m BB ⊥⊥u r u u u r u r u u u r得0,0.a c -=⎧⎪=令1c =得(1,0,1)m =u r ，--------------------------------------10分设1B D 与平面1ABB 所成的角为θ，则||sin 11m D B ⋅=θ111|4-+==, 即1B D与平面1ABB 所成的角的正弦值为14.---------------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分，如先用体积法求出点D 到平面ABB 1的距离42=h ，（10分）再用公式D B h 1sin =θ算1B D 与平面1ABB 所成角的正弦值（12分）】(19) 解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为715=320+15⨯，--2分高二学生的人数为:720=420+15⨯；---------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）（1）解法1：所求的概率213434372235C C C P C +==.-----------------------------------------------7分 【解法2：所求概率1234333722135C C C P C +=-=.----------------------------------------------------------7分 （2）从小组内随机抽取3人， 得到的ξ的可能取值为：3,3.2,3.4,3.6.（元）-------------------8分因34374(3)35C P C ξ===，21433718( 3.2)35C C P C ξ===，12433712( 3.4)35C C P C ξ===，33371( 3.6)35C P C ξ===，----------------------------------10分故ξ的数学期望.41812193 3.2 3.4 3.633535353535E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(元)-----------------------12分 （20）解：（Ⅰ）依题意知圆C的半径32r ==，------------------------------------1分 ∴圆C的标准方程为：225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；-------------------------------------------------------------2分∵椭圆2222:1x y E a b+=过点M (，且焦点为()2,0-、()2,0，由椭圆的定义得：||||221MF MF a +=， 即2a ==，----------------------------------------------------------4分 ∴28a =，2244b a =-=， ∴椭圆E的方程为：22184x y +=-----------------------------------------------------------------------------6分 【其它解法请参照给分】（Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为()2y k x =+，由()22259.24y k x x y ⎧=+⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，消去y 得： ()()()2222145410k x kx k ++-++=，-----------------------------------------------------------------8分 显然0∆>有解， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则124x x =，------------------------------------------------------------------9分22F A F B ⋅==2=．故22F A F B ⋅为定值，其值为2.----------------------------------------------------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞--+∞U ，---------------------------------------1分222[(2)](2)(2)'()(2)(2)x x x x e x e x x e x e f x x x +-+--==++0≥，---------------------------------------4分 ∴函数()f x 在(,2)-∞-和(2,)-+∞上单调递增；------------------------------------------------------5分(Ⅱ)2433(2)1[](2)2(21)4(21)2(2)222'()42x x x x x e x e x x e x x e x x g x x x x -++-----+++===3(2)1[()]2x f x x +=+，------------------------------------------------------------------------------------------8分由（Ⅰ）知()f x 在),0(+∞单调递增； ∴1()2f x +在),0(+∞上也单调递增； ∵11(0)022f +=-<，11(2)022f +=>，----------------------------------------------------------10分 ∴存在)2,0(0∈x ，有021)(0=+x f ， 当∈x 0(0,)x 时，1()2f x +<0，得'()0g x <， 当),(0+∞∈x x 时，1()2f x +>0，得'()0g x >，---------------------------------------------------11分 ∴()g x 在0(0,)x 上递减，在),(0+∞x 上递增， 故函数()g x 在(0,)+∞上存在最小值，min 0()()g x g x =.--------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==--------------------------------------2分代入221x y +=中得2216''1x y +=，----------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；-----------------------------------------------------5分（Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，---------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，-----------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14， 故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+--------------------------------------------------------8分 即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=---------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-----------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；--------------------------------------------------2分③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.-------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*）当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分故所求a 的取值范围为5[,+2∞）.--------------------------------------------------------------------------10分。
绍兴市2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析
绍兴市2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，事件A 与事件B 是相互独立的，而事件A 、B 中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C ．考点：相互独立事件概率的计算．2．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则△12PF F 的面积为（ ）A ．54B ．52C ．5D ．10【答案】C 【解析】设12,PF m PF n ==，则：24m n a -==，则：22216m n mn ++=，由勾股定理可得：222436m n c +==， 综上可得：220,10mn mn =∴= 则△12PF F 的面积为：152S mn ==. 本题选择C 选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M|||MF 1|－|MF 2||＝2a,0＜2a ＜|F1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上． 3．直线0,3,0x x y ===与曲线2y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）A ．9B ．274 C ．272D ．27【答案】A【解析】直线x=0,x=3,y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积为：3233001|93x dx x ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰. 本题选择A 选项.4．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =（ ） A ．2B ．8C ．4D ．10【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为AC 中点(1,2)-，半径为长为AC52，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得62y =±，所以46MN =C ． 考点：圆的方程．5．下列值等于1的积分是（ ）A ．1xdx ⎰B ．()101?x dx +⎰C ．11dx ⎰D ．112dx ⎰【答案】C 【解析】 【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可． 【详解】解：选项A ，1⎰xdx 12=x 2101|2=，不满足题意； 选项B ，10 ⎰（x+1）dx ＝（12x 2+x ）101|2=+132=，不满足题意； 选项C ，1⎰1dx ＝x 10|=1﹣0＝1，满足题意； 选项D ，11 2⎰dx 12=x 101|2=-012=，不满足题意；故选C ．考点：定积分及运算．6．抛物线y ＝214x 上一点M 到x 轴的距离为d 1，到直线34x y -＝1的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为（ ） A ．85B ．135C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，将12d d +的最小值转化为抛物线焦点到直线43120x y --=的距离减1来求解. 【详解】根据题意12d d +的最小值等于抛物线焦点到直线43120x y --=的距离减1，而焦点为()01，故12min 15125d d +=-=（），故选D. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7．若0b ≠，则“,,a b c 成等比数列”是“b = ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论．详解：由题意得，例如1,1,1a b c ==-=，此时,,a b c 构成等比数列，而b =反之当0b ≠时，若b =2b cb ac a b=⇒=，所以,,a b c 构成等比数列，所以当0b ≠时，,,a b c 构成等比数列是b =故选B ．点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．8．设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+ B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+【答案】B 【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）． 9．若()0'4f x =，则()()0002lim x x x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．2B ．4C ．18D ．8【答案】D 【解析】 【分析】通过导数的定义，即得答案. 【详解】 根据题意得，()()()()()000000022lim2lim 2'82x x f x f f x f f x x x xx x x ∆→∆→+∆-+∆-===∆∆，故答案为D.【点睛】本题主要考查导数的定义，难度不大.10．若函数12log ,01()(1)(3),1x x f x x x x x ≤⎧⎪=⎨⎪---⎩＜＞，函数()()g x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围是() A ．（0，1） B ．(0,623-C ．(0,623+D ．(623,623-+【答案】A【解析】 【分析】画出()f x 的图像，()()g x f x kx =-有3个零点等价于()f x kx =有3个交点。
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年宜宾市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．由2y x =-与直线23y x =-围成的图形的面积是（ ）A ．53B ．643C ．323D ．9【答案】C【解析】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的面积，即可求得结论．详解：由y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3联立，解得y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y=﹣x 2与直线y=2x ﹣3围成的图形的面积是S=12-3-23)x x dx -+⎰（ =（﹣13x 3﹣x 2+3x ）13|-=323 ． 故答案为：C ．点睛：（1）本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()ba f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. 2．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.3．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.） 附表：则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】分析：根据列联表中数据利用公式求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论.详解：根据卡方公式求得()223081281020101218K -==⨯⨯⨯，27.89710.828K <<，∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断. 4．若6ax⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( ) A ．4B ．4±C ．2D ．2± 【答案】D【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出第k 1+项，求出常数项的系数，列方程即可求解.【详解】因为6ax⎛- ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-， 令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.5．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差2.4DX =，(4)(6)P X P X =>=，则期望EX =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】【分析】 X 服从二项分布，由二项分布的方差公式计算出p 的可能值，再根据(4)(6)P X P X =>=，确定p 的值，再利用均值计算公式计算()E X 的值.【详解】因为()(1)10(1)0.24D X np p p p =-=-=，所以0.4p =或0.6，又因为 (4)(6)P X P X =>=，则4646461010C (1)C (1)p p p p ->-，解得0.5p <，所以0.4p =，则()100.44E X =⨯=.故选：A.【点睛】二项分布的均值与方差计算公式：()E X np =，()(1)D X np p =-.6．设实数，满足约束条件，已知的最大值是，最小值是，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】 试题分析：画出不等式组表示的区域如图，从图形中看出当不成立，故，当直线经过点时,取最大值，即，解之得，所以应选D.考点：线性规划的知识及逆向运用．【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的求参数值的问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的平面区域,然后分类讨论参数的符号,进而移动直线,发现当该直线经过点时取得最大值,以此建立方程,通过解方程求出参数的值.7．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（ ）A ．1eB ．0C ．44eD ．22e【答案】A【解析】【分析】 先算出1()x x f x e-'=，然后求出()f x 的单调性即可 【详解】由()x f x xe -=可得1()x x f x e-'= 当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增当(]1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减所以函数()x f x xe-=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e= 故选：A【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单.8．已知06π⎛⎫⎪⎝⎭，为()()sin 2f x x ϕ=-+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个对称中心，则()f x 的对称轴可能为（ ） A ．2x π= B ．12x π=- C ．3x π=- D ．23x π= 【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定ϕ的值，然后求解函数的对称轴即可.【详解】 由题意可知，当6x π=时，()226x k k Z πϕϕπ-+=-⨯+=∈， 据此可得：()3k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得3πϕ=，则函数的解析式为()2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的对称轴满足：()232x k k Z πππ-=+∈，解得：()5212k x k Z ππ=+∈， 令1k =-可知函数的一条对称轴为12x π=-，且很明显选项ACD 不是函数()f x 的对称轴.本题选择B 选项.【点睛】 本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．[)(]3,24,5--⋃ B ．()()3,24,5--⋃ C ．(]4,5D ．（4,5）【答案】A【解析】【分析】 不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
福建省普通高中2019-2020学年高二6月学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2020年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题一、选择题1. 已知集合{}3A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A. {}1,2,3B. {}1,3C. {}3D. ∅【答案】C【解析】【分析】求出两个集合的交集即可.【详解】={3}A B故选：C【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于容易题目.2. 如图是某圆锥的三视图，则该圆锥底面圆的半径长是（ ）A. 1B. 2C. 3 10【答案】A【解析】【分析】 通过俯视图可以直接得出结论.【详解】通过俯视图，可以判断出直径为2，则半径为1.故选：A.【点睛】本题考查三视图的相关知识点，属于简单题.3. 若三个数1，3，a 成等比数列，则实数a =（ ）A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质可知231a=⨯，计算结果.【详解】1，3，a成等比数列，231a∴=⨯，解得：9a=.故选：D 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题型. 4. 一组数据3，4，4，4，5，6的众数为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】【分析】根据众数的定义，直接求众数. 【详解】众数是一组数据中出现次数最多的数据，4出现了3次，是出现最多的数字，所以这组数据中的众数是4.故选：B【点睛】本题考查众数，属于基础题型.5. 如图，在正方形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A.14B.12C.34D. 1【答案】A【解析】【分析】利用几何概型的概率公式可知，黄豆落到阴影部分的概率为三角形的面积与正方形的面积之比．【详解】由图象可知，阴影部分面积占了正方形面积的四分之一， 由几何概型的概率公式可得：14P =，故选：A【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，只要正确的选择事件的测度（长度，面积，体积），利用测度比求概率即可，属于基础题．6. 函数cos y x =的最小正周期为（ ） A. 2π B. π C. 32π D. 2π【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数的性质可得函数的最小正周期．【详解】函数cos y x =的最小正周期为：2π故选：D【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查学生逻辑推理能力，属于基础题．7. 函数12y x =-的定义域为（ ） A. (),2-∞B. ()2,+∞C. ()(),22,-∞+∞D. R【答案】C【解析】【分析】若函数有意义，则分母不为0，可得函数的定义域．【详解】20,2x x -≠∴≠， 故选：C【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．8. 不等式240x y +-≤表示的平面区域是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出直线240x y +-=，利用特殊点确定出不等式表示的平面区域即可．【详解】取点()0,0代入不等式，可得40-≤，即()0,0在平面区域内，阴影部分应为直线240x y +-=的左下方，故选：A【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．9. 已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ）A. －2B. －1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】两直线平行，则斜率相等求解.【详解】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.10. 化简MN NP QP +-=（ ）A. MPB. NQC. MQD. PM【答案】C【解析】【分析】根据向量加减法直接计算.【详解】MN NP QP MP PQ MQ +-=+=.故选：C【点睛】本题考查向量加减运算，属于基础题型.11. 不等式()()023x x +-<的解集是（ ） A. {2x x <-或}3x > B. {}23x x -<< C. 1123x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D. 12x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得结果.【详解】不等式()()023x x +-<得23x -<<，故选：B.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属基础题.12. 化简()tan πα+=（ ）A. sin αB. cos αC. sin α-D.tan α【答案】D【解析】【分析】切化弦后利用诱导公式变形，然后再弦化切得出结论． 【详解】sin()sin tan()tan cos()cos πααπααπαα+-+===+-，故选：D ．【点睛】本题考查诱导公式，实际上利用同角间的三角函数关系式可得正切的诱导公式：tan()tan k παα+=，tan()tan k παα-=-，k Z ∈．13. 下列函数中，在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 3y x =-B. 2y x =C. 2y xD. 2x y =【答案】B【解析】【分析】 根据解析式的特征，区分函数类型，直接判断函数的单调性.【详解】A.3y x =-在R 上单调递增，所以不正确； B.2y x =在()0,∞+上单调递减，所以正确； C.2y x 是开口向上的抛物线，对称轴是0x =，所以在()0,∞+单调递增，故不正确；D.2x y =中，21>，所以函数在R 上单调递增，故不正确.故选：B 【点睛】本题考查判断函数单调性，属于基础题型.14. 已知0.54a =，24b =，4log 0.5c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b << 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数单调性判a,b,利用对数单调性判断c【详解】4x y =单调递增，故0.504a <=24b <=，44log 0.5log 10c =<= 故c a b <<故选：C【点睛】本题考查指数函数与对数函数的单调性，比较大小经常与中间值0作比较，是基础题15. 函数21,2,log ,2x y x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】 利用分段函数的解析式结合函数图象逐一检验即可．【详解】由题意，当2x <，即22x -<<时，1y =，排除选项B ；当2x ≥时，2log y x =，排除C 和D ；故选：A【点睛】本题考查函数图象的应用，考查分段函数，考查学生数形结合能力，属于基础题．二、填空题16. 已知向量()0,2a →=，则2a →=______．【答案】()0,4【解析】【分析】利用平面向量的坐标数乘公式计算得出答案．【详解】()()0,2,20,4a a →→=∴=，故答案为：()0,4【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生计算能力，属于基础题．17. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入的x 的值为－4，则输出相应的y 的值是______．【答案】－4【解析】【分析】根据程序框图的运行过程，可得出该程序运行后输出的y 值．【详解】输入的x 的值为－4,0,4x y <∴=-，输出的y 值为－4，故答案为：－4【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，按题意正确写出得到的y 的值是解题的关键，属于基础题．18. 函数()2f x x x =+的零点个数为______．【答案】2【解析】【分析】函数的零点个数就是对应方程的实数根的个数，直接解方程求解.【详解】令20x x +=，解得：0x =或1x =-，函数的零点个数就是方程20x x +=的实数根的个数，所以函数的零点有2个.故答案为：2【点睛】本题考查函数零点个数，属于基础题型.19. 在△ABC 中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC ＝ . 3【解析】222222cos 12212cos 603,3AC AB BC AB BC B AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯=∴=20. 函数y=x+1x ，x ＞0的最小值是_____． 【答案】2【解析】【分析】 由题意，注意到两项的积为定值，且为正数，利用基本不等式，即可求得函数的最小值． 【详解】由题意，因为0x >，所以y=x+1122x x x≥=，当且仅当x=1 取等号． 故函数y=x+1x ，x ＞0的最小值是2． 故答案为2．【点睛】本题主要考查了函数的最值问题，以及基本不等式的应用，其中解答中注意到两项的积为定值，且为正数，利用基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题21. 已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的终边上任取点(),P x y ，它与原点的距离220r x y =+>，定义：sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．如图，()2,2P 为角α终边上一点．（1）求sin α，cos α的值；（2）求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）2sin α=，2cos α=；（2）1．【解析】 【分析】 （1）由题意可知2r ，根据三角函数的定义，直接计算结果； （2）根据两角和的正弦公式展开，根据（1）的结果代入求值.【详解】解：（1）依题意：()()22222r =+=，所以2sin α=，2cos α=． （2）由（1）知sin sin cos cos sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 222212222=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查三角函数定义的简单应用，两角和的正弦公式，属于基础题型.22. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且3AD =，2PD CD ==．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若,E F 分别是棱,PC AB 中点，则EF 与平面PAD 的位置关系是______，在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由．①EF ⊂平面PAD ；②//EF 平面PAD ；③EF 与平面PAD 相交．【答案】（1）4；（2）②，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据四棱锥体积公式直接计算；（2）首先判断//EF 平面PAD ，要证明线面平行，需证明线线平行，取PD 的中点G ，连接GA，GE．根据条件证明四边形AFEG是平行四边形. 【详解】（1）因为PD⊥平面ABCD，所以112324 33ABCDV S PD=⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形．（2）②，理由如下：取PD的中点G，连接GA，GE．因为,E G分别为PC，PD的中点，所以GE DC，12GE DC=．因为F为AB的中点，所以12AF AB=，又矩形ABCD中，AB DC，且AB DC=，所以GE AF，且GE AF=，所以四边形AFEG是平行四边形．所以EF GA．又EF⊄平面PAD，GA⊂平面PAD，所以//EF平面PAD．【点睛】本题考查证明线面平行，几何体的体积，重点考查逻辑推理，空间想象能力，计算能力，属于基础题型.23. 如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位数；（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多） 【答案】（1）19；（2）95． 【解析】 【分析】（1）构造等差数列，写出首项及公差，利用等差数列通项公式求得结果； （2）构造等差数列，利用等差数列求和求得结果.【详解】解：（1）依题意，得每排的座位数会构成等差数列{}n a ，其中首项19a =，公差2d =，所以第六排的座位数()616119a a d =+-=．（2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人， 第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列{}n b ， 首项15b =，公差1d '=，所以数列前10项和10110910952S b d ⨯'=+⨯=． 故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列求和，属中档题. 24. 已知圆C 的方程为()()22215x y -+-=． （1）写出圆心C 的坐标与半径长；（2）若直线l 过点()0,1P ，试判断与圆C 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长5r =（2）相交，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据圆的标准方程写出圆心与半径；（2）先设出直线方程，和圆的方程联立，利用韦达定理判断出结论.【详解】解：（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长r = （2）当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为0x =，与圆有2个交点； 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+， 将1y kx =+代入()()22215x y -+-=整理，得()221410kxx +--=，因为210k +≠，且()216410k ∆=++>恒成立，所以直线l 与圆C 相交．综上所述，直线l 与圆C 相交．【点睛】本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，属基础题.25. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到零件数i x （单位：件）与加工时间i y （单位：小时）的部分数据，整理如下表：根据表中的数据： （1）求3x 和4y 的值； （2）画出散点图；（3）求回归方程y bx a =+；并预测，加工100件零件所需要的时间是多少？ 【答案】（1）330x =，481y =；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的合计数据可得所求值. （2）根据表格中的数据可直接画出散点图.（3）由表格中数据计算,x ，y ，得到样本中心点，由公式计算出b ，将样本中心点代入直线方程可求得a ，从而得到回归方程，将100x =代入回归方程中可得所需时间. 【详解】（1）依题意可得：330x =，481y =．（2）散点图如图：（3）由表格数据计算得150305x ==，375755y ==． 1222111920530756700.6755005301000ni ii ni i x y nx yb x nx==-⋅-⨯⨯====-⨯-∑∑，750.673054.9a y bx =-=-⨯=，所求的回归方程为：0.6754.9y x =+．当100x =时，0.6710054.9121.9y =⨯+=（小时）． 所以加工100件零件所需要的时间约为121.9小时．【点睛】本题考查散点图，考查线性回归方程的求法和应用，属于基础题.。
2019-2020年高二10月学习水平检查数学试题 含答案
2019-2020年高二10月学习水平检查数学试题 含答案一、填空题（每题4分，共56分）1．已知实数，则直线必过定点 。
2．已知、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，，，且与平行，则 。
3．直线与直线的夹角为 。
4．已知=(,），=(1,),则向量在方向上的投影为 。
5．已知定点A （0，1），点B 在直线上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为___ ___。
6．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为 。
7．已知的单位向量为，若的起点坐标为(1,-2)，模为，则的终点坐标是 。
8．若，且，则向量与的夹角为 。
9．经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A(3,－2），B(－1,6)等距离的直线方程是 。
10．若和的图像有两个交点，则的取值范围是 。
11．设三条直线01232,01832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 围成直角三角形，则实数的值为 。
12．若直线被两平行线与所截得的线段的长为，则直线的倾斜角可以是：① ② ③ ④ ⑤，其中正确答案的序号是 。
（写出所有正确答案的序号） 13．如图，点是圆上的三点，线段与线段 交于圆内一点，若,则的取 值范围为 。
14．在R t△ABC 中，已知斜边BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A与的夹角 。
二、选择题（每题5分，共20分） 15．下列命题正确的个数是（ ） （1）单位向量都相等； （2），则； （3）若与是单位向量，则；（4）若与是平行向量，与是平行向量，则与是平行向量。
AB（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）116．如图，四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）717．过点(1,3)作直线,若经过点(a,0)和(0,b),且,则可作出的的条数为（ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）多于3条18．已知向量,，，若对任意单位向量，均有,则的最大值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）三、解答题（12分＋14分＋14分＋16分＋18分，共74分）19．（本题12分）已知点A(2，0），B(0，6），O 为坐标原点，若原点O 关于直线AB 的对称点为D ，连接并延长BD 到P ，且|PD|=2|BD|，且直线031088410:=-++y ax l 经过点P ，求直线的倾斜角。
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列函数一定是指数函数的是（） A ．12x y +=B ．3y x =C ．32x y =⋅D ．3x y -=2．如图，在正方体1AC 中，,,,E F G H 分别是11,AA BB ,11,CD C D 的中点，则四面体EFGH 在平面11CC D D 上的正投影是A ．B ．C ．D ．3．由曲线2(0)y x x =≥和直线0x =，1x =，2y t =（01t <<）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．A ．12B ．23C ．14D ．134．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层1班生物A 层3班物理A 层2班生物A 层4班物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治1班 物理A 层3班 政治2班 政治3班 A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种5．设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|1}B x y x ==-，则（ ）A ．AB ⊆B ．A B A ⋃=C ．AB =∅D ．()I A B ⋂≠∅6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．7．设全集U ＝R ，集合{}3A x x =≤， {}6B x x =≤，则集合()⋂=U C A B ( ) A ．{}36x x <≤ B ．{}36x x << C ．{}36x x ≤<D ．{}36x x ≤≤8．观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=（）A ．28B ．76C ．123D ．1999．下列命题中为真命题的是（ ） A ．若10,2x x x≠+≥ B ．命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠ C ．“=1a ”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件 D ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>10．已知随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()2,()1E X D X ==，则(3)P X ==（ ） A ．14B ．13C ．38D ．1211．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( ) A ．112种B ．100种C ．90种D ．80种12．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为 A ．715B ．730C ．115D ．130二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．关于x 的方程422525x xC C +=的解为x =________14．已知函数()()2log 41xf x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________．15．71()7x x-的展开式的第3项为______. 16．若正实数{}n a 满足21a b +=，则12a b+的最小值为______ ．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()1n f x x ax =-+ 11()aa R x--∈. (1)当12a ≤时,讨论()f x 的单调性； (2)设2()24g x x bx =-+，当14a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在2[1,2]x ∈使12()()f x g x ≥,求实数b 取值.18．已知函数()()()2122f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值． 19．（6分）已知函数()xmf x nx e =+. （1）若函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值；（2）当1n =时，在区间(,1]-∞上至少存在一个0x ，使得0()0f x <成立，求实数m 的取值范围.20．（6分）已知实数，设函数．（1）证明：；（2）若，求的取值范围．21．（6分）已知数列{}n a 满足12a =，()12n n a a n N *+=∈，设()23log 2n n b a n N *=-∈，数列{}n c 满足n n n c a b =.（1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）求数列{}n c 的前n 项和n S .22．（8分）已知不等式21214x x ++-<的解集为M ． （1）求集合M ；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据指数函数定义，逐项分析即可. 【详解】A ：12x y +=中指数是1x +，所以不是指数函数，故错误；B ：3y x =是幂函数，故错误；C ：32x y =⋅中底数前系数是3，所以不是指数函数，故错误；D ：13()3xx y -==属于指数函数，故正确. 故选D. 【点睛】指数函数和指数型函数：形如xy a =（01a <<且1a ≠）的是指数函数，形如x cy b a +=⋅（01a <<且1a ≠且0b ≠且0c ≠）的是指数型函数. 2．C 【解析】分析：根据正投影的概念判断即可. 详解：根据正投影的概念判断选C. 选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题. 3．C 【解析】利用定积分求出阴影部分区域面积关于t 的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果． 【详解】设阴影部分区域的面积为()f t ， 则()()()1222223321320011413333t t t tf t t x dx x t dx t x x x t x t t ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰， ()()242221f t t t t t '∴=-=-，其中01t <<，令()0f t '=，得12t =， 当102t <<时，()0f t '<；当112t <<时，()0f t '>. 所以，函数()y f t =在12t =处取得极小值，亦即最小值，且最小值为1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因此，阴影部分区域面积的最小值为14，故选C ． 【点睛】本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 4．B 【解析】 【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班； （7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B.本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解. 【详解】∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥， 由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，A B A =，I A B ⋂=∅，故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ. 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题． 7．A 【解析】 【分析】求出U C A ，然后求解()U C A B ⋂即可.全集U =R ，集合{}{}|3,|6A x x B x x =≤=≤， 则集合{}|3U C A x x =>， 所以{}()|36U C A B x x =<≤，故选A. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目. 8．C 【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即1010123a b += 考点：归纳推理 9．B 【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论． 详解：对于A ，0x ＞，利用基本不等式，可得12x x+≥，故不正确； 对于B ，命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠ ，正确；对于C ，“1a =± ”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件，故不正确； 对于D ，命题命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥ ，故不正确． 故选：B ．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题． 10．A 【解析】 【分析】由二项分布与n 次独立重复实验的模型得：4n =，12p =，则34411(3)()24P X C ===，得解． 【详解】因为X 服从二项分布~(,)X B n p ，()2E X =，()1D X =， 所以2np =，(1)1np p -=，即4n =，12p =， 则34411(3)()24P X C ===，故选：A ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复实验的模型，属于基础题． 11．A 【解析】分析：根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数． 详解：∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，∴每个个体被抽到的概率是14， 根据分层抽样要求，应选出8×14=2名女生，4×14=1名男生，∴有C 82•C 41=1． 故答案为：A ．点睛：本题主要考查分层抽样和计数原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 12．A 【解析】分析：先求出基本事件的总数21045n C ==，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件个数117321m C C ==，由此即可求出.详解：含有3件次品的10件产品中，任取2件，基本事件的总数21045n C ==，恰好取到1件次品包含的基本事件个数117321m C C ==，恰好取到1件次品的概率2174515m P n ===. 故选：A.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．4或7 【解析】 【分析】根据组合数的性质，列出方程，求出x 的值即可. 【详解】解：∵422525x xC C +=，∴24x x =+或2(4)25x x ++=， 解得4x =或7x =. 故答案为：4或7. 【点睛】本题考查了组合数的性质与应用问题，是基础题目. 14．()0,1 【解析】 【分析】首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为()()3log 0f x f <，进一步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果. 【详解】当0m =时，()()2log 41xf x =+是R 上的增函数，且()()20log 111f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为()()3log 0f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从而得答案为()0,1. 故答案为()0,1 【点睛】解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要. 15．337x 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式7717rrr C x x -⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭，令2r可得出答案．【详解】717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第3项为225371377C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为337x ． 【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题．16．9 【解析】 【分析】根据()12122a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值.【详解】()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 等号成立的条件是22b aa b=，即22a b =， 22210,0a b a b a b ⎧=⎪+=⎨⎪>>⎩，解得：11,33a b == 12a b∴+的最小值是9. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值的问题，属于简单题型.基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，这三个要素缺一不可.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)上单调递减；函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当12a =时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a -上单调递增;函数()f x 在1(1,)a-+∞上单调递减；（2）17[,)8+∞． 【解析】分析：（1）先求定义域，再对函数求导，()221ax x af x x-+-'= ()0,x ∈+∞， 令()21h x ax x a =-+- ()0,x ∈+∞，分0a =，12a =，102a <<，0a <，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间。
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2019-2020年高二学业水平考试数学试题 含答案一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A.5B.4C.3D.22．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为.A ．2+-=x yB ．2y --=x C.2y +=x D ．2y -=x3．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 A ．2πB ． 3π2C ．3πD ．4π4．已知角α的终边经过点P(-3,4)，则下列计算结论中正确的是（ ） A ．4tan 3α=- B ． 4sin 5α=- C ．3cos 5α= D ．3sin 5α= 5．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为 （ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．166．三个数21log ,)21(,33321===c b a 的大小顺序为 （ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ． a b c <<D ．b a c << 7．在等比数列{}n a 中，)(0*N n a n ∈>且,16,464==a a 则数列{}n a 的公比q 是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．设R b a ∈,且3=+b a ，则b a 22+的最小值是( )A. 6B. 24C. 22D. 62 9．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是（ ） A.若//l m ，//m n ，则//l n . B.若l α⊥，//n α，则l n ⊥.C.若//l α，//n α，则//l n .D.若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. 10．把正弦函数R)(x sinx y ∈=图象上所有的点向左平移6π个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍，得到的函数是（ ） A ．y=sin 1()26x π+ B.y=sin 1()26x π- C.y=sin (2)6x π+ D.y=sin (2)3x π+11．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是( )A ．12B ． 52C ． 32D ．112．已知圆4)1(22=+-y x 内一点P （2，1），则过P 点最短弦所在的直线方程是 （ ）A ．01=+-y xB ．03=-+y xC ．03=++y xD ．2=x二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
)13．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，则=-)3(f ．14．已知a 124,e e =-b 122,e ke =+12向量e 、e 不共线，则当k= 时，a //b 15．在⊿ABC 中，已知====c C b a 则,3,4,3π．16．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是__________.三．解答题：(本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17．(本小题满分10分) 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4,⑴求他乘火车或乘飞机去的概率； ⑵求他不乘轮船去的概率；18．（本小题满分12分）已知函数10),1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且 (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x)的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集.19．(本小题满分12分)如下图所示，圆心C 的坐标为（2，2），圆C 与x 轴和y 轴都相切．（I ）求圆C 的一般方程；（II ）求与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程．20．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝5，c ＝7. (1)求角C 的大小； (2)求sin （3π+B ）的值.21．（本小题满分12分）已知递增等比数列{a n }的前三项之积为8，且这三项分别加上1，2，2后又成等差数列. (1)求等比数列{n a }的通项公式；(2)记n a b n 2n +=，求数列{n b }的前n 项和n T .22．(本小题满分12分) 如图所示，已知BCD，⊥M、N分别是AC、AD的AB平面中点，BC⊥CD．（I）求证：MN∥平面BCD；（II）求证：平面B CD⊥平面ABC；（III）若AB＝1，BC＝3，求直线AC与平面BCD所成的角．黑龙江省高中数学学业水平考试 答案 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
） 13 、-12 14、k=-8 15、13 16、 -14三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)17、(本小题满分10分) （1）0.7；（2）0.8；18、(本小题满分12分)解 (1)要使函数f (x )有意义.则⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}.(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数.(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1(4)解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}. 19、(本小题满分12分) 解 (1) 依题意,半径2r =,所以, 圆的标准方程是()()22224x y -+-=. 圆的一般方程为224440x y x y +--+=．（2）设直线方程为()00x y a a +-=≠,2=.所以4a =±所求直线方程为：40x y +-+=或40x y +--=．20、(本小题满分12分)解 (1)由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12.∵0＜C ＜π，∴C ＝2π3.(2)由正弦定理b sin B＝c sin C，得sin B ＝b sin Cc＝5sin 2π37＝5314， ∵C ＝2π3，∴B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝1114. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝5314×12＋1114×32＝437.21、(本小题满分12分)解 (1)设等比数列前三项分别为a 1，a 2，a 3， 则a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2又成等差数列. 依题意得⎩⎨⎧a 1a 2a 3＝8，2（a 2＋2）＝（a 1＋1）＋（a 3＋2），即⎩⎨⎧a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，2（a 1q ＋2）＝a 1＋1＋a 1·q 2＋2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝4，q ＝12(数列{a n}为递增等比数列，舍去). ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由b n ＝a n ＋2n ，得b n ＝2n －1＋2n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(20＋2×1)＋(21＋2×2)＋(22＋2×3)＋…＋(2n －1＋2n ) ＝(20＋21＋22＋…＋2n －1)＋2(1＋2＋3＋…＋n ) ＝20（1－2n ）1－2＋2×n （1＋n ）2＝2n ＋n 2＋n －1.22、(本小题满分12分)解 （1）因为,M N 分别是,AC AD 的中点， 所以//MN CD ．又MN ⊄平面BCD 且CD ⊂平面BCD ， 所以//MN 平面BCD ．(2)因为AB ⊥平面BCD , CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥．又CD BC AB BC B ⊥⋂=且，所以CD ⊥平面ABC ． 又CD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ABC ．(３)因为AB ⊥平面BCD ，所以ACB ∠为直线AC 与平面BCD 所成的角． 在直角∆ABC中，tan 3AB ACB BC ∠==30ACB ∠=． 故直线AC 与平面BCD 所成的角为30．。