新高一数学第16讲-函数的零点与应用问题

主 题

函数的零点与应用问题

教学内容

1. 理解函数零点的概念，会求函数的零点；

2. 掌握常见类型函数的应用。

问题：已知二次函数62

--=x x y ①求0=y 时x 的值.

②作出函数的简图，并观察方程062

=--x x 的根与函数图象与x 轴交点之间的关系.

1.零点的定义：一般地，如果函数)(x f y =在实数a 处的值等于零，即0)(=a f ，则a 叫做这个函数的零点；

2.函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点就是求相应的方程0)(=x f 的根，一般可以 借助求根公式或因式分解或二分法等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点. 思考：如何判断函数)(x f y =在区间],[b a 上是否存在零点. 问题：完成下表，回答问题：

方程

322=--x x

0122=+-x x 0322=+-x x

函数 3

22--=x x y 122+-=x x y

322+-=x x y

图像

x y

－2

3

x

y －1

3 0

x

y 1

x

y

方程的根 11-=x ，32=x

121==x x

无实根 函数零点

3. 函数)(x f y =在区间],[b a 上存在零点的条件：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条不间断的曲线，且0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点.

4. 二分法：把函数)(x f y =零点所在的小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值.这种方法叫做二分法. 练习：判断下列说法是否正确：

①任何函数都有零点;

②1032

--=x x y 的零点是（-2,0）和)0,5(; ③1032--=x x y 的零点是-2和5.

例1. 函数23)(2

+-=x x x f 的零点是 （ ）

A .()0,1；

B ．()0,2；

C ．()0,1，()0,2；

D ．1，2．

试一试：若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

B ．若0)()(

C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；

D ．若0)()(

例2. 某公司生产某种消防安全产品，年产量x 台(0100,)x x N ≤≤∈时，销售收入函数2()300020R x x x =-（单

角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m ) 时用料最省?

1. 已知函数f (x )在区间 [a ，b ]上单调，且f (a )•f (b )<0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）. A .至少有一实根； B .至多有一实根； C .没有实根； D .必有惟一实根.

2. 函数5

()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( )

A ．[0,1]

B ．[1,2]

C ．[2,3]

D ．[3,4]

3. 若方程3

10x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则a b +的值为（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．3-

D ．4-

4. 某自来水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注水60吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水为120t 6,吨（0≤t ≤24）.

（1）问多少小时后蓄水池中的水量最少.

（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问每天有几小时出现这种现象.

5. 在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d 正比例于车速v （千米/小时）的平方和车身长的

积（米），且最小车距不得小于半个车身长，假定车身长为均为S （米），且当车速为50（千米/小时），车距恰好为车身长（车流量即为1小时所通过的车辆数）.问交通繁忙时，应规定怎样的车速才能使此地的车流量最大？

本节课主要知识点：零点的定义，二分法求零点，函数应用问题

【巩固练习】

1. 设函数()[)

()⎩

⎨⎧∞-∈-+∞∈-=1,,2,1,222x x x x x x f ，则函数)(x f y =的零点是 .

2. 用“二分法”求方程0523

=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区

间是 .

3. 某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元。为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工。据估计，如果能动员()0x x >户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x %，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为33()50

x

a -

（0a >）万元． （1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a 的最大值．