空间点阵型式
5.点阵与晶胞
c a a 120o
c
α
c b
Simple
Body-centered TETRAGONAL
a
a
β γ
a
HEXAGONAL
TRICLINIC
练习题
1. 请指出平面点阵的四种型式中, 为什么只有矩形 有带心与不带心两种型式, 而其他均无带心的型 式? 2. 为什么有面心立方, 而无面心四方点阵形式? 3. 指出下列点阵形式中各点阵点的分数坐标:
例如, 右图是一个立方晶 胞, 在此晶胞中, a = b= c, α= β=γ= 90°。每个晶胞中含有 4个紫色圆球, 它们的分数坐 标分别为: (0,0,0), (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2),(0,1/2,1/2);每个晶 胞中含有4个黄色圆球, 它们 的分数坐标分别为: (1/4, 1/4, 1/4), (3/4,3/4,1/4),(3/4,1/4,3/4), (1/4,3/4,3/4)。以上就是这个 晶胞的两要素。
a a a
c
β
b
Simple
Face-centered CUBIC
Body-centered
a
Simple
End face-centered
MONOCLINIC
α
c a
a
b
a
a
Simple
End face-centered Body-centered ORTHORHOMBIC
Face-centered RHOMBOHEDRAL
(1)晶胞: 晶体结构中的基本重复单位叫做晶胞。当 晶胞按正当单位的选取原则来选取时，得到的 晶胞就是正当晶胞。晶胞一定是平行六面体单 位。在晶体中，晶胞是并置堆砌的。 所谓并置堆砌是指平行六面体之间没有任 何空隙，同时相邻的八个平行六面体均能公用 顶点。
空间点阵空间点阵到底有多少种排列形式？按照每个阵点的周围环境
-空间点阵空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。
这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。
空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。
当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。
在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如图1-8所示。
一般情况下单胞的选取有以图1-8 空间点阵及晶胞的不同取法图1-9面心立方阵胞中的固体物理原胞图1-10晶体学选取晶胞的原则下两种选取方式：1．固体物理选法在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。
如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征，如图1-9所示。
2．晶体学选法由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则（如图1-10所示）：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。
根据以上原则，所选出的14种布拉菲点阵的单胞（见图1-12）可以分为两大类。
一类为简单单胞，即只在平行六面体的 8个顶点上有结点，而每个顶点处的结点又分属于 8个相邻单胞，故一个简单单胞只含有一个结点。
另一类为复合单胞(或称复杂单胞)，除在平行六面体顶点位置含有结点之外，尚在体心、面心、底心等位置上存在结点，整个单胞含有一个以上的结点。
14种布拉菲点阵中包括7个简单单胞，7个复合单胞。
图1-11 单晶胞及晶格常数根据单胞所反映出的对称性，可以选定合适的坐标系，一般以单胞中某一顶点为坐标原点，相交于原点的三个棱边为X、Y、Z三个坐标轴，定义X、Y轴之间夹角为γ，Y、Z之间夹角为α，Z、X轴之间夹角为β，如图1-11所示。
晶体的点阵结构
7.1 晶体结构的周期性和点阵 7.1.1 晶体结构的特征： 物质的聚集状态：气态、液态和固态。 气态：空间自由运动，分布杂乱无章。 液态：液体内自由运动，多为杂乱分布。也有例 外，如液晶。 固态：在局部分子振动，杂乱分布的，称为非晶 物质。部分规律排列，准晶。完全规律性排列， 晶体。
以上宏观对称操作均为点操作。 晶体受点阵的制约，旋转轴次仅限于1，2，3，4，6。 n次轴 B1B2//A1A4 B1B2=ma(m=0,±1,±2…) ma=a+2acosα=a(1+2cosα) m=1+2cosα cosα =1/2(m-1) |1/2(m-1)|1 m=3,2,1,0,-1 α = 0º,60º,90º,120º,180º n=1, 6, 4, 3, 2
1
1
滑移面： ①轴向滑移面a 轴向滑移面b 轴向滑移面c ②对角线滑移面n： 对角线方向平移1/2(a+b)或1/2(a+c)或1/2(b+c) ③菱形滑移面d： 平移1/4(a+b)或1/4(a+c)或1/4(b+c)
1
点阵点指标 点阵点数目 P (0,0,0) 1 I (0,0,0) (1/2,1/2,1/2) 2 F (0,0,0) (1/2,1/2,0) 4 (1/2,0,1/2) (0,1/2,1/2) C (0,0,0) (1/2,1/2,0) 2 立方C不存在，破坏了三次轴。四方F可转化为四方I，四 方C可转化为四方P。
正方单位
六方单位
矩形P
矩形C 矩形单位
一般平行四边形 单位
a=b a=b a≠b a≠b a≠b γ=90° γ=120° γ=90° γ=90° γ≠ 90° C4 C6 σ1⊥σ2 正当单位：反映结构的对称性；点阵点尽量少。
晶体学14种空间点阵型式
晶体学14种空间点阵型式晶体的点阵分为14种空间点阵型式：简立方、体心立方、面心立方、简六方、简四方、体心四方、心六方、简正交、心正交、体心正交、面心正交、简单斜、心单斜和简三斜。
晶体是由微观粒子，原子、离子或分子在三维空间周期性地重复排列而形成的固体物质，与晶体结构周期性对应的一个重要数学概念为点阵。
依据特征对称元素,晶体分为7个晶系，立方、六方、四方、三方、正交、单斜和三斜，依据特征对称元素和正当点阵单位的划分规则，法国科学家于1866年推导出上述14种空间点阵型式，然而，14种空间点阵型式的严格数学推导过程繁杂冗长，致使国内外许多有关晶体学、固体化学和结构化学的教材只是列举14种空间点阵型式，而对其来龙去脉或是只做部分说明，或无任何解释。
点阵的类型包括点阵是激光的一种输出模式，可把原本聚集的光斑分散成数十到数百个更微小的焦斑，形成细如发丝的矩阵激光，将微量的热损伤分隔，这样热损伤之间的正常组织不受影响。
点阵激光主要分为剥脱性和非剥脱性，常见的点阵激光主要有以下几类：非剥脱性点阵激光：1550nm波长点阵激光1550nm波长激光的水分吸收率较低，激光柱状热损伤可直达肌肤真皮层，淡化毛孔、提升肌肤弹性的效果显著。
1927nm铥激光1927nm波长激光是一种新型的激光波长，水吸收率是1550nm 波长激光的10倍，介于剥脱和非剥脱之间，作用深度位于皮肤表皮层下部和真皮层上部的之间的部位。
1927nm波长激光可应对色素性皮肤疾病，以及美白嫩肤，提亮和均匀肤色，打造完美无暇美肌。
剥脱性点阵激光:10600nm二氧化碳点阵激光10600的水分吸收率很高，是1927nm铥激光的24倍，可从角质层开始汽化至皮肤深层，皮肤重塑的能力很强，可用于痤疮瘢痕、妊娠纹，紧致换肤、减少皱纹、改善肤色肤质等，特别是凹陷型疤痕，效果显著。
2940nm铒激光2940nm波长点阵激光的水分吸收率是二氧化碳点阵激光的10倍，属剥脱性的点阵激光，主要作用于皮肤的角质层，可精确对皮肤细致剥脱，主要用于嫩肤，去除浅表瘢痕、老年斑、痣和凸起型疤痕等。
3.空间点阵
在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角 称为基转角。轴次 n 可以写成
n
360
在晶体的宏观对称中，n 的数值不能是任意的。晶 体对称定律证明：在晶体中只可能出现一次、二次、 三次、四次和六次旋转轴。不可能出现五次以及高 于六次的旋转轴。 晶体中如果存在旋转轴，则其必定通过晶体的几 何中心。
把微粒间相互作用的影响暂时撇开而从纯粹 的几何角度来讨论晶体结构的描述问题，就 可以把晶体中微粒的排列看成是等大球体或 者不等大球体的堆积。
2.3.1 几个基本概念
几个基本概念
• 基元
– 在 NaCl 中，基元为 NaCl 分子
• 等同原子
– 在 NaCl 中，所有的 Na 离子均为等同原子， 所有的 Cl 离子也为等同原子
点的集合就称为空间点阵。晶体的最小结构单元
基元中包括了晶体中所有种类的不等同微粒，而
且构成基元的微粒中任意两个都互为不等同微粒。
从等大球体堆积构型中抽象出空间点阵 (一) 六方最紧密堆积
这个点阵相当于一个底面顶 角为60的平行六面体在三维 空间的无限堆垛
比较一下晶体结构与空间点阵
把所有的微粒都画出来的图 形表示的是晶体的结构
3 次倒转轴
相当于旋转120后再对中心反 演而图形不变。 先旋转120图形能够复原，因 此该图形具有 1 条 3 次旋转轴
该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中心反 演而图形不变。 这是一个独立的对称操作。 它既没有 4 次旋转轴也没有 对称中心，不能分解成其他 注意这里的 2、6、4、 基本对称要素的组合。 8 这四个点是不存在的， 也是过渡点。
第4章+晶体结构和空间点阵
• 材料科学与工程上：metals、ceramics、 polymers
¾ 材料的性能取决于其化学组成和微观结构。当化学 组成确定后，材料的结构就决定其性能。而结构又 是和工艺条件紧密相联系的。因此，研究材料的结 构，不仅可以帮助我们判别材料的性能，而且也可 以使我们了解到生产工艺过程的变化情况。
3.2 晶系、布拉菲格子 3.3 典型的晶格结构 3.4 倒易点阵 3.5 晶格的对称性 3.6 晶体缺陷
4.1.2点阵参数与阵点位置
在点阵中以直线连结各个点阵点，形成直线点 阵，相邻两个点阵点的矢量a是这直线点阵的单位矢 量，矢量的长度a=｜a｜，称为点阵参数，如图（a）
a
图 (a) 直线点阵
平面点阵必可划分为一组平行的直线点阵，并
在晶体的空间点阵中，每个阵点都具有完全相同 的周围环境；在平移的对称操作（连结点阵中任意两 点的矢量,按此矢量平移）下,所有点都能复原；每个 点代表结构中相同的位置；它所对应的具体内容，包 括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排 列的结构，称为晶体的结构基元，简称基元(Basis)。 基元是指重复周期中的具体内容；点阵点是代表结构 基元在空间重复排列方式的抽象的点。如果在晶体点 阵中各阵点位置上，按同一种方式安置结构基元，就 得整个晶体的结构。所以
的方向来标志，上式中u, v, w必为互质的整数，实际上 用这三个互质的整数来标志晶向，写作[uvw]，称为晶 向指数。
• 等效晶向组成等效晶向族，通常用尖括号表示为 <100>,<111>, <110>等.
¾晶面
晶面：布拉菲格点可以看成分布在平行等距的平面系上，这些 平面称为晶面。
晶体结构的对称性从点阵到空间群1
晶体学中的对称操作元素
❖ 分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按 照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任 何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操 作。
为记为
组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定 是对称操作。其矩阵表示为：
001
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
cs0ionsqq
sinq cosq
0
001
旋转反映轴--映轴
❖ 旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其对 称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对垂 直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ (Sn)， 设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
❖ σ 在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面， d （ dihedral plane ）。
通过yz面的反映。
旋转倒反轴-反轴
❖ 旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ， Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操
n 作(n)后立_刻再进行倒反操作，这样的复合操作称
100
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
csio0nsqq
sinq cosq
0
001
旋转反映Sn
❖ 旋转反映 Sn，包括绕对称轴的逆时针 旋转360°/n，接着作垂直反射。
❖ 旋转反演和旋转反映（Improper rotation）被（译）称为异常旋转、非 真旋转、不当旋转等。
结构化学晶体点阵结构PPT课件
现代科技中的晶体材料
材料科学是人类文明大厦的基石，在现代 技术中, 晶体材料更占有举足轻重的地位. 人类对 固态物质的理解在很大程度上以单晶材料为基础， 所以晶体在物质结构研究中也具有特殊重要性.
现
半导体的后起之秀——砷化镓
代
科
技
中
的
晶
体
作为半导体材料，GaAs的综合性能优于Si, 开关速 度仅为10-12 s(而Si为10-9 s), 用GaAs芯片制造计算机将使
假若你这样做了，试 把这所谓的“点阵”放回 金刚石晶体，按箭头所示 将所有原子平移，晶体能 复原吗？
这种所谓的“点阵”有一个致命错误：它本身就违反点 阵的数学定义，并不是点阵！更别说是金刚石晶体的点阵.
正确做法如下：
金刚石的点阵：立方面心
正当空间格子的标准:
空间格子净含点阵点数：
空
1. 平行六面体
所有顶点原子： 0，0，0 (前)后面心原子： 0，1/2，1/2 左(右)面心原子： 1/2，0，1/2 (上)下面心原子： 1/2，1/2，0
四、晶面与晶面指标
1 晶面 晶体的空间点阵可划分为一族平行而等间距
的平面点阵，晶面就是平面点阵所处的平面。
晶面 = 平面点阵 + 结构基元 各个晶面的方向及结构基元排列情况不同， 表现出的性质也不相同。为了区分不同的晶面 就产生了晶面符号也叫晶面指标。
12
6
3
54
12
6
3
54
，
AB
关键是第三层，对第一、二层来说，第三层可以有两种最紧 密的堆积方式。
第一种是将球对准第一层的球。 下图是此种六方 紧密堆积的前视图
12
A
6
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空间点阵型式：14种布拉维格子-兰州大学结构化学
在七大晶系基础上, 如果进一步考虑到简单格子和带心格子, 就会产生14种空间点阵型式, 也叫做14种布拉维格子. 不过, 格子是否带心并不能从宏观上发现, 所以, 空间点阵型式属于微观对称性的范畴.
为什么要考虑带心格子呢? 原因是: 有些点阵中的格子, 如果取成某种复格子就能充分表现出它固有的较高对称性，但若取成素格子, 某些对称性就可能被掩盖，表现为较低的对称性. 我们宁愿观察一个高对称性的复格子, 也不愿观察一个低对称性的素格子. 所以, 选取正当格子时, 首先照顾高对称性, 其次才考虑点阵点尽可能少.
前面以NaCl型晶体的格子为例讲过, 若取素格子, 只能表现三方对称性（这是一种三方R，现已不用）; 若取作立方面心复格子，就表现出了立方对称性. 当然, 这并不是说格子的选取方式能够改变点阵本身的对称性, 只是说, 点阵固有的较高对称性, 在素格子上被掩盖而不易表现出来.
图6-42 NaCl型晶体的立方面心复格子(正当格子)与素格子那么, 任何点阵都能通过取带心格子表现出更高的对称性吗? 否! 例如, 在三斜晶体的点阵中, 无论取多少点, 格子的对称性也仍是三斜. 我们当然不去徒劳无益地选择带心格子.
下面给出在七大晶系基础上进一步考虑简单和带心格子所产生的14种空间点阵型式, 即14种布拉维格子:
图6-43 14种空间点阵型式（布拉维格子）对于以上两种六方格子需要特别说明几点：（1）图中只有蓝色线条围成的部分才是六方格子，而灰白色部分只是为了便于观察其对称性才画出的，因为六方格子也必须是平行六面体而不能是六棱柱；（2）六方晶系的晶体按六方晶胞表达只能抽象出六方简单（hP）格子，而三方晶系的晶体按六方晶胞表达时则能抽象出六方简单（hP）和六方R
心（hR）两种格子，有时为了清楚起见，分别称之为“三方晶系的六方简单 (hP) 格子”和“三方晶系的六方R 心(hR) 格子”. 换言之，六方R心（hR）格子实际上只用于三方晶系，而六方简单 (hP)格子既用于六方晶系, 也用于三方晶系, 所以只算一种格子. （3）晶系是在实在的物理基础上划分的，所以，尽管三方晶系的两种格子——六方简单(hP)和六方R心(hR)的形状都与六方晶系的六方
简单 (hP)格子相同（即hP是两个晶系共用的）, 但真实的三方晶体中只有三次对称轴而没有六次对称轴, 只有六方晶体才有六次对称轴.
你能否发明更多的“布拉维格子”?例如：四方面心、四方底心?立方底心?或除去立方面心上相对的两个面心?……
下图（a）表明：所谓的四方C心其实应当是四方简单；图(b)表明：所谓的四方面心其实其实应当是四方体心;图(c)表明:立方F被除去相对两个面心后，不仅沿体对角线的4条三重对称轴不复存在，而且沿图中箭头平移时再不能复原，所以，它不但丧失了作为立方格子的资格，而且丧失了作为点阵的资格!
图6-44 （a）假想的四方C心(b)假想的四方面心 (c)立方F
失去相对两个面心
6.4.6 32个晶体学点群
分子的对称操作的集合构成分子点群. 同理，晶体的宏观对称操作也是点操作，所有宏观对称元素也会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶体学点群. 不过，既然晶体中的宏观对称元素只有8种，晶体学点群数目也必然受到限制. 可以证明晶体学点群只有32种.
晶体学点群可以用所谓的熊夫利(Schonflies)符号表示，也可以用国际符号表示，还有一种称之为“极射赤面投影图”的图形表示
法. Schonflies符号由德国结晶学家Schonflies创造，我们在分子点群中已经用过，不过，由于轴次定理的限制，晶体学点群的Schonflies符号不会出现C5v、D5h等符号. 国际符号是尚未见过的新符号，需要作一简要介绍.
晶体学点群的国际符号一般由三个位构成，每个位代表与特征对称元素取向有一定联系的方向. 所以, 任何一位代表的方向随晶系不同而可能不同.
右表列出七种晶系中国际符号的三个位的方向.平行于某个方向的对称轴和/或
垂直于该方向的对称面就标记在相应的位上. 表
6-5 国际符号三个位的方向例如，立方晶系的三个位依次为a、
a+b+c、a+b，由矢量加法可知, 它们分别是正方体的棱、体对角线、面对角线方向. 将各方向上的对称元素依次标记在相应的位上, 就是某个点群的国际符号.
例如, 立方晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记为T, T h,
O, T
d , O
h
, 国际符号是：尽管立方晶系的国际
符号规定了三个位, 但23和m3点群属于四面体群，a+b位上没有对称元素，故只列出前两个位的对称元素.
晶体学点群命名示意: NaCl型晶体
NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同, 为m3m（Schonflies符号为O h）. 不妨先观察一下正方体，可以看出: (1)垂直于a的方向有镜面; (2)平行于体对角线方向有3次对称轴; (3)垂直于面对角线方向有镜面. NaCl型晶体在相应的方向上也有这些对称性，所以，晶体点群的国际符号为m3m（Schonflies符号为Oh）. 可能有读者问：这些方向上还有别的对称元素，为什么只标记这样少数几个呢？这正是国际符号的奥妙之处, 它要尽可能紧凑，同一方向上不止一种对称元素时，按一定规则选取最必要者标出. 图6-45 NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同,为m3m（Oh）事实上，国际符号又分为简略符号与完全符号. 例如，
m3m是简略符号，是完全符号，但这简略符号已经包含了所有最必要的对称元素,如果需要的话，由这些对称元素出发，根据群论的组合原理就能导出点群中所有的对称元素. 因此，很少使用完全符号. 而且，即使完全符号也并不列出点群中所有的对称元素.
现在，读者一定也明白为什么分子点群只用Schonflies符号，而不用国际符号的原因了吧？分子中没有晶轴的概念，国际符号的“位”对于分子根本没有意义.
应当特别注意：晶体的点群是针对真实的晶体而言, 而不能仅仅针对只具有抽象几何意义的空间点阵和布拉维格子来划分. 晶体只有七个晶系, 却有32个点群, 所以, 必然会有多个点群属于同一个晶系的现象. 例如, 属于立方晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记记为T, Th, O, Td , Oh, 国
际符号分别是抽象的空间点阵和布拉维格子的格点上没有放上真实的结构基元. 所以, 如果仅从布拉维格子看, 任一种晶系的布拉维格子都有该晶系的最高对称性, 即属于该晶系的全点群, 立方晶系的全点群就是Oh; 但真实晶体却必须在格点上放上结构基元, 于是, 对称性就可能从全点群下降(至多保持不变), 这样一来, 任一种晶系的真实晶体的对称性就未必能继续保持在该晶系的全点群, 也许只能属于该晶系对称性较低的点群, 称为偏点群. 任何晶系的偏点群都是其全点群的子群.
许多初学者有这样一个常见问题: 为什
么将立方晶系的特征对称元素规定为沿正方体四条体对角线的3, 而不是穿过正方体相对面心的三条4? 4的对称性不是更高吗? 难道属于立方晶系的晶体还不都具有三条4?
事实是, 属于立方晶系的晶体确实不一定都具有三条4 !
例如, NaCl 型晶体属于Oh点群, 它既有三条4 , 也有四条3 ; 而立方ZnS型晶体则不然, 它属于Td点群, 具有四条3,却没有三条4 . 这两类晶体共有的对称元素是四条3, 也就是立方晶系的特征对称元素.
晶体学点群还有一种图形表示法, 称为极射赤面投影图. 其基本思想是利用立体仪把球面上的点投影到赤道平面上, 化立体为平面.
先模仿地球仪按如下步骤造一个立体仪：1. 取一个单位圆球作为投影球S; 2.取赤道平面作为投影面Q, 与S交成投影圆; 3. 以垂直于Q并通过球心O的极轴作为投影轴, 两端分别为北极N和南极S.
表6-6 32个晶体学点群图6-46 NaCl型与立方ZnS型晶体图6-47 立体
仪用极射赤面投影图描述晶体学点群时, 通常对每个点群画出两个投影图. 以 m3m为例, 下图(a)表示晶体对称元素的投影，图(b)表示球上一组点的投影图, 这组点是从某一个普通的点开始, 利用所有对称操作复制出来的, 也反映点群对称性. 有的文献将这两种图合并在一起, 如图(c):
我们以晶体对
称元素为例, 简要介绍立体仪投影法.
首先, 将晶体对称元素系的公共交点置于投影球心O, 从球心向各晶
面引垂线(即晶面法线)并交于投影球, 在球面上形成一组点的分布. 由于这些晶面法线是晶体的各种对称轴, 所以, 这组点就构成了晶体对称轴的球面投影. 类似地, 晶体的对称面也可延伸至投影球, 与球面相交成圆. 所以, 除了对称中心处于球心, 不会在投影球面上形成点以外, 晶体的各种对称轴和对称面都可以在投影球上形成球面投影.
图6-48 m3m的极射赤面投影图在此基础上, 利用立体仪投影法，把球面上的点进一步投影到赤道平面上: 设北半球球面上有一个点P，过P点向南极连线成PS，与赤道平面交于P’点, 就在P’处画一个点; 反之, 若南半球球面上有一点R，过R点向北极连线成RN，与赤道平面交于R’点, 就在R’处画一个空心圆圈, 以区别于北半球球面上点的投影(图中未画出):
晶体对称面在投影球面上相交成圆, 而圆又可以被看作无数点的集合. 既然球面上每个点都能产生赤面投影, 对称面当然也能表示在极射赤面投影图上.
关于极射赤面投影更详细的介绍, 可以参考晶体学的有关书籍.
图6-49 极射赤面投影原理。