课件.2.直接开平方法
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数学华师大版九年级上册22.直接开平方法和因式分解法课件
＝4的根，则此三角形的周长为( C )
A．17
B．11
C．15
D．11或15
2．解下列方程： x(x－2)＝3x；
解：x1＝0，x2＝5.
4x2－12x＋9＝1. 解：x1＝2，x2＝1.
3．解方程：(2x－3)2＝(x＋1)2. 解：x1＝4，x2＝23.
4．解关于x的方程：(x－5)2－a＝0.
三 新知应用
例1 方程(3x－2)(x＋1)＝0的解是( D )
A．x＝
2 3
C．x1＝－
2 3
，x2＝1
B．x＝－1
D．x1＝
2 3
，x2＝－1
例2 解下列方程．
5x2＝4x；
解：x1＝0，x2＝
4 5
.
2(2x＋1)2－16＝0.
解：x1＝2
22－1，x2＝－2
2－1 2.
课堂小测
1．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x－3)2
(x-1+12)(x-1-12) =0所以x1=13，x2= -11
3、直接开平方法：解方程 (x-2)2 = (3x+1)2
方程两边同时开平方得：x-2=±(3x+1)
分成两
个一次方程，得：
x-2= 3x+1，
x-2= -(3x+1)
再计算这两个一次方程，得出x的
值：
x1= -32，x2= 14
解：当 a≥0 时，方程的解为 x1＝ a＋5， x2＝－ a＋5； 当 a<0 时，方程无解．
五 课堂小结 1．本节课学习了什么知识？
用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程．
2．用直接开平方法、因式分解法解一元二次方程的理论 根据是什么？ 平方根的定义； 如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于 零．
华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
2.直接开平方法和因式分解法(二)PPT课件(华师大版)
(2)(x＋10)2＝16.
解：直接开平方，得 x＋10＝±4， ∴x1＝－14，x2＝－6.
分层作业
1．若方程(x－5)2＝19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列结论中正确的是 ( C ) A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a－5 是 19 的算术平方根 D．b＋5 是 19 的平方根
4x y x －y
交叉相乘积相加得－3xy，凑得中间项，所以分解为 4x2－3xy－y2＝(4x＋y)(x－ y)．
参考以上方法，解方程：4x2－5x＋1＝0.
解：4x2－5x＋1＝0 化为(4x－1)(x－1)＝0， ∴4x－1＝0 或 x－1＝0 故 x1＝14，x2＝1.
分层作业
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参考答案
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(4)x1＝3，x2＝14.
6．解方程： (1)4(x＋3)2＝25(x－2)2；
解：开平方，得 2(x＋3)＝±5(x－2)， 解得 x1＝136，x2＝47；
(2)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.
解：由原方程，得(2x＋3)2＝(x－3)2， 直接开平方，得 2x＋3＝±(x－3)， 解得 x1＝0，x2＝－6.
数学HS版九年级上
第22章 22.2.1.2
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第2课时 直接开平方法和因式分解法(二)
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 1．使学生知道形如(x＋b)2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程． 情景问题引入 小明在解关于 x 的方程(x＋2)2＝4(x＋2)时，在方程两边都除以(x＋2)，得到方程的根 为 x＝2，其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是什么？
解：直接开平方，得 x＋10＝±4， ∴x1＝－14，x2＝－6.
分层作业
1．若方程(x－5)2＝19 的两根为 a 和 b，且 a＞b，则下列结论中正确的是 ( C ) A．a 是 19 的算术平方根 B．b 是 19 的平方根 C．a－5 是 19 的算术平方根 D．b＋5 是 19 的平方根
4x y x －y
交叉相乘积相加得－3xy，凑得中间项，所以分解为 4x2－3xy－y2＝(4x＋y)(x－ y)．
参考以上方法，解方程：4x2－5x＋1＝0.
解：4x2－5x＋1＝0 化为(4x－1)(x－1)＝0， ∴4x－1＝0 或 x－1＝0 故 x1＝14，x2＝1.
分层作业
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(4)x1＝3，x2＝14.
6．解方程： (1)4(x＋3)2＝25(x－2)2；
解：开平方，得 2(x＋3)＝±5(x－2)， 解得 x1＝136，x2＝47；
(2)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.
解：由原方程，得(2x＋3)2＝(x－3)2， 直接开平方，得 2x＋3＝±(x－3)， 解得 x1＝0，x2＝－6.
数学HS版九年级上
第22章 22.2.1.2
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法和因式分解法 第2课时 直接开平方法和因式分解法(二)
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
教学目标 1．使学生知道形如(x＋b)2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解； 2．了解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程． 情景问题引入 小明在解关于 x 的方程(x＋2)2＝4(x＋2)时，在方程两边都除以(x＋2)，得到方程的根 为 x＝2，其实，在解答中，小明的做法还遗漏了方程的一个根，你认为遗漏的根是什么？
人教版数学九年级上册解一元二次方程(直接开平方法)公开课PPT课件
左边为完全平方式 所以可以直接化 为平方形式．利用 直接开平方法来解
一元二次方程．
右边是大于0的数所以方 程有个不同的的实数解
直接开平方得： x 3 2 x3 2
x3 2
x1 3 2 x2 3 2
【例2】 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2
3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式， 那么x＝____p_或mx＋n＝____p_．
１．方程x2－16=0的根为( C )．
Ａ.x=4
Ｂ. x=16
Ｃ. x=±4
Ｄ. x=±8
2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( Ｄ )．
Ａ.m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0 3．方程5y2－3=y2＋3的实数根的个数是( Ｃ )．
3．某企业 2011 年向全国上缴利税 400 万元，2013 年增加到
484 万元，则该企业两年上缴的利税平均每年增长的百分率为( B )
A．5% B．10% C．15% D．20%
4．用直接开平方法解下列方程： (1)1x 2－9＝0；
3
解：x1＝3，x2＝－3
(2)4(x －2)2－3＝0；
配方法
直接开平方法
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方 程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方 程3..通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发 学生的学习热情．
运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会 降次──转化的数学思想．
提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率． 解析：此题为
22..直接开平方法和因式分解法课件初中数学华师大版九年级上册
3(x – 3) (1 – x) = 0
得
x1 = 3，x2 = 1.
课堂小结
1.对于形如 a(x – k)2 = b(a ≠ 0，b ≥ 0)的方程， 只要把 (x – k) 看作一个整体，就可转化为 x2 = n (n ≥ 0) 的情势用直接开平方法解.
2.当方程出现相同因式（单项式或多项式） 时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.
（2）x( x 2 3) 0； x1 0，x2 2 3.
（3）(x – 1)2 = 0；
x1 = x2 = 1.
（4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2
(x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0
[(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0
(3x – 9) (1 – x) = 0
直接开平方，得 ______2___x_=____2_3________.
所以 x1 = __2___2_3__，x2 = __2____23__.
你知道吗？
小张和小林一起解方程
x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0. 小张将方程左边分解因式，得
所以 得
(3x + 2)(x – 6) = 0，
22.2 一元二次方程的解法
1. 直接开平方法和因式分解法
华东师大版九年级上册
• 学习目标：
1. 会用直接开平方法解形如 a(x - k)2 = b（a ≠ 0， ab ≥ 0）的方程.
2. 灵活应用因式分解法解一元二次方程.
3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用.
• 学习重点：
利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
2
(2) x －18＝0．
2
解： x －18＝0
2
x ＝18
x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)
∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3
∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
人教部初三九年级数学上册 直接开平方解一元二次方程 名师教学PPT课件
解：系数化为1得x2 25 9
由平方根的意义得：
解：由平方根的意义得： 2x 1 3
x5 3
x1
5 3
,
x2
5 3
2x 1 3，或2x 1 3
x1
-1 2
3 ，x2
1 2
3
利用直接开平方法解下列方程
(3)、3(x 1)2 6 0
解：移项得 3(x 1)2 6 系数化为1得(x 1)2 2
人教版数学九年级上册第二十一章
21.2.1 解一元二次方程（1） ——直接开平方法
1、用直接开平方法解形如 x²=p(p≥0)或 (x+m)²=p(p≥0)的方程；
2、理解一元二次方程的解法——直接开 平方法；
3、体会一元二次方程“降次”──转化 的数学思想。
1、如果x2=a,则x叫做a的__平_方_根__; 2、如果x2=a（a≥0），则x=____; 3、如果x2=64，则x=_____.
开方得x 1 2
(4)、x2 4x 4 25
解：原方程整理得 (x 2)2 25
开方得x 2 5
x1 1 2, x2 1- 2
x1 7, x2 3
利用直接开平方法解下列方程 (5)、9x2 5 1
解：移项得 9x2 4
由平方根的意义得 原方程无实数根
直接开平方法 解一元二次方程
由平方根的意义得：
由平方根的意义得：
x 10
x 5
x1 10, x2 10
x1 5, x2 5
例1：利用直接开平方法解下列方程
(3)、4x2 100
思考：
解：两边同时 4得 x2 0的解是什么？
x2 25
x2 4呢？
由平方根的意义得：
第1课时直接开平方法PPT课件(人教版)
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
归纳 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程 的根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6； 解：（1） x2=6， 直接开平方，得
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.
解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边 都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都 除以-2即可.
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴
5
x1= 4
，x2=
7. 4
例3 解下列方程：
1 x2 4x 4 5
解： x 22 5, x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
方程的两根为
2 9x2＋6x＋1 4
解： 3x 12 4,
3x 1 2, 3x 1 2， 3x 1 2,
方程的两根为
x1 2 5 x2 2 5.
3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； 解：x1＝9, x2＝－9； (3)(x＋1)2=4 . 解：x1＝1, x2＝－3.
(2)2x2＝50； 解：x1＝5, x2＝－5；
4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一
元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有
错，指出具体位置并帮他改正.x1来自1 3x2 1.
探讨交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
归纳 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程 的根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6； 解：（1） x2=6， 直接开平方，得
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.
解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边 都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都 除以-2即可.
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴
5
x1= 4
，x2=
7. 4
例3 解下列方程：
1 x2 4x 4 5
解： x 22 5, x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
方程的两根为
2 9x2＋6x＋1 4
解： 3x 12 4,
3x 1 2, 3x 1 2， 3x 1 2,
方程的两根为
x1 2 5 x2 2 5.
3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； 解：x1＝9, x2＝－9； (3)(x＋1)2=4 . 解：x1＝1, x2＝－3.
(2)2x2＝50； 解：x1＝5, x2＝－5；
4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一
元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有
错，指出具体位置并帮他改正.x1来自1 3x2 1.
探讨交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p
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1.方程3x2+27=0的解是
A.数根
D.以上都不对
解析:移项,得3x2=-27,系数化为1,得x2=-9,因 为-9<0,所以方程没有实数根.故选C.
2.方程(x-2)2=9的解是 A.x1=5,x2=-1 B.x1=-5,x2=1 C.x1=11,x2=-7 D.x1=-11,x2=7
(4)移项得3(x-1)2=6, 方程两边同时除以3得(x-1)2=2,
直接开平方得x-1=± 2
即x 1 2或 x 1 2
所以x1 1 2 , x2 1 2
21.2解一元二次方程
问题思考 （1）什么是一个数的平方根？平方根有哪些性 质？
4 （2）计算：9的平方根是 ±3 ， 的平方 25 2 根＿＿ 5 2 ±6 （3）如果 x 36 , 那么 x的值是＿＿
学习新知 问题1：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,李林用 这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子 的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗? (1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子 的表面积为 dm2;
x=±5都是方程x2=25的根,在这里为什么舍 去一个根?
棱长不能为负数,所以正方体盒子的棱长为5 dm.
∴ x 1=
1.例解方程 解下列方程. (1)x2=4; (2)x2-2=0. 解:(1)根据平方根的意义得x=±2, ∴x1=2,x2=-2. (2)移项得x2=2,∴x=± 2
.
即 x1
9 直接开平方得x= 2 9 9 所以x1 , x2 2 2 (2)直接开平方得 x 2 5 所以x 2 5或x 2 5
所以x1 2 5 , x2 2 5
81 x 4
2
,
1 (3)移项得36x2=1,系数化为1得x2= 36 1 直接开平方得 x 6 所以 x1 1 , x2 1 6 6
解下列方程. (1)(x+3) 2=5;
解:(1)直接开平方,得x+3=± 5
即x 3 5或x 3 5
方程的根x1 3 5 , x2 3 5
,x2=-3-
5 (2)两边同时除以4,得 x 3 4
2
=
5 5 即x 3 ,x3 2 2
5 5 方程的根为x1 3 或x2 3 2 2
(1)通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略 是什么? “降次”是解一元二次方程的基本策略, 直接开平方法是根据平方根的意义,把一 个一元二次方程“降次”,达到转化为两 个一元一次方程的目的.
,x2=-n+
(2)能用直接开平方法解的一元二次方程有什 么特点?方程的解是什么?
解：直接开平方得x-m n , 所以x-m= n或x-m=- n， 所以x1 =m+ n ,x2 =m- n . 故填x1 =m+ n ,x2 =m- n .
5.解下列方程. (1)4x2=81; (2)(x-2)2=5; (3)36x2-1=0; (4)3(x-1)2-6=0.
,
.
解:(1)系数化为1得
( A )
解析:直接开平方得x-2=±3,即x-2=3或x-2=-3,所 以方程的两个根是x1=5,x2=-1.故选A.
3.用直接开平方法解方程(x+h)2=k,方程必须满 足的条件是 ( A ) A.k≥0 B.h≥0 C.hk>0 D.k<0 解析:因为负数没有平方根,所以k≥0.故选A.
x1 =m+ n ,x2 =m- n . 2 4.方程(x-m) =n(n为正数)的解是
(2)据题意可得等量关系为 (3)根据等量关系可列方程
(4)化简可得 .
; ;
解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒 子的表面积为6x2 dm2. 根据题意,得10×6x2=1500,整理,得x2=25. 根据平方根的意义,得x=±5.
即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去) 答:其中一个盒子的棱长为5 dm.
根据平方根的意义,得x=±4, ∴x1=4,x2=-4.
;
4.总结归纳
一般地,对于方程x2=p:
(1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根
x1
p , x2 p
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0; (3)当p<0时,方程没有实数根.
或 =, x2x+ =-3, .
解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程 (2)4(x+3)2=5.
如果一个一元二次方程具有x2=p或 (x+n)2=p(p≥0)的形式,那么就可以用直接 开平方法求解.
（3）.方程(x+n)2=p中,当p<0时,方程没有实数根.
(3)用直接开平方法解一元二次方程的一般 步骤是什么? 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数 的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然 后用平方根的概念求解.
2 , x2
2
2.归纳概念
通过直接将某一个数开平方解一 元二次方程的方法叫做直接开平 方法.
3.即时巩固 解下列方程.(抢答) (1)x2=9; (2)9x2-144=0.
解:(1)根据平方根的意义,得x=±3, ∴x1=3,x2=-3. (2)移项,得9x2=144,系数化为1,得x2=16