确定圆的条件
圆的定义确定基本要素
圆的概念及确定1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心。
（确定圆的位置）线段OA叫做半径。
（确定圆的大小）记法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”注意：（1）圆指的是“圆周”而不是“圆面”。
（2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。
圆的确定：（1）一个圆心一个半径（2）圆心、圆上一个一个的已知点（3）直径2. 圆的集合定义：（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。
（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。
*把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：a.图形上的每一点都满足某个条件，b.满足某个条件的每一个点，都在这个图形上。
（3）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r），到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
（圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有：点在圆内；点在圆上；点在圆外。
6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。
7. 会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。
8. 了解三角形外心的概念。
9. 过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。
只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。
此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。
圆的前提条件
圆的前提条件
圆是一个几何图形，它有一些前提条件，包括以下几点：
1. 圆心：圆的中心被称为圆心，圆心是确定圆的位置的点。
2. 半径：从圆心到圆上任意一点的线段被称为半径，半径的长度决定了圆的大小。
3. 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段被称为直径，直径是圆中最长的线段，并且直径的长度是半径的两倍。
4. 相等的曲率：圆上任意一点的曲率都是相等的，这意味着圆上的每一个点到圆心的距离都是相等的。
5. 闭合曲线：圆是一个闭合的曲线，它没有起点和终点，圆上的任意一点都与其他点相连。
6. 平面图形：圆是一个平面图形，它存在于二维空间中。
这些前提条件是定义一个圆所必需的。
只有满足这些条件，才能确定一个几何图形为圆。
圆的这些特性使得它在数学、几何、物理学等领域中都有广泛的应用。
24.1.1确定圆的条件(1)三点定圆
比一比，赛一赛
分别画出锐角三角形、钝角三角形、 直角三角形的外接圆。看看它们的外 心有什么不同？
三角形与圆的位置关系
A
驶向胜利 的彼岸
• 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外 接圆,并说明与它们外心的位置情况
A
●
A
●
O C
O
●
O C
B
B
┐
四边形与圆的位置关系
驶向胜利 的彼岸
• 如果四边形的四个顶点在一个圆, A 这圆叫做四边形的外接圆.这个 四边形叫做圆的内接四边形. 我们可以证明圆内接四边的两个 O 重要性质: B 1.圆内接四边形对角互补. 2.圆内接四边形对的一个外角等 于它的内对角. 3.对角互补的四边形内接于圆.
.
点在圆外
d＞r
C
添图：
点与圆的位 置关系
点在圆外 点在圆上 点在圆内
图形
圆心到点的距离d 与半径r的关系
添图：
点与圆的位 置关系 A 点在圆外 A 点在圆上 A 点在圆内 d<r
定义（二）：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 定点叫做圆心，定长叫做半径。
以O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆 O”
圆的内部
O P
A
圆的内部可以看作到圆心的距离小于半 径的点的集合。
圆的外部
P
O
A
●
E
C D
●
三点定圆
驶向胜利 的彼岸
• 定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆. • 在上面的作图过程中. F A ∵直线DE和FG只有一个交点O,并 E 且点O到A,B,C三个点的距离相等,
圆心的概念
圆心的概念
圆心是圆的中心，即到圆的边缘距离都相等且与圆在同一个平面的点。
圆是一条封闭曲线，一个圆把平面上所有的点分成圆内的点、圆上的点、圆外的点三种点的集合，并有：
圆内的点与圆心的距离小于半径的点；
圆上的点与圆心的距离等于半径的点；
圆外的点与圆心的距离大于半径的点。
确定圆的基本条件：
1、确定一个圆必须确定圆心、半径，圆心可确定圆的位置，半径可确定圆的大小；
2、不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以做一个圆。
这个圆叫做三角形的外接圆，这个圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
3.5确定圆的条件(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对确定圆的条件的理解存在一些困难。在导入新课环节，当我问到大家在日常生活中是否遇到过需要确定圆的情况时，大部分同学能够联想到一些实际例子，但只有少数同学能够准确描述如何确定圆心和半径。这让我意识到，我们需要在课堂上加强基础知识的教学。
在新课讲授环节，我尝试通过理论介绍和案例分析来帮助学生理解确定圆的条件。从学生的反馈来看，这种方法还是有效的。然而，我也注意到，对于圆的方程推导这个难点，部分同学仍然感到困惑。在今后的教学中，我需要更加注重逐步引导，让学生能够循序渐进地掌握这个知识点。
1.培养学生的空间观念：通过学习确定圆的条件，使学生能够直观想象出圆在平面直角坐标系中的位置，提高对几何图形的认识和理解。
2.提升学生的逻辑推理能力：在教学过程中，引导学生运用逻辑推理方法，从圆的定义出发，推导出确定圆的条件，培养学生严密的逻辑思维。
3.增强学生的数学应用意识：通过解决实际例题，让学生将所学知识应用于实际问题中，培养学生在现实生活中发现数学问题、运用数学知识解决问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“确定圆的条件在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点解释：学生需要能够从实际问题中抽象出数学信息，并建立相应的数学模型。
-举例：提供实际问题背景，指导学生如何提取关键信息，建立数学关系式。
（3）逻辑推理能力的培养。
-难点解释：在推导圆的方程过程中，需要学生运用逻辑推理，理解每一步的推导依据。
九年级数学上册《确定圆的条件》教案、教学设计
（1）已知圆心坐标为（3，-4），半径为5cm，求圆的方程。
（2）已知圆上三个点A（1，2）、B（3，-2）、C（-1，6），求圆的方程。
3.思考题：
（1）为什么确定圆需要三个条件？两个条件或四个条件可以吗？
（2）在实际生活中，你能举出圆的三个确定条件的应用实例吗？
4.小组合作任务：
4.小组合作任务要求组内成员积极参与，共同完成任务，并在课堂上进行分享。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，每组讨论以下问题：
（1）如何通过三个点确定一个圆？
（2）如何通过两个点和一条直线确定一个圆？
（3）如何通过一个点和一条直线确定一个圆？
2.学生在小组内进行讨论，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.每个小组派代表分享讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习，500字
2.教学过程：
（1）导入：通过展示生活中的圆形物体，引导学生回顾圆的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
（2）新知探究：引导学生通过观察、实践、思考，发现确定圆的条件，并学会推导圆的方程。
（3）例题讲解：精选典型例题，讲解解题思路，强调数形结合的方法，帮助学生掌握解题技巧。
（4）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
1.教师通过几何画板或实物展示，引导学生发现确定圆的三个条件：圆心、半径、直径。
2.教师详细讲解圆心、半径、直径的定义，以及它们之间的关系，如半径是直径的一半，圆心在圆上等。
3.教师引导学生通过画图、计算、推理等方法，推导出圆的标准方程和一般方程。
4.教师强调数形结合的思想，让学生明白方程与图形之间的联系。
（一）导入新课，500字
确定圆的条件
5.4确定圆的条件知识点1： 1、定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2、三角形的外接圆．定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形3、三角形的外心:（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．练习1：按图填空：（1）是⊙O的_________三角形；（2）⊙O是的_________圆，2、.经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以个圆，这些圆的圆心在这两点的上；经过的三点可以作个圆，并且只能作个圆。
3、Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为。
4、等边三角形的边长为a,则其外接圆的半径为 .练习2：判断题：（1）经过三点一定可以作圆；（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（）练习3：钝角三角形的外心在三角形（）（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。
5.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（）A 0个B 1个C 2个D 无数个6.如图，平原上有三个村庄A，B，C，现计划打一水井P，使水井到三个村庄的距离相等。
在图中画出水井P的位置。
巩固提高一、选择题1．三角形的外心是（）A．三条中线的交点B．三条边的中垂线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点2．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个3．（2010•大庆）在直角坐标系中，⊙P、⊙Q的位置如图所示．下列四个点中，在⊙P外部且在⊙Q内部的是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，-1）D．（3，1）4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块5．下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A ．23B ．33C ．3D ．37．在△ABC 中，I 是外心，且∠BIC=130°，则∠A 的度数是（ ）A ．65°B．115°C．65°或115°D．65°或130°8．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．1：39．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n 个圆，那么n 的值不可能为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，AB=42 ，则⊙O 的直径等于（ ）A ．225 B ．3 2 C ．52 D ．7二、填空题1．已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm 和8cm ，则这个直角三角形的外接圆的半径为 cm ．2．（2002•辽宁）△ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若BC=23 ，则∠A 的度数为 。
3.4 确定圆的条件
C D
●
三点定圆
定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆.
F ●A O C D
●
∵直线DE和FG只有一个交点O,并 且点O到A,B,C三个点的距离相等, ∴经过点A,B,C三点可以作一个 圆,并且只能作一个圆.
E
●
B
┏
●
老师期望: 将这个结论及其证明作为一种模型对待.
G
三角形与圆的位置关系
O
D
B
C
四边形与圆的位置关系
如果延长BC到E，那么 D
∠DCE＋∠BCD ＝ 180°.
∴∠A＝∠DCE.
A 又 ∵∠A ＋∠BCD＝ 180°，
B
O
C
E
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角,我 们把∠A叫做∠DCE的内对角.
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
三角形与圆的位置关系
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接 圆,并说明与它们外心的位置情况
确定圆的条件
2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.
你准备如何确定圆心,半径作圆？ 其圆心的分布有什么特点?与线 段AB有什么关系？ 经过两点A,B的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上. 以线段AB的垂直平分线上的任意一 点为圆心,这点到A或B的距离为半 径作圆.
●
A
●
O ●O
●
O
O
●
B
●
确定圆的条件
3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线 上),你能作出几个这样的圆? 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？
老师提示: 能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆的 圆心在线段AB的垂直平分线上. 经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂 直平分线上. B 经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条 垂直平分线的交点O的位置.
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●O
●O
B
┐
CB
C
●O
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外.
B●
●A ●C
议一议： 满足怎样的条件才能确定一个圆呢？
做一做
你能确定一个圆的圆心吗？你有哪些方法？ 与同伴进行交流。
要在座的人都停止了说话的 时候，有了机会，方才可以谦逊 地把问题提出，向人学习。
●O ●O ●A ●O ●B ●O
经过两个已知点 A、B能作无数个圆
3. (1) 经过三个已知点A，B，C能确定一 个圆吗？ (2) 如何确定圆心才能使圆心到三个点的距 离相等？ (3) 这时圆心和半径都是确定的吗？ 掌握一个解题方法，比做一百道题更重要。 (4)如果三个点在同一直线时可以作圆吗？ 为什么？
—— 约翰·洛克
5 确定圆的条件
学习目标
1. 理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特 征、定理的内容及简单应用 2. 通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的 关系发展合情推理和演绎推理的能力.
做一做
1.(1) 经过一个已知点A能确定一个 圆吗？ (2) 这时圆心和半径都是确定的吗？
点
能
A
作经 无过
数一
个个
圆已
知
2. (1) 经过两个已知点A，B能确定一个圆吗？ (2) 如何确定圆心才能使圆心到两个点的距离相等？ (3) 这时圆心和半径都是确定的吗？
B ●
●A ●C
经过三角形各个顶点的圆 叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心叫做三角形的外心，这 个三角形叫做圆的内接三角形。
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条边的垂源自直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。
A
A
A