图形的分割与拼接

课题：图形的分割与拼接‘【专题知识点概述】本讲中的知识点比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法：1理解掌握图形的分割；2、理解掌握图形的拼合；3、理解图形的剪拼；4、利用剪拼图形计算、解决问题.图形的分割与拼接的概念把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割.反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合. 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，贝U叫做图形的剪拼.我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考.如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多.图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形.如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的.如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法.【例1】（难度等级※丿右图是一个3 X4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分,完整.【分析与解】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同•方格纸一共有分成的两块每块有12十2=6 （个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号，当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示•2但要保持每个小方格的因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同 •方格纸一共有4X 4=16 （个）小格，所以分成的两块每块有16十2=8 （个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法， 从中心点的一侧入手染色，逐步推进，建议同时呈现六幅空的 4X 4格图，不同的变化在不同的图上同时呈现，如下图所示.【分析与解】图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间 划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是 6X 4的，所以分割后的每一块都有 6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分， 再把每一部分分成相同的两部分，对称分成如下图•【例2】（难度等级※※丿右图是一个4 X 4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整.【分析与解】【例3】（难度等级※※※丿请把右面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的中的一个，该怎么剪？4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字【例4】（难度等级※※※丿学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将右图分成形状和大小都 【分析与解】种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围. 根据原题中各个字的具体位置， 上图中有些图形是必须排除的, 例如，如果把图（2）与原题右下角2X 2的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此, 图（2）可以先排除掉. 现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑.如固定右上角写有 “考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：【例5】（难度等级探※※）相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字•应怎样分思 学思 考 考 学习 习习思S学 考 学看 先块,田廿廿日到这道题目，首 想到俄罗斯方由题意可知，所分出的每一块图形，必须由 4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五学 思 考习1Z习思 学 思 孝习习------- 1习 L习思川图中是由三个正三角形组成的梯形.你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗【分析与解】这道题的要点在于通过计算解决问题， 要求把原来三个正三角分成四个大小、 形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯 形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图【例6】（难度等级探※※※）如何把图a 中的三个图形分割成两个相同的部分 （除了沿正方形的边进行分割外， 还可沿正方形的对角形【分析与解】要把图形分成两个相同的部分， 首先要保证分得的两部分面积相同， 其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决•第一个图形一共有 6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有 7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正 方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以 考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分 法见下图.【例7】（难度等级※※※丿F 图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形.进行分割）.【分析与解】通过计算，18-6=3,说明基本形状是有三个小正方形组成，三个正方形有两种形式:【分析与解】总格数为12,用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作 图，如右图•【例9】（难度等级※※丿用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个形、一个梯形、一个平行四边形五种图形 ？若能，画出示意图.【分析与解】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行 四边形五种图形•建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等 腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示.【例10】（难度等级探※※）【例8】（难度等2 2 4 41 2 3 5 4 61 1 3 3 5 5 6 6级探※※）把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形.正方形、一个长方F面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形?【分析与解】用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形•其实用图（1）、图（2 ）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见下图.【例111 （难度等级※※丿用图形（1）、（2）和⑹ 也能拼成边长为4的正方形（如右下图所示）.通过观察与试验，无法用所给图中的（3）和⑷ 拼成题目要求的正方形•因此，用所给图中的七种图形,共可以拼成5种面积是16的正方形.例121 （难度等级※※^将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有中有哪几种可以拼边长等于4，用图【分析与解】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角 顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形•若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角 形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心 正八角星.【例13】（难度等级探※※）将右图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形.【分析与解】经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小 正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍•现在来考虑形状•由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中 间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个如图1,再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可•下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法.如果把上图中每个小正方形的边长 看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3;显然，要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为3，如图2;用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如右下图.【例14】（难度等级探※）图2试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形.【分析与解】要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种•组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形•如图例15】（难度等级探※※）试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形.【分析与解】（方法一）三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点,这样才能拼出一个长方形，如左下图.（方法二）因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，作三角形的中位线，旋转180。

即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图例16】（难度等级探※※）试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形.【分析与解】（方法一）我们应该首先考虑三角形与矩形的图形差异，三角形有三个角、三条边，所以需要把长方形的两个角变为一个角，可以讲长方形的两个角剪掉，拼在两边，如左下图（方法二）在长方形两边割三角形，向上旋转180 °，即可拼成三角形，如右下图•【例17】（难度等级探※）将右图分成两块，然后拼成一个正方形.【分析与解】图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为 1,那么拼成的正方形的边长应该是 4。

因为图形是缺角长方形，长为 6,宽为3，应将宽加1,长减去2便可得一个正方形，所以分割成两块后，右 边的一块应向上平移 1 （原来宽为3，向上平移使宽为 4），向左平移2（原来长为6,向左平移使长为4）。

如下图.成如下图所示，由于取得点都是等分点， 分割后7个小正方形的面积都是 4平方厘米，10个小等腰直角【例18】（难度等级※※※丿如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形的面积是4平方厘米，长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米?【分析与解】取AB CD AE 的中点，BC 的三等分点进行连接,可以把长方形分割三角形的面积都是 2平方厘米，可以看出长方形 ABCD 的面积等于：7 X 4+10X 2=48 （平方厘米）【例19】（难度等级探※※※）如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长 16厘米、宽15厘米的新长方形.【分析与解】因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多20个长4厘米，宽3厘米的小长方形•因为新长方形的长为 16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形.可以沿对角线的方向，把它切成k 阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部 分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形.具体操作中可按下图中的粗线把长方形分两成块，一移一错一对，便可得到如图所示的长为 宽为15厘米的新长方形. 3厘米，因此我们把原长方形分成16厘米,【例20】（难度等级探）正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积【分析与解】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：1X 2=2 （平方米）。