导数之 构造新函数
高中数学人教A版选择性必修二17函数与导数专题(二)构造新函数专题
（2）设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，函数 g(x) 是定义在 R 上的偶函数，且 g(x) 0 ，当 x 0 时， f (x)g(x) f (x)g(x) 0 ，若 f (2) 0 ，则不等式 f (x) 0 的解集是___________________
g(x)
例 2（1） f (x) 是可导函数,且 xf '(x) f (x) 0 ,若 a b ,则 (
（2）已知 f (x) f (x) 0, 构造 H (x) ex f (x)
（3）已知 xf (x) f (x) 0, 构造 H (x) xf (x)
（4）已知 xf (x) nf (x) 0, 构造 H (x) xn f (x)
关系是“减号”型
（1）已知 f (x)g(x) g(x) f (x) 0, 构造 H (x) f (x) (g(x) 0) g(x)
2、若函数
f
(x)
在区间
R
上的导数为
f
' ( x) ， [
f (x) ex
]'
_______________
3、若函数 f (x) 在区间 R 上的导数为 f ' (x) ， f (x) cosx =
2 课时
4、抽象导函数常见模型总结： 关系是“加号”型
（1）已知 f (x)g(x) g(x) f (x) 0, 构造 H (x) f (x)g(x)
2、定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (x) 0 ，若 f(0) 1, 则不等式 ex f ( x) 1的解集为
3、定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) - f (x) 0 ，若 f(0) 1, 则不等式 f (x) ex 的解集为______________
数学-导数压轴题之构造函数和同构异构详述(解析版)
导数章节知识全归纳导数压轴题之构造函数和同构异构（详述版）一．考试趋势分析：由于该内容在高考内容中考试频率相对比较低，然而它却在我们平时考试或是诊断型考试中出现又较高，并且该内容属于高中数学里面导数的基本考试题型之一，基本上尖子生里面的基础题，又是一般学生里面的压轴题，所以老师你觉得讲还是不讲呢？针对这个情况，作者进行了多年研究和分析，这个内容一定要详细讲述，并且结合技巧性让学生能够熟练掌握，优生几秒钟，一般学生几分钟就可以完成该题解答，是设计这个专题的核心目的！ 二．所用知识内容： 1.导数八大基本求导公式：①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn xnx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x xe e '= ⑥()ln x xa a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'= 2.常见构造：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ；22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=；()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；………………… ()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =． ()()f x f x '-，构造()()ex f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e xf x F x =，……………… ()()f x nf x '-，构造()()enxf x F x =， 3.同构异构方法：1．顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数. 2．同位同构：①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；③差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.三．导数构造函数典型题型： 1.构造函数之和差构造：例：1.已知定义在R 上的函数()f x 满足()220f =，且()f x 的导函数()f x '满足()262f x x >'+，则不等式()322f x x x >+的解集为（ ）A ．{2}xx >-∣ B ．{2}xx >∣ C ．{2}xx <∣ D ．{2∣<-xx 或2}x > 【答案】B 【分析】令函数()()322g x f x x x =--，求导，结合题意，可得()g x 的单调性，又()20g =，则原不等式等价于()()2g x g >，根据()g x 的单调性，即可得答案. 【详解】令函数()()322g x f x x x =--，则()()2620g x f x x =--'>'，所以()g x 在R 上单调递增.因为()2g =()3222220f -⨯-⨯=，所以原不等式等价于()()02g x g >=，所以所求不等式的解集为{2}.xx >∣ 故选：B2.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()10,42ln 2xf x f '->=，则不等式()xf e x <的解集为（ ） A ．()0,2ln 2 B ．(),2ln 2-∞ C ．()2ln 2,+∞ D ．()1,2ln 2【答案】B 【分析】构造函数()()ln g x f x x =-，()0,x ∈+∞，先判断其导函数的正负，来确定该函数的单调性，再化简不等式为()()4xg e g <，根据单调性解不等式即可.【详解】设()()ln g x f x x =-，()0,x ∈+∞，则()()()110xf x g x f x x x'-''=-=>， 故()g x 在()0,∞+上单调递增，()()2l 4n 22ln 2404ln g f -===-，不等式()xf ex <，即()ln 0xxf e e-<，即()()4x g e g <，根据单调性知04x e <<，即ln 44x e e <=，得ln 4x <，即2ln 2x <，故解集为(),2ln 2-∞. 故选：B. 【点睛】 思路点睛:利用导数解不等式时，常常要构造新函数，新函数一方面与已知不等式有关，一方面与待求不等式有关，再结合导数判断单调性，利用单调性解不等式.变式：1.已知奇函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且当(],0x ∈-∞时，()'1f x ＜，则不等式()()2101110102021f x f x x --+≥-的解集为（ ） A ．()2021,+∞ B ．[)2021,+∞ C ．(],2021-∞ D ．(),2021-∞【答案】C 【分析】利用()'1f x ＜构造函数g (x )，即可得到函数g (x )的单调性，再将所解不等式转化为用g (x )表达的抽象函数不等式而得解. 【详解】因()'1f x ＜，即()10f x '-<，令()()g x f x x =-，则()0g x '<，()g x 在(,0]-∞上递减， 又()f x 是R 上的奇函数，则()g x 也是R 上的奇函数，从而有()g x 在R 上单调递减， 显然()()f x g x x =+，则有()()2101110102021f x f x x --+≥-(21011)(21011)[(1010)(1010)]2021g x x g x x x ⇔-+--+++≥-(21011)21011(1010)10102021g x x g x x x ⇔-+--+--≥- (21011)(1010)g x g x ⇔-≥+由()g x 在R 上单调递减得2101110102021x x x -≤+⇔≤， 所以所求不等式的解集为(],2021-∞. 故选：C 【点睛】关键点睛：解给定导数值特征的抽象函数不等式，根据导数值特征构造对应函数是解题的关键.2.构造函数之乘积构造：例：1.()f x 在()0,∞+上的导函数为()f x '，()()2xf x f x '>，则下列不等式成立的是（ ）．A ．()()222021202220222021f f >B ．()()222021202220222021f f <C ．()()2021202220222021f f >D ．()()2202220222021021f f <【答案】A 【分析】构造()2()f x g x x =，求导得3()2()0()xf x g x f x x '-'=>，知()2()f x g x x=在()0,∞+上为增函数，进而由(2022)(20221)g g >即可判断.【详解】令()2()f x g x x =，则243()()2()()2()x f x xf x xf x g x f x x x''--'==， 因为在()0,∞+上的导函数为()()2xf x f x '>，所以在()0,∞+上()0g x '>，即()2()f x g x x=在()0,∞+上为增函数. 所以()()()()22202220212022202120222021f f g g >⇒>，即()()222021202220222021f f >.故选：A.2.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞-B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A 【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x =,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x =为偶函数， 所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）; ()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃.故选：A 【点睛】需对题中的信息联想到构造函数利用单调性解不等式，特别是分为当0x > 时， 当0x < 时两种情况，因为两边同时除以x ，要考虑其正负.3.定义在R 上的连续函数()f x 的导函数为()'f x ，且cos ()(cos sin )()xf x x x f x '<+成立，则下列各式一定成立的是（ ） A ．(0)0f =B ．(0)0f <C ．()0f π>D ．02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π【答案】C 【分析】设cos () ()e xx f x g x ⋅=，由条件可得()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此卡判断选项A ，B ， C ， 将2x π=代入条件可得02f π⎛⎫>⎪⎝⎭，可判断选项D. 【详解】由题可得cos ()sin ()cos ()xf x xf x xf x '-<，所以(cos ())cos ()xf x xf x '<，设cos () ()e x x f x g x ⋅=则(cos ())cos ()()0e xxf x xf x g x '-'=<， 所以()g x 在R 上单调递减，且02g π⎛⎫=⎪⎝⎭由(0)()2g g g ππ⎛⎫>>⎪⎝⎭可得() (0)0e f f ππ>>-， 所以(0)0f >，()0f π>，所以选项A ､B 错误，选项C 正确.把2x π=代入cos ()(cos sin )()xf x x x f x '<+，可得02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以选项D 错误，故选：C . 【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，判断函数单调性判断函数值的符号，解答本题的关键是根据题意构造函数cos () ()e xx f x g x ⋅=，由条件得出其单调性，根据02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，判断选项，属于难题.变式：1.已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()sin cos 0f x x f x x '-<成立，则下列不等式成立的是（ ）A64f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．36f ππ⎫⎫⎛⎛<⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭C43ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．234f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】 构造函数()()sin f x g x x=，求导后可确定其单调性，利用单调性比较大小可判断各选项． 【详解】设()()sin f x g x x =，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x g x x -''=<，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， 所以()()64sin sin 64f f ππππ>()()64f ππ>，A 错；()()63sin sin 63f f ππππ>()()63f ππ>，B 正确； ()()34sin sin43f f ππππ>()()43ππ>，C 错；3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π⎛⎫ ⎪⎝⎭与23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭大小不确定，D 不能判断．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查比较大小问题，解题关键是构造新函数()()sin f x g x x=，由导数确定其单调性，从而可比较函数值大小．变式：2。
导数构造新函数——同构法
导数构造新函数——同构法课题：同构法解决数学问题考点分析：函数单调性构造问题授课内容：同构法的基本思想和应用同构法是解决成立或恒成立命题中的一种方法，通过找到不等式两边对应的同一函数模型，可以加快解决问题的速度。
例如，若F(x)≥能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法。
当然，用同构法解题，需要有同构法的思想意识，对观察能力和代数式的变形能力的要求也比较高。
同构法的应用有两个基本模式。
第一个是地位同等要同构，主要针对双变量。
对于不等式f(x1)-f(x2)>k(x1k(x2-x1)，再进一步变形为f(x1)+k<f(x2)+k(x1<x2)，得到y=f(x)+k为减函数。
第二个基本模式是跨阶想同构，同左同右取对数。
例如，对于不等式e^a≤e^blnb，可以通过同构变形为ae^a≤be^b，再取对数得到a+lna≤lnb+ln(lnb)，得到y=xlnx为增函数。
总之，同构法是一种有效的解决数学问题的方法，需要掌握基本思想和应用技巧。
322例：对于任意实数m，当且仅当xlnx≥ex时，有2xlnx≥m。
这三个方法中，“取对”是最快捷和直观的。
欣赏您的孩子，其实天才就在您身边！对于任意实数a和b，当且仅当eabx≤XXX时，有XXX。
当且仅当eabx≤XXX时，有fx=eabx/eaelnbex。
当且仅当e±a≤e±lnb±b时，有fx=e±a。
这三种情况都可以通过“取对”来证明。
举个例子，当且仅当e+ax>ln(x+1)+x+1时，有ax>ln(x+1)。
需要注意的是，有时需要通过凑好形式来简化不等式，可以凑常数、凑参数或凑变量。
对于任意实数a和x，当且仅当aeax*x>ln(x)时，有axeax>xln(x)。
导数构造函数13种题型(解析版)
第7讲 导数构造函数13类【题型一】 利用x nf （x ）构造型【典例分析】函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足'()2()0+>xf x f x ，则不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+的解集为A ．{}2011x x -B ．{}|2011x x <-C ．{}|20110x x -<<D ．{}|20162011x x -<<-【答案】D 【详解】设2()()g x x f x =，则2'()2()'()['()2()]g x xf x x f x x xf x f x =+=+，由已知当0x >时，'()0g x >，()g x 是增函数，不等式(2016)(2016)5(5)52016x f x f x ++<+等价于22(2016)(2016)5(5)x f x f ++<，所以020165x <+<，解得20162011x -<<-．点睛：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：()()g x xf x =，()()f x g x x=，()()x g x e f x =，()()xf xg x e =，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为()f x '，当时，()()0f x f x x'+>，若，则的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析：构造函数()()g x xf x =，利用已知条件确定'()g x 的正负，从而得其单调性． 详解：设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+，∵()'()0f x f x x +>，即'()()'()0xf x f x g x x x+=>，∵当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∵()()g x xf x =是偶函数，∵(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，∵10ln 222<<<，∵1()(ln 2)(2)2g g g <<，即a c b <<．故选C ．2.已知()f x 的定义域为0,，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,【答案】B 【分析】根据题意，构造函数()y xf x =，结合函数的单调性解不等式，即可求解. 【详解】根据题意，构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x ''=+<， 所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减.又因为()()()2111f x x f x +>--，所以()()22(1)(1)11x f x x f x ++>--，所以2011x x <+<-，解得2x >或1x <-（舍）.所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞.故选：B.3.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且2()()0f x xf x '+>．则下列不等式在R 上恒成立的是（ ） A ．()0f x ≥ B ．()0f x ≤ C ．(x)x f ≥ D ．()f x x ≤【答案】A 【分析】根据给定不等式构造函数2()()g x x f x =，利用导数探讨()g x 的性质即可判断作答. 【详解】依题意，令函数2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+， 因2()()0f x xf x '+>，于是得0x <时()0g x '<，0x >时()0g x '>， 从而有()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，因此得：2,()()(0)0x R x f x g x g ∀∈=≥=，而(0)0f >，即f (x )不恒为0， 所以()0f x ≥恒成立.故选：A【题型二】 利用f （x ）/x n构造型【典例分析】 函数()f x 在定义域0,内恒满足：①()0f x >，①()()()23f x xf x f x '<<，其中f x 为()f x 的导函数，则A ．()()111422f f << B ．()()1111628f f << C ．()()111322f f << D ．()()111824f f << 【答案】D 【详解】令()()2f xg x x =，()0,x ∈+∞，()()()32xf x f x g x x '-'=，∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，∵()0f x >，0g x，∵函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∵()()12g g <，即()()412f f <，()()1124f f <， 令()()3f x h x x =，()0,x ∈+∞，()()()43xf x f x h x x '-'=，∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，()0h x '<， ∵函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∵()()12h h >，即()()218f f >，()()1182f f <，故选D.【变式演练】1.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（ ） A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题目中信息其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->可知，需构造函数2()()f x g x x =， 利用导函数判断函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性、奇偶性来解题，当0x > 时，即2()19f x x <，1()9g x <，当0x < 时，即2()19f x x >，1()9g x >. 【详解】构造函数2()()f x g x x =,43'()2()'()2()'()xf x f x xf x f x g x x x x --=⋅= , 当0x > 时，()2()0xf x f x '->，故'()0g x >，()g x 在(0,)+∞ 上单调递增， 又()f x 为偶函数，21y x =为偶函数，所以2()()f x g x x =为偶函数，在,0（）-∞ 单调递减. (3)1f -=,则(3)1f =，231(3)(3)39f g g -===（）;()19f x x x <， 当0x > 时，即2()19f x x <，1()(3)9g x g <=，所以(0,3)x ∈ ； 当0x < 时，即2()19f x x >，1()(3)9g x g >=-，所以(,3)x ∈-∞-. 综上所述，(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃.故选：A2.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（ ） A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．[)1,+∞D ．[),e +∞【答案】C 【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集.【详解】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型三】 利用e nx f （x ）构造型【典例分析】已知函数()f x 在R 上 可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：当1x ≠时，()()()1x f x f x ⎡⎤-+⎣'⎦>0，()()222x f x e f x -=-，则下列判断一定正确的是A ．()()10f f <B ．()()440e f f <C ．()()20ef f >D ．()()330e f f >【答案】D 【分析】构造函数()()xg x f x e =,结合导函数,判定()g x 的单调性,()()g 2x g x 由，-=得()g x 的对称轴,对选项判断即可. 【详解】构造函数()()x g x f x e =,计算导函数得到()'g x =()()xe f x f x +'⎡⎤⎣⎦，由()1x -()()f x f x +'⎡⎤⎣⎦>0,得当x 1>,()()f x f x '+>0,当x 1<时,()()f x f x '+<0.所以()g x 在()1,∞+单调递增,在(),1∞-单调递减,而()()()()()2x 2x x 22xf xg 2x f 2x e e f x e g x e----=-=⋅==,所以()g x 关于x 1=对称,故()()()()()3g 3e f 3g 1g 00f ==->=,得到()()3e f 3f 0>,故选:D.【变式演练】1.已知()f x 是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为()f x '，且当0x >时，满足()()20'+>f x xf x ，则不等式()()121xef x f x -->-的解集为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,∞+【答案】B【分析】构造函数2()()x g x e f x =，根据()()20'+>f x xf x ，结合题意可知函数()g x 是偶函数，且在()0,∞+上是增函数，由此根据结论，构造出x 的不等式即可． 【详解】由题意：不等式()()121xef x f x -->-可化为：21(1)()x f x f x e -->，两边同乘以2(1)x e -得：22(1)(1)()x x e f x e f x -->，令2()()x h x e f x =，易知该函数为偶函数， 因为[]2()()2()xh x e f x xf x ''=+， ()()20'+>f x xf x ，所以()0,(0)h x x '>>所以()h x 在()0,∞+上是单调增函数，又因为()h x 为偶函数，故22(1)x x ->，解得：12x <．故选：B ． 2.设函数()f x 的定义域为R ，()'f x 是其导函数，若()()e ()x f x f x f x '-'+>-，()01f =，则不等式()f x >21x e +的解集是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,1)【答案】A 【分析】构造函数()()1()xg x e f x =+，通过求导判断函数()g x 的单调性,利用函数()g x 的单调性解不等式即可.【详解】令()()1()x g x e f x =+，则()()()1()x x g x e f x e f x ''=++，因为()()e ()x f x f x f x '-'+>-，所以()()1e ()0x f x f x -'++>，化简可得()e ()e 1()0x x f x f x '++>，即()0g x '>，所以函数()g x 在R 上单调递增，因为()f x >21xe +，化简得()1()2xe f x +>， 因为()()0202g f ==，()()1()xg x e f x =+，所以()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式2()1xf x e >+的解集是(0,)+∞.故选：A 3.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，则不等式()1xf x e -≥的解集为（ ） A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．[)1,+∞ D ．[),e +∞【答案】C 【分析】由()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，可得()()0f x f x +'>，令()()xg x e f x =⋅，对其求导可得()0g x '>，可得函数()g x 在R 上单调递增，可得()1g e =，()()1g x g ≥可得原不等式的解集.【详解】解：因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x +'>.令()()xg x e f x =⋅，则()()()0x g x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1g e =，不等式()1x f x e -≥，可变形为()x e f x e ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1xf x e -≥的解集为[)1,+∞.故选：C.【题型四】 用f （x ）/e nx 构造型【典例分析】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，且对于x R ∀∈，均有()()'f x f x >，则有 A ．()()()()2017201720170,20170e f f f e f -B ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f -<< C ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f ->>D ．()()()()2017201720170,20170ef f f e f -><【答案】D 【分析】通过构造函数()()x f x g x e =，研究()()xf xg x e =函数的单调性进而判断出大小关系．【详解】因为()()'f x f x >。
导数中的构造函数(最全精编)
导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。
在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。
下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。
一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。
在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。
由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。
我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。
当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。
例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。
当 $x0$ 恒成立。
则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。
因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。
利用导数运算法则构造函数含详解
利用导数运算法则构造函数含详解导数运算法则是微积分中的重要内容，它用于求导函数。
在构造函数时，利用导数运算法则可以简化运算，提高计算效率。
本文将详解常见的导数运算法则，方便读者了解并应用于函数构造。
一.常数法则当函数f(x)为常数时，f'(x)=0。
这是由于常数的导数等于0。
二.幂函数法则1.构造函数：设f(x)=x^n，其中n为实数。
2.对函数f(x)求导，根据导数的定义：f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx3.展开f(x+Δx)-f(x):f(x+Δx)-f(x)=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx=[x^n+n*x^(n-1)Δx+O((Δx)^2)-x^n]/Δx（O(Δx)表示Δx的高阶无穷小）=n*x^(n-1)+O(Δx)4.带入导数的定义，得到导数f'(x)=n*x^(n-1)。
三.指数函数法则2.对函数f(x)求导，根据导数的定义：f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx3.展开f(x+Δx)-f(x):f(x+Δx)-f(x)=e^(x+Δx)-e^x=e^x*e^Δx-e^x=e^x*(e^Δx-1)4. 带入导数的定义，得到导数f'(x)=e^x * lim(Δx→0) [(e^Δx - 1)/Δx]。
根据数学推导，lim(Δx→0) [(e^Δx - 1)/Δx]=1，因此f'(x)=e^x。
四.对数函数法则1. 构造函数：设f(x)=ln(x)，其中ln(x)是以e为底的自然对数。
2.对函数f(x)求导，根据导数的定义：f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx3.展开f(x+Δx)-f(x)：f(x+Δx)-f(x)=ln(x+Δx)-ln(x)= ln[(x+Δx)/x]= ln(1+Δx/x)4. 使用泰勒展开：ln(1+Δx/x)≈Δx/x，当Δx趋近于0时。
导数中的函数构造问题
2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》导数中的函数构造问题一、利用f (x )进行抽象函数构造(一)利用f (x )与x 构造1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u v .例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．思路点拨 出现“＋”形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－4)∪(0,4)解析 构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．思路点拨 出现“－”形式，优先构造F (x )＝f (x )x，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．xf (x )，f (x )x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f (x )x n ， F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1； 结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．思路点拨 满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－1,0)∪(0,1)解析 构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，所以F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利用f (x )与e x 构造1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)思路点拨 满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造F (x )＝f (x )e x ，然后利用函数的单调性和数。
在导数应用中如何构造函数
在导数应用中如何构造函数在有关导数的应用中,无论是求函数的单调性、求极值最值,证明不等式、求参数的范围,还是讨论函数的零点,都需要从给定的已知条件中构造出一个或两个函数进行研究,构造的得当能降低难度,减少运算量,下面对如何构造函数给出归类和总结.1.作差直接构造法【例1】函数f(x)=(x -2)e x +21ax 2-ax.设a=1,当x ≥0时,f(x)≥kx -2,求k 的取值范围. 分析：由f(x)≥kx -2,令g(x)=f(x)-kx+2=(x -2)e x +21x 2-x -kx+2. 2.局部构造法【例2】已知5函数f(x)=1ln -x x ax .当a=1时，判断f(x)有没有极值点. 分析：当a=1时，f(x)=1ln -x x ax ，则2)1(1ln )('---=x x x x f ，令g(x)=x -lnx -1. 【例3】已知函数f(x)=xa x )ln(-,若a=-1，证明：函数f(x)是(0,+∞)上的减函数. 分析：当a=-1时，函数f(x)的定义域是（-1,0）∪(0,+∞)，所以2)1ln(1)('xx x x x f +-+=， 令g(x)=1+x x -ln(x+1). 3.作差局部构造法【例4】已知函数f(x)=ln x -a(x -1),a ∈R.当x ≥1时,f(x)≤1lnx +x 恒成立,求a 的取值. 分析：1)1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f ，令g(x)=xlnx -a(x 2-1)(x ≥1). 4. 分离参数构造法【例5】在【例4】中，当x≥1时，f(x)≤1lnx +x 恒成立等价于lnx -1lnx +x ≤a(x -1). 分析：(1)当x=1时，显然恒成立，所以R a ∈. (2)当x ＞1时，上式等价于a x x x x a x x x x ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⇔≤-+-max221ln 1ln 1ln 1ln ，令1ln 1ln )(2-+-=x x x x x F . 【例6】已知函数f(x)=ax -xx ln ,a ∈R.若f(x)≥0，求a 的取值范围. 分析：函数的定义域为(0,+∞)，由f(x)≥0得ax -x x ln ≥0，即a ≥2ln x x .令g(x)=2ln x x .5.特征构造法【例7】若x>0,证明：1)1ln(->+x e x x x . 分析：因为1)11ln(1ln 1-+-=-=-x x x x x e e e e e x ，故原不等式等价于1)11ln()1ln(-+->+x x e e x x ，令x x x f )1ln()(+=，由例3知xx x f )1ln()(+=是(0,+∞)上的减函数，故要证原不等式成立，只需证明当x>0时，x<e x -1,令h(x)=e x -x -1.注：例6的解决过程用到了二次构造函数.【例8】已知函数f(x)=xx e -ax,x ∈(0,+∞),当x 2>x 1时，不等式0)()(1221<-x x f x x f 恒成立，求实数a 范围. 分析：不等式0)()(1221<-x x f x x f ，即0)()(212211<-x x x f x x f x ，结合x 2>x 1>0可得x 1f(x 1)-x 2f(x 2)<0恒成立,即x 2f(x 2)>x 1f(x 1)恒成立,构造函数g(x)=xf(x)=e x -ax 2.6.变形、化简后构造【例9】求证：当x ∈(0,+∞)时，21ln x x e x >-. 分析：当x ∈(0,+∞)时，要证21ln x x e x >-，只需证21e x x xe >-，令F(x)=2-1-e x x xe ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21)('22x e e x F x x ，由e x >x+1可得，212x e x +>，则x ∈(0,+∞)时，F’(x)>0恒成立，即F(x)在(0,+∞)上单调递增，所以F(x)>F(0)=0,即21e x x xe >-，所以21ln x x e x >-. 7.换元后构造【例10】已知函数f(x)=ln x -kx,其中k ∈R 为常数.若f(x)有两个相异零点x 1,x 2(x 1<x 2), 求证：2)(ln ln 121212>+--x x x x x x . 分析：证2)(ln ln 121212>+--x x x x x x ，即证lnx 2-lnx 1>1212)(2x x x x +-,只要证121212)(2ln x x x x x x +->， 设)1(12>=t x x t ，则只要证).1(1)1(2ln >+->t t t t 令g(t)=lnt -1)1(2+-t t .8. 放缩后局部构造【例11】已知函数xe x ax xf 1)(2-+=.证明：当1≥a 时，f(x)+e≥0. 分析：当1≥a 时，x x x x e e x x e ex x e e x ax e x f -++-+=+-+≥+-+=+)1(11)(1222.设g(x)=x 2+x -1+e x+1, 则g’(x)=2x+1+e x+1.9.作差与分离变量的综合构造法【例12】已知函数f(x)=x 2-(2a+1)x+aln x(a ∈R),g(x)=(1-a)x,若∃x 0∈[1,e]使得f(x 0)≥g(x 0)成立,求实数a 的取值范围.分析:不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x 2-2x+a(ln x -x)≥0在区间[1,e]上有解.因为当x ∈[1,e]时,ln x ≤1≤x(不同时取等号),x -ln x>0,所以x x x x a ln 22--≤在区间[1,e]上有解.令xx x x x h ln 2)(2--=. 10.主元构造法主元构造法,就是将多变元函数中的某一个变元看作主元(即自变量),将其他变元看作常数,来构造函数,然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.【例13】已知函数g(x)=xlnx,设0<a<b,证明：0<g(a)+g(b)-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22b a g <(b -a)ln2. 分析：对g(x)=xlnx 求导，g’(x)=lnx+1.在g(a)+g(b)-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22b a g 中以b 为主元构造函数， 设F(x)=g(a)+g(x)-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22x a g ,则2ln ln '22)(')('x a x x a g x g x F +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. 当0<x<a 时,F'(x)<0,因此F(x)在(0,a)上单调递减,当x>a 时,F'(x)>0,因此F(x)在(a,+∞)上为增函数,从而当x=a 时,F(x)有极小值F(a).因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即g(a)+g(b)-⎪⎭⎫⎝⎛+22b a g >0. 设G(x)=F(x)-(x -a)ln2,则G’(x)=lnx -2ln a x +-ln2=lnx -ln(x+a), 当x>0时，G’(x)<0.因此G(x)在(0,+∞)上为减函数. 因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0,即g(a)+g(b)-⎪⎭⎫⎝⎛+22b a g <(b -a)ln2. 注：本题以b 为主元构造函数，当然也可以以a 为主元构造函数.。