中考数学二轮专题复习：探索规律
35．猜想、探索规律型一、选择题1．如图，小陈从O 点出发，前进5米后向右转20O ， 再前进5米后又向右转20O ，……，这样一直走下去， 他第一次回到出发点O 时一共走了（ ）A ．60米B ．100米C ．90米D ．120米 【答案】C.2．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。
A 、12+nB 、12-nC 、n 2D 、2+n【关键词】探索规律型【答案】A3．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数【答案】A4．（对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++ 的值是A ．20092008 B ．20082009C ．20102009D ．20092010【答案】DO 20o20o5．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A ．22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n【答案】D ．6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+31 【答案】C二、填空题1．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。
那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数 【答案】20082．如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n 个正方形的边长为________________． 【答案】n3．如图1，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC，垂……第1个 第2个第3个4=1+3 9=3+616=6+10图7…足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C 【答案】512，45.4．如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相 交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平 分线相交于点A 2009，得∠A 2009 ．则∠A 2009＝ ．【答案】20092α5．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．【答案】466．观察下列等式：221.4135-=⨯； 222.5237-=⨯；第1个图形 第2个图形第3个图形第4个图形…图1BACD第18题图A 1A 2223.6339-=⨯ 224.74311-=⨯；…………则第n （n 是正整数）个等式为________.【答案】22(3)3(23)n n n +-=⨯+7．已知21(123...)(1)n a n n ==+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式n b ＝_______．(用含n 的代数式表示) 【答案】12++n n8．如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC 的面积为S ，按照如图所示方式得到的格点三角形A 1B 1C 1的面积是7S ，格点三角形A 2B 2C 2的面积是19S ，那么格点三角形A 3B 3C 3的面积为 ．37S【答案】37S9．王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n 个“中”字形图案需 根火柴棒.【答案】6n +3或9+6（n -1）A A 1 A 2A 3B 3B 2B 1BC 1 C 2 C 3（第17题） C10如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第n (n ≥3) 块纸板的周长为P n ，则P n -P n-1= ▲ .【答案】121-⎪⎭⎫⎝⎛n11（2009恩施市）观察数表根据表中数的排列规律，则字母A 所表示的数是____________． 【答案】-1012．正整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ．【答案】420第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列 第二列第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)23 2221………图8…① ② ③ ④1 11 1 1 1 1 1 1-1-1-6-6-2-3-5-4-4-3 6 10 15 15 5 A 20- 113．有一列数1234251017--，，，，…，那么第7个数是 ． 【答案】750-14．如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【答案】15．图6是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．-【答案】3n+1 16．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．【答案】12117．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，图6(1)(2) (3) ……第1个第2个第3个然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，……，如此下去，得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 b a 、的代数式表示为 ．第20题图3【答案】ab 201021）（．18．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则B n 的坐标是______________．【答案】(12-n,12-n ).19．一组按一定规律排列的式子：－2a ，52a ，－83a ，114a ，…，（a ≠0）则第n 个式子是_▲_（n 为正整数）．【答案】31(1)n n a n--20．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ★ ． （用n 的代数式表示s ）【答案】2(1)n n +21．观察下列各式：11111323⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111135235⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111157257⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，…，根据观察计算：1111133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+ ＝ ．（n 为正整数） 【答案】21nn +22． 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记112233BD E BD E BD E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）.【答案】()211n +23．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为___________．BCAE 1 E 2 E 3D 4D 1D 2D 3……n =1 n =2n =3【答案】324．将四张花纹面相同的扑克牌的花纹面都朝上，两张一叠放成两堆不变．若每次可任选一堆的最上面的一张翻看（看后不放回），并全部看完，则共有 种不同的翻牌方式． 【答案】25．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．【答案】10，31n +26．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．【答案】23+n27．如图，边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使 ︒=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使 ︒=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 ． 【关键词】菱形的性质与判定 【答案】()13-n（1）（2）（3）…………（1）（2） （3）（第1４题）28．如图所示，已知：点(00)A ，，B ，(01)C ，在ABC △内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于 ．29．观察下表，回答问题：第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍． 【答案】2030．将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第行第 列．序号 1 2 3 …图形…16题图D 1【答案】670，331．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-32．观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，48x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n 个单项式为 【答案】764x ；1(2)n n x --33．观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组数的第k 个数是 ．【答案】kk 212- 34．观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是全等的），请写出第n 个图中最小．．的三角形的个数有 个．第1个图 第2个图第3个图 第4个图35．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．三、解答题1．如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN ＝21CE ，得到图③，请解答下列问题： (1)若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想； (2)若AB ＝k ·AC(k ＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．【答案】解：（1）①BD=CE ；②AM=AN ，∠MAN=∠BAC. （2）AM=K •AN ，∠MAN=∠BAC.2．将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则 ①n ；②第i 行第j 列的数为 （用i ，j 表示）．… … 第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅 图5第1列第2列 第3列 … 第n 列 第1行 1 2 3 … n第2行 1+n 2+n 3+n … n 2 第3行 12+n22+n32+n… n 3………………【答案】10，1010-+j i （第一空2分，第二空3分；答j i +-)1(10给3分，答j i n +-)1(给2分）3．如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ． （1）求证：AF =BE ； （2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．【答案】（1）BE=AF ；（2）猜想∠BPF=120° .4．1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图9，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．【答案】解: 留下的矩形CDFE 是黄金矩形 。
2024年中考数学第二轮复习学案专题四规律探索题
九年级 数学科目_复习_课型 第__章 第__课时，总第___课时 月 日 周教学内容：专题四 规律探索题教学目标：1、能够根据题中所给条件，找出其中蕴含的规律，从而解决相关问题2、能够熟练进行公式的推理及证明；3、能够熟记相关公式，从而应用到规律探索中去；重点：能够根据题中所给条件，找出其中蕴含的规律，从而解决相关问题 难点：能够熟记相关公式，从而应用到规律探索中去；学习内容及导学流程方法指导或 行为提示一、目标导学今天，我们将进行数学中考专题复习四－－规律探索题，本节课的学习目标是―― 二、自主梳理考点一：相关公式1、数的倍数关系式：一个数a 的n 倍表示为 ；2、奇数与偶数的表示方法：偶数： ； 奇数： 或 ； 3、数的平方的表示：一个数a 的平方表示为 ；4、等差数列求和公式： = ； 考点二： 步骤与方法1、将图形转化为数字；2、观察数与数之间的联系；3、根据数与数之间的联系用恰当的公式表示；4、用归纳出的公式验证几个继续下去的数，看是否符合题设条件。
三、典例剖析例1、小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第１个图案有１枚棋子，第２个图案有３枚棋子，第３个图案有４枚棋子，第４个图案有６枚棋子，…，那么第９个图案的棋子数是 枚．例2、如图所示是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n 个图案中有 根小棒．例3、观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论； （3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋202420231⨯ .例4：正整数按下图的规律排列．请写出第24行，第25列的数字 ．四、巩固提升1、有一列数1234251017--，，，，…，那么第7个数是 ． 2、如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．3、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是( )A ．38B ．52C ．66D ．744、下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。
中考数学二轮复习探索规律讲义
1.差后等差型1.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于______．2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.15B.25C.55D.12253.如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要____枚棋子，摆第n个图案需要____枚棋子．4.如图，用火柴摆出一列正方形图案，若按这种方式摆下去，摆出第30个图案用______根火柴棍．5.如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n=（）．A．29 B．30 C．31 D．326.下面是一个按某种规律排列的数阵：n≥，且n是根据数阵排列的规律，则第5行从左向右数第5个数为_____，第n（3n_______．整数）行从左向右数第5=6.在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_____个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)n -，，(0)n ，，(20)n ，，(0)n -，（n 为正整数），且菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为288，则n =____．7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，且(2,0)A -，(0,1)B ，在直线AB 上截取1BB AB =，过点1B 分别作x 、y轴的垂线，垂足分别为点1A 、1C ，得到矩形111OA B C ；在直线AB 上截取121B B BB =，过点2B 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点2A 、2C ，得到矩形222OA B C ；在直线AB 上截取2312B B B B =，过点3B 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点3A 、3C ，得到矩形333OA B C ；…则第3个矩形333OA B C 的面积是______；第40个矩形n n n OA B C 的面积是______．8.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_________；第n 行（3n ≥）从左到右的第3个数为_________．（用含n 的代数式表示）9.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 从原点O 出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是01（，）、20（，），第2次平移后可能到达的点是02（，）、21（，）、40（，），第3次平移后可能到达的点是03（，）、22（，）、41（，）、60（，），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为1l ，13l =；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为2l ，29l =；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为3l ，318l =；按照这样的规律，4l =______；40l =_____．10.在平面直角坐标系xOy 中，直线2x =和抛物线2yax =在第一象限交于点A ，过A 作AB x ⊥轴于点B ．如果a 取1，2，3，…，n 时对应的AOB △的面积为1S ，2S ，3S ，…，n S ，那么1S =_____；若123...1300n S S S S ++++=，则n =______．11.如图，点1A ，2A ，3A ，…，点1B ，2B ，3B ，…，分别在射线OM ，ON 上．11OA =，1112A B OA =，1212A A OA =，2313A A OA =，3414A A OA =，…．11223344A B A B A B A B ∥∥∥∥…．则22A B =____，n n A B =____．（n 为正整数）．4NMA 1A 2A 3A 432112.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定11a =，23a =，36a =，410a =，…；11b =，24b =，39b =，416b =，…；1112y a b =+，2222y a b =+，3332y a b =+，4442y a b =+，…，那么，按此规定，6y =____，50y =____．（用含n 的式子表示，n 为正整数）．13.观察下面一列数的规律并填空：0381524⋯，，，，，，则第n 个数是5183，则n =______．14.将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行第一列，与有序数对21（，）对应，数5与13（，）对应，数14与34（，）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为______．15.凸n 边形的对角线的条数记作()4≥n a n 例如：4=2a ，那么：①5=a _____；②65=a a -______；③1=n n a a +-______．（4≥n ，用含n 的代数式表示）.16.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第60个图形需要黑色棋子的个数是______．第1个图形第4个图形第3个图形第2个图形17.已知：如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列．其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，第④个图形中一共有___个平行四边形，……，第n个图形中一共有平行四边形的个数为599个，则n ______．18.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为____19.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是______．20.观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有的个数为_____．（用含n的代数式表示）．图1图3图221.用同样大小的圆按下列方式组成图案，第10个图案中圆的个数为_____22.小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为______颗；当挪动60颗珠子时（n 为大于1的整数），所得分数为______（用含n 的代数式表示）．23.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2，第（2）个图形的面积为8，第（3）个图形的面积为18，……，第（10）个图形的面积为____(4)(3)(2)(1)24.如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中含有1个正方形；第2幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有______个正方形；25.如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有______个.26.已知：如图，在Rt ABC △中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连结1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连结2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…、n D ，分别记11BD E △、22BD E △、33BD E △…、n n BD E △的面积为1S 、2S 、3S 、…、n S ．设ABC △的面积是1，1S =______，若1=2401n S ，则n =______．（若答案不为整数，请填分数）B32127.如图，在平面直角坐标系中，123401030()()()(6)010⋯，，，，，，，，，B B B B 以12B B 为对角线作第一个正方形1112A B C B ，以23B B 为对角线作第一个正方形2223A B C B ，以34B B 为对角线作第一个正方形3334⋯，，A B C B 如果所作正方形的对角线1+n n B B 都在y 轴上，且1+n n B B 的长度依次增加1个单位，顶点n A 都在第一象限内（1≥n ，且n 为整数），那么1A 的纵坐标为______，表示31A 的纵坐标______．C28.按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是______．2.等差数字型1.一组按规律排列的式子：2a ，43a ，65a ，87a , ,….则第n 个式子是________.2.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为______．3.宁宁同学设计了一个计算程序，如下表根据表格中的数据的对应关系，可得a 的值是（）.A ．1011B ．1211 C ．1 D ．04.按一定规律排列的一列数，依次为147⋯，，，．则第n 个数是（ ）．A ．32n -B ．23n -C ．2nD ．63n -5.，的正方形的面积记作1S ，2S ，3S ，4S …，计算21S S - ，32S S - ，43S S - …．若边长为n 为正整数）的正方形面积记作n S ，根据你的计算结果，猜想1n n SS +-的值．（用字母n 来表示）6.将正奇数按下表排成5列：则2007位于（）.A ．125行，3列B ．125行，2列C ．251行，2列D ．251行，5列7.已知：'n n x x ，是关于x 的方程2440n n n a x a x a n -+-= 1()n n a a +>的两个实数根，'n n x x <，其中n 为正整数，且11a =．（1）11'x x -的值为________；（2）当n 分别取1，2，⋅⋅⋅，2013时，相对应的有2013个方程，将这些方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列，相邻两数的差恒为11(')x x -的值，则20132012'x x - =__________．8.观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a +=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为________，第n 个等式为_______．9.一组按规律排列的式子：22b a ，432b a -，843b a ，1654b a -，…，其中第6个式子是___________，第n 个式子是___________（n 为正整数）． A.6711,(1)642n n n na b a b ++-- B.671,(1)642n n n n a b a b +-- C.6711,(1)642n n n n a b a b ++- D. 671,(1)642n n nna b a b+-10.一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是______（直接填数字），第n 个数是______.（从下列选项中选择）（用含字母n 的代数式表示，n 为正整数）．A. ()111(1)2n n ++-+ B.1[1(1)](1)n n ++-+C. ()11(1)2nn +-+ D. [1(1)](1)n n +-+11.一组按一定规律排列的式子：2a -，52a ，83a -，114a ，…，（0a ≠）,则第n 个式子是______________（n 为正整数）．12.按一定规律排列的一列数依次为：14916,3579，，， ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是多少，第n 个数是多少．13.一组按规律排列的式子：52a b ，84a b -，118a b ，1416a b -，……（0ab ≠），其中第6个式子是______，第n 个式子是_____（n 为正整数）．14.如图，按此规律，第6 行最后一个数字是______，第______行最后一个数是2014 ．15.已知21(123...)(1)n a n n ==+，，，，我们又定义112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1) (1)n n b a a a =---，则通过计算12b b ，……，则b5是多少，b n 是多少？16.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，.请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B C →→→→→→→→→⋯ 的方式）从A 开始数连续的正整数1234⋯，，，，，当数到12时，对应的字母是______（请填大写字母）；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是______（用含n 的代数式表示）.17.一组按规律排列的式子：2581114916,,,,(0)a a a a a--≠，其中第8个式子是_____，第n 个式子是______（n 为正整数）18.观察并分析下列数据，寻找规律： 03，--……那么第10个数据是______ ；第n 个数据是______ .19.对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数27的分裂数中最大的数是______，自然数2n的分裂数中最大的数是______.20.一组按规律排列的式子：3579234,,,,x x x xy y y y--（xy≠），其中第6个式子是______，第n个式子是______（n为正整数）．21.观察下列有序数对：111(31)(5)(7)(9)234---，，，，，，，，…，根据你发现的规律，第100个有序数对的形式是______22.观察下列数表：1 2 3 4…第一行2 3 4 5…第二行3 4 5 6…第三行4 5 6 7…第四行根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（）.23.观察分析下列数据，寻找规律：0,5,-…则第101个数据应是（）24.一张纸片，第一次把它撕成6片，第二次把其中一片又撕成6片，…，如此下去，则第n 次撕后一共有小纸片数是_____.25.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒． A. 21n + B. 21n - C. 2n D. 2n +3.等差图象型1.为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n ）图，需用火柴棒的根数为______．2.如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点1A ，2A ，…n A 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（ ）3.如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线1234567FK K K K K K K ……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK ，12K K ，23K K ，34K K ，45K K ，56K K ，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为1l ，2l ，3l ，4l ，5l ，6l ，…….当1AB ＝时，2011l 等于（ ）4.如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为（）5.如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm 如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为（）6.用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用a表示第n个图案中菱形的个数，求n a （用含n的式子表示）a1=4a2=10a3=167.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个★8.一个边长为16m的正方形展厅，准备用边长分别为1m和0.5m的两种正方形地板砖铺设其地面．要求正中心一块是边长为1m的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌（如图所示），则铺好整个展厅地面共需要边长为1m的大地板砖块______块．9.如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这样的图形中共有______个等腰梯形．10.如图，这是边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，第n个图形的周长为（）11.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（用含n的代数式表示）．12.已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了______个小等边三角形； 当n k =时，共向外作出了______个小等边三角形．13.观察下列图案：第1个图案第2个图案第3个图案它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图案中共有______个三角形，第n （1n ≥，且n 为整数）个图案中三角形的个数为_____（用含有n 的式子表示）．14.如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，．则第一个黑色梯形的面积1S =______；观察图中的规律，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积nS =______．15.用长为4cm的n根火柴可以拼成如图1所示的x个边长都为4cm的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y个边长都为4cm的平行四边形，那么用含x的代数式表示y，得到（）．16.已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有______个；第2014个图形中直角三角形的个数有______个．17.用棋子摆出下列一组图形：（1）摆第1个图形用______枚棋子，摆第2个图形用______枚棋子，摆第3个图形用______枚棋子．（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图形用______枚棋子？（3）计算一下摆第100个图形用______枚棋子？18.如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个▲组成，第2 个图案由7 个▲组成，第3 个图案由10 个▲组成，第4 个图案由13 个▲组成，…，则第n （n 为正整数）个图案由______个▲组成．19.如图，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为1C ;图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为2C ；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为3C ；……，依次规律，当正方形边长为2时，则12399100C C C C C +++⋯+= ______π.20.用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99 个图案需要的黑色五角星______个．21.如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；；则从第（n ）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是多少22.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干图案：（1）第4个图案有白色地面砖______块； （2）第n 个图案有白色地面砖______块．23.如图， 45AOB ∠=︒，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为123,,,S S S …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积4S =_______，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积nS =_______．24.已知在ABC ∆中，BCa =.如图1，点11 B C 、分别是AB AC 、的中点，则线段11B C 的长是______；如图2，点1212B B C C 、，、分别是AB AC 、的三等分点，则线段1122 B C B C +的值是______；如图3, 点12......n B B B 、、、，12......n C C C 、、、分别是AB AC 、的1n +（）等分点，则线段1122 n nB C B C B C ++⋯⋯+的值是______.25.如图，每个多边形的边长都大于2，分别以多边形的各顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在多边形的相邻两边上），则第6个图形中所有弧的弧长的和是______π，第n 个图形中所有弧的弧长的和是（____）（n 为正整数）．．．．第3个第2个第1个4.等差坐标型1.如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2468，，，，…，顶点依次用1234，，，A A A A ，…，表示，其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距一个单位，则顶点3A 的坐标是___________，22A 的坐标是______．2.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点101A （，），211A （，），310A （，），420A （，），…那么点41n A ＋的坐标为_____3.如图，已知正方形ABCD ，顶点()()131,1()3,1A B C ，、、．规定“把正方形ABCD先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为( )4.如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到 点(1)1， ，第2次接着运动到点(2)0， ，第3次接着运动到点(3)2， ，……，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是（ ）．A ．(2011)2，B ．(2012)1，C ．(2011)0，D ．(2012)2，5.如图，已知12345()()()()()1011111,12,1A A A A A ，,，,-，,--，- ，则点2008A 的坐标是多少．6.一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0)1，，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0)0，→(0)1，→(1)1，→10（，）→…，且每秒跳动一个单位，那么第48秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）A ．(5)0，B ．(6)0，C ．(0)6，D ．(6)6， 7.在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点()04A，，点B 是x 轴正半轴上的整点，记AOB △内部（不包括边界）的整点个数为m ．当3m =时，点B 的坐标是多少；当点B 的横坐标为4n （n 为正整数）时，m =_____（用含n 的代数式表示．）8.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如()()()()()()102021323130，，，，，，，，，，，…根据这个规律探索可得，第20个点的坐标是___；第90个点的坐标为_____．9.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形111122223333A B C D A B C D A B C D ，，每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有______个．10.如图，二次函数(2)(02)yx x x =-≤≤的图象，记为1C ，它与x 轴交于点O 、1A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ；……如此进行下去，直至得14C ．若(27,)P m 在第14段图象14C 上，则m =______．11.如图，A 与x 轴相切于点O ，点A 的坐标为(01)，，点P 在A 上，且在第一象限，60PAO ∠︒＝ ，A 沿x 轴正方向滚动，当点P 第n 次落在x 轴上时，求点P 的横坐标．12.如图1，是由方向线一组同心、等距圆组成的点的位置记录图．包括8个方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北，方向线交点为O ，以O 为圆心、等距的圆由内向外分别称作1、2、3、…n ．将点所处的圆和方向称作点的位置，例如M （2，西北），N （5，南），则P 点位置为__________．如图2，若将（1，东）标记为点1A ，在圆1上按逆时针方向旋转交点依次标记为238A A A ⋯、、、；到8A 后进入圆2，将（2，东）标记为9A ，继续在圆2上按逆时针方向旋转交点依次标记为101116A A A ⋯、、、；到16A 后进入圆3，之后重复以上操作过程．则点25A 的位置为_____，点2013A 的位置为______，点162n A +（n 为正整数）的位置为_____．13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，1A 是以O 为圆心，2为半径的圆与过点（0，1）且平行于x 轴的直线l1的一个交点；2A 是以原点O 为圆心，3为半径的圆与过点（0，－2），且平行于x 轴的直线l2的一个交点；3A 是以原点O 为圆心，4为半径的圆与过点（0，3）且平行于x 轴的直线l3的一个交点；4A 是以原点O 为圆心，5为半径的圆与过点（0，－4）且平行于x 轴的直线l4的一个交点；……，且点1A 、2A 、3A 、4A 、…都在y 轴右侧，按照这样的规律进行下去，点6A 的坐标为______，点n A 的坐标为______(用含n 的式子表示，n 是正整数)．14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在第一象限，点B 在x 轴的正半轴上，90OAB ∠=︒．1P 是OAB ∆的内切圆，且1P 的坐标为()31，．OA 的长为______，OB 的长为______；点C 在OA 的延长线上，CD AB ∥交x 轴于点D ．将1P 沿水平方向向右平移2个单位得到2P ，将2P 沿水平方向向右平移2个单位得到3P ，按照同样的方法继续操作，依次得到4n P P ⋯⋯，．若12n P P P ⋯⋯，，均在OCD ∆的内部，且n P 恰好与CD 相切，则此时OD 的长为_____．（用含n 的式子表示）15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线(3)y x x =--在x 轴上方的部分(03)x ≤≤，记作1C ，它与x 交于O ，1A ，将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，2C 与x 轴交于另一个点2A ，请继续操作并探究：将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，3C 与x 轴交于另一个点3A ；将3C 绕点3A 旋转180︒得4C ，4C 与x 轴交于另一个点4A ．这样依次得到x 轴上的点1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，即抛物线1C ，2C ，3C ，…，n C ，…，则点4A 的坐标为_______；n C 的顶点坐标为_______（n 为正整数，用含n 的代数式表示）．16.如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8……，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，……表示，其中x 轴与边12A A ，边12A A 与45A A ，45A A 与78A A ，…均相距一个单位，则顶点3A 的坐标为__________；31A 的坐标为__________；32n A -(n 为正整数)的坐标为__________．17.我们把图（1）称作正六边形的基本图，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个 基本图的一边重合，这样得到图（2），图（3），…，如此进行下去，直至得图（n ）．（2）将图（n ）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心1O 的坐标为1(,4)x ，则1x =__________；（2）图（n ）的对称中心的横坐标为__________．18.如图，一段抛物线：(2)yx x =-（02x ≤≤），记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ；…，如此进行下去，直至得10C ． （1）请写出抛物线2C 的解析式：（2）若(19,)P a 在第10段抛物线10C 上，则a =_____．32C A A 2A5.裂项型1．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题：111122=-⨯ 1112323=-⨯ 1113434=-⨯ …… 则计算 （1）计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ． （2）探究1111122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯⨯+；（用含有n 的式子表示）（3）若1111......133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+的值为1735，求n 的值．2.观察下面的变形规律：111122=-⨯； 1112323=-⨯；1113434=-⨯ …… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1(1)n n =+；（2）证明你猜想的结论是否正确；（3）求和：111112233420092010++++=⨯⨯⨯⨯ .3.观察下面的变形规律：111122=-⨯ 1112323=-⨯ 1113434=-⨯ …… 解答下面的问题： 求和：111112233420112012++++=⨯⨯⨯⨯（）4.先观察下列等式：111122=-⨯ ， 1112323=-⨯ ， 1113434=-⨯ …… 则计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ．5.观察下面的变形规律：112⨯＝112-； 123⨯＝12－13；134⨯＝13－14；…… 则1111 (12233420132014)++++⨯⨯⨯⨯的值是（ ）．6.观察下列各式：111(1)1323=-⨯，1111()35235=-⨯，1111()57257=-⨯，…，根据观察计算： 1111133557(21)(21)n n ++++=⨯⨯⨯-+（）（n 为正整数）7.观察下列各式：134⨯＝13－14；1114545=-⨯；…… 计算：1111 (3445569798)+++=⨯⨯⨯⨯（）8.观察下列各式：1111()24224=-⨯，1111()46246=-⨯… 计算：11111 (2446682004200620062008)++++=⨯⨯⨯⨯⨯（）9.观察下列各式：1111997199819971998=-⨯，1111998199919981999=-⨯. 计算：11111997199819981999199920002000+++=⨯⨯⨯（）10.观察下列各式：1111()27527=⨯-⨯，1111()7125712=⨯-⨯….计算：111111 2771212171722929797102 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）11.观察下列各式：1111()24224=-⨯，1111()46246=-⨯…计算：1111 24466898100++++=⨯⨯⨯⨯（）12.观察下列各式：111(1)1434=⨯-⨯，1111()47347=⨯-⨯…计算：11111 1447710101397100 +++++=⨯⨯⨯⨯⨯（）13.已知111(1)1323=⨯-⨯，1111()35235=⨯-⨯，1111()57257=⨯-⨯，…，依据上述规律，计算1111 1335571113++++⨯⨯⨯⨯的结果为（）14.观察下列计算：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545=-⨯…… 从计算结果中找规律，利用规律性计算111112233420092010++++=⨯⨯⨯⨯（） 15.111(1)1323=-⨯，1111()24224=-⨯，1111()35235=-⨯，…，猜想并写出：1(2)n n =+（）16．观察1111()35235=-⨯，11111()57257⨯=-，11111()79279⨯=-. 计算：111111112446681820⨯+⨯+⨯++⨯=（） 17.1111112(1)()1122322333+=-+-=-=⨯⨯；1111111113(1)()()11223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯；计算：1111122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+（）18.111122=-⨯， 1112323=-⨯， 1113434=-⨯， ……用自然数n 将上面式子的一般规律表示为1(1)n n =+（）19.观察下列等式： 第1个等式：1111(1)1323a ==⨯-⨯； 第2个等式：21111()35235a ==⨯-⨯； 第3个等式：31111()57257a ==⨯-⨯； 第4个等式：41111()79279a ==⨯-⨯；… 请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：5a =_________;（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式n a =_________;（3）求1234100a a a a a ++++⋯+的值.20.观察下面的变形规律：111122=-⨯ 1112323=-⨯ 1113434=-⨯ …… 解答下面的问题： 求和：111112233420132014++++=⨯⨯⨯⨯（）21.观察1111()35235=-⨯，11111()57257⨯=-，11111()79279⨯=-. 计算：1111111124466820002002⨯+⨯+⨯++⨯=（）22.先观察下列等式：111122=-⨯ ， 1112323=-⨯ ， 1113434=-⨯ …… 则计算11111122334451920+++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ．23.观察下列各式：1111()24224=-⨯，1111()46246=-⨯… 计算： 11112446684850++++=⨯⨯⨯⨯（）24.观察下列各式：1111()25325=⨯-⨯，1111()58358=⨯-⨯….计算：111111 2558811111414171720 +++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）25.观察下列各式：1111()26426=⨯-⨯，1111()6104610=⨯-⨯….计算：1111111 2661010141418182222262630 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）6.周期型1.电子跳蚤游戏盘是如图所示的678ABC AB AC BC ∆===，，，．如果跳蚤开始时在BC 边的0P 处，02BP =．跳蚤第一步从0P 跳到AC 边的1P （第一次落点)处，且10CP CP =；第二步从1P 跳到AB 边的2P （第一次落点)处，且21AP AP =；第三步从2P 跳到BC 边的3P （第三次落点)处，且32BP BP =；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n 次落点为n P （n 为正整数），则点2007P 与2010P 之间的距离为______．2.如图所示，长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A 位置变化为12A A A →→，由1A 翻滚到2A 时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边2A C 与桌面成30︒角，则点A 翻滚到2A 位置时所经过的路径总长度为__________cm ．3.如图，正方形ABCD 边长为2cm ，动点P 从A 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2013cm 时，线段PA n =_____cm ；当点P 第n 次（n 为正整数）到达点D 时，点P 的运动路程为____cm(用含n 的代数式表示)．4.如图，菱形ABCD 中，2AB =，60C∠=︒,我们把菱形ABCD 的对称中心O 称作菱形的中心．菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的 翻滚，每绕着一个顶点旋转60︒叫一次操作，则经过3n （n 为正整数） 次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为（ ）5.观察下列等式：123456733393273813243372932187======⋯=，，，，，， 解答下列问题：234201333333+++⋯+ 的末位数字是（）6.如图，动点P 从()03，出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（ ）A ．()14， B ．()50，C ．()64，D ．()83，7.我们知道，一元二次方程21x=-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1- ，若我们规定一个新数“”，使其满足21i=- (即方程2-1x =有一个根为)，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有2i i =，21i =-，321i i i i i =⋅=-⋅=- ，422()1i i == 那么， 23420122013i i i i i i ++++++……的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．i8.如图，在直角坐标系中，已知点(3,0)A - 、()04B，，对OAB △ 连续作旋转变换，依次得到1△ 、2△、3△、4△…，则2013△的直角顶点的坐标为(______，______)．9.根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015 ，箭头的方向是以下图示中的（ ）选项：A ．B ．C ．D ．10.有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90︒ 算一次，则滚动第2014 次后，骰子朝下一面的点数是______．11.一列数123,,,n a a a a ⋯ ，其中11a =- ，2111a a =-，3211a a =-，…，111n n a a -=-，则1232004a a a a +++⋯+= ______． 12.如图，弹性小球从点()0,3P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1 次碰到矩形的边时的点为1P ，第2次碰到矩形的边时的点为2P ，…，第n 次碰到矩形的边时的点为n P ，则点3P 的坐标是___,点2014P 的坐标是___．13.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点分别为(11)A ，、(11)B -，、(11)C --，、(11)D -，，y 轴上有一点P ()2,0,作点P 关于点A 的对称点1P ，作1P 关于点B 的对称点2P ，作点2P 关于点C 的对称点3P ，作3P 关于点D 的对称点4P ，作点4P 关于点A 的对称点5P ，作5P 关于点B 的对称点6P ⋅⋅⋅，按如此操作下去，则点2011P 的坐标为（ ）.A ．(02)，B ．(20)，C ．(02)-， D ．(20)-，14.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（） A 、第502个正方形的左下角B 、第502个正方形的右下角C 、第503个正方形的左上角D 、第503个正方形的右下角15.如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（）16.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）17.若123121111 , 1 , 1 , a a a m a a =-=-=-⋅⋅⋅，则2011a 的值为（ ）．（用含m 的代数式表示）。
中考数学二轮复习专题2 规律探索问题课件
B.(－1，－2) D.(3，－2)
9．(2021·阜新)如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在(0，2)．将弓 形沿 x 轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为 2021π 时，圆心的横 坐标是( D )
A.2020π C.2021π
B.1010π＋2020 D.1011π＋2020
10．(2021·毕节)如图，在平面直角坐标系中，点 N1(1，1)在直线 l：y＝x 上，
[点评] 本题考查了规律型中的数式变化规律，解题的关键是找出等式左右 两边的数的变化规律，熟练掌握二次根式的运算．
1.(2021·济宁)按规律排列的一组数据：12，35，□，177，296，3171，…，其中□
内应填的数是( D )
A.23
B.151
C.59
D.12
2．(2021·十堰)将从 1 开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于 第 4 行第 3 列的数为 27，则位于第 32 行第 13 列的数是( B )
图形规律型 ☞示例 2 (2016·益阳)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第 1 个图案有 1 枚棋子，第 2 个图案有 3 枚棋子，第 3 个图案有 4 枚棋子，第 4 个图案有 6 枚棋子，…，那么第 9 个图案的棋子数是 13 枚．
[解析] 设第 n 个图形有 an 个棋子， 观察，发现规律：a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝3＋1＝4，a4＝4＋2＝6， a5＝6＋1＝7，…，a2n＋1＝3n＋1，a2n＋2＝3(n＋1)(n 为自然数)． 当 n＝4 时，a9＝3×4＋1＝13. 故第 9 个图案的棋子数是 13 枚．
[点评] 本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变化规律 “a2n＋1＝3n＋1，a2n＋2＝3(n＋1)(n 为自然数)”．本题属于基础题，难度不 大，解决该题型题目时，找出部分图形的棋子数目 ，根据数的变化找出变 化规律是关键．
中考数学总复习课件： 二轮专题复习 规律探索问题 (共27张PPT)
【例 3】(1)(2017· 天水)观察下列的“蜂窝图”：
则第 n 个图案中的“ ”的个数是 3n＋1 ．(用含有 n 的代数式表示)
(2)(2017·重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其 中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形 中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( C ) A．73 B．81 C．91 D．109
然后再验证并运用．预计2018年继续考查的可能性很大．
【例1】(1)(2017·百色B )观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16， 25，…，则第11个数为( ) A．－121 B．－100 C．100 D．121
(2)(2017·日照)观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规 律得出a的值为(
3．(2017·烟台)用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为( A．3n B．6n
D
)
C．3n＋6 D．3n＋3
4．(2017·武汉)按照一定规律排列的n个数：－ 2，4，－8，16，－32， B 64，…，若最后三个数的和为768，则n为( A．9 B．10 C．11 D．12 5．(2017·扬州)在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝3，a2＝7，从第三 个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的 第2017个数是( B A．1 B．3 C．7 D．9 ) )
的几对对应值求出函数解析式，然后去论证
1．(2016·凉山州)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2 D 016应标在( ) A．第504个正方形的左下角 B．第504个正方形的右下角
中考数学复习二轮专题：规律探索选填题课件
【思路点拨】根据对称的性质可依次求得 N1，N2，N3，N4，N5，N6 点的坐标， 发现 N(－1，0)经过 6 次变换后，N6 坐标与 N 点相同．由循环规律易知 N2 020 坐标与 N4 坐标相同，即可得出答案．
对于图形规律中求第 n 个点的坐标，有两种考查形式：一种是点坐 标变换在坐标轴上或象限内循环变化；另一种是点坐标变换在同一象限 内递推变化．解决方法如下：
3．(2021·毕节第 19 题 5 分)如图，在平面直角坐标 系中，点 N1(1，1)在直线 l：y＝x 上，过点 N1 作 N1M1 ⊥l，交 x 轴于点 M1；过点 M1 作 M1N2⊥x 轴，交直线 l 于 N2；过点 N2 作 N2M2⊥l，交 x 轴于点 M2；过点 M2 作 M2N3⊥x 轴，交直线 l 于点 N3；…，按此作法进行下去， 则点 M2 021 的坐标为(2(22200221，10，)0)．
2．等式规律探索的推导步骤： 第一步：标序数； 第二步：将等式左边的每项用含序数的式子表示出来，得到关系式； 第三步：将等式右边的每项用含序数的式子表示出来，即可得解； 第四步：用题中已知数据验证等式正确性．
3．常见的数字规律： (1)自然数数列规律：0，1，2，3，…，n(n≥0)； (2)正整数数列规律：1，2，3，…，n(n≥1)； (3)奇数数列规律：1，3，5，7，…，2n－1(n≥1)； (4)偶数数列规律：2，4，6，8，…，2n(n≥1)； (5)正整数和：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n2＋1）(n≥1)； (6)正整数平方：1，4，9，16，…，n2(n≥1)；
202X年中考数学复习专题课件规律 探索选填题
类型一：数式规律
(2021·随州)根据图中数字的规律，若第 n 个图中的 q＝143，则 p
中考数学重难点和二轮专题复习讲座中考二轮专题复习：第4课时-规律探索性问题 - 副本
中考二轮专题复习：第5课时 规律探索性问题第一部分 讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。
三．考点精讲 考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. 有一组数：13,25579,,101726L ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+；23221521⨯-=+；252311031⨯-=+；272411741⨯-=+；219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)，2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________；(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n Λ[])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n Λ )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式：)2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n Λ [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n Λ)3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)，2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，… 10×11 ＝ 31(10×11×12－9×10×11)，∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440． （2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260． 例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不已知 用“<”或“>”填空⎩⎨⎧>>12,355+2 3+1⎩⎨⎧->-->-21,53-3-1 -5-2⎩⎨⎧<-<12,411-2 4+1 一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a , 那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空） 你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
中考数学总复习 第二轮 专题突破 能力提升 专题五 探
【例1】 （2015·宁波市）如图，将△ABC沿着过AB中点D
的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，
折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿
着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称
为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法
不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014
列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，
11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，
31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数 m 是第 i
组第 j 个数（从左往右数），如A7=（2，3），则
A2015=（
）
A．（31，50）
B．（32，47）
C．（33，46）
D．（34，42）
那么这一组数的第n个数是
． 2n 1
n 12
3.（2016·荆州市）如图，用黑、白两种颜色 的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律 拼成下列图案，若第n个图案中有2 017个白色 纸片，则n的值为（ ）
A.671 B.672 C.673 D.674
探索规律常见于选择、填空及解答题 的压轴题，通过特殊到一般进行探索发现 规律．
分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个 数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．
【例3】 （2016·德州市）如图，在平面直角坐 标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线l1，l2， 过点(1，0)作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y 轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于 点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…,依次
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
2024年中考数学二轮复习课件：专题一 规律探索题
图1
A.正十二边形
图2
B.正十边形
C.正九边形
D.正八边形
10.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如
果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形
30
的个数多8个，那么连续搭建正三角形的个数是____.
综与语文之间，得到如图3，称为2次整理；…若从如图1开始，经过 n 次整理后，
得到的顺序与如图1相同，则 n 的值可以是( B )
A.11
B.12
C.13
D.14
9.（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ23石家庄裕华区模拟）小明同学用一些完全相同的 △ ABC 纸片，已知六个
△ ABC 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用 n 个 △ ABC
再证明结论的正确性；
解：由题意规律，得 +
= + + .
证明：等式左边 = + + ，
等式右边 = + + ，
∴ 左边 = 右边，故等式成立.
【迁移】 思考“ 152 = 15 × 15 ， 252 = 25 × 25 ， ⋯ ”的特征：两个乘数十位上
上分别取点 A2 ， B2 ，使 B1 A2 = B1 B2 ，
连接 A2 B2 ⋯ 按此规律下去，记
∠A2 B1 B2 = θ1 ， ∠A3 B2 B3 = θ2 ， ⋯ ， ∠An+1 Bn Bn+1 = θn ，则：
180∘ +α
（1） θ1 = _______；
2
2024年中考数学二轮题型突破(全国通用)题型2 规律探索(复习讲义)(学生版)
题型二规律探索（复习讲义）【考点总结|典例分析】探索实数中的规律关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较；(2)根据观察猜想、归纳出一般规律；(3)用得到的规律去解决其他问题。
对数式进行观察的角度及方法：(1)横向观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系；(2)纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系。
给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
这类问题成为探索规律性问题。
主要采用归纳法解决。
1.数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题。
2.数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容.3.图形规律型:多形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.4.数形结合猜想型:数形结合猜想型问题首先要观察冬形，从中发现冬形的变化方式，再将冬形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.1.根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q ，则p 的值为（）A．100B．121C．144D．1692．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为123,0,2,1,1,0P A A ， 32,1A ，则顶点100A 的坐标为（）A ． 31.34B ． 31,34C ． 32,35D ．32,03.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．20194.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．125.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．2026.已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a ，3211a a ，4311a a ，5411a a ，……，111n n a a ．按上述方法计算：当13a 时，2021a 的值等于（）A．23 B．13C．12 D．237．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为6.人们把12 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设12a ，12b ，则1ab ，记11111S a b ，2221111S a b ，…，1010101111S a b ．则1210S S S ____．9.观察下列等式：1311212x；2711623x ；313111234x ；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ______．10.观察以下等式：第1个等式： 22221122122 ，第2个等式： 22222134134 ，第3个等式： 22223146146 ，第4个等式： 22224158158 ，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．11.正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．13．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，13:3l y x 上，顶点B 在x 轴上，2BC l ；过点A 作直线2l 的垂线，A A C 14.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．16.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．17.人们把10.6182这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a b 11111S a b ，2222211S a b ，…，10010010010010011S a b ，则12100S S S _______．19．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，坐标为 1,0．把AOB 按如图所示的方式放置，并将绕着原点O 顺时针旋转60 ，同时边长扩大为将11AOB △绕着原点O 顺时针旋转22A OB △，…．依次类推，得到2033A 坐标为．20.观察下面的等式：111236 ，1113412 ，1114520，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．。