第一章部分习题解答

第一章部分习题解答
1．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1，z 2
，
z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于
1321===z z z ，知321z z z Δ的三个顶点均在单位圆上。

因为 3
33
31z z z ==
()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+−+−=
21212z z z z ++=
所以， 12121−=+
z z z z ，
又 )())((1221221121212
21z z z z z z z z z z z z z z +−+=−−=−
()322121=+−=z z z z
故 321=−z z ，
同理
33231=−=−z z z z ，知321z z z Δ是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

2．证明：z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+（a 是非零复常数，C 是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为C By Ax =+将
)(i 21
Im ),(21Re z z z y z z z x −==+=
=代入，得
C z B A z B A =−+−)i (21
)i (21
令
)
i (2
1
B A a +=，则
)
i (2
1B A a −=，上式即为C z a z a =+。

3．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。

（1）t z i)1(+=； （2）t b t a z sin i cos +=；
（3）
t t z i
+
=； （4）
22i
t t z +
=，
解（1）
⎩⎨
⎧∞<<−∞==⇔+=+=t t y t
x t y x z ,)i 1(i 。

即直线x y =。

（2）
π
20,
sin cos sin i cos i ≤<⎩
⎨
⎧==⇔+=+=t t b y t
a x t
b t a y x z ，即为椭圆1
22
22=+b y a x ；
（3）
⎪⎩⎪⎨⎧=
=⇔+=+=t y t x t t y x z 1
i
i ，即为双曲线1=xy ； （4）⎪⎩⎪
⎨⎧==⇔+=+=22221i
i t y t x t t y x z ，即为双曲线1=xy 中位于第一象限中的一支。

4．函数
z w 1
=
将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线()iv u w iy x z +=+=,？
（1）
x y =； （2）()1122
=+−y x 解
222211
y x y
i
y x x iy x z
w +−+=+=
=
，
2222,y x y v y x x u +−=+=，可得 （1）
()v
y x y y x y y x x u −=+−−=
+=
+=
2
22
22
2是w 平面上一直线；
（2）
()212112
22222=
+⇔
=+⇔=+−y x x x y x y x ，
于是
21
=
u ，是w 平面上一平行与v 轴的直线。

19．试证)arg (arg ππ≤<−z z 在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z 平面上处处连续。

证 设z z f arg )(=，因为f (0)无定义，所以f (z )在原点z =0处不连续。

当z 0为负实轴上的点时，即)0(000<=x x z ，有
⎩
⎨
⎧−=⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=−+
→→→→→ππππx y x y z y x x y x x z z arctan lim arctan lim arg lim 00000
所以
z
z z arg lim 0
→不存在，即z arg 在负实轴上不连续。

而argz 在z 平面上的其它点处
的连续性显然。

5． 设
()⎪⎩⎪⎨⎧+=,0,623y x xy z f
00
=≠z z 求证()z f 在原点处不连接。

证 由于
()01lim lim lim 42
0624
00=+=+=→→=→x x x x x z f x x x
y z
()2
1lim
lim 6
660
03
=
+=→=→y y y z f y y x z
可知极限()
z f z 0
lim →不存在，故()z f 在原点处不连接。

6．如果it
e z =，试证明
（1）
nt
z
z n
n cos 21
=+
； （2）
nt
z
z n
n sin i 21
=−
解 （1）
nt
e e e e z z n n sin 21
int int int int =+=+=+
−
（2）nt
e e e e z
z n
n sin i 21
int int int int =−=−=−
−
7．设iy x z +=，试证
y
x z y
x +≤≤+2。

证 由于
y
x y x y x y x z +=++≤
+=22
222
及
()
22
22
2222
22
2
y
x y
x y x y x y x z +=
++≥+=
+=
有 y
x z y
x +≤≤+2
8．试证：复数z 1，z 2，z 3，z 4在同一圆周上或同一直线上的条件是
Im 43232141=⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛−−⋅−−z z z z z z z z
证明 设z 1，z 2，z 3，z 4四点共圆或共线，可知若记
θ=−−2
14
1arg
z z z z
则
θπ−=−−2
34
3arg
z z z z ，于是
π=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅−−2343214143232141arg arg z z z z z z z z z z z z z z z z
即432
32141z z z z z z z z −−⋅−−=实常数，从而0Im 43232141=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅−−z z z z z z z z 。