2021新高考版大一轮复习用书数学第一章 微专题一
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
函数的图象(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向12 函数的图象【2022·全国·高考真题（理）】函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【2022·全国·高考真题（文）】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设()321x xf x x -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A.1.函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.识图的三种常用方法（1）．抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． （2）．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．(1)若()()f m x f m x +=-恒成立，则()y f x =的图像关于直线x m =对称.(2)设函数()y f x =定义在实数集上，则函数()y f x m =-与()y f m x =-(0)m >的图象关于直线x m =对称.(3)若()()f a x f b x +=-，对任意x ∈R 恒成立，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称. (4)函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线2a bx +=对称. (5)函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图象关于直线x a =对称. (6)函数()y f x =与函数2(2)y b f a x =--的图象关于点()a b ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）； 若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y f x -=与()y f x =的图像关于y x =对称. （3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到.1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数()f x 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()ln sin f x x x =+B ．()ln cos f x x x =-C ．()ln cos f x x x =+D ．()ln sin f x x x =-3．（2022·浙江·三模）函数1sin 22x xxy -+=+在区间[,]-ππ上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在下列四个图形中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））函数()2222x xx xf x -+=+的部分图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()f x 图象如图所示，那么该函数可能为（ ）A ．ln ()||xf x x =B ．()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩C ．()()1(0)e 1e (0)x x x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．ln ||()x f x x=3．（2022·湖北·模拟预测）函数()[]()0,1y f x x =∈对任意()10,1a ∈，由()()*1n n a f a n +=∈N 得到的数列{}n a 均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()2ln1(),cos x x f x a R x a+-=∈+的图像如图所示，则实数a 的值可能是（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））函数sin 22cos x xy x=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（ ）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-8．（2022·福建省福州第一中学三模）已知函数()()2()ln 1cos 3f x x x x ϕ=++⋅+.则当[0,]ϕπ∈时，()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2022·吉林·三模（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x=A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①10．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）图象为如图的函数可能是（ ）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =11．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．22cos ()ln 2cos xf x x x +=+-B ．32cos ()ln 2cos xf x x x+=-C ．32sin ()ln2sin xf x x x+=+-D ．22sin ()ln2sin xf x x x+=-12．（2022·四川眉山·三模（理））四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如1y x -=），还可以是一条S 形曲线，当4a =，1b =-，1c =，1d =时，该拟合函数图象是（ ） A ．类似递增的双曲线 B ．类似递增的对数曲线 C ．类似递减的指数曲线D ．是一条S 形曲线13．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭14．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．16．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．1．（2022·全国·高考真题（理））函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x x y x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 3．（2021·天津·高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =5．（2020·天津·高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．（2020·浙江·高考真题）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是 A ． B ．C ．D ．8．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．9．（2017·全国·高考真题（文））函数y ＝1＋x ＋2sin xx 的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．10．（2015·浙江·高考真题（文））函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2018·浙江·高考真题）函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．12．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．13．（2017·全国·高考真题（文））函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．14．（2015·安徽·高考真题（理））函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <1．【答案】D【解析】易知f (x )是偶函数，排除B ，C 项；当0πx ≤≤时，sin 0x ≥，所以sin cos 0y x x x =≥，排除A 项. 故选：D 2．【答案】B【解析】对于A ，()ln sin ,0f x x x x =+≠，()ln sin ()f x x x f x -=--≠， 即()ln sin ,0f x x x x =+≠不是偶函数，不符合题意；对于C, ()ln cos ,0f x x x x =+≠，()πln πcos π=ln π11f =+-<，不符合题意； 对于D ，()ln sin ,0f x x x x =-≠，()ln sin ()f x x x f x -=-+≠，不符合题意； 对于B ，()ln cos ,0f x x x x =-≠，()ln cos ()f x x x f x -=--=，故()f x 为偶函数，结合函数cos y x =的性质，可知B 符合题意， 故选:B 3．【答案】A【解析】当0x =时，12y =，排除C 选项；当2x π=-时，0y =，排除B 、D 选项.故选：A. 4．【答案】B【解析】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 5．【答案】ABD【解析】当0a b >>时，A 正确；当0b a >>时，B 正确； 当0a b >>时，D 正确；当0b a >>时，无此选项． 故选：ABD ．1．【答案】B【解析】函数的定义域为R ，因为()()2222x xx x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ． 2．【答案】D【解析】由图象可知，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象关于原点对称，函数是奇函数， 1x >时()0f x >， 据此，ln ()||xf x x =定义域不符合，排除A; 若 ()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩，则1x >时，()0f x <，不符合图象，故排除B ；若()()1(0)e 1e (0)xx x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩，则当x 趋向于0+时，1()e x x f x -=趋向于1-，当x 趋向于0-时，()(1)e x f x x =+趋向于1，不符合图象，故排除C;故选：D3．【答案】A【解析】由题可知()()*1n n a f a n +=∈N ，1n n a a +>，∴()n n f a a >，故函数()f x 满足()f x x >，即函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，故排除BCD.故选：A.4．【答案】C 2210x x x x x x +=-≥210x x +>，分子一定有意义.又根据图象可得，当23x π=时分式无意义，故此时分母为0，故2cos 03a π+=，即102a -+=，12a = 故选：C5．【答案】A【解析】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项；当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项. 故选：A.6．【答案】A【解析】设()sin 22cos x x f x x =-，则对任意的x ∈R ，2cos 0x ->， 则()()()()sin 2sin 22cos 2cos x x x x f x f x x x---===---，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ． 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，则sin 20x >，所以()0f x >，排除C ． 故选：A ．7．【答案】C【解析】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数，与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错， 若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >， 又2()4f π=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致， 故选：C ．8．【答案】D【解析】【详解】首先设()(2ln 1g x x x =++，得到()g x 为奇函数，再分别令0,,2πϕπ=，依次判断选项即可.9．【答案】A【解析】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x=>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④② 当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x << ()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 54f x f ≤=> ①对应的为第三个函数故选：A ．10．【答案】A【解析】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ．故选：A ．11．【答案】B【解析】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数()f x 为奇函数，由图象可得(2)0f <， 对于函数22cos ()ln 2cos x f x x x+=+-， 因为()()()222cos 2cos ()ln ln ()2cos 2cos x x f x x x f x x x+-+-=-+=+=---，所以函数22cos ()ln 2cos x f x x x +=+-为偶函数，A 错， 对于函数32sin ()ln 2sin x f x x x+=+-，()32sin ()ln ()2sin x f x x f x x --=-+=-+， 所以函数32sin ()ln2sin x f x x x +=+-为奇函数，又32sin 2(2)2ln 02sin 2f +=+>-，与图象不符，故C 错误， 对于函数22sin ()ln 2sin x f x x x+=-，()22sin ()ln ()2sin x f x x f x x --=-=-+， 所以函数22sin ()ln 2sin x f x x x+=-为奇函数，又22sin 2(2)2ln 02sin 2f +=>-，与图象不符，故D 错误， 对于函数32cos ()ln 2cos x f x x x+=-，因为()32cos ()ln ()2cos x f x x f x x +-=-=--， 所以函数32cos ()ln2cos x f x x x +=-为奇函数，且32cos 2(2)2ln 02cos 2f +=<-，与图象基本相符，B 正确， 故选：B.12．【答案】A【解析】解：依题意可得拟合函数为13 11y x-=++，()0x >， 即()31333114111x x y x x x +--=+=+=++++，()0x >， 由3 y x -=()1x >向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到3 41y x -=++，()0x >， 因为3 y x-=在()1,+∞上单调递增， 所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A13．【答案】C【解析】12()()(1)(12)x x x x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③ ①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.14．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x -=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.15．【答案】A【解析】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A16．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅， 令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒= 而,,r H v 2323H v r π是常数， 所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h t r π=203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A1．【答案】A【解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-， 所以()f x 为奇函数，排除BD ； 又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C. 故选：A.2．【答案】A【解析】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<， 所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A. 3．【答案】B【解析】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ； 当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.4．【答案】D【解析】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 当4x π=时，22120221642y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.5．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.6．【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.7．【答案】D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.8．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.9．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除B.故选：D.10．【答案】D【解析】【详解】 因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.11．【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.12．【答案】D【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<， 得2x <20x <<C ，故选D. 13．【答案】C【解析】【详解】由题意知，函数sin 21cos x y x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，故排除A ．故选C ．14．【答案】C【解析】【详解】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0b x a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像。
2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第七章推理与证明学案20210807217
2021版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第七章推理与证明学案20210807217第1课时合情推理与演绎推理能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了解合情推理在数学发觉中的作用；把握演绎推理的差不多方法，并能运用它们进行一些简单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系和区别．① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发觉中的作用.②了解演绎推理的重要性，把握演绎推理的差不多模式，并能运用它们进行一些简单推理.③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1. 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋ab＝6ab(a，b均为正数)，则a＋b＝________．答案：41解析：观看等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，第n个应该是n＋1＋n＋1（n＋1）2－1＝(n＋1)n＋1（n＋1）2－1，则第5个等式中a＝6，b＝a2－1＝35，a＋b＝41.2. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2＝14，推广到空间能够得到类似结论；已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2＝________．答案：127解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1V2＝127.3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n.若存在正整数m，n(m<n)，使得S m＝S n，则S m＋n＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n项积为T n.若存在正整数m，n(m<n)，使T m＝T n，则T m＋n＝________．答案：1解析：因为T m＝T n，因此b m＋1b m＋2…b n＝1，从而b m＋1b n＝1，T m＋n＝b1b2…b m b m＋1…b n b n＋1…b n＋m－1b n＋m＝(b1b n＋m)·(b2b n＋m－1)…(b m b n＋1)·(b m＋1b n)＝1.4. 观看下列等式：21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，依照这些等式，能够得出一个关于自然数n 的等式，那个等式能够表示为________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1n×(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，因此得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)． 5. 设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比那个结论可知：四面体PABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体PABC 的体积为V ，则r ＝________．答案：3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：由类比推理可知r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一样性的结论，像如此的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观看―→概括、推广―→推测一样性结论(3) 归纳推理的特点① 归纳推理的前提是几个已知的专门现象，归纳所得的结论是尚属未知的一样现象，该结论超越了前提所包含的范畴．② 由归纳推理得到的结论具有推测的性质，结论是否真实，还需通过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③ 归纳推理是一种具有制造性的推理，通过归纳法得到的猜想，能够作为进一步研究的起点，关心人们发觉问题和提出问题．2. 类比推理(1) 依照两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，如此的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程大致如图观看、比较―→联想、类推―→推测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是依照已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 要紧形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M 是P)① S_—_M(S 是M)② S — P(S 是P)③ 其中，①是大前提，它提供了一个一样性的原理；②是小前提，它指出了一个专门对象；③是结论，它是依照一样原理，对专门情形作出的判定．[备课札记], 1 归纳推理), 1) 观看下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式可为________________．答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析：等式左边的特点：第1个等式有2项，第2个等式有4项，第3个等式有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特点：第1个等式有1项，第2个等式有2项，第3个等式有3项，故第n 个等式有n 项，且由前几个的规律不难发觉第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.变式训练观看下列三角形数阵： 1 13 15 17 19 111 113 115 117 119 ……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为______．答案：1243解析：前15行共有15×（15＋1）2＝120(个)数⇒所求为a 122＝12×122－1＝1243., 2 类比推理), 2) 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积S △ABC ＝12(a ＋b ＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．答案：V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解析：三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球半径⇒二维图形中的12类比为三维图形中的13⇒得出结论．运用分割法思想，设四面体ABCD 的内切球的球心为O ，连结OD ，OA ，OB ，OC ，将四面体分成四个三棱锥，则V ABCD ＝V OABC ＋V OABD ＋V OBCD ＋V OACD ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r.备选变式（教师专享）设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，斜边上的高为h ，c 为斜边长，则给出四个命题：① a ＋b>c ＋h ；② a 2＋b 2<c 2＋h 2；③ a 3＋b 3>c 3＋h 3；④ a 4＋b 4<c 4＋h 4.其中真命题是________(填序号)，进一步类比得到的一样结论是____________________．答案：②④ a n ＋b n <c n ＋h n (n∈N *) 解析：在直角三角形ABC 中，a ＝csin A ，b ＝ccos A ，ab ＝ch ，因此h ＝csin Acos A ．因此a n ＋b n ＝c n (sin n A ＋cos n A)，c n ＋h n ＝c n (1＋sin n Acos nA)．a n ＋b n －c n －h n ＝c n (sin n A ＋cos n A －1－sin n Acos n A)＝c n (sin n A －1)(1－cos nA)＜0，因此a n ＋b n ＜c n ＋h n., 3 演绎推理) , 3) 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n∈N *)；②b n ≤M (n∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判定(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由． 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) {S n }为“特界”数列．理由如下： 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }满足条件①；而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }满足条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列． 变式训练数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n∈N *)．证明：(1) 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2) S n ＋1＝4a n .证明：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ，∴ (n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(2) 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，因此S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，因此关于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .1. (2021·课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大伙儿说：我依旧不明白我的成绩，依照以上信息推断，下列结论正确的是________．(填序号)① 乙能够明白四人的成绩； ② 丁能够明白四人的成绩； ③ 乙、丁能够明白对方的成绩； ④ 乙、丁能够明白自己的成绩． 答案：④解析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则明白自己的成绩，丁看到甲的成绩则明白自己的成绩，故选④.2. (2021·全国Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________．答案：1和3 解析： 由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.3. (2021·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ① 男学生人数多于女学生人数； ② 女学生人数多于教师人数；③ 教师人数的两倍多于男学生人数．(1) 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； (2) 该小组人数的最小值为________． 答案：(1) 6 (2) 12解析：设男学生数，女学生数，教师数分别为a ，b ，c ，则2c>a>b>c ，a ，b ，c ∈N *. (1) 8>a>b>4⇒b max ＝6.(2) c min ＝3，6>a>b>3⇒a ＝5，b ＝4⇒a ＋b ＋c ＝12.4. 已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11，12)＝________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1，3，5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A(11，12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112. 5. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点动身的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段末端动身再生成两条长度为原先13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．答案：(3×2n －3)(n∈N *)解析：从分形图的每条线段的末端动身再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律，n 级分形图中的线段条数为(3×2n －3)(n∈N *)．1. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为________．答案：1110解析：由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们能够推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.2. 有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行推测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的推测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为____，____，____，____．答案：4 2 1 3解析：由于4个人推测不正确，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到3；乙：甲、丙没拿到2；丙：甲没拿到1；丁：甲没拿到3.综上，甲没拿到1，2，3，故甲拿到了4，丁拿到了3，丙拿到了1，乙拿到了2.3. 观看下列等式： 13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，依照上述规律，则第n 个等式为________．答案：13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22解析：因为13＝12，13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，由此能够看出左边是连续的自然数的立方和，右边是左边的连续的自然数的和的平方，照此规律，第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）22. 4. 传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上通过画点或用小石子来表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，能够估量：(1) b 2 018是数列{a n }的第________项； (2) b 2k －1＝________．(用k 表示)答案：(1) 5 045 (2) 5k （5k －1）2解析：(1) a n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×（2×5）2＝a 9，b 4＝（2×5）×112＝a 10，b 5＝14×（3×5）2＝a 14，b 6＝（3×5）×162＝a 15，…b 2 018＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182×5＋12＝a 5 045.(2) 由(1)知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k （5k －1）2.5. 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车能够上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车改日能够上路，由此可知下列估量一定正确的是__________．(填序号)① 今天是周六；② 今天是周四； ③ A 车周三限行；④ C 车周五限行． 答案：②解析：因为每天至少有四辆车能够上路行驶，E 车改日能够上路，E 车周四限行，因此今天不是周三；因为B 车昨天限行，因此今天不是周一，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，因此今天不是周五，周二和周六，因此今天是周四，因此①错误，②正确．因为B 车昨天限行，即B 车周三限行，因此③错误．因为从今天算起，A 、C 两车连续四天都能上路行驶，因此④错误．1. 合情推理要紧包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能关心推测和发觉结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题动身→观看、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一样的原理动身，推出某个专门情形的结论的推理方法，是由一样到专门的推理，常用的一样模式是三段论，数学问题的证明要紧通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，得到的结论不一定正确，而演绎推理得到的结论一定正确(在前提和推理形式都正确的前提下)．[备课札记]第2课时直截了当证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)104～105页)了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题．① 了解直截了当证明的两种差不多方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的摸索过程、特点.②了解间接证明的一种差不多方法——反证法；了解反证法的摸索过程、特点．1. 已知向量m＝(1，1)与向量n＝(x，2－2x)垂直，则x＝________．答案：2解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.∵ m⊥n，∴m·n＝0，即x＝2.2. 用反证法证明命题“假如a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应为______________．答案：3a＝3b或3a<3b解析：依照反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即3a＝3b或3a<3b.3. 6－22与5－7的大小关系是______________．答案：6－22>5－7解析：由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，因此6－22>5－7成立．4. 定义集合运算：A·B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A·B的所有元素之和为________．答案：0解析：依题意知α≠kπ＋π4，k∈Z.①α＝kπ＋3π4(k∈Z)时，B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫22，－22，A·B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，22，－22；②α＝2kπ或α＝2kπ＋π2(k∈Z)时，B＝{0，1}，A·B＝{0，1，－1}；③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－π2(k∈Z)时，B＝{0，－1}，A·B＝{0，1，－1}；④α≠kπ2且α≠kπ＋3π4(k∈Z)时，B＝{sin α，cos α}，A·B＝{0，sin α，cos α，－sin α，－cos α}．综上可知，A·B中的所有元素之和为0.5. 设a，b为两个正数，且a＋b＝1，则使得1a＋1b≥μ恒成立的μ的取值范畴是________．答案：(－∞，4]解析：∵ a＋b＝1，且a，b为两个正数，∴1a＋1b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab ＝4.要使得1a＋1b≥μ恒成立，只要μ≤4.1. 直截了当证明(1) 定义：直截了当从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2) 一样形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．(3) 综合法①定义：从已知条件动身，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．②推证过程已知条件⇒…⇒…⇒结论(4) 分析法①定义：从问题的结论动身，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．这种证明方法称为分析法．②推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等．(2) 反证法的差不多步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件动身，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，确信反设不真，从而确信原结论成立., 1直截了当证明(综合法和分析法)), 1) 关于定义域为[0，1]的函数f(x)，假如同时满足：①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；② f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1) 若函数f(x)为理想函数，求证：f(0)＝0；(2) 试判定函数f(x)＝2x(x∈[0，1])，f(x)＝x2(x∈[0，1])，f(x)＝x(x∈[0，1])是否为理想函数？(1) 证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴ f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴ f(0)≤0.又对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0，∴ f(0)≥0.因此f(0)＝0.(2) 解：关于f(x)＝2x，x∈[0，1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴ f(x)＝2x(x∈[0，1])不是理想函数．关于f(x)＝x2，x∈[0，1]，明显f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x1，x2∈[0，1]，x1＋x2≤1，f(x 1＋x 2)－f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)．∴ f(x)＝x 2(x∈[0，1])是理想函数．关于f(x)＝x (x∈[0，1])，明显满足条件①②. 对任意的x 1，x 2∈[0，1]，x 1＋x 2≤1，有f 2(x 1＋x 2)－[f(x 1)＋f(x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即f 2(x 1＋x 2)≤[f(x 1)＋f(x 2)]2.∴ f(x 1＋x 2)≤f(x 1)＋f(x 2)，不满足条件③. ∴ f(x)＝x (x∈[0，1])不是理想函数．综上，f(x)＝x 2(x∈[0，1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0，1])与f(x)＝x (x∈[0，1])不是理想函数．备选变式（教师专享）设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数，已知对任意正整数n ，m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立．求证：数列{a n }是等比数列．证明：因为对任意正整数n ，m ，S n ＋m ＝S m ＋q mS n 总成立，令n ＝m ＝1，得S 2＝S 1＋qS 1，则a 2＝qa 1.令m ＝1，得S n ＋1＝S 1＋qS n ①， 从而S n ＋2＝S 1＋qS n ＋1 ②，②－①得a n ＋2＝qa n ＋1(n≥1)，综上得a n ＋1＝qa n (n≥1)，因此数列{a n }是等比数列．, 2) 已知m>0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m>0，因此1＋m>0，因此要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb)2≤(1＋m)(a 2＋mb 2)，即证m(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b)2≥0，而(a －b)2≥0明显成立， 故原不等式得证． 变式训练已知函数f(x)＝3x－2x ，试求证：关于任意的x 1，x 2∈R ，均有f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明：要证明f （x 1）＋f （x 2）2≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，只要证明（3x 1－2x 1）＋（3x 2－2x 2）2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2，由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0，3x 2>0,由差不多不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2明显成立，故原结论成立．, 2 间接证明(反证法)), 3) 设{a n }是公比为q 的等比数列． (1) 推导{a n }的前n 项和公式；(2) 设q≠1，求证：数列{a n ＋1}不是等比数列．(1) 解：设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 因为{a n }是公比为q 的等比数列，因此当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1.当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n， ②①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n，因此S n ＝a 1（1－q n）1－q ，因此S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2) 证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N *，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，因为a 1≠0，因此2q k ＝q k －1＋q k ＋1.因为q≠0，因此q 2－2q ＋1＝0，因此q ＝1，这与已知矛盾．因此假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求证：数列{a n }中不存在三项按原先顺序成等差数列． (1) 解：当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，因此a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，因此{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.(2) 证明：反证法：假设存在三项按原先顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p<q<r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，因此2·2r －q ＝2r －p＋1 ①.因为p<q<r ，因此r －q ，r －p∈N *.因此①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 因此假设不成立，原命题得证．1. 用反证法证明命题“a，b ∈R ，ab 能够被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，假设的内容是____________．答案：a ，b 中没有一个能被5整除解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n －1个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除．2. 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＜c ，b ＜c ，1a ＋9b＝1.若以a ，b ，c 为三边构造三角形，则c 的取值范畴是________．答案：(10，16)解析：要以a ，b ，c 为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，而a<c ，b<c ，因此a ＋b>c 恒成立．而a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥16，∴ c<16.又1a >1c ，1b >1c ，∴ 10c <1a ＋9b＝1，∴ c>10，∴ 10<c<16.3. 已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a＋ 2.因为a>0，故只需要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需要证4⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式明显成立，故原不等式成立．4. 若f(x)的定义域为[a ，b]，值域为[a ，b](a<b)，则称函数f(x)是[a ，b]上的“四维光军”函数．(1) 设g(x)＝12x 2－x ＋32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b 的值．(2) 是否存在常数a ，b(a>－2)，使函数h(x)＝1x ＋2是区间[a ，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题设得g(x)＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为直线x ＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，因此函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3.因为b>1，因此b ＝3. (2) 假设函数h(x)＝1x ＋2在区间[a ，b] (a>－2)上是“四维光军”函数，因为h(x)＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，因此有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝b ，h （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾，故不存在．1. 用反证法证明结论“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”，应假设______________．答案：三角形的三个内角都大于60°解析：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形的三个内角都大于60°”．2. 凸函数的性质定理：假如函数f(x)在区间D 上是凸函数，则关于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．答案：332解析：∵ f(x)＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)，∴ f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴ sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.3. 定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，则称函数f(x)在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为________．答案：12解析：若函数f(x)＝x (x≥1)满足利普希茨条件，则存在常数k ，使得对定义域[1，＋∞)内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)－f(x 2)|≤k|x 1－x 2| 成立，设x 1>x 2，则k≥x 1－x 2x 1－x 2＝1x 1＋x 2.而0<1x 1＋x 2<12，因此k 的最小值为12.4. 设函数f(x)＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1]．求证：(1) f(x)≥1－x ＋x 2；(2) 34＜f(x)≤32.证明：(1) 因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，因此f(x)≥1－x ＋x 2.(2) 由0≤x≤1得x 3≤x ，故f(x)＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，因此f(x)≤32.由(1)得f(x)≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924＞34，因此f(x)＞34. 综上，34＜f(x)≤32.5. 已知数列{a n }满足a 1＝12，3（1＋a n ＋1）1－a n ＝2（1＋a n ）1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n≥1)，数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n≥1)．(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1) 解：由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.故1－a 2n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⇒a 2n ＝1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. (2) 证明：用反证法证明．假设数列{b n }中存在三项b r ，b s ，b t (r<s<t)按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，因此有b r >b s >b t ，则只能有2b s ＝b r ＋b t 成立．即2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1，两边同乘3t －121－r，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s.由于r<s<t ，则上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．[备课札记]第3课时数学归纳法(对应学生用书(理)106～107页)明白得数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1. (选修22P94习题7改编)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证________．答案：1＋12＋13<2解析：∵ n∈N*，n>1，∴ n取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.2. (选修22P90练习3改编)用数学归纳法证明不等式“2n>n2＋1关于n≥n0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取为________．答案：5解析：当n≤4时，2n≤n2＋1；当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，因此n0应取为5.3. (选修22P103复习题13改编)在数列{a n}中，a1＝13，且S n＝n(2n－1)a n，通过求a2，a3，a4，猜想a n的表达式为________________．答案：a n＝1（2n－1）（2n＋1）解析：当n＝2时，13＋a2＝(2×3)a2，∴ a2＝13×5；当n＝3时，13＋115＋a3＝(3×5)a3，∴ a3＝15×7；当n＝4时，13＋115＋135＋a4＝(4×7)a4，∴ a4＝17×9；故猜想a n＝1（2n－1）（2n＋1）.4. (选修22P103复习题14改编)比较n n＋1与(n＋1)n(n∈N*)的大小时会得到一个一样性的结论，用数学归纳法证明这一结论时，第一步要验证________．答案：当n＝3时，n n＋1＝34＞(n＋1)n＝43解析：当n＝1时，n n＋1＝1＞(n＋1)n＝2不成立；当n＝2时，n n＋1＝8＞(n＋1)n＝9不成立；当n＝3时，n n＋1＝34＞(n＋1)n＝43，结论成立．5. (选修22P105本章测试13改编)已知a1＝12，a n＋1＝3a na n＋3，则a2，a3，a4，a5的值分别为________________．由此猜想a n＝________．答案：37，38，39，3103n＋5解析：a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a3＝3a2a2＋3＝38＝33＋5，a4＝39＝34＋5，a5＝310＝35＋5，a 1＝31＋5＝12，符合以上规律． 故猜想a n ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的专门现象得出一样性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采纳下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k∈N *，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1) 归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论．[备课札记], 1 证明等式) , 1) 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）(n∈N *)．证明：① 当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14（1＋1）＝18，左边＝右边，因此等式成立．② 假设n ＝k(k∈N *)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[2（k ＋1）＋2]＝k 4（k ＋1）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14（k ＋1＋1）. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②可知，关于一切n∈N *等式都成立． 变式训练用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n∈N *)．证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．② 假设当n ＝k(k∈N *)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N *均成立．, 2 证明不等式), 2) 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2>1(n∈N *且n>1)．证明：① 当n ＝2时，12＋13＋14＝1312>1成立．② 设n ＝k 时，1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2>1成立．由于当k>1时，k 2－k －1>0，即k(2k ＋1)>k 2＋2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1（k ＋1）2＝(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2)＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k >1＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k>1＋1k （2k ＋1）＋1k （2k ＋1）＋…＋1k （2k ＋1）－1k ＝1＋2k ＋1k （2k ＋1）－1k＝1.综合①②可知，原不等式对n∈N *且n>1恒成立． 备选变式（教师专享）用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n∈N *，n ≥2)．证明：① 当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．② 假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k.当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1（k ＋1）2<2－1k ＋1k （k ＋1）＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，命题成立． 由①②知原不等式对n∈N *，n ≥2恒成立．, 3 数列问题), 3) 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n∈N *)． (1) 运算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2) 证明(1)中的猜想．(1) 解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴ a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴ a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴ a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴ a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n∈N *)．(2) 证明：① 当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．② 假设n ＝k(k≥1且k∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，因此2a k ＋1＝2＋a k .因此a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k.因此当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n∈N *)成立．变式训练在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n∈N *，λ>0)． (1) 求a 2，a 3，a 4；(2) 猜想{a n }的通项公式，并加以证明．解：(1) a 2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2) 由(1)可猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n. 下面用数学归纳法证明：① 当n ＝1，2，3，4时，等式明显成立，② 假设当n ＝k(k≥4，k ∈N *)时等式成立，即a k ＝(k －1)·λk ＋2k，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝λa k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k ＝λ(k－1)·λk ＋λ2k ＋λk ＋1＋2k ＋1－λ2k＝(k －1)λk ＋1＋λk ＋1＋2k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k ＋1， 因此当n ＝k ＋1时，猜想成立．由①②知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n (n∈N *，λ>0)．, 4 综合运用), 4) 设集合M ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N ，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1) 分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2) 猜想T nS n关于n 的表达式，并加以证明．解：(1) 当n ＝3时，M ＝{1，2，3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2；当n ＝4时，M ＝{1，2，3，4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72.(2) 猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明：① 当n ＝3时，由(1)知猜想成立．② 假设当n ＝k(k≥3)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，因此T k ＝k ＋12C 3k .则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1，而当集合M 从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，(k －1)个k ，因此T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k )＝k ＋12C 3k ＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝（k ＋1）＋12S k ＋1，即T k ＋1S k ＋1＝（k ＋1）＋12. 因此当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立． 备选变式（教师专享）已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线． (1) 分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数； (2) 猜想凸n 边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．解：(1) 凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条，凸六边形的对角线条数为9条．(2) 猜想：f(n)＝n （n －3）2(n≥3，n ∈N *)．证明如下：当n ＝3时，f(3)＝0成立；设当n ＝k(k≥3)时猜想成立，即f(k)＝k （k －3）2，则当n ＝k ＋1时，考察k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，①k 边形A 1A 2…A k 中原先的对角线差不多上k ＋1边形中的对角线，且边A 1A k 也成为k ＋1边形中的对角线；②在A k ＋1与A 1，A 2，…，A k 连结的k 条线段中，除A k ＋1A 1，A k ＋1A k 外，差不多上k ＋1边形中的对角线，共计有f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝k （k －3）2＋1＋(k －2)＝k 2－3k ＋2k －22＝k 2－k －22＝（k ＋1）（k －2）2＝（k ＋1）（k ＋1－3）2(条)，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上，得f(n)＝n （n －3）2对任何n≥3，n ∈N *都成立．1. (2021·苏锡常镇二模)已知f n (x)＝C 0nx n －C 1n(x －1)n＋…＋(－1)k C k n (x －k)n＋…＋(－1)n C n n (x －n)n ，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1) 试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2) 试推测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论．解：(1) f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝x －x ＋1＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x 2－2x ＋1)＋(x 2－4x ＋4)＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2) 猜想：f n (x)＝n ！.证明：① 当n ＝1时，猜想明显成立；② 假设n ＝k 时猜想成立，即f k (x)＝C 0k x k －C 1k (x －1)k ＋C 2k (x －2)k ＋…＋(－1)k C k k (x －k)k＝k ！，则n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝C 0k ＋1x k ＋1－C 1k ＋1(x －1)k ＋1＋C 2k ＋1(x －2)k ＋1＋…＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝xC 0k ＋1·x k －(x －1)C 1k ＋1(x －1)k ＋(x －2)C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k (x －k)C k k ＋1(x －k)k＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k ＋1x k －C 1k ＋1(x －1)k ＋C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k C k k ＋1·(x －k)k]＋[C 1k ＋1(x －1)k －2C 2k ＋1(x －2)k ＋…＋(－1)k ＋1·kC k k ＋1(x －k)k ]＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k x k －(C 0k ＋C 1k )(x －1)k ＋(C 1k ＋C 2k )(x －2)k ＋…＋(－1)k (C k －1k ＋C k k )(x －k)k]＋(k ＋1)[C 0k (x －1)k －C 1k (x －2)k ＋…＋(－1)k ＋1C k －1k (x －k)k ]＋(－1)k ＋1C k ＋1k ＋1(x －k －1)k ＋1＝x[C 0k x k －C 1k (x －1)k ＋C 2k (x －2)k ＋…＋(－1)k C k k (x －k)k ]－x[C 0k (x －1)k －C 1k (x －2)k＋…＋(－1)k －1C k －1k (x －k)k ＋(－1)k C k k (x －k －1)k ]＋(k ＋1)[C 0k (x －1)k －C 1k ·(x －2)k ＋…＋(－1)k＋1C k －1k (x －k)k ＋(－1)k C k k (x －k －1)k]＝xk ！－xk ！＋(k ＋1)k ！＝(k ＋1)！.∴ 当n ＝k ＋1时，猜想成立． 综上所述，猜想成立．2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…. (1) 求a 1，a 2；(2) 猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．解：(1) 当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，因此(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2) 由题设知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0. ①由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，….下面用数学归纳法证明那个结论． (ⅰ) n＝1时已知结论成立.(ⅱ) 假设n ＝k(k∈N *)时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．3. 已知x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1x 2…x n ＝1.求证：(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x n )≥(2＋1)n.证明：(数学归纳法)① 当n ＝1时，2＋x 1＝2＋1，不等式成立．② 假设n ＝k 时不等式成立，即(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )≥(2＋1)k成立． 则n ＝k ＋1时，若x k ＋1＝1，则命题成立；若x k ＋1>1，则x 1，x 2，…，x k 中必存在一个数小于1，不妨设那个数为x k ，从而(x k －1)(x k ＋1－1)<0，即x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.同理可得x k ＋1<1时，x k ＋x k ＋1>1＋x k x k ＋1.因此(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k )(2＋x k ＋1) ＝(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(x k ＋x k ＋1)＋x k x k ＋1] ≥(2＋x 1)(2＋x 2)…[2＋2(1＋x k x k ＋1)＋x k x k ＋1]＝(2＋x 1)(2＋x 2)…(2＋x k x k ＋1)(2＋1)≥(2＋1)k ·(2＋1)＝(2＋1)k ＋1. 故n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②及数学归纳法原理知原不等式成立．4. 已知函数f 0(x)＝x(sin x ＋cos x)，设f n (x)为f n －1(x)的导数，n ∈N *. (1) 求f 1(x)，f 2(x)的表达式；(2) 写出f n (x)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1) 因为f n (x)为f n －1(x)的导数，因此f 1(x)＝f 0′(x)＝(sin x ＋cos x)＋x(cos x －sin x)＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x)，同理，f 2(x)＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x.(2) 由(1)得f 3(x)＝f 2′(x)＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ，把f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)分别改写为f 1(x)＝(x ＋1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋(x －1)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f 2(x)＝(x ＋2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2＋(x －2)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2，f 3(x)＝(x ＋3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＋(x －3)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，推测f n (x)＝(x ＋n)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n)·cos(x ＋n π2) (*)．下面用数学归纳法证明上述等式．① 当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； ② 假设当n ＝k 时，等式(*)成立，即f k (x)＝(x ＋k)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2.则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x)＝f k ′(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x ＋k)cos(x ＋k π2)＋cos(x ＋k π2)＋(x －k)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝(x ＋k ＋1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n∈N *时，f n (x)＝(x ＋n)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2成立．1. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1) 求a 1，a 2，a 3的值；(2) 求数列{a n }的通项公式．解：(1) 由题意知S 2＝4a 3－20，∴ S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20. 又S 3＝15，∴ a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴ a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2) 由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ① 当n ＝1时，结论明显成立；② 假设当n ＝k(k≥1)时，a k ＝2k ＋1，则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k[3＋（2k ＋1）]2＝k(k ＋2)．又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，∴ k(k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6， ∴ a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1. 2. 由下列式子： 1>12； 1＋12＋13>1；。
2021新高考版大一轮复习用书数学第一章 1.3
§1.3 全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考1．怎样判断一个特称命题是真命题？提示 要判定特称命题“∃x0∈M，P(x0)”，只需在集合M找到一个x0，使P(x0)成立即可．2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？提示 命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．( × )(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ )题组二 教材改编2．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．答案 ∃x0∈R，x20＋x0＋1≤03．命题“∃x0∈N，x20≤0”的否定是________．答案 ∀x∈N，x2>04．命题“对于函数f (x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f (x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)答案 真解析 当a＝0时，f (x)＝x2(x≠0)为偶函数．题组三 易错自纠5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( )A．∃x0∈R，x20－x0＋1 4 <0B．所有的正方形都是矩形C．∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案 AC解析 由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋1 4＝(x－12)2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC. 6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x0∈R，lg x0＝1；②∃x0∈R，sin x0＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案 ③解析 当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．若命题“∃t0∈R，t20－2t0－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析 命题“∃t0∈R，t20－2t0－a<0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]．全称命题、特称命题的真假例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x >2，所以D 是假命题．(2)下列四个命题：①∃x 0∈(0，＋∞)，；②∃x 0∈(0,1)，；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >；④∀x ∈(0，13)，(12)x <.其中真命题的序号为________．答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有(12)x >(13)x 成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有成立，故②是真命题；对于③，当0<x <12时，>1>(12)x ，故③是假命题；0011<23x x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123log >log x x 0012log x13log x1112331111=log =log >log 23212log x对于④，∀x ∈(0，13)，(12)x <1<，故④是真命题．思维升华 判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x 0，使p (x 0)成立．跟踪训练1 (1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案 B解析 当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.(2)已知函数f (x )＝，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)答案 B解析 幂函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C 错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立．含有一个量词的命题的否定1．已知命题p ：“∃x 0∈R ，－x 0－1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，－x 0－1≥0B ．∃x 0∈R ，－x 0－1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C.2．(2020·山东模拟)设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则綈p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形13log x 12x 12x 0e x0e x0e xB．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形答案 C解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p 为有的正方形不是平行四边形．3．命题：“∃x0∈R，sin x0＋cos x0>2”的否定是________________．答案 ∀x∈R，sin x＋cos x≤24．(2019·邯郸一中测试)若命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p是____________________．答案 ∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1思维升华 对全称命题、特称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；(2)对原命题的结论进行否定．根据命题的真假求参数的取值范围例2 (1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案 (－∞，－2]解析 由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.(2)已知f (x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．答案 [14，＋∞)解析 当x∈[0,3]时，f (x)min＝f (0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由题意得f (x)min≥g(x)min，即0≥14－m，所以m≥14.本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．答案 [12，＋∞)解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由题意得f (x)min≥g(x)max，即0≥12－m，∴m≥12.思维升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)由命题“∃x0∈R，x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案 1解析 由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.(2)若f (x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f (x0)，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，12]解析 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f (x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f (x)值域的子集．函数f (x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12.故a的取值范围是(0，12].1．下列命题中是假命题的是( )A．∃x0∈R，log2x0＝0 B．∃x0∈R，cos x0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析 因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.2．(2020·长沙期末)命题p ：“∀x ∈N *，(12)x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，(12)x >12B ．∀x ∉N *，(12)x >12C ．∃x 0∉N *，>12D ．∃x 0∈N *，>12答案 D解析 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“(12)x ≤12”改为“>12”即可，故选D.3．下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x ∉Z答案 B解析 对于A,2是素数，但2不是奇数，A 假；对于B ，∀x ∈R ，总有x 2≥0，则x 2＋1≥0恒成立，B 真；对于C ，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C 假；对于D,1∈Z ，但11＝1∈Z ，D 假，故选B.4．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 20－1<0 B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x 0∈R,2x 20－1≤0 D ．∀x ∈R,2x 2－1<0答案 C解析 由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0的否定是“∃x 0∈R,2x 20－1≤0”．5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<012x 0⎛⎫ ⎪⎝⎭12x 0⎛⎫ ⎪⎝⎭12x 0⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0答案 C解析 已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0，故选C.6．已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0) B ．[0,4]C ．[4，＋∞) D ．(0,4)答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.7．(2019·福州质检)给出下列说法：①“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件；②定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最大值为30；③命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x >2”．其中正确说法的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 由x ＝π4，得tan x ＝1，但由tan x ＝1不一定推出x ＝π4，可知“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件，所以①正确；若定义在[a ，b ]上的函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 是偶函数，则Error!解得Error!则f (x )＝x 2＋5，其在[－5,5]上的最大值为30，所以②正确；命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x <2”，所以③错误．综上可知，正确说法的个数为2.故选C.8．(多选)有四个关于三角函数的命题，其中是真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2B ．∃x 0∈R ，sin 2x 0＝sin x 0C ．∀x ∈[－π2，π2]，1＋cos 2x2＝cos xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 BC解析 对于选项A ，因为sin x 0＋cos x 0＝2sin (x 0＋π4)，所以sin x 0＋cos x 0的最大值为2，可得不存在x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2成立，故命题A 是假命题；对于选项B ，因为存在x 0＝k π或±π3＋2k π(k ∈Z )，使sin 2x 0＝sin x 0成立，故命题B 是真命题；对于选项C ，因为1＋cos 2x2＝cos 2x ，所以1＋cos 2x2＝|cos x |，结合x ∈[－π2，π2]得cos x ≥0，由此可得1＋cos 2x2＝cos x ，故命题C 是真命题；对于选项D ，因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，不满足sin x >cos x ，所以存在x ∈(0，π)，使sin x >cos x 不成立，故命题D 是假命题．9．(2020·北京通州区模拟)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是______________．答案 (56，＋∞)解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为(56，＋∞).10．已知命题“∀x ∈R ，sin x －a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析 由题意，对∀x ∈R ，a ≤sin x 成立．由于对∀x ∈R ，－1≤sin x ≤1，所以a ≤－1.11．若命题“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________．答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．12．已知下列命题：①“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x 0∈(0,2)，≤x 30”；②若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )；③若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1.其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)答案 ①②解析 对于①，命题“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x 0∈(0,2)，≤x 30”，故①为真命题；对于②，若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，故②为真命题；对于③，对于函数f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2－1＝1，x >－1，当且仅当x ＝0时，f (x )＝1，故③为假命题．故答案为①②.13．(2019·石家庄质检)命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0B ．∀x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0且g (x 0)＝0D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0答案 D解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0”．故选D.14．若“∃x 0∈[12，2]，使得2x 20－λx 0＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，22]解析 若“∃x 0∈[12，2]，使得2x 20－λx 0＋1<0成立”是假命题，即“∃x 0∈[12，2]，使得λ>2x 0＋1x 0成立”是假命题，x 0∈[12，2]，当x 0＝22时，2x 0＋1x 0取最小值22，03x 03x故实数λ的取值范围为(－∞，22]．15．(多选)下列命题正确的是( )A．∃x0>0，ln x0＋1ln x0≤2B．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件答案 ABD解析 当x0＝12>0时，ln x0<0，ln x0＋1ln x0<0，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为当a≠0时，ab有可能等于0，当ab≠0时，必有a≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．16．已知p：∀x∈[14，12]，2x>m(x2＋1)，q：函数f (x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若命题p，q一真一假，则实数m的取值范围是____________．答案 [817，1)解析 ∀x∈[14，12]，2x>m(x2＋1)，即m<2x x2＋1＝2x＋1x在[14，12]上恒成立，当x＝14时，(x＋1x)max＝174，∴(2x x2＋1)min＝817，∴若p为真，则m<8 17 .设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函数f (x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以若q为真，则m<1.又命题p，q一真一假，则Error!或Error!解得817≤m<1.故所求实数m的取值范围是[817，1).。
2021年高考数学一轮复习 第一章 单元测试卷
2021年高考数学一轮复习第一章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．(xx·陕西)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( ) A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)答案B解析∵x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝{x|0≤x<1}．故选B.2．(xx·浙江理)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( ) A．∅B．{2}C．{5} D．{2,5}答案 B解析由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}．故选B. 3．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁N B)等于( )A．{1,5,7} B．{3,5,7}C．{1,3,9} D．{1,2,3}答案 A解析即在A中把B中有的元素去掉．4．“x>0”是“3x2>0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件答案 A解析当x>0时，3x2>0成立；但当3x2>0时，得x2>0，则x>0或x<0，此时不能得到x>0.5．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是( ) A．(綈p)或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．(綈p)或(綈q)答案 D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．6．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C解析 应用命题否定的公式即可．7．原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 C解析 c ＝0时，原命题为假，逆命题为真，根据命题间的关系应选C. 8．已知∁Z A ＝{x ∈Z |x ＜6}，∁Z B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A ＝B D ．∁Z A∁Z B答案 A9.设全集为R ，集合M ＝{y |y ＝2x ＋1，－12≤x ≤12}，N ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x )}，则韦恩图中阴影部分表示的集合为( )答案 C解析 ∵－12≤x ≤12，y ＝2x ＋1，∴0≤y ≤2，∴M ＝{y |0≤y ≤2}．∵x 2＋3x >0，∴x >0或x <－3，∴N＝{x |x >0或x <－3}，韦恩图中阴影部分表示的集合为(∁R M )∩N ，又∁R M ＝{x |x <0或x >2}，∴(∁R M )∩N ＝{x |x <－3或x >2}，故选C.10．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[－6，－2] C ．(2,6) D ．(－6，－2)答案 A解析 ∵命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，∴命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.11．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5答案 C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.12．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )A．[14，＋∞) B．(－∞，14]C．[12，＋∞) D．(－∞，－12]答案 A解析当x∈[0,3]时，[f(x)]min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，[g(x)]min＝g(2)＝14－m，由[f(x)]min≥[g(x)]min，得0≥14－m，所以m≥14，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．答案0或－2解析若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．若a2＋1＝5，则a＝±2.而a＝－2时，A∩B＝{5}．若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．∴a＝0或a＝－2.14．已知命题p：α＝β是tanα＝tanβ的充要条件．命题q：∅⊆A.下列命题中为真命题的有________．①p或q；②p且q；③綈p；④綈q.答案①③15．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n ＝________.答案0解析由|x＋2|<3，得－3<x＋2<3，即－5<x<1.又A∩B＝(－1，n)，则(x－m)(x－2)<0时必有m<x<2，从而A∩B＝(－1,1)，∴m＝－1，n＝1，∴m＋n＝0.16．由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．答案 1解析 ∵“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题， ∴“任意x ∈R ，使x 2＋2x ＋m >0”是真命题． ∴Δ＝4－4m <0，解得m >1，故a 的值是1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的值． 答案 a ＝2或a ＝3解析 A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． 当B ＝∅时，无解；当B ＝{1}时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝a ，1×1＝a －1，得a ＝2；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝a ，2×2＝a －1，无解；当B ＝{1,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝a ，1×2＝a －1，得a ＝3.综上：a ＝2或a ＝3. 18．(本小题满分12分)π为圆周率，a ，b ，c ，d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d . (1)写出p 的否定并判断真假；(2)写出p 的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的什么条件？并证明你的结论． 答案 (1)p 的否定是假命题 (2)都是真命题 (3)充要条件，证明略解析 (1)原命题p 的否定是：“若a π＋b ＝c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．假命题． (2)逆命题：“若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ”．真命题． 否命题：若“a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ”．真命题． 逆否命题：“若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ”真命题． (3)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件． 证明如下：充分性：若a ＝c ，则a π＝c π. ∵b ＝d ，∴a π＋b ＝c π＋d .必要性：∵a π＋b ＝c π＋d ，∴a π－c π＝d －b . 即(a －c )π＝d －b .∵d －b ∈Q ，∴a －c ＝0且d －b ＝0. 即a ＝c 且b ＝d .∴“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件． 19．(本小题满分12分)设关于x 的不等式x (x －a －1)<0(a ∈R )的解集为M ，不等式x 2－2x －3≤0的解集为N . (1)当a ＝1时，求集合M ； (2)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x |0<x <2} (2)[－2,2]解析 (1)当a ＝1时，由已知得x (x －2)<0，解得0<x <2. 所以M ＝{x |0<x <2}．(2)由已知得N ＝{x |－1≤x ≤3}．①当a <－1时，因为a ＋1<0，所以M ＝{x |a ＋1<x <0}． 因为M ⊆N ，所以－1≤a ＋1<0，所以－2≤a <－1. ②当a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N ，所以a ＝－1成立． ③当a >－1时，因为a ＋1>0，所以M ＝{x |0<x <a ＋1}． 因为M ⊆N ，所以0<a ＋1≤3，所以－1<a ≤2. 综上所述，a 的取值范围是[－2,2]． 20．(本小题满分12分)已知p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．答案 (52，3]∪[72，＋∞)解析 p 真，则指数函数f (x )＝(2a －6)x的底数2a －6满足0<2a －6<1，所以3<a <72.q 真，令g (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，易知其为开口向上的二次函数．因为x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3，所以①Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)＝a 2－4>0，a <－2或a >2；②对称轴x ＝－－3a 2＝3a2>3；③g (3)>0，即32－9a ＋2a 2＋1＝2a 2－9a ＋10>0，所以(a －2)(2a －5)>0.所以a <2或a >52.由⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >2，3a 2>3，a <2或a >52，得a >52.p 真q 假，由3<a <72及a ≤52，得a ∈∅.p 假q 真，由a ≤3或a ≥72及a >52，得52<a ≤3或a ≥72.综上所述，实数a 的取值范围为(52，3]∪[72，＋∞)．21．(本小题满分12分)我们知道，如果集合A ⊆S ，那么把S 看成全集时，S 的子集A 的补集为∁S A ＝{x |x ∈S ，且x ∉A }．类似的，对于集合A ，B ，我们把集合{x |x ∈A ，且x ∉B }叫做集合A 与B 的差集，记作A －B .据此回答下列问题：(1)若A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，求A －B ； (2)在下列各图中用阴影表示出集合A －B ；(3)若集合A ＝{x |0<ax －1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}，有A －B ＝∅，求实数a 的取值范围．答案 (1){1,2} (2)略 (3){a |a <－12或a ≥3或a ＝0} 解析 (1)根据题意知A －B ＝{1,2}． (2)(3)∵A －B ＝∅，∴A ⊆B .A ＝{x |0<ax －1≤5}，则1<ax ≤6.当a ＝0时，A ＝∅，此时A －B ＝∅，符合题意；当a >0时，A ＝(1a ，6a ]，若A －B ＝∅，则6a≤2，即a ≥3；当a <0时，A ＝[6a ，1a )，若A －B ＝∅，则6a >－12，即a <－12.综上所述，实数a 的取值范围是{a |a <－12或a ≥3或a ＝0}． 22．(本小题满分12分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．若存在，求实数m 的取值范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件．若存在，求实数m 的取值范围． 答案 (1)m 不存在 (2)m ≤3 解析 (1)P ＝{x |－2≤x ≤10}，S ＝{x |1－m ≤x ≤m ＋1}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴m 不存在．(2)若存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件， ∴S ⊆P .若S ＝∅，即m ＜0时，满足条件．若S ≠∅，应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥1－m ，1－m ≥－2，m ＋1≤10，解之得0≤m ≤3.综上得，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．1．(xx·广东广州测试)已知集合A ＝{x |x ∈Z 且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 ∵32－x ∈Z ，x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2．设集合M 是R 的子集，如果点x 0∈R 满足：∀a >0，∃x ∈M,0<|x －x 0|<a ，称x 0为集合M 的聚点．则下列集合中以1为聚点的有( )①{n n ＋1|n ∈N }；②{2n|n ∈N *}；③Z ；④{y |y ＝2x}．A ．①④B ．②③C ．①②D ．①②④答案 A 解析 ①集合中{nn ＋1|n ∈N }中的元素是极限为1的数列，1是集合{nn ＋1|n ∈N }的聚点；②集合{2n |n ∈N *}中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x －1|≤1，对于a ＝13，不存在0<|x－1|<13，所以1不是集合{2n|n ∈N *}的聚点；③对于某个a <1，比如a ＝0.5，此时对任意的x ∈Z ，都有x －1＝0或者x －1≥1，也就是说不可能0<|x －1|<0.5，从而1不是整数集Z 的聚点；④该集合为正实数集，从而1是集合{y |y ＝2x}的聚点．3．对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]＝1，[－2.1]＝－3.定义在R 上的函数f (x )＝[2x ]＋[4x ]＋[8x ]，若A ＝{y |y ＝f (x )，0<x <1}，则A 中元素的最大值与最小值之和为( )A ．11B ．12C ．14D ．15答案 A解析 当0<x <18时，[2x ]＝0，[4x ]＝0，[8x ]＝0；当78≤x <1时，[2x ]＝1，[4x ]＝3，[8x ]＝7； ∴A 中元素的最大值与最小值之和为7＋3＋1＝11，选A.4．(xx·朝阳期中)同时满足以下4个条件的集合记作A k ：①所有元素都是正整数；②最小元素为1；③最大元素为2 014；④各个元素可以从小到大排成一个公差为k (k ∈N *)的等差数列．那么集合A 33∪A 61中元素的个数是( )A ．96B ．94C ．92D ．90答案 B解析 A 33中元素是首项为1，公差为33的等差数列，那么设项数为m ，则有1＋33(m －1)＝2 014，解得m ＝62；A 61中元素是首项为1，公差为61的等差数列，那么设项数为n ，则有1＋61(n －1)＝2 014，解得n ＝34；A 33∩A 61中元素是首项为1，公差为33×61的等差数列，那么设项数为q ，则有1＋33×61(q －1)＝2 014，解得q ＝2.所以设P 表示元素个数，则有：P (A 33∪A 61)＝P (A 33)＋P (A 61)－P (A 33∩A 61)＝34＋62－2＝94.5．(xx·顺义第一次统练)设非空集合M 同时满足下列两个条件： ①M ⊆{1,2,3，…，n －1}；②若a ∈M ，则n －a ∈M (n ≥2，n ∈N *)． 则下列结论正确的是( )A ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n 2个B ．若n 为偶数，则集合M 的个数为2n2－1个C ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2n －12个 D ．若n 为奇数，则集合M 的个数为2n ＋12个答案 B解析 当n ＝2时，M ⊆{1}，且满足1∈M,2－1∈M ，故集合M 的个数为1个；当n ＝3时，M ⊆{1,2}，且1∈M,3－1＝2∈M ，故集合M 的个数为1个；当n ＝4时，M ⊆{1,2,3}，且1∈M,4－1＝3∈M,2∈M,4－2＝2∈M .故集合M 的个数为3，故可排除A ，C ，D ，选B.6．(xx·湖北天门调研)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||2x 1－3i|<1，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．(0,1)B ．(0,1]C．[0,1) D．[0,1] 答案 C解析M＝{y|y＝|cos2x|，x∈R}＝[0,1]，N＝{x||1＋3i2x|<1}＝{x||x|<1}＝{x|－1<x<1}，M∩N＝[0,1)，故选C.26187 664B 晋v36010 8CAA 貪35563 8AEB 諫31545 7B39 笹,J836903 9027 逧b25825 64E1 擡 21360 5370 印34670 876E 蝮。
2021新高考版大一轮复习用书数学第一章 1.5
一元二次不等式的解集
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c (a>0)的图象
方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根 x1， x2(x1<x2)
ax2＋bx＋c>0 (a>0) 的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0) 的解集
∴3x2－2x－2>0 的解集为
( ) ( ) 1－ 7 1＋ 7
－∞，
∪
，＋∞ .
3
3
题组三 易错自纠
4．(多选)关于 x 的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为( )
1 A．－ B．1 C．－1 D．2
2 答案 AC
解析 由题意知 a<0，则排除 B，D；
6
6
所以 m< ，所以 0<m< ；
7
7
当 m＝0 时，－6<0 恒成立；
当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以 g(x)max＝g(1)，即 m－6<0， 所以 m<6，所以 m<0.
综上所述，m 的取值范围是Error!.
( )1 3
方法二 因为 x2－x＋1＝ x－ 2＋ >0， 24
a 函数图象的对称轴方程为 x＝－ .
2
a
7
当－ <－2，即 2
a>4
时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得
a≤ ，舍去； 3
( ) a
a
a2
当－2≤－ ≤2，即－4≤a≤4 2
2021新高考版大一轮复习用书数学第二章 微专题二
θcos θ 与 sin θ＋cos θ 的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的．
四、整体减元 a
例 4 已知函数 f (x)＝xln x－ x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点． 2
(1)求 a 的取值范围；
(2)设两个极值点分别为 x1，x2，证明：x1x2>e2.
－1 y
2＋1≤1.
点评 此题是 2013 年山东高考理科第 12 题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元
xy
xy
变量 x，y，z 之间的关系，进而达到减元的目的．其实，由 变到
就已经应用到
z x2－3xy＋4y2
xy
1
x
了代入消元，再由
变到
仍然用到了整体消元的思想(把 当做整体)，从而
x2－3xy＋4y2 x＋4y－3
y
yx
xy
212
12
寻求到了 取最大值时变量 x，y，z 之间的关系．最后由 ＋ － 变到－ ＋ 应用到了 x，y，
z
xyz
y2 y
z 之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的．这是一道典型的利用减元的方法求
多元变量最值的例题．
三、换元减元
[ ]π
例 3 已知 θ∈ 0， ，不等式 2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ－m＋1≥0 恒成立，求实数 m 的取值 2
>2· ， xx12＋1
x1
t－1
令 t＝ >1，则上式为 ln t>2· .
x2
t＋1
t－1
t－12
构造函数 g(t)＝ln t－2· (t>1)，则 g′(t)＝
>0，所以函数 g(t)在(1，＋∞)上单调递增，
2021届高考一轮数学复习资料第一节 集合
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合命题导航课程标准(2017年版) 命题预测1.集合的概念与表示①通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.②针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.③在具体情境中,了解全集与空集的含义.2. 集合的基本关系理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.1.考向预测:(1)常与不等式、函数结合,考查集合的运算.(2)有时以新定义的形式考查集合的概念及关系.(3)与实际问题结合考查集合的应用.2.学科素养:主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.1.元素与集合(1)集合中元素的性质:①确定性、互异性、无序性.(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作②a∈A;若b不属于集合A,记作③b A .(3)集合的表示方法:④列举法、描述法、图示法.(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号⑤N ⑥N*或N+⑦Z ⑧Q ⑨R2.集合间的基本关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素⑩A B 或B A 真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA B 或B A 相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A B且B A A=B空集空集是任何集合的子集⌀⊆A空集是任何非空集合的真子集⌀B(其中B≠) 提醒(1)“”与“”的区别:A B A=B或A B,若A B和A B同时成立,则A B更准确.(2) ,{0}和{}的区别: 是不含有任何元素的集合;{0}含有一个元素0;{ }含有一个元素,且∈{}和∈{}都正确.(3)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若A B,则要考虑A=和A≠两种情况.3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集符号 表示 A∪BA∩B若全集为U,则集合A 的补集为UA图形 表示意义 A∪B= {x|x∈A,或x∈B}A∩B= {x|x∈A,且x∈B}∁U A= {x|x∈U,且xA}【常用结论】(1)含n 个元素的集合有2n 个子集,含n 个元素的集合有2n -1个真子集,非空真子集有2n -2个.(2)A∩B=AA B,A∪B=AA B.(3)∁U (A∩B)=(∁U A)∪(∁U B), ∁U (A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)a 在集合A 中,可用符号表示为a ⊆A.( ) (2)若{x 2,1}={0,1},则x=0,1.( ) (3){x|x≤1}={t|t≤1}.( )(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) (5)任何一个集合都至少有两个子集.( )(6)零不属于自然数集.( )答案(1)✕(2)✕(3)√(4)√(5)✕(6)✕2.若集合A={x∈N|x≤√10},a=2√2,则下面结论中正确的是( )A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A答案 D3.(2018课标全国Ⅰ文,1,5分)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}答案 A4.(教材习题改编)满足{0,1}⊆A⊆{0,1,2,3}的集合A的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 D(A∩B)=.5.若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,3,4},则∁U答案{1,4,5}6.(教材习题改编)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为.答案 2典例1 (1)(2018课标全国Ⅱ理,2,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4(2)已知a,b∈R,若{a,b,1}={a2,a+b,0},则a2 018+b2 018=( )aA.1B.0C.-1D.±1(3)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )A.92B.98C.0D.0或98答案(1)A (2)A (3)D解析(1)本题主要考查集合的含义与表示.由题意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合A中共有9个元素,故选A.(2)由已知得a≠0,则ba=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 018+b2 018=(-1)2 018+02 018=1.(3)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等的实根.当a=0时,x=23,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=98,所以a等于0或98.方法技巧与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数.易错警示要注意检验集合中元素的互异性,如典例(2).1-1 已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )A.3B.6C.8D.9答案 D1-2 已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.答案-32集合间的基本关系典例2 (1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.A BB.B AC.A=BD.A∩B=(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.(3)集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},①若B是A的子集,实数a的取值范围是;②若A是B的子集,实数a的取值范围是.答案(1)B (2)(-∞,3](3)①a≤-1或a=1 ②a=1解析(1)因为A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},所以B⫋A,故选B.(2)当B=⌀时,有2m-1<m+1,此时m<2;当B≠⌀时,有{2m-1≥m+1, m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是(-∞,3].(3)根据题意可以得出A={0,-4},①B是A的子集,包括三种情况,B=A,B是A的真子集,B为空集, B集合中根的判别式Δ=8a+8,当B为空集时,得a<-1;当B有一个解时,得a=-1,即B={0}满足题意;当B={0,-4}时,得a=1,所以实数a的取值范围是a≤-1或a=1.②由题意可得集合A={0,-4},有两个元素,而B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},又x2+2(a+1)x+a2-1=0为一元二次方程,最多有两个根,即集合B最多有两个元素.又A是B的子集,所以只需满足A=B,由①得,a=1.方法技巧1.判断两集合间关系的方法(1)对于用描述法表示的集合,把集合化简后,从表达式中寻找两集合间的关系.(2)对于用列举法表示的集合,从元素中直接寻找两集合间的关系.2.根据两集合间的关系求参数的方法已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴、Venn图等来解决这类问题.2-1 已知集合A={x|y=√1-x2,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )A.A BB.B AC.A⊆BD.A=B答案 B2-2 已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 D2-3 若集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},且B⊆A,则实数m的取值范围是.答案[-2,2)解析若B=⌀,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2;若1∈B,则12+m+1=0,解得m=-2,此时B={1},符合题意;若2∈B,则22+2m+1=0,解得m=-52,此时B={2,12},不合题意. 综上所述,实数m 的取值范围是[-2,2). 集合的基本运算命题方向一 集合的交集、并集、补集运算典例3 (1)(2019课标全国Ⅰ理,1,5分)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x 2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}(2)(多选)设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I,则下列各式中正确的是( ) A.(∁I A)∪B=I B.(∁I A)∪(∁I B)=I C.A∩(∁I B)=⌀ D.(∁I A)∩(∁I B)=∁I B(3)(2019浙江,1,4分)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则 (∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}答案 (1)C (2)ACD (3)A解析 (1)∵N={x|x 2-x-6<0}={x|-2<x<3}, M={x|-4<x<2},∴M∩N={x|-2<x<2},故选C.(2)如图,根据题意画出Venn 图,非空集合A 、B 、I,故选ACD.(3)∵∁U A={-1,3},∴(∁U A)∩B={-1},故选A.命题方向二 利用集合的运算求参数典例4 (1)集合A={0,2,a},B={1,a 2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a 的值为( ) A.0B.1C.2D.4(2)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠⌀,则a 的取值范围是( ) A.-1<a≤2B.a>2C.a≥-1D.a>-1答案 (1)D (2)D解析 (1)由题意可知集合A,B 中的元素个数之和恰好等于集合A∪B 的元素个数,所以{a =4,a 2=16,故a=4.(2)由A∩B≠∅知,集合A,B 有公共元素,作出数轴,如图所示:易知a>-1. 方法技巧1.集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的,则常用Venn 图求解.(2)若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. 2.利用集合的运算求参数的方法(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍.(2)若集合中元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).3-1 (2019广东模拟)已知x∈R,集合A={0,1,2,4,5},集合B={x-2,x,x+2},若A∩B={0,2},则x=( )A.-2B.0C.1D.2答案B3-2 已知集合A={x|x 2-x-12>0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},则实数m 的取值范围是( )A.(-4,3)B.[-3,4]C.(-3,4)D.(-∞,4]答案 B3-3 设集合A={(x,y)|2x+y=1,x,y∈R},集合B={(x,y)|a 2x+2y=a,x,y∈R},若A∩B=⌀,则a 的值为( )A.2B.4C.2或-2D.-2答案 D 由题意可知,集合A,B 的元素为有序数对,且都代表的是直线上的点.因为A∩B=∅,所以两条直线没有公共点,所以两条直线平行,所以{4-a 2=0,-2a +a 2≠0,解得a=-2.解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义,首先分析定义的特点,弄清新定义的本质,并能够应用到具体问题中,这是破题的关键所在;(2)用好集合的性质,解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算性质.1.若A={2,3,4},B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n},则集合B 中的元素个数是( ) A.2B.3C.4D.5答案 B 由题意可知,当m=2时,n=3或4,此时x=6或8;当m=3时,n=2或4,此时x=6或12.所以B={6,8,12}.2.已知集合A={(x,y)|x 2+y 2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A,(x 2,y 2)∈B},则A⊕B 中元素的个数为( ) A.77 B.49 C.45 D.30答案 C 如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”,则集合A⊕B 显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”+所有圆点“”,共45个.故A⊕B 中元素的个数为45.3.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 答案 12解析 设全集U 为某班的30人,集合A 为喜爱篮球运动的15人,集合B 为喜爱乒乓球运动的10人,如图.设两项运动都喜爱的人数为x,则只喜爱篮球运动的有(15-x)人,只喜爱乒乓球运动的有(10-x)人,由此可得(15-x)+(10-x)+x+8=30,解得x=3.所以15-x=12,即所求人数为12.A 组 基础题组1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B 中元素的个数为( ) A.1B.2C.3D.4答案 B2.(2019广东惠州模拟)设集合A={x|2≤x≤5},B={x|x=2n -1,n∈N *},则A∩B=( ) A.{1,3} B.{1,7} C.{3,5} D.{5,7}答案C3.(2019河南开封模拟)已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,2,3,5},B={2,4},则(∁UA)∪B=()A.{0,2,4}B.{4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}答案 A4.(2018天津,1,5分)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}答案 B5.(2018湖北黄冈模拟)已知集合A={x∈N*|x2-3x<0},则满足条件B⊆A的集合B的个数为( )A.2B.3C.4D.8答案 C6.(2018贵州贵阳模拟)设A={x|-1<x<2},B={x|y=√-x+1},则A∩B=()A.(-1,1]B.(-5,2)C.(-3,2)D.(-3,3)答案 A7.已知集合A={1,2,3},集合B={x|x∈A},则集合A与集合B的关系为( )A.A⊆BB.B⊆AC.A=BD.不能确定答案 C 由题意可得,集合B中的元素就是集合A的元素,即B={1,2,3},所以A=B.8.(2019河北石家庄质量检测)已知集合A={x|-2<x<4},B={x|x≥2},则A∩(∁RB)=( )A.(2,4)B.[2,4)C.(-2,2)D.(-2,2]答案 C 由已知得∁R B={x|x<2},又A={x|-2<x<4},所以A∩(∁RB)={x|-2<x<2},故选C.9.设集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},则集合A与B的关系是( )A.B⊆AB.B⊇AC.B∈AD.A∈B答案 A ∵A={x|-x 2-x+2<0}={x|x>1或x<-2},B={x|2x-5>0}={x |x >52}.在数轴上标出集合A 与集合B,如图所示,可知,B ⊆A.10.(2019广西南宁模拟)设集合M={x|x<4},集合N={x|x 2-2x<0},则下列关系中正确的是( ) A.M∩N=MB.M∪(∁R N)=MC.N∪(∁R M)=RD.M∪N=M答案 D 由题意可得,N=(0,2),又M=(-∞,4),所以M∪N=M.故选D.11.已知集合A={(x,y)|x 2+y 2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B 中元素的个数为( ) A.3B.2C.1D.0答案 B 联立方程得{x 2+y 2=1,y =x ,解得{x =√22,y =√22或{x =-√22,y =-√22.所以交点坐标分别是(-√22,-√22),(√22,√22).12.已知集合M={x|x 2=1},N={x|ax=1},若N ⊆M,则符合条件的实数a 的值的集合为( ) A.{1} B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}答案 D 因为M={x|x 2=1}={-1,1},又N ⊆M,N={x|ax=1},则N={-1},{1}或⌀,所以a=1,-1,0,即符合条件的实数a 的值的集合为{1,-1,0}.13.若{3,4,m 2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则m= . 答案 1解析 由集合中元素的互异性,可得{m 2-3m -1=-3,2m ≠-3,2m ≠3,2m ≠4,解得m=1.14.已知集合A={m+2,2m 2+m},若3∈A,则m 的值为 . 答案 -32解析 因为3∈A,所以m+2=3或2m 2+m=3.当m+2=3,即m=1时,2m 2+m=3,此时集合A 中有重复元素3,所以m=1不符合题意,舍去;当2m 2+m=3时,解得m=-32或m=1(舍去),当m=-32时,m+2=12≠3符合题意.B 组 提升题组1.(2019资阳调研)设全集U=R,集合A={x|x 2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}答案 D 由题意可知,题图中阴影部分所表示的集合为∁U (A∪B),又A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},∴A∪B={x|x>-1},∴∁U (A∪B)={x|x≤-1}.2.已知集合P={y|y 2-y-2>0},Q={x|x 2+ax+b≤0}.若P∪Q=R,且P∩Q=(2,3],则a+b=( ) A.-5 B.5 C.-1 D.1答案 A 因为P={y|y 2-y-2>0}={y|y>2或y<-1},由P∪Q=R 及P∩Q=(2,3], 得Q=[-1,3],所以-a=-1+3,b=-1×3, 即a=-2,b=-3, 则a+b=-5,故选A.3.期中考试,某班数学优秀率为70%,语文优秀率为75%.则两门学科都优秀的百分率至少为 .答案 45%解析 将该班总人数看作全集U,元素个数为100,其中数学优秀的人数看作集合A,元素个数为70,语文优秀的人数看作集合B,元素个数为75,如图所示.设两科均优秀的人数为集合A∩B,元素个数为x,则有70+75-x≤100,所以x≥45, 所以两门学科都优秀的百分率至少为45%. 素养拓展4.(多选)定义平面点集R 2={(x,y)|x∈R,y∈R|},M ⊆R 2,若∀P 0∈M,∃r>0,使得{P∈R 2||PP 0|<r}⊆M,则称集合M 为“开集”.下列说法中正确的是( ) A.集合{(x,y)|(x-1)2+(y-3)2<1}是开集 B.集合{(x,y)|x≥0,y>0}是开集 C.开集在全集R 2上的补集仍然是开集 D.两个开集的并集是开集答案 AD 集合{(x,y)|(x-1)2+(y-3)2<1}表示以点(1,3)为圆心,1为半径的圆面(不含边界),取在该平面点集中的任一点(x 0,y 0),则该点到圆周上的点的最短距离为d,取r=d,满足“开集”的定义,故A 正确;在x≥0,y>0的区域上任意取点(x 0,y 0),以任意正实数r 为半径的圆面,均不满足条件,故B 错误; 依题意可确定开集不含边界,所以开集在全集R 2上的补集有边界,不是开集,故C 错误; 两个开集的并集满足开集的定义,故D 正确. 故选AD.5.当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时,称这两个集合构成“全食”,当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”.对于集合A={-1,12,1},B={x|ax2=1,a≥0},若A与B构成“全食”或构成“偏食”,则符合条件的a的值的集合为.答案{0,1,4}解析当a=0时,B为空集,满足B⊆A,此时A与B构成“全食”;当a>0时,B={√a ,-√a},由题意知√a =1或√a=12,解得a=1或a=4.故符合条件的a的值的集合为{0,1,4}.。
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微专题一 基本不等式的向量形式
[思维扩展]
波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．
我们知道，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )以及a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
但将a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为a ＋b 2≥a ·b 就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
注意到a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔(a ＋b 2)2≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式(a ＋b 2)2≥a ·b 左右两
边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2＋4a ·b ≥4a ·b 可得(a ＋b 2)2≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
这样，我们就得到如下两个结论：
定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
定理2 设a ，b 是两个向量，则(a ＋b 2)2≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．
答案 －98
解析 方法一 由定理1得
32≥|2a －b |2＝(2a －b )2＝(－2a )2＋b 2－4a ·b
≥2·(－2a ·b )－4a ·b ＝－8a ·b ，
所以a ·b ≥－98
，当且仅当b ＝－2a 时等号成立，故a ·b 的最小值是－98
.方法二 由定理2得
2a ·(－b )≤(2a －b 2)2＝|2a －b |24≤94
，则a ·b ≥－98
，当且仅当b ＝－2a 时等号成立．
故a ·b 的最小值是－98
.说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a ，b 满足：|λa ＋b |≤m (m >0)，则当λ>0时，a ·b
的最大值为m 2
4λ；当λ<0时，a ·b 的最小值为m 2
4λ
.例2 已知a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的最小值为________．
分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．
答案 12解析 引入正参数λ，
由(a ＋b )·(a －2b )＝0得a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，则1－2b 2＝a ·b ，
1－2b 2＝a ·b ≤12(λa 2＋1λb 2)
＝12(λ＋1λ
b 2)，当且仅当λa 2＝1λ
b 2，即b 2＝λ2时等号成立．所以1－2λ2＝a ·b ≤12(λa 2＋1λb 2)
＝12(λ＋1λ·λ2)
，解得λ＝|b |≥12
，故|b |的最小值为12
.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，求|c |的最大值．
解 由(a －c )·(b －c )＝0得c 2＝c ·(a ＋b )，
由定理1及已知条件得
c 2＝c ·(a ＋b )≤12
[c 2＋(a ＋b )2]＝12(c 2＋a 2＋b 2)＝12
(c 2＋2)，解得|c |2≤2，故|c|的最大值是2.
拓展1 已知a ，b 是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |
的最大值是1
cos θ2.
拓展2 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a |＝m ，|b |＝n ，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是m 2＋n 2.
例4 平面上三点A ，B ，C 满足AB → ·BC → >0，求AC → 2＋1AB → ·BC →
的最小值．解 由定理2得0<AB → ·BC → ≤(AB → ＋BC → 2)
2＝14AC → 2，则
AC → 2＋1AB → ·BC → ≥AC → 2＋4AC → 2＝|AC → |2＋4|AC → |2≥2·|AC → |·2|AC → |＝4，故当且仅当AB → ＝BC → ，且|AC → |＝2时，AC → 2＋1AB → ·BC →
取得最小值4.例5 设a ，b 满足a 2＋a ·b ＋b 2＝3，求a 2－a ·b ＋b 2的取值范围．
解 由定理1得a ·b ≤a 2＋b 22
，所以a ·b ≤3－a ·b 2，
解得a ·b ≤1.
又由定理1得(－a )·b ≤(－a )2＋b 22
，所以a ·b ≥－a 2＋b 22＝－3－a ·b 2，解得a ·b ≥－3.
所以－3≤a ·b ≤1.
因为a 2－a ·b ＋b 2＝(3－a ·b )－a ·b ＝3－2a ·b ，
所以1≤a 2－a ·b ＋b 2≤9.
以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．。