用构造函数解导数问题

f (2 − x) =f (x)e2−2x
⇔
f
(2 − e2−x
x)
⇔
f (x) ex
⇔
F (2
−
x=)
F (x) ⇒ F (x)关于x=
1 对 称 ， 则 当 x <1 时 ，
F (x)在(-∞,1]上单调递减。根据单调性和大致图像可知
3
离对称轴远，故有 F (3) > F (0) ⇒
f (3) > e3
F (x)在(0, ∞)上也单调递增,= 根据 f (1) 0= 可得F (1) 0 和 F (−1) =0 ，根据函数的单调性和奇偶性可得函数的
大致图像，注意 f (x) 与 x 同号为正，异号为负，根据图像可知 f (x) > 0 的解集为 (−∞, −1) ∪ (1, +∞) 。
公众号：数学其实没那么难
二、利用利用 f (x) 与 ex 构造
因为 ex 的特殊性（恒大于 0 且导数为本身），故常见的题型为 f '(x) ± f (x) 。和 f (x)与x 构造方式相同，此
时 g(x) = ex ，构造 F (x) =
f (x)ex 或者 F (x) =
f (x)
，主要是利用：
ex
= F (x) f (x)ex ,= F '(x) f= (x)ex ' ex ( f '(x) + f (x))
f (x)
。原
xn
理如下：
F (x) = xn f (x) ， F '(x) =xn f '(x) + nxn−1 f (x) =xn−1[xf '(x) + nf (x)] ；
F (= x) = fx(nx) ， F '(x)
x= n f '(x) − nxn−1 f (x) x2n
xf '(x) − nf (x)
= F (x)
= f (xx) '
1 x2
[ xf
'(x) −
f
( x)]
此时 g(x) = x 。这类题目一般会给出函数的奇偶性， x 的取值范围（一般是正负），以及 xf '(x) ± f (x) 的符 号，做题时需要看清楚函数的奇偶性以及 x 的取值范围。
公众号：数学其实没那么难
例 1． f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0时，f (x) + xf '(x) < 0,且f (−4) =0, 则不等式 xf (x) > 0 的解
= F (x)
f
(x) ex
,= F '(x)
= fe(xx) '
f '(x) − f (x) ex
这类题目的定义域一般是 R 。
公众号：数学其实没那么难
例 4．设 f (x) 是定义域在 R (−∞, +∞) 的函数，导函数 f '(x) 满足 f '(x) < f (x) 对于 x ∈ R 恒成立，试比较
x
法求解即可。
解析：构造
F(x) =
f (x) x
，则
F '(x) =
xf
'(x) − x2
f (x)
，当
x < 0时，xf
'(x) −
f (x) > 0
，可以推出
x < 0时，F '(x) > 0, F (x)在(-∞,0)上单调递增，因为 f (x) 为偶函数， x 为奇函数，故 F (x) 为奇函数，所以
拓展： F (x) = xf (x) 和 F (x) = f (x) 中的 f (x) 是简单常见的 f (x)与x 之间的函数关系式，我们可以将
x
其扩展一下以便解决 xf
'(x) ± nf (x) 的问题，此时 g(x) = xn ，可以构造 F (x) = xn f (x) 或者 F (x) =
乘法：[ f = (x)g(x)]' f '(x)g(x) + f (x)g '(x)
= 除法： gf ((xx)) '
f '(x)g(x) − f (x)g '(x) [ g ( x)]2
(∀x ∈ D, g(x) ≠ 0)
复合函数：[ f (g(x))]' = g '(x) f '(g(x))
e= x f '(x) − ex f (x) e2x
f
'(x) − ex
f
(x)
，导函数满足
f
'(x) <
f
(x) ，
则
F '(x) < 0 ， F (x) 在
R
上单调递减，根据单调性可知，
f (2) < e2
f (0) e0
,
f
(2014) < e2014
f (0) e0
,即.
f (2) < e2 f (0), f (2014) < f (0)
注：奇偶函数的运算：
奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数±偶函数=非奇非偶（一般情况） 奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数 奇偶函数的单调性： 在对称区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反。 奇偶函数的导数： 奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数。
解 析 ： 构 造 F (x) = fe(2= xx ) 函 数 ， 则 F '(x)
e= 2x f '(x) − 2e2x f (x) e4x
f
'(x) − 2 f (x) e2x
，导函数
f
'( x)
满足
f '(x) − 2 f (x) > 0 ， 则 F '(x) > 0 ， F (x) 在 R 上 单 调 递 增 。 又 ∵ f (0) = 1 ， 则 F (0) = 1 ， 则
集为（ ）
思路点拨： f (x) 与 f '(x) 同号，优先构造 F (x) = xf (x) ，然后利用函数的单调性或奇偶性或数形结合等方
法求解即可。
解 析 ： 构 造 F (x) = xf (x) ， 则 F= '(x) f (x) + xf '(x) ， 当 x < 0时，f (x) + xf '(x) < 0 ， 可 以 推 出 x < 0时，F '(x) < 0, F (x)在(-∞,0)上单调递减，因为 f (x) 为偶函数， x 为奇函数，故 F (x) 为奇函数，所以 F (x)在(0, ∞)上也单调递减。根据 F (x)在(-∞,0) f (−4) =0 可得 F (−4) =0 ，根据函数的单调性和奇偶性可 得函数的大致图像，根据图像可知 xf (x) > 0 的解集为 (−∞, −4) ∪ (0, 4) 。
不管哪种情况，重点都是 g(x) 怎么找。下面介绍三种常见的构造形式。
一、利用 f (x) 与 x 构造函数
这是函数 f (x) 与自变量 x 的组合，常见的题型为 xf '(x) ± f (x) ，常用构造形式有 F (x) = xf (x) 或者 F (x) = f (x) 。主要是利用
x
F= '(x) [xf= (x)]' xf '(x) + f (x)
公众号：数学其实没那么难
思路提示：满足
f
'(x) −
f (x) 形式，优先构造 F (x) =
f (x)
，然后利用函数的单调性求解即可。
ex
解析：构造
F(x) =
f (x) ex
= ， 则 F '(x)
e= x f '(x)e−2xex f (x)
f
'(x) − ex
f
(x)
,
导函
数
f '(x)满足(x −1)[f '(x) − f (x)]>0 ， 则 当 x ≥ 1时，F '(x) ≥ 0 ， F (x)在(1,+∞) 上 单 调 递 增 。 由
f (2)和e2 f (0), f (2014)和f (0) 的大小。
思路提示：只要满足“
f
'(x) −
f (x) ”形式，优先构造 F (x) =
f (x)
函数，然后利用函数的单调性，奇偶
ex
性和数形结合等方法求解。同时要注意选项的转化。
解 析：构造 F (x) = fe(xx= ) 函数，则 F '(x)
例 2．设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且 f (1) = 0 ，当 x < 0 时， xf '(x) − f (x) > 0 恒成立，则不等式
f (x) > 0 的解集为（ ）
思路点拨：
f (x) 与
f
'(x) 异号，优先构造 F (x) =
f (x)
，然后利用函数的单调性或奇偶性或数形结合等方
例 5．若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f '(x) − 2 f (x) > 0 ， f (0) = 1，则不等式 f (x) > ex 的解集为（ ）
思路提示：满足
f
'(x) − nf (x) 形式，优先构造 F (x) =
f (x)
函数，然后利用函数的单调性，奇偶性和数形
e2x
结合等方法求解。同时要注意选项的转化。
.
x n +1