21.2.1-1 直接开平方法
21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思
21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思第一篇：21.2解一元二次方程——直接开平方法教学反思21.2解一元二次方---直接开平方法的教学反思解一元二次方程是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。
在这节教材编写中还突出体现了换元、转化等重要的数学思想方法。
因此，这节课不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
本节课我以出示学习目标开场，让学生明确本节课的学习任务，抓住学习重点。
在复习近平方根的知识，为本节课的教学做好准备，符合学生的认知规律。
然后接着从实际问题切入向学生提出问题，激发学生的学习热情和问题探索的强烈欲望，然后通过一系列的问题让学生在合作与探究中逐步理解并掌握直接开平方法解一元二次方程，同时在问题的解决过程中让学生体会类比的学习方法和换元、转化的数学思想，从而培养学生良好的数学学习学习方法和数学思维方式。
其中教学问题的设计围绕目标环环相扣，同时注重层次性与启发性;在典例解析、巩固新知和达标检测环节中，注重突出重点，分层评价。
整节课学生的参与积极性较高，达到了预期的教学效果。
当然，这节课也存在不足之处，还有学生参与讨论的过程中个别学生参与程度不足，教师应关照这些边缘人员。
今后，我会更努力,多渠道向优秀老师学习，不断地提升自我、完善自我，使课堂教学更高效。
第二篇：配方法解一元二次方程教学反思在“一元二次方程”这一章里，《配方法》是作为解一元二次方程的第三种解法出现的，学生往往会把配方法和前面学过的直接开平方法以及因式分解法等同理解，所以在用配方法解题时只是简单模仿老师的解题步骤，对为什么要配方理解不到位，因此在需要用配方法证明一个代数式一定为正数或负数时往往不知所措。
而我认为配方法更多的是一种代数式变形的技巧，她可以为解一元二次方程服务，但不仅仅只是一种解方程的方法。
事实上，一个一元二次方程在配方后还是要结合直接开平方法才能解出方程的解。
人教版九年级上册数学用直接开平方法解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法解 一元二次方程
一、教学目标
1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程． 2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
二、教学重难点
重点 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次 方程．
在解方程（1）时，由方程x2＝25得x=±5.由此想到：
由方程
(x+3)²=5
②
得
x+3 =± 5 ，
即
x+3= 5 ，或x+3= - 5 . ③
于是，方程(x+3)²=5 的两个根为x1=-3+ 5 , x2=-3- 5 .
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一
元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这
(2) y1＝5 2，y2＝－5 2；
(3)
p1＝
45，p2＝－
5 4.
例2 解方程： (1) 2(2x－1)2－10＝0； (2) y2－4y＋4＝8； (3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
解：(1)由 2(2x－1)2－10＝0 得(2x－1)2＝5，
直接开平方得 2x－1＝± 5，
(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是 如何转化为一次的？
(2)请谈谈如何降次．
2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为_两__个__一__元_ _一__次_方程．
活动4 例题与练习
例1 解方程： (1) x2－36＝0； (2) 2y2＝100； (3) 16p2－5＝0. 解：(1) x1＝6，x2＝－6；
人教版数学九年级上册21.2.1配方法第一课时 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名孙洋单位名称霍尔果斯市国门初级中学填写时间2020年8月21日学科数学年级/册九年级上册教材版本人教版课题名称21．2.1配方法（1）难点名称运用直接开平方法，把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程。
难点分析从知识角度分析为什么难解一元二次方程不同于解一元一次方程，计算的难度变大了，需要学生有一定的数学基础和较强的计算能力。
难点教学方法1.通过复习回顾平方根的相关知识引入本节课内容，为后面探索解法作铺垫。
2.通过创设情境，激发学生探究新知的兴趣，通过四个问题，探索总结用直接开平方法解一元二次方程。
教学环节教学过程导入（一）复习回顾，引出课题问题1 试述平方根的意义和性质．平方根的意义：平方根的性质：问题2 写出下各数的平方根： 9，16，8，24，0，-25．回答：前面我们学习了一元二次方程的有关概念，今天我们开始研究一元二次方程的解法．21.2.1 配方法（一）知识讲解（难点突破）（二）创设情境，探索解法问题3 一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考1 未知数？等量关系？代数式？思考2 怎样解这个方程？思考3 所求方程的解是实际问题的解吗？解：问题4 根据平方根的意义我们可以求得方程x2=25的解，那么你能求出下列方程的解吗？（1）x2-9=0； （2）2x2=4； （3）3x2-81=0； （4）x2=a(a≥0)．问题5 对照上述方程的求解过程，你知道如何解下列方程吗？（1）(x+1)2=2； （2）(x-1)2-4=0．问题6 前面我们依据平方根的意义求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．（1）当方程具有什么形式时，可以用直接开平方法求解？如何求解？回答：（2）用直接开平方法解一元二次方程的实质是什么？用直接开平方法解一元二次方程的实质是：问题7 你能用直接开平方法解方程x2+6x+9=2吗？分析：如果方程能化成x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（p≥0）的形式，就可以用直接开平方法求解．解：课堂练习（难点巩固）三、应用提高（一）巩固应用例1 解下列方程：（1）2x2-8=0； （2）9x2-5=3； （3）(x+6)2-9=0；（4）3(x-1)2-6=0； （5）x2-4x +4=5； （6）9x2+6x +1=4．解：解题心得：四、落实训练（一）当堂训练1.选择题(4道)2.填空题(2道)3.问答题(2道)小结（二）回顾提升思考：通过这节课的学习你有哪些收获？回顾交流，概括总结：。
21.2.1.1直接开平方解一元二次方程
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
x 3.如果x2 64，则 = 8 。
(1). χ2=4
(2). χ2=0 (3). χ2+1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的( 平方根 ).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ 的一元二次方程的两个根。
∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
21.2.1 直接开平方法 解一元二次方程
回顾
1、一元二次方程定义：
等号两边都是整式，只含 有一个未知数（一元），并且未 知数的最高次数是2 （二次）的 方程，叫做一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a 。
方程无实数根.
利用平方根的定义直接开平方求一元二
次方程的解的方法叫直接开平方法。
自主学习
第1,2题
对照以上方法，你认为怎样解方程（χ+1）2=4
解：直接开平方，得 x+1=±2
∴ χ1+1=2，χ2+1=－2 ∴ χ1+1=2，χ2+1=－2 ∴ χ1=1，χ2=－3
思考：
如何解以下方程
（1）χ2+6x+9=4 （2） 3（2－χ）2－27=0
如果我们把χ2=4， χ2=0， χ2+1=0变形 为χ2=p呢？
21.2.1.1 直接开平方法(复习课件)
解：20秒
18．(8分)已知m是不等式3m＋2≥2m－2的最小整数解，
试求关于x的方程x2＋4m＝0的解．
解：∵3m＋2≥2m－2，∴m≥－4，∴不等式的最 小整数解为－4，当m＝－4时，原式为x2－16＝0
，∴x1＝4，x2＝－4
19．(12分)某工程队在实施棚户区改造过程中承包了一项 拆迁工程，原计划每天拆迁1 250 m2，因为准备工作不足， 答：该工程队第一天拆迁的面积为 1 000 m2 第一天少拆迁了 20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁 2＝1 (2)设这个百分数为 x ， 则有 1 000(1 ＋ x) 2，求： 速度，第三天拆迁了 1 440 m 440，x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)， 答：这个百分数为20% (1)该工程队第一天拆迁的面积； (2)若该工程第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长 的百分比相同，求这个百分数．
B ．0
10．若方程(a－2)x2＋ ax＝3 是关于 x 的一元二次方程， 则 a 的取值范围是( C ) A．a≠2 B．a≥0 D．a 为任意实数
C．a≥0 且 a≠2
11．若 2x2＋3 与 2x2－4 互为相反数，则 x 的值为( D ) 1 A .2 B． 2 C．±2 ) 1 D．±2
21.2
解一元二次方程
21.2.1 配方法 第一课时 直接开平方法
1．若方程能化成 x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p 的形式，则 ± p ． ± p 或 mx＋n＝ x＝____ ____ 2．方程(x＋n)2＝m 有解的条件是m≥0 ____．
可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法
1．(3 分)一元二次方程 x2－4＝0 的根为( C A ．x ＝ 2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝4 ) B．x＝－2 )
人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程(教案)
此外，我也会反思自己的教学方法，看看是否有更直观、更生动的方式来讲解这些概念，使它们更容易被学生接受。我可能会引入更多的教学工具，如图形、实物模型等，来帮助学生们直观理解一元二次方程的解法。
-能够灵活运用各种解法求解一元二次方程，并理解解的几何意义。
-解决实际问题中涉及的一元二次方程，体会数学在生活中的应用。
举例：重点讲解配方法中的“完全平方公式”，并让学生通过练习熟练掌握其运用。
2.教学难点
-理解并掌握配方法中“移项”和“配方”的步骤，特别是在“配方”过程中常数项的处理。
-对公式法中求根公式的理解和记忆，以及正确运用求根公式求解一元二次方程。
c.让学生通过反复练习，掌握配方过程中关键步骤，并能独立完成类似题目。
对于公式法的难点，可通过以下方式帮助学生理解：
a.解释求根公式的来源和推导过程，增强学生的理解。
b.通过对比不同类型的一元二次方程，让学生体会求根公式的普适性。
c.通过典型例题，展示求根公式在实际应用中的正确使用方法。
对于分解因式法的难点，可以采取以下策略：
b.通过实例演示，如何将实际问题转化为数学方程。
c.让学生通过小组讨论和实际操作，学会将实际问题数学化，培养建模能力。
c”的指令，继续完成示范课的一元二次方程的四种解法，并能熟练运用。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，提高他们解决问题的自信心。
2021年人教版数学九年级上册21.2.1.1《直接开方法》课时练习(含答案)
人教版数学九年级上册21.2.1.1《直接开方法》课时练习一、选择题1.方程x2﹣25=0的解是( )A.x1=x2=5B.x1=x2=25C.x1=5，x2=﹣5D.x1=25，x2=﹣252.方程(x﹣2)2=9的解是( )A.x1=5，x2=﹣1B.x1=﹣5，x2=1C.x1=11，x2=﹣7D.x1=﹣11，x2=73.方程ax2=c有实数根的条件是( )A.a≠0B.ac≠OC.ac≥OD.≥O4.方程(x﹣3)2=m2的解是( )A.x1=m，x2=﹣mB.x1=3+m，x2=3﹣mC.x1=3+m，x2=﹣3﹣mD.x1=3+m，x2=﹣3+m5.若2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x为( )A.0.5B.2C.±2D.±0.56.下列方程中，适合用直接开方法解的个数有( )①x2=1；②(x﹣2)2=5；③(x+3)2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1；⑥y2﹣2y﹣3=0A.1B.2C.3D.47.下列方程中，不能用直接开平方法的是( )A.x2﹣3=0B.(x﹣1)2﹣4=0C.x2+2x=0D.(x﹣1)2=(2x+1)28.一元二次方程(x﹣2)2+1=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根二、填空题9.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a=______.10.方程(x+1)(x﹣3)=﹣4的解为______.11.将方程﹣2(y﹣1)2+5=0化成(mx+n)2=p(p≥0)的形式为.12.关于x的一元二次方程(x﹣2)2=k+2有解，则k的取值范围是.三、计算题13.用适当的方法解方程：4x2﹣18=0.14.用直接开平方法解方程：9(y+4)2﹣49=0；15.用直接开平方法解方程：2(x﹣3)2=72；16.用直接开平方法解方程：4(2y﹣5)2=9(3y﹣1)2.四、解答题17.已知方程(x－1)2=k2＋2的一个根是3，求k的值和另一个根.18.用直接开平方法解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2=0.小明的解答如下：移项，得4(2x－1)2=25(x＋1)2.①直接开平方，得2(2x－1)=5(x＋1).②小明的解答有无错误？若有，错在第步，原因是，写出正确的解答过程.参考答案1.答案为：C.2.答案为：A.3.答案为：D.4.答案为：B.5.答案为：D.6.答案为：D7.答案为：C.8.答案为：D.9.答案为：a=1.10.答案为：x1=x2=1.11.答案为：(y﹣1)2=2.5.12.答案为：k≥﹣2.13.解：由原方程移项，得4x2=18，化二次项系数为1，得x2=，直接开平方，得x=±，解得，x1=，x2=﹣.14.解：9(y+4)2=49，∴3(y+4)=7，或3(y+4)=﹣7∴y+4=，或y+4=﹣，∴y=﹣或﹣；15.解：(x﹣3)2=36，x﹣3=±6，∴x1=9，x2=﹣3；16.解：∵2(2y﹣5)=±3(3y﹣1)，∴y1=﹣1.4，y2=1.17.解：把x=3代入方程，得(3－1)2=k2＋2.∴k2=2.∴k=±2.再将k2=2代入方程，得(x－1)2=4.∴x1=3，x2=－1.∴方程的另一个根为－1.18.解：②;=|a|.正确的解答过程为：移项，得4(2x－1)2=25(x＋1)2.直接开平方，得2(2x－1)=±5(x＋1).所以x1=－7，x2=－.。
人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》教学设计
人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册21.2.1《直接开平方法》是初中数学的重要内容，主要介绍了实数的开平方运算。
这一节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行讲解的，旨在让学生掌握开平方运算的方法，进一步理解无理数的概念。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，对于实数、有理数、无理数等概念已经有了初步的认识。
但是，学生对于无理数的理解仍然存在一定的困难，尤其是对于无理数的运算，因此，在教学过程中，需要引导学生理解无理数的概念，并通过实例让学生感受无理数的存在。
三. 教学目标1.让学生掌握直接开平方法，能够正确进行开平方运算。
2.引导学生理解无理数的概念，能够正确识别无理数。
3.培养学生的运算能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：直接开平方法，无理数的概念。
2.难点：无理数的识别和运算。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决问题来掌握开平方运算的方法。
2.采用实例教学法，通过具体的例子让学生理解无理数的概念。
3.采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括开平方运算的步骤和实例。
2.准备一些有关无理数的实际问题，用于课堂讨论。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如测量物体长度、计算物体面积等，引导学生思考这些问题与开平方运算的关系。
2.呈现（15分钟）介绍直接开平方法的具体步骤，并通过PPT展示相关的实例，让学生理解开平方运算的方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些开平方运算的练习题，教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结开平方运算的规律和方法，并分享各自的经验和心得。
5.拓展（10分钟）介绍无理数的概念，并通过实例让学生识别无理数。
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(3) x2+1=0
解:根据平方根的意义，得 x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究归纳
如果我们把x2=4， x2=0， x2+1=0变形为x2 = p 呢？
一般的，对于方程 x2 = p,
(I)
（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等
(2) x2－900=0.
解：（1） x2=25， （2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得 x=±5， 直接开平方，得 x=±30，
∴ x1=5，x2=－5.
∴x1=30, x2=－30.
练一练 完成课本P6练习（1）、（2）、（6）
二 用直接开平方法解方程 探究交流 对照上面解方程(I)的方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5
1
;x2= 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是 x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
3. 解下列方程： (1)x2-81＝0； 解：x1＝9,x2＝－9； (3)(x＋1)2=4 .
x 的实数根
1
p ，x2
p；
（2）当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
（3）当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)
无实数根.
归纳 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的 方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=25；
第二十一章 一元二次方程
§21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
教学目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
导入新课 复习引入
1.如果 x2=a,则x叫做a的 平方根.
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= a.
由此可得 x2=25 根据平方根的意义，得 x=±5， 即x1=5，x2=－5. 可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能 是负值，所以正方体的棱长为5dm．
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4 (2) x2=0
解:根据平方根的意义，得 x1=2,x2=-2.
(2)2x2＝50； 解：x1＝5,x2＝－5；
解：x1＝1,x2＝－3.
练一练 完成课本P6练习（3）、 （ 4）、（5）
4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过 程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.
解：
1 3
y
12
5
0,
1 3
y
12
5,
①
1 y 1 5, ② 3 y 3 5 1, ④
或（x+n)2=p（p ≥0)的形式.
基本思路
一元二次 降次 两个一元
方 程 直接开平方法 一次方程
课后作业
1.正式作业本上完成课本第16页1题； 2.完成练习册第2—3页练习二 ； 3.完成课时掌控第5页； 4.预习配方法解一元二次方程，完成课时掌控 第6页。
解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. 即x1=3，x2=-1.
例2 解下列方程：
(3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，
再同第1小题一样地解，然后两边都除以-2即可.
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
典例精析
例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ；
解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体， 就可以运用直接开平方法求解.
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1= 2. 即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2.
例2 解下列方程： （2）（x－1）2－4 = 0； 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一 样地解.
在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:
（x+3)2=5 ， ② 得 x 3 5, x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
解题归纳
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程 “降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会 解的方程了.
1 y 1 5, ③
3
解：不对，从开始错，应改为
y1 3 5 3, y2 3 5 3.
1 y 1 5, 3
能力拓展： 方程x2+6x+4=0可以用直接开平方法解吗？如果不能，那么
请你思考能否将其转化成平方形式？
课堂小结
概 念 利用平方根的定义求方程的根的方法
直接开平方法 步 骤
关键要把方程化成x2=p(p ≥0)
式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解.
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请 举例说明.
当堂练习
1、下列解方程的过程中，正确的是（D ）
(A) x2=-2,解方程，得x=± 2
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=74
3.如果 x2=64 ,则x= ±8 .
4.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数.
新课教学 一 直接开平方法的概念
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个 同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的 面积，列出方程 10×6x2=1500，①
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴
x1=
5 4
，
x2=
7 4
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探讨交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的
形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方