真题2017年江苏省南通市启东中学自主招生数学试卷(含解析)
江苏省南通市启东市2017年中考数学模拟试卷(含答案)
江苏省南通市启东市2017年中考数学模拟试卷(解析版)一.选择题1.中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入120元记作+120元，那么﹣100元表示（）A. 支出20元B. 收入20元C. 支出100元D. 收入100元2.下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（）A. 正方体B. 圆柱CC. 圆椎D. 球3.截至5月21日，全县完成工业开票销售337.53亿元，337.53亿元用科学记数法表示为（）元．A. 33.753×109B. 3.3753×1010C. 0.33753×1011D. 0.033753×10124.下面的四幅简笔画是从文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.如图所示，直线AB，CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC是（）A. 150°B. 130°C. 100°D. 90°6.一个不透明的口袋中有6个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n 等于（）A. 6B. 7C. 13D. 187.如图，在⊙O中，= ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°8.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A. a=bB. 2a﹣b=1C. 2a+b=﹣1D. 2a+b=19.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3 ），反比例函数y= 的图象与菱形对角线AO交D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（）A. 6B. ﹣6C. 12D. ﹣1210.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N 为边AC上的一动点，且∠MDN=90°，则cos∠DMN为（）A. B. C. D.二.填空题11.计算：=________．12.分解因式：x2﹣4x+4=________．13.正八边形的每个外角的度数为________．14.已知3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．15.关于x的不等式组的解集为1＜x＜4，则a的值为________．16.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为________．17.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP的长为________．18.已知点P的坐标为（m﹣1，m2﹣2m﹣3），则点P到直线y=﹣5的最小值为________．三.解答题19.计算题3tan30°﹣|﹣2|+ +（﹣1）2017；（1）计算：3tan30°﹣|﹣2|+ +（﹣1）2017；（2）解方程：= ﹣2．20.体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．（1）求女生进球数的平均数、中位数；（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生1200人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？21.在2017年“KFC”乒乓球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛．（1）列表或画树状图表示乙队所有比赛结果的可能性；（2）求乙队获胜的概率．22.如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC，现可直接测量到∠B=45°，∠C=30°，AC=8米．请你求出BC 的长．（结果可保留根号）23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．24.甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，已知甲出发0.5h后乙开始出发，如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系，请结合图中的信息解决如下问题：（1）计算甲、乙两车的速度及a的值；（2）乙车到达B地后以原速立即返回．①在图中画出乙车在返回过程中离A地的距离S（km）与时间t（h）的函数图象；②请问甲车在离B地多远处与返程中的乙车相遇？25.将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．26.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并直接写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．27.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．（1）当⊙O的半径为2时，①点M（，0）________⊙O的“完美点”，点N（0，1）________⊙O的“完美点”，点T（﹣，﹣）________⊙O的“完美点”（填“是”或者“不是”）；②若⊙O的“完美点”P在直线y= x上，求PO的长及点P的坐标；________（2）⊙C的圆心在直线y= x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．28.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．（1）求二次函数解析式及顶点坐标；（2）点P为线段BD上一点，若S△BCP= ，求点P的坐标；（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．答案解析部分一.<b >选择题</b>1.【答案】C【考点】正数和负数【解析】【解答】解：如果收入120元记作+120元，那么﹣100元表示支出100元，故答案为：C．【分析】正数和负数就是用来表示具有相反意义的量，收入为正，那么负就表示支出故﹣100元表示支出100元。
江苏省启东中学2017高考数学押题卷5 含答案 精品
卷5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 复数2+i i在复平面上对应的点在第 象限．2． 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ． 3． 已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命 题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．4． 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =1，BC =2，AC =5，AA 1=3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为 ．（第4题）．5． 集合2{3,log },{,},A a B a b ==若{2},A B = 则A B = ． 6． 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ．7． 向量(cos10,sin10),(cos70,sin 70)== a b ，-a 8． 方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根．9． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若≤5a ≤4，2≤6a ≤3，则6S 的取值范围是 ．10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 ．11．若函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 ．12．如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．13．已知实数,x y 满足x y -=-，则x y +的最大值为 ．14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅,设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+,则n S = ．答案1. 四2. 63.5a < 8. 2 9.[]12,42-12m ≥ 12.(⋃ 13. 4 14.423n +二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-.（1）求sin C ；（2）当2c a =，且b =a . 解：（1）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =. ……………… 2分因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin C =. ………………………………4分（2）因为2c a =，所以1sin sin 2A C ==. ………………………………6分因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos C =，cos A =. ………………8分 所以s i n s i nB AC =+s i n c o s A C A =+214==分由正弦定理可得：sin aA=，所以a =. …………………………………………14分说明:用余弦定理也同样给分. 16．（本题满分14分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；（2）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为DE BD D ⋂=………………4分 从而AC ⊥平面BDE . ……………………6分（2）当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，AM ∥平面BEF ． …………7分 取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连结MN ，NF ，则DE ∥MN ，且DE ＝3MN ， 因为AF ∥DE ，且DE ＝3AF ，所以AF ∥MN ，且AF ＝MN ，故四边形AMNF 是平行四边形． ……………………………………10分 所以AM ∥FN ，因为AM ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ， …………………………………………12分 所以AM ∥平面BEF ． …………………………………………14分 17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l ：2x =．⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,求证:线段ON 的长为定值．解：⑴∵椭圆C 的短轴长为2，椭圆C 的一条准线为l ：2x =，∴不妨设椭圆C 的方程为2221x y a +=．（2分）∴2212a c c c+==，（ 4分）即1c =．（5分）∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（6分） ⑵ F （1，0），右准线为l ：2x =， 设00(,)N x y ， 则直线FN 的斜率为001FN y k x =-，直线ON 的斜率为00ON y k x =，（8分）∵FN ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-，（9分） ∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-，点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --．（11分） ∴直线MN 的斜率为00002(1)2MN x y y k x -+=-．（12分）∵MN ⊥ON ，∴1MN ON k k ⋅=-， ∴0000002(1)12x y y yx x -+⋅=--，∴200002(1)(2)0y x x x +-+-=，即22002x y +=．（13分）∴ON =（14分）说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P ，准线l 与x 轴交于Q ，则有2ON OP OM =g ，又2OP OM OF OQ ==g g，所以ON =为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90 ，AB ＝1，BC．点M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落在边BC上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；(2) 求线段A N '长度的最小值．解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．（2分）在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx--θ= ， （4分） ∴2111cos 22sin MA x ===-θθ． （5分）∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，∴4590<θ< ．（7分） （2）在△AMN 中，∠ANM ＝120θ︒-,（8分）sin sin(120)AN MA =θ-θ ,（9分） 21sin 2sin sin(120)AN θ⋅θ=-θ ＝12sin sin(120)θ-θ ．（10分）令12sin sin(120)2sin (sin )2t =θ-θ=θθ+θ ＝2sin cos θ+θθ＝1112cos 2sin(230)222θ-θ=+θ- ．（13分） ∵4590<θ< ， ∴60230150<θ-< ． （14分） 当且仅当23090θ-= ，60θ= 时，有最大值32，（15分） ∴60θ= 时，A N '有最小值23．（16分） 19．（本题满分16分）已知k R ∈,函数()(01,01)x x f x m k n m n =+⋅<≠<≠.(1) 如果实数,m n 满足1,1m mn >=,函数()f x 是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k 值；如果没有，说明为什么?(2) 如果10,m n >>>判断函数()f x 的单调性； (3) 如果2m =，12n =，且0k ≠，求函数()y f x =的对称轴或对称中心. 解：（1）如果()f x 为偶函数，则()(),f x f x -=x x x x m k n m k n --+⋅=+⋅恒成立，（1分）即：,x x x x n k m m k n +⋅=+⋅()()0,x x x x n m k m n -+-= ()(1)0x x n m k --=（2分） 由0x x n m -=不恒成立，得 1.k =（3分）如果()f x 为奇函数，则()(),f x f x -=-x x x x m k n m k n --+⋅=--⋅恒成立，（4分） 即：,x x x x n k m m k n +⋅=--⋅()()0,x x x x n m k m n +++=（5分）()(1)0,x x n m k ++=由0x x n m +≠恒成立，得 1.k =-（6分）（2）10,m n >>> 1mn>， ∴ 当0k ≤时,显然()x x f x m k n =+⋅在R 上为增函数；（8分）当0k >时，()ln ln [()ln ln )]0x x x x mf x m m kn n m k n n n'=+=+=，由0,x n >得()ln ln 0,x m m k n n +=得ln ()log ,ln x m m nk k n n m =-=-得log (log )m m nx k n =-.（9分）∴当(,log (log )]m m nx k n ∈-∞-时, ()0f x '<,()f x 为减函数; （10分）当[log (log ),)m m nx k n ∈-+∞时, ()0f x '>,()f x 为增函数. （11分）(3) 当12,2m n ==时，()22,x x f x k -=+⋅ 如果0,k <22log ()log ()()222()222222k k x x x x x x x x f x k k ------=+⋅=--⋅=-⋅=-，（13分） 则2(log ())(),f k x f x --=-∴函数()y f x =有对称中心21(log (),0).2k -（14分）如果0,k >22log log ()2222222,k k x x x x x x f x k ---=+⋅=+⋅=+（15分） 则2(log )(),f k x f x -= ∴函数()y f x =有对称轴21log 2x k =.（16分）20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝c ，2S n ＝a n a n ＋1＋r ． （1）若r ＝－6，数列{a n }能否成为等差数列？若能，求c 满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设32111234212n n n n a a a P a a a a a a --=+++--- ，2242345221n n n n a a a Q a a a a a a +=+++--- ， 若r ＞c ＞4，求证：对于一切n ∈N *，不等式2n n n P Q n n -<-<+恒成立． 解：（1）n ＝1时，2a 1＝a 1a 2＋r ，∵a 1＝c ≠0，∴2c ＝ca 2＋r ，22ra c=-． （1分） n ≥2时，2S n ＝a n a n ＋1＋r ，① 2S n －1＝a n －1a n ＋r ，②①－②，得2a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)．∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝2． （ 3分）则a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，… 成公差为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)．a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，… 成公差为2的等差数列， a 2n ＝a 2＋2(n －1)．要使{a n }为等差数列，当且仅当a 2－a 1＝1．即21r c c--=．r ＝c －c 2． （ 4分）∵r ＝－6，∴c 2－c －6＝0，c ＝－2或3． ∵当c ＝－2，30a =，不合题意，舍去.∴当且仅当3c =时，数列{}n a 为等差数列 （5分） （2）212n n a a --＝[a 1＋2(n －1)]－[a 2＋2(n －1)]＝a 1－a 2＝rc c +－2．221n n a a +-＝[a 2＋2(n －1)]－（a 1＋2n ）＝a 2－a 1－2＝－(rc c+)． （8分） ∴n P 11(1)1[2](1)222n n na n n c r r c c c c -=+⨯=+-+-+- （9分） 21(1)1[2](1)2n n n rQ na n n r r c c c c c-=-+⨯=-+-++． （10分）11(1)(1)2n n rP Q n n c n n r r c c c c c-=+-++-+-+＝2111122r c c n n r r r r c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（11分）∵r ＞c ＞4，∴r c c +≥＞4，∴2rc c +-＞2．∴0＜111132442r r c c c c +<+=+-+＜1． （13分）且1111122rc c c c r r r r c c c c c c c c---++=+-+-++-+＞－1． （14分） 又∵r ＞c ＞4，∴1r c >，则0＜12r c c c -<+-．01r c c c<+<+．∴12c r c c -+-＜1．11c r c c +<+．∴1112c c r r c c c c-++-+-+＜1．（15分）∴对于一切n ∈N *，不等式2n n n P Q n n -<-<+恒成立．（16分）附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．证明：因AE =AC ，AB 为直径，故∠OAC =∠OAE ． ……………………………………………………………3分所以∠POC =∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ． 又∠EAC =∠PDE ，所以，∠PDE =∠POC ．…………………………………………………………10分B ．选修4—2 矩阵与变换 已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-， （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量. 解：（1）由221a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=40-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2分） ∴2243a a -=-⇒=. （3分） （2）由（1）知M 2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵M 的特征多项式为223()(2)(1)63421f λλλλλλλ--==---=---- （5分）令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与4. （6分） 当1-=λ时， (2)3002(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; （8分）当4λ=时， (2)302302(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒-=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （10分） C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的 圆心为00(,)P x y ，求002x y -的取值范围.【解】由题设得004cos ,3sin x y ì=ïïíï=ïîq q （q 为参数，Îq R ）.…………………………5分于是0028cos 3sin )x y θθθϕ-=-=+，所以002x y -. ………………………10分 D ．选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z ≥++++． 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥． …………………3分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥．………10分 22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线过点(4,0)M . （1）若点F（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）解：（1）由已知，4x =不合题意.设直线的方程为(4)y k x =-，由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， …………………1分因为点F=， (2)分解得k =. …………………4分（2）设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ，因为AB 不垂直于x 轴，则直线MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -， 直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-，…………………5分联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=， …………………7分所以012044y y y x +=-， …………………8分因为N 为AB 中点，所以1202y y y +=，即00024y y x =-， …………………9分所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. …………………10分 23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知n n x x f )1()(+=，（1）若20112011012011()f x a a x a x =+++ ，求2011200931a a a a ++++ 的值；（3分） （2）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6x 项的系数；（3分）（3）证明：1121(1)1232m m m m m m m m m n m n m n n m C C C C C ++++-+++⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦．（4分）解：（1）因为n n x x f )1()(+=,所以20112011()(1)f x x =+,又20112011012011()f x a a x a x =+++ ,所以20112011012011(1)2f a a a =+++= （1）20110120102011(1)0f a a a a -=-++-= （2）（1）-（2）得：201113200920112()2a a a a ++++=所以：201013200920112011(1)2a a a a f ++++== …………………3分（2）因为)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，所以678()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++ )(x g 中含6x 项的系数为667812399C C +⨯+= …………………6分（Ⅲ）设11()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x ++-=++++++ (1) 则函数()h x 中含m x 项的系数为112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++ …………………7分12(1)()(1)2(1)(1)m m m n x h x x x n x ++++=++++++ (2)(1)-(2)得121()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++++-+(1)[1(1)]()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x ++-+-=-+-+ 2()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x ++=+-+++()h x 中含m x 项的系数，即是等式左边含2m x +项的系数，等式右边含2m x +项的系数为21()!()!(2)!(2)!(1)!(1)!m m m n m n m n n m n C nC m n m n ++++++-+=-++-+-1(1)(2)()!(1)12(1)!(1)12m m n n n m m n m n C m m n m ++--+++++=⨯=++-+ 所以112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++ 1(1)12m m n m n C m ++++=+ …………………10分。
江苏省南通市启东中学2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．经过点（4，﹣3）且在y轴上截距为2的直线的方程为．2．满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．3．在△ABC中，BC=1，B=，△ABC面积S=，则边AC长为．4．若直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，则实数m的值为．5．在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k=．6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=．7．设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于．8．点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是．9．已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．10．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n=2S n+1，n∈N*，则S5=．+111．如果函数f（x）=，g（x）=log2x，关于x的不等式f （x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知数列{a n}，对任意的k∈N*，当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．13．已知△ABC的三边长a，b，c依次成等差数列，a2+b2+c2=21，则b的取值范围是．14．已知xy=，x ，y ∈（0，1），则+的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知b=3，c=2． （1）若2a•cosC=3，求a 的值； （2）若，求cosC 的值．16．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．17．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C （x ），当年产量不足80千件时，C （x ）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C （x ）=51x +（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 5=17． （1）若{a n }还同时满足：①{a n }为等比数列；②a 2a 4=16；③对任意的正整数n ，a 2n ＜a 2n +2，试求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }为等差数列，且S 8=56．①求该等差数列的公差d ；②设数列{b n }满足b n =3n •a n ，则当n 为何值时，b n 最大？请说明理由．19．已知二次函数f （x ）=mx 2﹣2x ﹣3，关于实数x 的不等式f （x ）≤0的解集为（﹣1，n ）（1）当a ＞0时，解关于x 的不等式：ax 2+n +1＞（m +1）x +2ax ；（2）是否存在实数a ∈（0，1），使得关于x 的函数y=f （a x ）﹣3a x +1（x ∈[1，2]）的最小值为﹣5？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立，求证：数列{b}是等差数列．n2016-2017学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．经过点（4，﹣3）且在y轴上截距为2的直线的方程为5x+4y﹣8=0．【考点】IE：直线的截距式方程．【分析】由已知可得直线经过两个定点，写出直线的两点式方程，化为一般式得答案．【解答】解：由题意可得直线经过（4，﹣3）与（0，2），则直线方程为，整理得：5x+4y﹣8=0．故答案为：5x+4y﹣8=0．2．满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，即可求出平面区域的面积．利用f的几何意义求f的最小值．【解答】解：由f=x+y，则y=﹣x+f，平移直线y=﹣x+f，由图象可知当直线y=﹣x+f经过点A时，直线的截距最小，此时f最小．由，解得，即A（），代入f=x+y得f=．故答案为：；3．在△ABC中，BC=1，B=，△ABC面积S=，则边AC长为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】利用三角形面积公式，可得c，由余弦定理可得AC．【解答】解：由三角形面积公式，可得S==，∴c=4，由余弦定理可得AC==，故答案为．4．若直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，则实数m的值为3或﹣1．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用直线平行的性质求解．【解答】解：∵直线l1：mx+y+2m﹣5=0与l2：3x+（m﹣2）y+1=0平行，∴，解得m=3或﹣1．故答案为3或﹣1．5．在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k= 364．【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【分析】已知首项和公比，可以求出等比数列的前n项和公式，再代入a k=243，根据等比数列前n项和公式进行求解；【解答】解：等比数列前n项和为s n=，∵等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，∴数列{a n}的前k项的和S k===364，故答案为：364；6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=4．【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．【解答】解：∵3sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：3a=2b，∵a=2，∴可解得b=3，又∵cosC=﹣，∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，∴解得：c=4．故答案为：4．7．设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于1或3．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，代入化简即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴=S1•S4，∴=，d≠0．化为：d2=2a1d，解得d=0，或d=2a1．则=1或3．故答案为：1或3．8．点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点的坐标是（﹣6，﹣8）．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称的点的坐标（a，b），利用点P与对称的点的连线与对称轴垂直，以及点P与对称的点的连线的中点在对称轴上，解出对称点的坐标．【解答】解：设点P（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点P′的坐标（a，b），∴•（﹣）=﹣1①且5•+4•+21=0②，解得a=﹣6，b=﹣8，∴点P′的坐标为（﹣6，﹣8）．故答案为：（﹣6，﹣8）．9．已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由题意，f（﹣2）•f（﹣1）＜0，从而求出a=﹣1，从而化简不等式求解即可．【解答】解：由题设易知：，又∵a∈z，∴a=﹣1，∴f（x）=﹣x2﹣x+1⇒﹣x2﹣x+1＞1，∴不等式解集为（﹣1，0）．10．设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，则S5=202．【考点】8E：数列的求和．【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a n+1=S n+1﹣S n，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=7，即a1+a2=7，即有3a1+1=7，解得a1=2；由a n+1=S n+1﹣S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=7，可得S3=3×7+1=22，S4=3×22+1=67，S5=3×67+1=202．故答案为：202．11．如果函数f（x）=，g（x）=log2x，关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】先考虑关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，由对数函数的单调性，得到f（x）=2ax﹣1≤0在（0，1]恒成立，运用参数分离法，求出a的范围；再求关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+∞）恒成立的a的范围．运用同样的参数分离法，求最值，即可求出a的范围．注意最后求交集．【解答】解：当x∈（0，1]时，g（x）=log2x≤0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，∴f（x）=2ax﹣1≤0在（0，1]恒成立，即有2a≤恒成立，则2a≤1，即a≤；当x＞1时，g（x）=log2x＞0，∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+∞）恒成立，∴f（x）=3ax﹣1≥0在（1，+∞）恒成立，即有3a≥恒成立，则3a≥1，即a≥．∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，∴a的取值范围是：[，]．故答案为：．12．已知数列{a n}，对任意的k∈N*，当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，那么该数列中的第10个2是该数列的第39366或（2•39）项．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】根据条件求出a n的取值规律，得到a n=2时，n满足的条件即可得到结论．【解答】解：∵当n=3k时，a n=；当n≠3k时，a n=n，∴a1=1，a2=2，a6=a2=2，a18=a6=a2=2，∴a n=2是项数n为2，6，18…，构造公比是3的等比数列，∴n=2•3m﹣1，∴该数列中的第10个2是该数列的2•310﹣1=2•39，故答案为：39366或（2•39）13．已知△ABC的三边长a，b，c依次成等差数列，a2+b2+c2=21，则b的取值范围是（，] ．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】设a=b﹣d，c=b+d，代入已知等式化简可得3b2+2d2=21，由此求得b的最大值为．再由a+b＞c 可得b＞2d，结合已知的等式得3b2+2＞21，解得b＞，再把这两个b的范围取交集求得数b的取值范围．【解答】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=21化简可得3b2+2d2=21．故当d=0时，b有最大值为．由于三角形任意两边之和大于第三边，故较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，可得b＞2d．∴3b2+2＞21，解得b＞，故实数b的取值范围是（，]．故答案为（，]．14．已知xy=，x，y∈（0，1），则+的最小值为10．【考点】7F：基本不等式．【分析】消去参数法，消去y后，构造基本不等式即可求解．【解答】解：∵xy=，x，y∈（0，1），∴y=，由+===+1=+1=+1++1≥6+2=10当且仅当x=，y=时取等号．故答案为10．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=3，c=2．（1）若2a•cosC=3，求a的值；（2）若，求cosC的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由余弦定理，，将b=3，c=2代入，解得a的值；（2）若，由正弦定理，，化简得sinC=sin（B﹣C），由正弦定理可得，，即可求cosC的值．【解答】解：（1）由余弦定理，，将b=3，c=2代入，解得：a=2．…（2）由正弦定理，，化简得sinC=sin（B﹣C），∴C=B﹣C或C+B﹣C=π（舍去），则B=2C，由正弦定理可得，，将b=3，c=2代入解得．…16．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为；（2）直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式；（2）分类讨论：斜率不存在和斜率存在两种情况．当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+（1+2k）=0．然后结合点到直线的距离公式求得k的值即可．【解答】解：（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α=（0＜α＜π），从而cos α=±，则k=tan α=±．故所求直线方程为y=±（x+4）．即x+3y+4=0或x﹣3y+4=0；（2）当斜率不存在时，所求直线方程为x+2=0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+（1+2k）=0．由点线距离公式，得=2，解得k=．故所求直线方程为3x﹣4y+10=0．综上知，所求直线方程为x+2=0或3x﹣4y+10=0．17．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【考点】5A：函数最值的应用．【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a5=17．（1）若{a n}还同时满足：①{a n}为等比数列；②a2a4=16；③对任意的正整数n，a2n＜a2n+2，试求数列{a n}的通项公式．（2）若{a n}为等差数列，且S8=56．①求该等差数列的公差d；②设数列{b n}满足b n=3n•a n，则当n为何值时，b n最大？请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）根据等比数列的性质可得a1a5=16，又a1+a5=17，即可求出a1，a5的值，继而求出公比，写出通项公式即可（2）①{a n}为等差数列，且a1+a5=17，S8=56，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d；②确定数列{b n}的通项，判断其单调性，即可求得b n最大值【解答】解：（1）因为{a n}是等比数列，则a2a4=a1a5=16，又a1+a5=17，所以或从而a n=2n﹣1或a n=（﹣2）n﹣1或a n=16×（）n﹣1或a n=16×（﹣）n﹣1．由③得，a n=2n﹣1或a n=16×（）n﹣1（2）①由题意，得，解得d=﹣1②由①知a1=，所以an=﹣n，则b n=3n•a n=3n•（﹣n），﹣b n=2×3n×（10﹣n）因为b n+1所以b11=b10，且当n≤10时，数列{b n}单调递增，当n≥11时，数列{b n}单调递减，故当n=10或n=11时，b n最大．19．已知二次函数f（x）=mx2﹣2x﹣3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（﹣1，n）（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a x）﹣3a x+1（x∈[1，2]）的最小值为﹣5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（1）根据韦达定理得方程组求出m，n的值，再通过讨论a的范围，从而求出不等式的解集；（2）把m=1代入方程，得出y=（a x）2﹣（3a+2）a x﹣3，令a x=t，（a2≤t≤a），则y=t2﹣（3a+2）t﹣3，得出函数的单调性，从而表示出y=f（t）的最小值，进而求出a的值．【解答】解：（1）由不等式mx2﹣2x﹣3≤0的解集为（﹣1，n）知关于x的方程mx2﹣2x﹣3=0的两根为﹣1和n，且m＞0由根与系数关系，得∴，所以原不等式化为（x﹣2）（ax﹣2）＞0，①当0＜a＜1时，原不等式化为，且，解得或x＜2；②当a=1时，原不等式化为（x﹣2）2＞0，解得x∈R且x≠2；③④当a＞1时，原不等式化为，且，解得或x＞2；综上所述当0＜a≤1时，原不等式的解集为或x＜2}；当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＞2或．（2）假设存在满足条件的实数a，由（1）得：m=1，∴f（x）=x2﹣2x﹣3，∴y=f（a x）﹣3a x+1=a2x﹣2a x﹣3﹣3a x+1=（a x）2﹣（3a+2）a x﹣3，令a x=t，（a2≤t≤a），则y=t2﹣（3a+2）t﹣3∴对称轴为：t=，又0＜a＜1，∴a2＜a＜1，1＜＜，∴函数y=t2﹣（3a+2）t﹣3在[a2，a]递减，∴t=a时，y最小为：y=﹣2a2﹣2a﹣3=﹣5，解得：a=，20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立，求证：数列{b}是等差数列．n【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可得出；（2）d n=c n+log C a n=2n+3+=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C即可．（3）由于对于任意的正整数n ，均有b 1a n +b 2a n ﹣1+b 3a n ﹣2+…+b n a 1=（）n ﹣成立（*），b 1a n +1+b 2a n +…+b n a 2+b n +1a 1=．（*）两边同乘以可得：b 1a n +1+b 2a n +…+b n a 2=﹣．两式相减可得可得，即，（n ≥3）．n=1，2也成立，即可证明．【解答】（1）解：∵且S n +a n =4，n ∈N *．∴当n ≥2时，S n ﹣1+a n ﹣1=4，∴a n +a n ﹣a n ﹣1=0，即．当n=1时，2a 1=4，解得a 1=2．∴数列{a n }是等比数列，a n ==22﹣n ．（2）解：d n =c n +log C a n =2n +3+=2n +3+（2﹣n ）log C 2=（2﹣log C 2）n +3+2log C 2， 假设存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，则2﹣log C 2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n }是常数列，d n =3+=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n ，均有b 1a n +b 2a n ﹣1+b 3a n ﹣2+…+b n a 1=（）n ﹣成立（*），∴b 1a n +1+b 2a n +…+b n a 2+b n +1a 1=．①（*）两边同乘以可得：b 1a n +1+b 2a n +…+b n a 2=﹣．②．①﹣②可得b n +1a 1==，∴，∴，（n ≥3）．又2b 1=，解得b 1=． b 1a 2+b 2a 1=，∴+b 2×2=﹣，解得b 2=．当n=1，2时，，也适合．∴，（n∈N*）是等差数列．2017年5月26日。
2017年南通市启东中学自主招生数学试卷(含答案)
多少千米？ 23．（10 分）如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标 分别为（6，0），（6，8）．动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，以每秒 1 个单位 的速度运动．其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动．过点 N 作 NP⊥BC，交 AC 于 P，连接 MP．已知动点运动了 x 秒． （1）P 点的坐标为多少；（用含 x 的代数式表示） （2）试求△MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值； （3）请你探索：当 x 为何值时，△MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？ 写出你的研究成果．
第 2 页（共 19 页）
11．（4 分）计算：
= ．
12．（4 分）如图，某计算装置有一数据输入口 A 和一运算结果的输出口 B，下 表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个 计算装置的计算规律，若输入的数是 10，则输出的数是 ． A12 3 4 5 B 2 5 10 17 26
19．（6 分）当 a= ，b=2 时，计算：
÷（ ﹣ ）的值．
20．（6 分）已知正方形和圆的面积均为 S，求正方形的周长 l1 和圆的周长 l2（用 含 S 的代数式表示，并指出它们的大小）． 21．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=36°，D 为 BC 上一点，AB=AC=BD=1， （1）求 DC 的长． （2）利用此图求 sin18°的精确值．
24．（10 分）已知：关于 x 的方程①x2﹣（m+2）x+m﹣2=0 有两个符号不同的实 数根 x1，x2，且 x1＞|x2|＞0；关于 x 的方程②mx2+（n﹣2）x+m2﹣3=0 有两个有 理数根且两根之积等于 2．求整数 n 的值．
启东中学七年级上册数学答案
2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生数学试卷-学生用卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第1题4分已知y=√x−3中，自变量x的取值范围是（）．A. x⩾3B. x⩾−3C. x>3D. x>−32、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第2题4分在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（）．A. sinB=√55B. cosB=25C. tanB=2D. cotB=123、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第3题4分如图，已知DE//BC，CD与BE相交于点O，并且S△DOE:S△COB=4:9，则AE:AC为（）．A. 4:9B. 2:3C. 3:2D. 9:44、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第4题4分2018~2019学年6月四川成都高新区电子科技大学实验中学初一下学期月考第8题3分2018~2019学年5月陕西西安西咸新区清华大学附属中学秦汉学校初一下学期月考第7题3分2020~2021学年甘肃兰州城关区兰州树人中学初一下学期期末第8题3分2014年四川成都高新区初三中考二模第9题3分如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为（）．A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°5、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第5题4分2015年河北沧州东光县河北省东光县第二中学初三中考二模第2题3分2017~2018学年江苏无锡宜兴市初三上学期期末第6题3分2016年安徽安庆初三中考一模第5题4分由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）．A. 主视图的面积最大B. 左视图的面积最大C. 俯视图的面积最大D. 三个视图的面积一样大6、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第6题4分2020~2021学年江苏苏州姑苏区平江中学初三上学期期中第8题3分2019年山东青岛市北区青岛第五十中学中考二模第7题3分2019年山东青岛市北区青岛第五十中学初三中考二模第7题3分的正数根的个数为（）．方程x2+2x+1=2xA. 0B. 1C. 2D. 37、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第7题4分2013~2014学年辽宁沈阳铁西区初三上学期期中第8题3分2015年广西南宁青秀区南宁市十四中初三中考一模第11题3分(x>如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=4x0)的图象上，则点E的坐标是（）．A. (√5+1,√5−1)B. (3+√5,3−√5)C. (√5−1,√5+1)D. (3−√5,3+√5)8、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第8题4分观察图中正方形四个顶点所标的规律，可知2012应标在（）．A. 第502个正方形的左下角B. 第502个正方形的右下角C. 第503个正方形的左上角D. 第503个正方形的左下角9、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第9题4分用12根等长的火柴棒拼成一个三角形（火柴棒不允许剩余、重叠和折断），则这个三角形不可能是（）．A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第10题4分100个人共有2000元人民币，其中任意10个人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多能有（）元．A. 216B. 218C. 238D. 236二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）11、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第11题4分计算：√12−3√13+(12)2=．12、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第12题4分如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是．13、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第13题4分如图，AB为⊙O的直径，其长度为2cm，点C为半圆弧的中点，若⊙O的另一条弦AD的长为√3cm，∠CAD的度数为．14、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第14题4分已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(−1,−3.2)及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=．15、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第15题4分2017~2018学年3月天津河西区天津市第四十二中学初二下学期月考第12题3分2016~2017学年10月湖南衡阳耒阳市耒阳市冠湘中学初三上学期月考第18题3分初一下学期单元测试《平面直角坐标系》坐标方法的简单应用第38题如图所示，一束光线从y轴上点A(0,1)射出，经过x轴上点C反射后过点B(3,3)，则光线从点A到B所经过的路线长是．16、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第16题4分A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是．17、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第17题4分2005年第22届全国初中数学联赛竞赛初赛第9题7分P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的平分线交AC于点Q，则∠PQC=．18、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第18题4分设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有对．三、解答题（共6小题，共48分）19、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第19题6分当a=√3，b=2时，计算：a 2−aba2÷(ab−ba)的值．20、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第20题6分已知正方形和圆的面积均为S，求正方形的周长l1和圆的周长l2（用含S的代数式表示，并指出它们的大小）．21、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第21题8分如图，在△ABC中，∠B=36°，D为BC上一点，AB=AC=BD=1，(1) 求DC的长．(2) 利用此图求sin18°的精确值．22、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第22题8分2016~2017学年3月浙江杭州萧山区萧山区朝晖初级中学初一下学期月考第23题12分已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．(1) 若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时，求甲、乙两车的速度．(2) 假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？23、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第23题10分2017~2018学年陕西西安新城区西安华山中学初三上学期期末第25题12分如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(6,0)，(6,8)，动点M、N 分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．(1) P点的坐标为多少．（用含x的代数式表示）(2) 试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值．(3) 请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．24、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第24题10分浙江宁波镇海区镇海中学自主招生已知：关于x的方程①x2−(m+2)x+m−2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1>|x2|>0；关于x的方程②mx2+(n−2)x+m2−3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 D;10 、【答案】 B;;11 、【答案】√3+1412 、【答案】 101;13 、【答案】 15°或75°;14 、【答案】 −3.3;15 、【答案】 5;16 、【答案】 37;17 、【答案】 45°;18 、【答案】 27;19 、【答案】 2(2−√3)．;20 、【答案】 l 1=4√S ；l 2=2√Sπ；l 1>l 2．;21 、【答案】 (1) −1+√52． ;(2) −1+√54． ;22 、【答案】 (1) 甲的速度为120千米/小时；乙的速度为60千米/小时． ;(2) 3000千米．;23 、【答案】 (1) (6−x,43x)．;(2) S 的最大值为6，此时x =3．;(3) 当x =2，或x =10843，或x =94时△MPA 是一个等腰三角形，共三种情况． ;24 、【答案】 n =5或−1．;。
全国各地重点高中自主招生数学试题精选精练(二)试题及参考答案详解
中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB 于点 F．若
△AB′F 为直角三角形，则 AE 的长为
．
第 2页（共 18页）
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17．（10 分）先化简，再求值
，其中
．
18．（12 分）（2013•黄冈中学自主招生试题）已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+（3a﹣1）x+2a2 ﹣1＝0 的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80．求实数 a 的所有可能值．
第 3页（共 18页）
19．（12 分）（2018•枣庄二中自主招生试题）如图，半圆 O 中，将一块含 60°的直角三角板的 60°角顶点 与圆心 O 重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于 C，D 两点（点 C 在∠AOD 内部），AD 与 BC 交于 点 E，AD 与 OC 交于点 F． （1）求∠CED 的度数； （2）若 C 是弧 的中点，求 AF：ED 的值； （3）若 AF＝2，DE＝4，求 EF 的长．
全国各地重点高中提前自主招生精选精练（二）
时间：100 分钟 满分 120 分
2019 年 3 月
一、选择题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分） 1．（2017•奉化中学自主招生试题）实数 a，b，c 满足 2a＝5，2b＝10，2c＝80，则代数式 2006a﹣3344b+1338c
的值为（ ）
﹣x）2 的最大值是（ ）
A．12
B．20
C．28
D．36
4．（2016•雅礼中学自主招生试题）如图，已知直线 l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是 1， 如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 sinα＝（ ）
江苏省启东中学2017高考数学押题卷7 含答案 精品
………………………………………8分
即sin(B+30°)=1.…………………………………………………………10分
∴0＜B＜120°，30°＜B+30°＜150°.
∴B+30°=90°, B=60°.………………………………………………11分
∴A=B=C=60°，△ABC为正三角形.………………………………………12分
5、.已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面a、b，有下列命题
①若l∥a，m∥b，且a∥b，则l∥m
②若l⊥a，m⊥b，且l∥m，则a∥b
③若m a，n a，m∥b，n∥b，则a∥b
④若a⊥b，a∩b=m，n b，n⊥m，则n⊥a
其中真命题的个数是2
6、 M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x-4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为8，12
∵l与C有两个交点，∴k≠0,
②
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) (kx2+m)
=（1+k2）x1x2+km (x1+x2)+m2=0.③……………………………………………8分
将②代入③得
化简，得m2+4km=0.……………………………………………………………………9分
∴m≠0①∴m+4k=0④
12.设函数 ， ，数列 满足 ，则数列 的通项 = ．
13.函数f(x)是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又f(－1)=－1,则满足f(x)≤t2+2at+1对所有的x∈[－1,1]及a∈[－1,1]都成立的t的范围是 .
江苏省启东中学2017高考数学押题卷6 含答案 精品
卷6一．填空题1.设复数122,2()z i z x i x R =+=-∈，若12z z ∙为实数，则x 为 .2.一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的体积为________. 3．若ββαββαcos )cos(sin )sin(---＝m ，且α是第三象限角，则sin α＝ .4.若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y 等于 .5. 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则点P 到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是________. 6、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到一条 渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方 程是 .7.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A, 不等式x 2+x-6<0的解集 是B, 不等式x 2+ax+b<0的解集是A ⋂B, 那么a+b= . 8．如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ＝1,则()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是 .9.如图,线段AB=8,点C 在线段AB 上,且AC=2,P 为线段BC 上的一动 点,点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D,设 CP=x ,△PCD 的面积为f(x ),则的最大值为 .CADE B10.直线x +ay +1=0与直线(a +1)x -by +3=0互相垂直，a ,b ∈R ，且ab ≠0,则|ab |的最小值 是 .11.函数()23123x x f x x =+++的零点的个数是 .12．已知)2()2(,)(x f x f x f -=+且为偶函数，x x f x 2)(,02=≤≤-时当，*,2)(N n x f x ∈=若，==2008),(a n f a n 则 .13.设点()a b ,在平面区域{()||1||1}D a b a b =,≤,≤中按均匀分布出现，则椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e的概率为 ． 14.若数列{n a }满足d a a n n =-+221（其中d 是常数，∈n N ﹡），则称数列{n a }是“等方差数列”. 已知数列{n b }是公差为m 的差数列，则m =0是“数列{n b }是等方差数列”的 条件.（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个） 二．解答题15．高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少？ （2）根据题中信息估计总体平均数是多少？ （3）估计总体落在［129，150］中的概率.16. 已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年江苏省南通市启东中学自主招生数学试卷一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4.00分）已知中，自变量x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣32．（4.00分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（）A．sinB=B．cosB= C．tanB=2 D．cotB=3．（4.00分）如图，已知DE∥BC，CD与BE相交于点O，并且S△DOE：S△COB=4：9，则AE：AC为（）A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．9：44．（4.00分）如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．（4.00分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）A．主视图的面积最大B．左视图的面积最大C．俯视图的面积最大D．三个视图的面积一样大6．（4.00分）方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（4.00分）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（）A．（+1，﹣1）B．（3+，3﹣）C．（﹣1，+1）D．（3﹣，3+）8．（4.00分）观察图中正方形四个顶点所标的规律，可知2012应标在（）A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的左下角9．（4.00分）用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），不可以拼成的是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都有可能10．（4.00分）100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多有（）元．A．216 B．218 C．238 D．236二．填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．（4.00分）计算：=．12．（4.00分）如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是．13．（4.00分）如图，AB为⊙O的直径，其长度为2cm，点C为半圆弧的中点，若⊙O的另一条弦AD长等于，∠CAD的度数为．14．（4.00分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别是x1=1.3和x2=．15．（4.00分）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是．16．（4.00分）A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是．17．（4.00分）P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC 的平分线交AC于Q，则∠PQC=．18．（4.00分）设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对．三．解答题（共48分）19．（6.00分）当a=，b=2时，计算：÷（﹣）的值．20．（6.00分）已知正方形和圆的面积均为S，求正方形的周长l1和圆的周长l2（用含S的代数式表示，并指出它们的大小）．21．（8.00分）如图，在Rt△ABC中，∠B=36°，D为BC上一点，AB=AC=BD=1，（1）求DC的长．（2）利用此图求sin18°的精确值．22．（8.00分）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时，求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？23．（10.00分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．24．（10.00分）已知：关于x的方程①x2﹣（m+2）x+m﹣2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n﹣2）x+m2﹣3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．2017年江苏省南通市启东中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4.00分）已知中，自变量x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，解得x≥3．故选：A．2．（4.00分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（）A．sinB=B．cosB= C．tanB=2 D．cotB=【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB=，sinB=，cosB=，tanB=，cotB=2．故选：A．3．（4.00分）如图，已知DE∥BC，CD与BE相交于点O，并且S△DOE：S△COB=4：9，则AE：AC为（）A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．9：4【解答】解：DE∥BC．因而△DEO∽△CBO且△ADE∽△ABC根据S△DOE ：S△COB=4：9，因而DE：BC=2：3根据△ADE∽△ABC，因而AE：AC=DE：BC=2：3AE：AC为2：3．故选：B．4．（4.00分）如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【解答】解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选：B．5．（4.00分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）A．主视图的面积最大B．左视图的面积最大C．俯视图的面积最大D．三个视图的面积一样大【解答】解：主视图有4个小正方形，左视图有4个小正方形，俯视图有5个小正方形，因此俯视图的面积最大，故选：C．6．（4.00分）方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴这两个函数只在第一象限有一个交点．即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．故选：B．7．（4.00分）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（）A．（+1，﹣1）B．（3+，3﹣）C．（﹣1，+1）D．（3﹣，3+）【解答】解：∵正方形OABC，点B在反比例函数y=（x＞0）上，设点B的坐标为（a，a）∴a×a=4，a=2（负值舍去）．设点E的横坐标为b，则纵坐标为b﹣2，代入反比例函数中y=，即：b﹣2=．解之，得b=+1（负值舍去），即E点坐标为：（+1，﹣1）（亦可如此，点E的横坐标和纵坐标相隔2，∴比较四个选项可知A正确，选择题推荐这种方法，简洁，较为灵巧，避免过多复杂的计算）故选：A．8．（4.00分）观察图中正方形四个顶点所标的规律，可知2012应标在（）A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的左下角【解答】解：∵2012=503×4，∴2012应标在第503个正方形的左下角，故选：D．9．（4.00分）用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），不可以拼成的是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都有可能【解答】解：能组成三角形的三边有：3，4，5，为直角三角形；4，4，4，为等边三角形；5，5，2，为等腰三角形．故选：D．10．（4.00分）100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多有（）元．A．216 B．218 C．238 D．236【解答】解：任意10个人的钱数的和不超过380元，（1）∴任意90个人的钱数的和不少于1620元，由抽屉原理，存在9人的钱数的和不少于162元，（2）（1）﹣（2），一个人最多能有218元．故选：B．二．填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．（4.00分）计算：=+．【解答】解：﹣3+=2﹣+=+．12．（4.00分）如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是101．【解答】解：根据题意和图表可知，当A=1时，B=2=12+1，当A=2时，B=5=22+1，所以A和B的关系是，B=A2+1．当A=10时，B=102+1=100+1=101，所以当输入的数是10时，输出的数是101．13．（4.00分）如图，AB为⊙O的直径，其长度为2cm，点C为半圆弧的中点，若⊙O的另一条弦AD长等于，∠CAD的度数为15°或75°．【解答】解：根据直径所对的圆周角是直角，得Rt△ABC和Rt△ABD，根据锐角三角函数，求得∠BAC=45°，∠BAD=30°，①当AC和AD在直径AB的同侧时，∠CAD=45°﹣30°=15°；②当AC和AD在直径AB的两侧时，∠CAD=45°+30°=75°．因此，∠CAD的度数为15°或75°．14．（4.00分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别是x1=1.3和x2=﹣3.3．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），∴对称轴为x=﹣1；∴=﹣1，又∵x1=1.3，∴x2=﹣2﹣x1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．故答案为：﹣3.315．（4.00分）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是5．【解答】解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C，作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D，故光线从点A到点B所经过的路程A′B===5．16．（4.00分）A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是．【解答】解：根据圆上的八个点如同东南西北四个方位及其偏位，那么只要有两点过圆心，则一定有直角存在，∴任取三点能构成直角三角形的概率是=，故答案为．17．（4.00分）P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC 的平分线交AC于Q，则∠PQC=45°．【解答】解：连接OC，∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥PC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=∠POC，又∵∠APQ=∠CPQ=∠APC，PAC+∠APQ，=（∠POC+∠APC），=×90°，=45°．故答案为45°．18．（4.00分）设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有27对．【解答】解：N=23x+92y=23（x+4y），且为质数，N为不超过2392的完全平方数，设x+4y=23m2（m为正整数），且N=232m2≤2392，得：m2≤=＜5∴m2=1或4．（1）当m2=1时，由x+4y=23，得：（x，y）=（3，5），（7，4），（11，3），（15，2），（19，1），共5对．（2）当m2=4时，由x+4y=92，得：（x，y）=（4，22），（8，21），（12，20），（16，19）…（88，1），共22对．综上所述，满足条件的（x，y）共有27对．故答案为：27．三．解答题（共48分）19．（6.00分）当a=，b=2时，计算：÷（﹣）的值．【解答】解：÷（﹣）=×=，当a=，b=2时，原式==2（2﹣）20．（6.00分）已知正方形和圆的面积均为S，求正方形的周长l1和圆的周长l2（用含S的代数式表示，并指出它们的大小）．【解答】解：由题意可得，正方形的周长为：l1=4，圆的周长为：l2=2=，∵=＜，∴．21．（8.00分）如图，在Rt△ABC中，∠B=36°，D为BC上一点，AB=AC=BD=1，（1）求DC的长．（2）利用此图求sin18°的精确值．【解答】解：（1）∵∠B=36°，AB=AC=BD=1，∴∠C=36°，∠BDA=∠BAD=72°，∠DAC=36°，∴∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴，即DC×（DC+1）=1，∴DC1=，DC2=（舍去），∴DC=；（2）过点B作BE⊥AD，交AD于点E，∵AB=BD=1，∴∠ABE=18°，AE=DE=AD∵∠DAC=∠C，∴DC=AD=2DE=，∴sin18°=．22．（8.00分）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时，求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？【解答】解：（1）设甲、乙两车速度分别为x千米/小时、y千米/小时，由题意得：，解得：；答：甲、乙两车速度分别为120千米/小时、60千米/小时．（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了x千米，乙汽车行驶了y千米，则：，∴2x≤200×10×3即x≤3000．故甲、乙一起行驶到离A点500千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，甲再前进1000千米返回到乙停止处，再向乙借油50升，最后一同返回到A点，此时，甲车行驶了共3000千米．方案二：（画图法）如图：此时甲车行驶了500×2+1000×2=3000（千米）．方案三：先把乙车的油均分4份，每份50升．当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A点．此时甲车行驶了50×10×2+100×10×2=3000（千米）．答：甲车一共行驶了3000千米．23．（10.00分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．【解答】解：（1）由题意可知C（0，8），又A（6，0），所以直线AC解析式为：y=﹣x+8，因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6﹣x，代入直线AC中得y=，所以P点坐标为（6﹣x，x）；（2）设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA=6﹣x，MA边上的高为x，其中，0≤x＜6，∴S=（6﹣x）×x=（﹣x2+6x）=﹣（x﹣3）2+6，∴S的最大值为6，此时x=3；（3）延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA①若MP=PA，∵PQ⊥MA，∴MQ=QA=x，∴3x=6，∴x=2；②若MP=MA，则MQ=6﹣2x，PQ=x，PM=MA=6﹣x，在Rt△PMQ中，∵PM2=MQ2+PQ2，∴（6﹣x）2=（6﹣2x）2+（x）2，∴x=；③若PA=AM，∵PA=x，AM=6﹣x，∴x=6﹣x，∴x=，综上所述，x=2，或x=，或x=．24．（10.00分）已知：关于x的方程①x2﹣（m+2）x+m﹣2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n﹣2）x+m2﹣3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．【解答】解：由方程①知：∵x1•x2＜0，x1＞|x2|＞0，∴x1＞0，x2＜0，∵△=（m﹣2）2+8＞0，∴x1+x2=m+2＞0，x1•x2=m﹣2＜0，∴﹣2＜m＜2，由方程②知：，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=3（舍去），m=﹣1（2分）代入②得：x2﹣（n﹣2）x+2=0，∵方程的两根为有理数，∴△=（n﹣2）2﹣8=k2，∴（n﹣2）2﹣k2=8，（n﹣2+k）（n﹣2﹣k）=8，∵n﹣2+k和n﹣2﹣k奇偶性相同，∴或或或，解得n=5或n=﹣1．第21页（共21页）。