谈初中函数与方程(不等式)的关系
一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系
一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。
函数与方程不等式之间的关系
函数与方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式是数学中的基本概念，它们之间存在密切的联系。
函数是描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为 y = f(x)，其中 x 和
y 是变量，f 是函数关系。
函数有多种类型，其中一次函数是最简单的一种，表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
方程是含有未知数的等式，用来表示未知数和已知数之间的关系。
一元一次方程是最简单的一类方程，形如 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个方程可以得到未知数的值。
不等式是用不等号连结的两个解析式，表示两个量之间的大小关系。
一元一次不等式是最简单的一类不等式，形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个不等式可以得到满足不等式的值的范围。
函数、方程和不等式之间存在密切的联系。
一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系特别重要。
对于一次函数 y = ax + b，当函数的值等于 0 时，自变量 x 的值就是一元一次方程 ax + b = 0 的解。
如果一次函数的值大于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b > 0；如果一次函数的值小于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b < 0。
因此，函数、方程和不等式是相互联系的，可以通过它们之间的关系来理解和解决数学问题。
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
(2)一次函数y=kx+m(k≠0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个
交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?
提示:交点坐标为 - ,0 ,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0
的根.
课前篇
自主预习
一
二
三
/yyk/cdsgyy/
/yyk/tjybgcyy/
/yyk/whrayy/
/yyk/whzafcyy/
/yyk/whdhyy/
/yyk/shxknkyy/
/yyk/csygyy/
/yyk/cdsbykyy/
/yyk/szrayy/
/yyk/zbaeykyy/
/yyk/shxjgkyy/
/yyk/shjlnzyy/
1
2
C.f(x)=x +x D.f(x)=
四
)
解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)
有零点,若不存在,则f(x)无零点.
1
1
由于函数 f(x)=中,对任意自变量 x 的值,均有≠0,故函数不存在零
点.
答案:D
课前篇
自主预习
一
二
三
四
知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的
/yyk/wxybzygcyy/
/yyk/whyhyy/
/yyk/scpcyy/
/yyk/xakd/
/yyk/whbszysgcyy/
/yyk/csbjmlyfcyy/
如果f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1=x0,b1=b0.
浅谈方程、函数、不等式三者之间的关系
浅谈方程、函数、不等式三者之间的关系作者：谢文芳来源：《学校教育研究》2014年第24期在初中阶段，方程、函数、不等式都是比较重要的知识点。
在初中数学教学中占重要地位。
对于它们之间的关系应该如何理解和认识，在这里笔者谈一点粗浅看法。
第一，函数、方程和不等式是初中数学学习的主要内容之一。
这三部分内部之间有着很密切的联系，知识点体系主要采用以函数为主线，将函数图像、性质和方乘及不等式的相关知识，进行综合运用，用函数观点看方程（组）与不等式数形结合思想的又一体现，它交给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合的重要性。
在学习方程和不等式的时候加入与函数的联系，在学习中让学生比较好的理解它们之间的内在的联系是十分重要的内容，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。
而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。
因此，应该重视这部分的教学。
第二，在教学中，这部分内容应该抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系。
例如，方程与函数之间相对应问题？实际上，想对应的问题就是求函数的零点，即函数图像与横轴交点的横坐标的值。
在不等式中，方程的根又是如何体现的？方程的根就是不等式解集中的特殊值。
反之，函数的零点从方程的角度看，就是方程的根，从不等式的角度看，就是解集中的特殊的解。
不等式的解集从函数的角度看，就是图像在横轴的上方或下方，从方程的角度看，就是先解方程，求出方程的根，以两根为端点写出不等式的解集。
这三个不同内容之间，一些概念是相通的，但是名称又不完全一样。
但本质上是一致的。
1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（1 ，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立;•直线y=ax+b 在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解;在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解。
8年级一次函数与不等式方程的关系.doc
一次函数与方程及一元一次不等式一、核心纲要1. 一次函数与一元一次方程的关系直线y = hc + b(k 丰0)与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx + b = 0仗丰0)的解。
求直线y = kx + bb hb 与天轴交点时•，可令尸0,得到方程kx + b = 0,解方程得x = -Y ，直线y = kx + b 交％轴于点(-？, 0), 一?k kk就是直线y = kx + b 与兀轴交点的横坐标。
注：(I)从“数”看：kx + b = 0(k 0)的解O 在一次函数y = kx + b(k 0)中，令y=0时，兀的值。
(2)从“形”看：d + b = 0仗工0)的解o —次函数y = la + b(k^0)的图像与x 轴交点的横坐标。
2. 一次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一元一次不等式都可以转化为ax + b>0或ax + b<0 (a,b 为常数，QH O)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范馬。
(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系：哪一个函数图像处于上方，则哪一个比较大。
特别说明：函数y 的图像在无轴上方oy>0；函数y 的图像在兀轴下方oyVO 。
3. 一次函数与二元一次方程(组)的关系(1) 一次函数的解析式y = kx + b(k^Q)^身就是一个二元一次方程，直线y = +上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程$ =总+ /?伙工0),因此二元一次方程的解也就有无数个。
(2) 一次函数y = kx + b(k^0)① 从“数”看：它是一个二元一次方程;② 从“形”看：它是一条直线。
二—直线y=kx-b(k=0)上的每一个点的横、纵坐标 廿:声T 的解<^=^>直线比与门的交点的横纵坐标 y ?=k ?x-rb ?4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解V =化无+也〜1'有唯一解O •百线V 二心兀+勺不平行于玄线V = + H 怎y = k 1x^b 1二兀一次方程y=kx-b(k= 0)的每一组解 方程组(1)二元一次方程组I y = k.x^b.亠，一亠，（2）二兀一次方程组{ 无解O直线y =斤[无+也平行于直线y = k^x + b^ o k{ = k2.b} b2I y = k2x + b2 y = k.x + b}（3）二元一次方程组{ 有无数多个解o直线y = 3 + ®与y = k^x + b^重合o k}= k»b、=[y = k2x^b25.比较两个函数值人小的方法（1）画图像，求交点；（2）过交点作平行于y轴的氏线：（3）谁高谁大。
二次函数与二次方程二次不等式的关系
二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。
知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。
研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
函数、方程与不等式的关系
函数、方程与不等式的关系在数学中，函数、方程和不等式是常见的数学概念。
它们在数学问题的建模和解决中起着重要的作用。
本文将介绍函数、方程和不等式之间的关系，包括它们的定义、特点以及它们之间的相互转换等方面。
一、函数的定义与方程不等式的关系函数是指自变量与因变量之间的一种关系。
函数可以通过方程或不等式来表示和描述。
在代数中，函数通常由一个公式、图表或图形来表示，其中自变量和因变量的关系可以通过一个方程或不等式来表示。
方程是指一个等式，其中包含一个或多个变量，并且通过一个或多个数值来满足等式。
方程可以是一元的或多元的。
一元方程中只有一个未知量，例如：x + 2 = 5多元方程中有两个或更多的未知量，例如：2x + 3y = 7不等式是指一个不等式关系，其中包含一个或多个变量，并且不等号可以是小于、大于、小于等于或大于等于等不等关系。
不等式可以是一元的或多元的。
一元不等式的例子包括：x + 3 > 7多元不等式的例子包括：2x + 3y ≤ 10二、函数、方程与不等式之间相互转换函数、方程和不等式之间存在一定的相互转化关系。
在某些情况下，函数可以通过方程或不等式来表示，而方程和不等式也可以通过函数来表示。
1. 方程转化为函数：当给定一个方程时，我们可以根据方程中的变量和其他已知的数值，构造出一个函数。
例如，对于方程y = 2x + 3，我们可以构造一个函数f(x) = 2x + 3，其中x为自变量，y为因变量。
这样，方程就转化为了函数的表示形式。
2. 函数转化为方程：对于一个给定的函数，我们可以根据函数的定义和性质，得到相应的方程。
例如，对于函数f(x) = 2x + 3，我们可以得到方程y = 2x + 3。
这样，函数就转化为了方程的形式。
3. 方程转化为不等式：在某些情况下，一个方程可以转化为一个不等式。
例如，对于方程2x + 3 ≤ 10，我们可以得到不等式2x + 3 < 10或2x + 3 ≤ 10。
考点08 二次函数与方程不等式之间的关系(解析版)
考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax 2+bx +c =0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a >0时）或在x 轴的下方（a <0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y x k =--+（k 是常数）与x 轴交于A 、B 两，其中点A 的坐标为()1,0，点P 在此抛物线上，其横坐标为()1m m >，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B 的坐标；(3)当点P 在x 轴上方，且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时，求m 的取值范围；(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分（包括点P ）的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时，直(1)若6AB =，5AC =，求(2)若2b a =-，3c =，（ⅰ）当0a >，请判断此时抛物线点的情况；（ⅱ）已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，函数2y x b =-+（b 为常数）的值大于函数256y x x =-+的值，直接写出b 的取值范围．【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】（1）令0y =，则2560x x -+=，可求()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，可求()06C ，，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令0y =，则2560x x -+=，解得，2x =或3x =，∴()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，即()06C ，，设一次函数解析式为y kx b =+，将()30B ，，()06C ，代入得，306k b b +=⎧⎨=⎩，解得，26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为26y x =-+；（2）解：由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，∵当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，2625x x b x +>-+-，∴由图可知：6b >．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为__________．(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________；【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-，进而代值求解a 值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-，()3,0，（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx 23+（k≠0＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点AB 交于点D ，设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2，3或∵2PD =，∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图，当点P 在直线∵2PD =，∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为：232y x x =-+，令0y =，得：2320x x -+=，解得：1x =或2x =，∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是：()1,0，()2,0，又 点A 坐标为()1,0，∴点B 坐标为()2,0．。
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方程模型。所以在某种程度上说方程中有函数，函数中又包含了方程。
在北师大版八年级上册还出现“二元一次方程组与一次函数”的章节，谈到方程组中每个含有二元的一次
方程都可看作一次函数，解方程组也是求二个函数图象的交点坐标。更进一步点明方程与函数思想的互溶，显
现出水乳交溶的现象。同样，在浙教版的教材中，函数也是以一种“先抑后扬”的方式贯穿于整个初中阶段，
那么学习一次函数的时候，学生对下面这道题目会束手无策：
例：以方程 2x 3y 5 的解为坐标，所有点组成的图象是直线
A． y 2 x 5 B． y 2 x 5 C． y 2 x 5 D． y 2 x 5 （ ）
33
33
33
33
解答这道题的障碍来源于方程与函数之间的理解而非等式变形。由此也体现出函数思想“隐”于方程的铺
x
x
图象，来判断出交点的横坐标的大小应介于 1 和 1 之间。 2
函数图象往往可以使 某 些 抽 象 的 数 学 问 题 直 观 化 、 生 动 化 ，让抽象思维和形象思维结合，通过“以形助
数”，有 助 于 把 握 数 学 问 题 的 本 质 ， 从而起到优化解题途径的目的， 使 很 多 问 题 迎 刃 而 解 ， 且 解 法 简 捷 。
轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，B，且满足 6a-3b=2，
（1）求抛物线的解析式；
Y
（2）如果点 P 由点 A 出发沿
AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同时
点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度 向点 C 运动，当其中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动。设S=PQ2(cm2)
A． 1 x 0 B． 0 x 1
2
2
C． 1 x 1 2
D．1 x 3 2
解答：对于这个方程，如果用初中已有的知识来解决是有困难的。而用函数图象来解决也有一定难度。因为 y x3
的图象初中数学中没有出现。但是我们可以让这个方程变形为： x2 1 1 。然后分别作出 y x2 1和 y 1 的
交点个数。其实，函数的动态描述往往离不开瞬间的刻画，而函数的动态也为瞬间提供了发展的趋势，所以两
种不同的思想方法函数与方程（不等式）却又在许多处不期而遇，体现出它们的不可分割性。
二、函数与方程（不等式）之间的有效转化
1．用函数思想解答非方程问题 函数涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要
求，也存在一定的难度。同时它运用运动、变化、联系的观点去分析数学或现实生活中的数量关系。由此我们
常常借助函数来解决一些非函数问题。
（1） 用函数的增减性来求得方案中的最值问题 例：某商场指定型号的冰箱和彩电的进价和售价如下表：
类别
冰箱
彩电
进价（元/台） 2320
1900
售价（元/台） 2420
1980
色。数无形，少直观。有了函数图象的描述，可以让抽象的问题更直观化、具体化。也可使所要讨论的问题化
难为易，化繁为简。
①一巡逻艇和一货轮同时从 A 港口前往相距 100km 的 B 港口，巡逻艇和货轮的速度分别为 100km/h 和 20km/h，巡逻艇不停的往返于 A，B 两港口巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计），问货轮从 A 港口出发后直到 B 港口与巡逻艇一共相遇了几次？
o3
x
出现，则更好地表现出两者比较的发展趋势。
同样，在学习了一元二次方程和二次函数后，教学中更是频繁的提到两者之间的关联。如求二次函数图象
中的与 x 轴的交点，就是解令 y =0 的一个一元二次方程；拓展一下，一条直线与一条抛物线的交点也可以用求 方程的解来解答。与此同时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 解的个数决定着二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与横轴的
19 台。
②在求最大利润时，y 利润=20x+3200 ，x 代表冰箱的数量。可以采用一一代入的方法比较得到，但是当方 案数较多时，只要运用一次函数的增减性代入一次即可得到答案。在这种种情况下运用函数思想解决问题的优
势是较为明显的。
（2） 用函数图象解答方程或实际问题 函数的一大特点是运动状态的描述，而函数图象当仁不让的担当起这个角
忽略了它里面所包含的一一对应的初步的函数思想，这种教学就显得有点暴殄天物了，函数的思想已暴露无遗，
此时不加以渗透又更待何时？
接着，在学习二元一次方程时，映射思想再一次得到体现，而后又学习了等式变形。对于 3x+2y=6，如何
用 x 来 y 表示的题型，如果只是机械的运用等式的性质解答这类题目而没有从量之间的关系去加以理解的话，
此类问题小学里的数量关系也有涉及并可以解决，但是由于多次相遇显然难度大大增加，即使运用初中的
方程思想还是相当复杂。此时，函数图象的直观性就体现得淋漓尽致。在同一坐标系中构造出巡逻艇和货轮运
动的函数图象，如图：
y(km) 100
o 2 4 x(h)
由图象易得两者会相遇 4 次。
②运用函数图象求方程判断 x3 x 1 0 的解所以范围为（ ）
（1，-2），Q（2，-1.5）。然后根据给出的三个定点 P，Q，B 来确定 R 的坐标。一般采取两种方法：一是根据平
行四边形的性质，直接确定点 R 的坐标，然后来验证其是否为二元二次方程的解即可。如在本题中，其中一种
是 PQ∥BR 且 PQ=BR 时，得 R（3，1.5），再将其代入 y=ax2+bx+c，发现左右相等，即确定已存在一点，其余几
点方法也同此。另一种方法是当条件较复杂，无法直接得到这个点的完整坐标时，那么往往先由条件找出它的
横（纵坐标），然后将其代入二元二次方程 y=ax2+bx+c，看其是否有实数解。以上两种方法都体现了方程思想
的运用。其实，哪里有等式，哪里就有方程。函数与方程有着千丝万缕的关系，所以列方程、解方程是解决函
C
O PQ
x
1 试求出 S 与运动时间 t 之间的函数
关系式，并写出 t 的取值范围；
A
B
②当 S= 5 时，在抛物线上是否存在点 R，使得 P，B，Q，R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出 4
R 点的坐标；如果不存在，请说明理由。
解析：作为压轴出现的函数题常常有类似是否存在这种题型出现。解答上题的（2）中的②时，由 S= 5 得 P 4
2．用方程思想解答函数中的问题 函数它包括了各式各样的知识点，是中学数学的一条主线索；而这一知识的精髓在于函数思想，函数思想
的应用不但是中考必考内容，常出现在压轴题上。尽管如此，函数的刻画还是离不开方程。
例：如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A，C 分别在 y 轴的负半轴和 x
谈初中函数与方程（不等式）的关系
岱山县高亭中学 郑金姬
函数描述了自然界中数量之间的关系，它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。而方程思想即将问
题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。在初中数学里，我们常需要用函数模型，刻画运动变
化的规律；刻画变化过程中同类量之间的大小，需要用不等式模型；同时刻画运动变化过程中的某一瞬间，又需要用
①该商场决定用不超过 85000 元采购冰箱，彩电共 40 台，且冰箱的数量不 少于彩电数量的 5 。请你帮助该商场设计相应的进货方案；②哪种进货方案商场获得利润最大，最大利润是多
6 少？
解析：详解略。①有 3 种进货方案：冰箱 19 台，彩电 21 台；冰箱 20 台，彩电 20 台；冰箱 21 台，彩电
通过逐步渗透，螺旋式的上升知识层次来达到函数思想的大现。也正是这种融会贯通的特性，要求我们在平常
的学习中能进一步揭示两者的内在联系，以求在解决相关问题时达到最佳效果。
一、函数与与方程（不等式）的有机融合
在浙教版的七（上）中有《代数式》实一章的教学内容。在教授代数式的
ห้องสมุดไป่ตู้
值这一节内容过程时，一些老师可能没有引起足够的重视，甚至于认为代入求值这个过程实在太简单，以致于
垫和重要性。
在学习一次函数图象时，往往有根据图象比较两者的函数值，如图：问何时 y1 的值大于 y2 的值？
在解决这类题目时，一些同学不理解
这两个一次函数图象位于同一坐标系时的意义。 还有一些同学对这个结果的表达形式也不会作
y
y1 y2
答。这是因为没有理解好其实质就是取相同自
2
变量时代数式值的比较亦或可看作一个不等式 在图形上的表达。当然作为函数图象的形式
数有关问题时的不可或缺的一种方法。
函数方程思想在初中数学里始终贯穿于整个教学体系，因此，我们应注重函数思想的挖掘、渗透，在学好
方程的同时，用发展变化的观点去看待两者之间的关系，从而使掌握的知识层次更具深度和广度。
（责编：张军）