直接开平方法PPT教学课件
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人教版九年级数学上册《直接开平方法》课件
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
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You made my day!
我们，还在路上……
21.2 解一元二次方程
21．2.1 配方法 第1课时 直接开方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解 决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方 根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一 元二次方程．
重点 运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次—— 转化的数学思想． 难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到 根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
二、探索新知 上面我们已经讲了 x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如果 x 换元为 2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ (学生分组讨论) 老师点评：回答是肯定的，把 2t＋1 变为上面的 x，那么 2t＋1＝±3 即 2t＋1＝3，2t＋1＝－3 方程的两根为 t1＝1，t2＝－2 例 1 解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2 分析：(1)x2＋4x＋4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x＋3)2＝2 直接开平方，得：x＋3＝± 2 即 x＋3＝ 2，x＋3＝－ 2 所以，方程的两根 x1＝－3＋ 2，x2＝－3－ 2 解：略．
人教版九年级上数学课件直接开平方法
无实数根.
归纳：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的 根的方法叫直接开平方法.
人教版九年级上数学课件 21.2.1 第1课时 直接开平方法(共16张PPT)
例2 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：（1） x2=6，
（2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得 x 6,
3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； 解：x1＝9,x2＝－9；
(3)(x＋1)2=4 . 解：x1＝1,x2＝－3.
(2)2x2＝50； 解：x1＝5,x2＝－5；
，
x2=
7 4
.
人教版九年级上数学课件 21.2.1 第1课时 直接开平方法(共16张PPT)
人教版九年级上数学课件 21.2.1 第1课时 直接开平方法(共16张PPT)
总结 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的 形式，那么就可以用直接开平方法求解.
x1 3 5 ，或 x2 3 5.
人教版九年级上数学课件 21.2.1 第1课时 直接开平方法(共16张PPT)
人教版九年级上数学课件 21.2.1 第1课时 直接开平方法(共16张PPT)
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一 元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就 把方程②转化为我们会解的方程了.
∴x+1= 2.
即x1=-1+ 2, x2=-1- 2.
人教版九年级上数学课件 21.2.1 第1课时 直接开平方法(共16张PPT)
人教版九年级上数学课件 21.2.1 第1课时 直接开平方法(共16张PPT)
人教版数学九年级上册解一元二次方程(直接开平方法)公开课PPT课件
左边为完全平方式 所以可以直接化 为平方形式．利用 直接开平方法来解
一元二次方程．
右边是大于0的数所以方 程有个不同的的实数解
直接开平方得： x 3 2 x3 2
x3 2
x1 3 2 x2 3 2
【例2】 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2
3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式， 那么x＝____p_或mx＋n＝____p_．
１．方程x2－16=0的根为( C )．
Ａ.x=4
Ｂ. x=16
Ｃ. x=±4
Ｄ. x=±8
2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( Ｄ )．
Ａ.m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0 3．方程5y2－3=y2＋3的实数根的个数是( Ｃ )．
3．某企业 2011 年向全国上缴利税 400 万元，2013 年增加到
484 万元，则该企业两年上缴的利税平均每年增长的百分率为( B )
A．5% B．10% C．15% D．20%
4．用直接开平方法解下列方程： (1)1x 2－9＝0；
3
解：x1＝3，x2＝－3
(2)4(x －2)2－3＝0；
配方法
直接开平方法
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方 程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方 程3..通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发 学生的学习热情．
运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会 降次──转化的数学思想．
提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率． 解析：此题为
21.2.1 第1课时 直接开平方法 课件(共16张PPT)
. ∵ > , ∴ = + , = − + ,
∴ + = + .
例3：用直接开平方法解方程：
² − = ;
² − + = ;
− ² − = ;
+ ² = − ².
解: (1)移项,得 ² = ,整理，得 ² = ,即 = , = − .
能，请说明理由
(不能，理由：因为一个数的平方不能是负的)
(2)观察上面可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号有何
共同规律?
(当常数项不为0时，二次项系数与常数项的符号互为异号；当常数项为0
时，方程的解为x₁=x₂=0)
小组讨论
方程9x2=16都可以怎样求解？哪种方法最简便？
（解法1: = , =
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1.通过阅读课本会用直接开平方法解二次项系数为1的一元二次方程，发
展学生的运算能力；
2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中
数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；
3.通过直接开平方法的探究活动,培养学生积极思考、勇于探索的学习习惯.
m≥-1
______.
a≤0
变式 方程y2=-a有实数根的条件是______.
【题型二】用直接开平方法解方程
例2 已知一元二次方程( − ) = 的两根分别为, ,
+ .
且 > ，则2 + = ________
点拨：解方程 − ² = ,得 = + , = − +
∴ + = + .
例3：用直接开平方法解方程：
² − = ;
² − + = ;
− ² − = ;
+ ² = − ².
解: (1)移项,得 ² = ,整理，得 ² = ,即 = , = − .
能，请说明理由
(不能，理由：因为一个数的平方不能是负的)
(2)观察上面可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号有何
共同规律?
(当常数项不为0时，二次项系数与常数项的符号互为异号；当常数项为0
时，方程的解为x₁=x₂=0)
小组讨论
方程9x2=16都可以怎样求解？哪种方法最简便？
（解法1: = , =
21.2解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1.通过阅读课本会用直接开平方法解二次项系数为1的一元二次方程，发
展学生的运算能力；
2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中
数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；
3.通过直接开平方法的探究活动,培养学生积极思考、勇于探索的学习习惯.
m≥-1
______.
a≤0
变式 方程y2=-a有实数根的条件是______.
【题型二】用直接开平方法解方程
例2 已知一元二次方程( − ) = 的两根分别为, ,
+ .
且 > ，则2 + = ________
点拨：解方程 − ² = ,得 = + , = − +
直接开平方法ppt课件
典型例题
⑵ （x－1）2－4 = 0
解：移项，得（x-1）2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2
即x-1=+2 或x-1=-2
∴ x1=3，x2=-1
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
典型例题
概括总结
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或 （ax+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方 根的意义求解
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
a
的平方根是___ _52 __
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根 互为相反数的；
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
尝试 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
典型例题
例1解下列方程 （1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根
∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
（2）移项，得4x2=1 两边都除以4，得x2=
1
∵x是
1 4
的平方根 4
∴x= 1
2
即x1=
1 2
，x2=
1 2
直接开平方法解一元二次方程PPT
想一想：求x2=a的解的过程，就相当于求什么的过程？
（ 三）探究新知 探究（一）：
你能求出x的值吗？
1. x2=4
2. m2=16
3. x2-121=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ ∴ 即: χ2=4 χ= 4 χ=±2 根据平方根的定义可知:χ是4的( ). 平方根
这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
用直接开平方法解下列方程： 2 （1） y 121 0 ; y 11
（2） x 2 0
x 2
5 x 4 1 2 ( 4) 2 x 0 2
2
将方程化成
(3) 16x 25 0
2
x p
2
(p≥0）的形 式,再求解
9 x2－16=0 (3x+4)( 3x-4)=0
4 当3x+4=0时, x1=4 3 当3x-4=0时, x2= . 3
探究（三）：
１、一元二次方程（a-8）2=25与x2=4的形式
有何联系？ ２、对比x2=4 的求解过程，一元二次方程 （a-8）2=25该如何求解？试解出此方程。
图：
显然，方程中的(x+3) 是2的平方根。 例2、 解方程
你能通过一元二次方程解决这个问题吗？ 解：设这块绿地的边长增加了x米。 根据题意得： （15+x）2=300
（二）复习Байду номын сангаас诊断
1、将下列各数的平方根写在旁边的括号里 A： 9 （ B： 8 （ C：
49 25
）； ）； ) ；
（ 三）探究新知 探究（一）：
你能求出x的值吗？
1. x2=4
2. m2=16
3. x2-121=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ ∴ 即: χ2=4 χ= 4 χ=±2 根据平方根的定义可知:χ是4的( ). 平方根
这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
用直接开平方法解下列方程： 2 （1） y 121 0 ; y 11
（2） x 2 0
x 2
5 x 4 1 2 ( 4) 2 x 0 2
2
将方程化成
(3) 16x 25 0
2
x p
2
(p≥0）的形 式,再求解
9 x2－16=0 (3x+4)( 3x-4)=0
4 当3x+4=0时, x1=4 3 当3x-4=0时, x2= . 3
探究（三）：
１、一元二次方程（a-8）2=25与x2=4的形式
有何联系？ ２、对比x2=4 的求解过程，一元二次方程 （a-8）2=25该如何求解？试解出此方程。
图：
显然，方程中的(x+3) 是2的平方根。 例2、 解方程
你能通过一元二次方程解决这个问题吗？ 解：设这块绿地的边长增加了x米。 根据题意得： （15+x）2=300
（二）复习Байду номын сангаас诊断
1、将下列各数的平方根写在旁边的括号里 A： 9 （ B： 8 （ C：
49 25
）； ）； ) ；
直接开平方法PPT课件
CD· AB=AC· BC ∴CD= =
B
=2.4（cm）。
d=2.4 cm
即圆心C到AB的距离d=2.4cm。
（1）当r=2cm时， ∵d＞r， ∴⊙C与AB相离。 （2）当r=2.4cm时，∵d=r， ∴⊙C与AB相切。 （3）当r=3cm时， ∵d＜r， ∴⊙C与AB相交。
.O
.B
想一想？
.C .O .C
若C为⊙O内的一点，A为任意一点， 则直线AC与⊙O一定相交。是否正确？
复习提问： 1、什么叫点到直线的距离？
直线外一点到这条直线 a 垂线段的长度叫点到直线 的距离。
.E
.
D 2、连结直线外一点与直线上所有点
垂线段 的线段中,最短的是______
？ ？
3、如何根据圆心到点的距离d与半径r的 .A
2 2 2 2
B
2.4c m
5
D
C
3
A
=2.4（cm）。
解：过C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ABC中， AB=
2 2
=
2
2
=5（cm） 根据三角形面积公式有
在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径的圆 与AB有怎样的位置关系？ 为什么？（1）r=2cm； （2）r=2.4cm (3)r=3cm。
练习1
.O
１、直线与圆最多有两个公共 √ ） 点 。…………………（
２、若直线与圆相交，则直线上的 点都在圆内。… … … …(× )
m
.A
.O .B
.C
3 、若A、B是⊙O外两点， 则直线AB 与⊙O相离。… … … … …( × )
.A
《用直接开平方法解一元二次方程》PPT课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法 解一元二次方程
学习目标
1 课时讲解 形如x2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
形如(mx+n)2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
开平方降次
感悟新知
总结
知1－讲
用直接开平方法解一元二次方程的方法：首先 将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边 是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根 据平方根的定义求解．
感悟新知
1 方程x2－3＝0的根是__x______3.
知1－练
2 对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m___＞__1___； (2)若方程有两个相等的实数根，则m__＝__1____； (3)若方程无实数根，则m__＜__1____．
感悟新知
3 下列方程中，没有实数根的是( D )
A．2x＋3＝0
C.
2 x＋1
＝1
B．x2－1＝0 D．x2＋x＋1＝0
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
探究 对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解 方程(x＋3)2＝5? 在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，② 得 x＋3＝± 5，即 x＋3＝ 5，或x＋3＝－ 5 ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ 5 ，x2＝－3－ 5 .
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21.2 解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法 解一元二次方程
学习目标
1 课时讲解 形如x2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
形如(mx+n)2=p ( p≥0 ) 型方程的解法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
开平方降次
感悟新知
总结
知1－讲
用直接开平方法解一元二次方程的方法：首先 将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边 是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根 据平方根的定义求解．
感悟新知
1 方程x2－3＝0的根是__x______3.
知1－练
2 对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m___＞__1___； (2)若方程有两个相等的实数根，则m__＝__1____； (3)若方程无实数根，则m__＜__1____．
感悟新知
3 下列方程中，没有实数根的是( D )
A．2x＋3＝0
C.
2 x＋1
＝1
B．x2－1＝0 D．x2＋x＋1＝0
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
探究 对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解 方程(x＋3)2＝5? 在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，② 得 x＋3＝± 5，即 x＋3＝ 5，或x＋3＝－ 5 ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ 5 ，x2＝－3－ 5 .
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x13 2,x23 2;
归纳 小结
1.用直接开平方法可解的类型
形如x2： pp0或 即只含二次项和 mxn2pp0. 常数项的一元二次
方程
2.直接开平方法的步骤: ①.移项； ②.二次项系数化为1； ③.直接开平方。
巩固应用
解一元二次方程
116x2 490
（2） 2（x-8）2=50
（3） （2 x-1）2－32=0
PPT教学课件
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8
21.2.1一元二次方程的 解法（一）
直接开平方法
2020/12/10
1
探究新知 1. 探究(一）
你能求出x的值吗？ x2=4
对于方程可以这样想: ∵ χ2=4 根据平方根的定义可知:χ是4的( 平方根 ).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示一元二次方程的两个根。
∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
探究（二）： 9x2=16可以怎样求解?
解：∵ 9 x2=16
∴x2=
16 9
∴x1= 4
3
，x2=-
4 3
.
探究（三）：
例2、 解方程 3x3260 解： x322
x3 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将方程化成
(mxn)2p
(p≥0）的形 式,再求解
即：x3 2,或 x32;