傅里叶变换和小波变换简介-课件
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一看就懂的小波变换ppt
8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换： Of M log2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像，l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表达滤波器L旳 支撑长度； h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表达滤波器H旳支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
小波变换入门.ppt
f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性
小波变换理论与方法ppt课件
R
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
小波变换简介PPT课件
[H,V,D] = detcoef2 ('all',C,S,N) returns the horizontal H, vertical V, and diagonal D detail coefficients at level N.
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
001第1讲小波分析与傅里叶变换201104
dt
从频率至时间 （逆变换）
it F ( ) e d
短时傅立叶变换实现信号局部分析
WFT ( , )
f (t ) g * (t )e i 2t dt
小波分析的基本理论 短时傅里叶变换(STFT )
1 傅 里 叶 变 换 到 小 波 分 析
S ( , ) f (t ) g (t )e
令 Wb, t eit wt b，则短时FT为
Parseval 恒等式
1 ˆ ˆ ~ (Gb f ) f t Wb, t dt f ,Wb, f ,Wb, 2
ˆ 都是窗函数，其确定 可以证明 Wb, 和 W b , 的矩形窗口为
窗函数的举例
Gaussian 函数
1
短时Fourier变换
ˆ 都是窗函数， 若wt , w 则短时Fourier变换定义为
~ (Gb f )
f t eit wt bdt
短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换 短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子
实际中信号分析的要求：
信号高频部分对应时域中的快变成分，如 陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对 时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分 析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要 求高。
因此，短时Fourier变换不能敏感地反映 信号的突变，不能很好地刻画信息。
信号时频分析的重要性：
时间和频率是描述信号的两个最重 要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密的 联系。
Fourier变换（FT）:
小波变换原理与应用ppt课件
3.小波变换的基本原理与性质
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
小波分析理论ppt课件
S(w,t ) f (t)g*(w t ) eiwt d t R
(1.12)
25
其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被 分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起 着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗” 在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为
(1.4)
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频
率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶 变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。
9
若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即
(1.1)
F(w)的傅里叶逆变换定义为
f (t) 1 eiwt F (w)dw 2 π -
(1.2)
6
为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。
。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序
列。
对于连续的情况，小波序列为
y a,b (t)
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
详细版小波变换原理与应用复习课件.ppt
精选
如果我们有一个无限长的窗口，然后做傅里叶变换， 会得到完美的频率分辨率，但是结果中不包含时间 信息。更进一步为了获得信号的平稳性，我们需要 一个宽度足够短的窗函数，窗口越短，时间分辨率 越高，信号的稳定性越高，但是频率分辨率却越来 越低。
窄窗=高时间分辨率，低频率分辨率 宽窗=高频率分辨率，低时间分辨率
精选
2.4 塔式算法
(1) 信号在小波空间的展开为：
f t
fWj
f t, j,k t j,k t
jZ ,kZ
精选
2.2.1 连续小波变换
如果函数 x满足以下容许性条件：
2
C d
则称 x为一容许性小波，并定义如下的积分变
换：
W
f
a,b
a
1 2
f
x
x
b a
dx,
f
x
L2 R
以上积分变换为 f x以 x为母小波的积分连
续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，
b为时间平移因子。
精选
2.2.2离散小波变换
33
其中，va为构造函数Meyer的辅助函数，且有：
2 -1/2
2
1/
2
c
os
2
v
3 2
1
0
精选
2 3
2 4
3
3
4 3
（3）其他常用小波
① Daubechies(dbN)小波系 ② Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 ③ Symlets(symN)小波系 ④ Morlet(morl)小波 ⑤ Coiflet(CoifN)小波系
cos(2ft) j sin(2ft)
即信号是由一些不同频率的正弦项叠加起来的， 如果信号中频率为f的分量幅度较大，那么这个分量就 和正弦项重叠，他们的即就比较大，这表明信号有一 个频率为f的主要分量。 精选
如果我们有一个无限长的窗口，然后做傅里叶变换， 会得到完美的频率分辨率，但是结果中不包含时间 信息。更进一步为了获得信号的平稳性，我们需要 一个宽度足够短的窗函数，窗口越短，时间分辨率 越高，信号的稳定性越高，但是频率分辨率却越来 越低。
窄窗=高时间分辨率，低频率分辨率 宽窗=高频率分辨率，低时间分辨率
精选
2.4 塔式算法
(1) 信号在小波空间的展开为：
f t
fWj
f t, j,k t j,k t
jZ ,kZ
精选
2.2.1 连续小波变换
如果函数 x满足以下容许性条件：
2
C d
则称 x为一容许性小波，并定义如下的积分变
换：
W
f
a,b
a
1 2
f
x
x
b a
dx,
f
x
L2 R
以上积分变换为 f x以 x为母小波的积分连
续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，
b为时间平移因子。
精选
2.2.2离散小波变换
33
其中，va为构造函数Meyer的辅助函数，且有：
2 -1/2
2
1/
2
c
os
2
v
3 2
1
0
精选
2 3
2 4
3
3
4 3
（3）其他常用小波
① Daubechies(dbN)小波系 ② Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 ③ Symlets(symN)小波系 ④ Morlet(morl)小波 ⑤ Coiflet(CoifN)小波系
cos(2ft) j sin(2ft)
即信号是由一些不同频率的正弦项叠加起来的， 如果信号中频率为f的分量幅度较大，那么这个分量就 和正弦项重叠，他们的即就比较大，这表明信号有一 个频率为f的主要分量。 精选
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精品jing
傅里叶变换和小波变换简介
傅里叶变换
• 1807年傅立叶提出“ 任何周期信号都可用 正弦函数级数表示”
• 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
• 拉格朗日反对发表
• 1822年傅立叶首次发 表在“热的分析理论”
• 一书中
傅立叶，1768年生于法国
2
傅氏变换简介
傅立叶变换历史： 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)
4
《热的分析理论》
书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称， 他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中 断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列 举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完 整的证明。
在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证 明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广 泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的 解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很 多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深 入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在 的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构 造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从 而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶 级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域 。
傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“对自然界的深刻研 究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的
为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里
叶才把他的成果以另一种方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822
年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史 上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。
作为一名出色的数学家，傅立叶更清楚两点之间线段最短，但特殊 情况下，也许曲线更有生命力，他的曲线不仅解决了个人问题更是解决 了数学应用上的大问题。
但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非 稳定信号的工具就是小波分析。
小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域、长度有限、 均值为0的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波” 则是指它 的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变 换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数) 逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分， 能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解 决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的 重大突破。
一种代表性的观点。
5
一、三角函数的傅里叶级数:
f1(t)a0 (anco n1 stbnsin n1t) n 1
直流
基波分量
谐波分量
分量
n =1
n>1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 T1
n1
6
求上式中的系数
∫ 直流分量
a0=
1 T1
t0 T1 f t .dt
t0
余弦分量
系数
anT21
t0T1 t0
f(t)c. ons1t.dt
在1759年拉格朗日(grange)表示：
不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非 常有限。
傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一 篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。
这篇论文经 J.-L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中 初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭 拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。
9
小波分析 (Wavelet)
小波变换历史： 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理
的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如
1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念 未能得到著名数学家 grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。
傅立叶变换在物理的数据处理中占据着举足轻重的地位，在后面 将展示我们物理学院与之相关的实验。
8
小波分析与傅立叶变换
从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象 可以看作是二维信号)，在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以 归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号， 处理的理想工具仍然是傅立叶分析。
正弦分量
系数
bn
2 T1
t0T1 t0
f(t)s. inn1t.dt
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傅立叶变换应用
傅里叶变换应用： 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学；数论、组
合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、通讯、海洋学等 领域都有着广泛的应用。 例如在信号处理中，傅里叶变换的典 型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
傅里叶变换和小波变换简介
傅里叶变换
• 1807年傅立叶提出“ 任何周期信号都可用 正弦函数级数表示”
• 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
• 拉格朗日反对发表
• 1822年傅立叶首次发 表在“热的分析理论”
• 一书中
傅立叶，1768年生于法国
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傅氏变换简介
傅立叶变换历史： 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)
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《热的分析理论》
书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称， 他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中 断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列 举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完 整的证明。
在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证 明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广 泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的 解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很 多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深 入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在 的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构 造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从 而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶 级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域 。
傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“对自然界的深刻研 究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的
为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里
叶才把他的成果以另一种方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822
年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史 上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。
作为一名出色的数学家，傅立叶更清楚两点之间线段最短，但特殊 情况下，也许曲线更有生命力，他的曲线不仅解决了个人问题更是解决 了数学应用上的大问题。
但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非 稳定信号的工具就是小波分析。
小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域、长度有限、 均值为0的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波” 则是指它 的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变 换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数) 逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分， 能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解 决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的 重大突破。
一种代表性的观点。
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一、三角函数的傅里叶级数:
f1(t)a0 (anco n1 stbnsin n1t) n 1
直流
基波分量
谐波分量
分量
n =1
n>1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 T1
n1
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求上式中的系数
∫ 直流分量
a0=
1 T1
t0 T1 f t .dt
t0
余弦分量
系数
anT21
t0T1 t0
f(t)c. ons1t.dt
在1759年拉格朗日(grange)表示：
不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非 常有限。
傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一 篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。
这篇论文经 J.-L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中 初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭 拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。
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小波分析 (Wavelet)
小波变换历史： 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理
的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如
1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念 未能得到著名数学家 grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。
傅立叶变换在物理的数据处理中占据着举足轻重的地位，在后面 将展示我们物理学院与之相关的实验。
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小波分析与傅立叶变换
从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象 可以看作是二维信号)，在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以 归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号， 处理的理想工具仍然是傅立叶分析。
正弦分量
系数
bn
2 T1
t0T1 t0
f(t)s. inn1t.dt
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傅立叶变换应用
傅里叶变换应用： 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学；数论、组
合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、通讯、海洋学等 领域都有着广泛的应用。 例如在信号处理中，傅里叶变换的典 型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。