2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷
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19．（14 分）平面内任意一点 P 到两定点 F (− 3,0), F ( 3,0) 的距离之和为 4； （1）若点 P 是第二象限内的一点且满足 PF1 ⋅ PF2 = 0 ，求点 P 的坐标； （2）设平面内又关于原点对称的两定点 M1, M 2 ，判别 PM1 ⋅ PM 2 是否有最大值和最小
素 t1, t2 ,..., tk (k ∈ N ∗ ) 从小到大进行排序，即 t1 < t2 < t3 < ... < tk ，求 t2020 ；
（3）已知集合 C = {c1, c2,..., cn}，其中数列{cn} 是等比数列， cn > 0 ，且公比是有理数， 判断集合 C 是否具有性质 Γ ？说明理由.
2x 件的ω 的个数，说明理由.
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21．（18 分）有限个元素组成的集合 A = {a1, a2 ,..., an}, n ∈ N ∗ ，集合 A 中的元素个数记为
d ( A) ，定义 A + A = {x + y | x ∈ A, y ∈ A} ，集合 A + A 的个数为 d ( A + A) ，当满足 d ( A + A) = d ( A)(d ( A) +1) 时，称集合 A 具有性质 Γ ；
8. 已知点 (3,9) 在函数 f (x) = 1+ a x 的图像上，则 f (x) 的反函数为 f −1(x) = _________.
9. 设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点， | ON |= 6, ON = 5OM ，过点 M 作 MM1 ⊥ y 轴于点 M1 ，过 N 作 NN1 ⊥ x 轴于点 N1 ，M，M1 两点不重合，N，N1 两点
不重合，设 OT = M1M + N1N ，则点T 的轨迹方程为_________.
10. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20 毫克/100 毫升的行为属
于饮酒驾驶，假设饮酒后，血液中的酒精含量为 p0 毫克/100 毫升，经过 x 小时后，酒精 含量降为 p 毫克/100 毫升，且满足关系式 p = p0 ⋅ erx （ r 为常数），若某人饮酒后血液中
过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式：
y = loga ( Ax2 + Bx + C)(a > 0且a ≠ 1) ：__________________________.
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12. 已知直线 y = x +1上有两个点 A(a1, b1), B(a2 , b2 ) ，已知 a1, b1，a2, b2 满足：
上市时间 x 天
4
10
36
市场价 y 元
90
51
90
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价 y 与上市时
间 x 的变化关系，并说明理由：① y = ax + b ；② y = ax2 + bx + c ；③ y = a ⋅ logb x ；
④ y = k ⋅ax ；
（2）利用你选的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
2 | a1a2 + b1b2 |= a12 + b12 × a22 + b22 ，若 a1 > a2 ， | AB |= 2 + 2 ，则这样的 A 有
___________个. 二、选择题（本题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，否则一律 得零分.
日期：2019/3/13 9:41:32；
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参考答案
1. 3 ； 2. 3 ； 3. 5π ； 4. 0 ； 5. − 80 ； 2
6. 180 ；
7. x2
−
y2 9
= ±1 ；
8. log2 (x −1) ；
9. 5x2
+
y2
= 36(x ≠ 0, 6 5 ) ； 5
10. 8；
③ a12 + a32 > a21 + a23 .
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
三、解答题（本题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤。
17．（14 分）已知长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，AB = 2, BC = 4, AA1 = 4 ，点 M 是棱 C1D1
的酒精含量为 89 毫克/100 毫升，2 小时后，测得其血液酒精含量降为 61 毫克/100 毫升， 则此人饮酒后需经过_________小时方可驾车（精确到小时）.
11. 给出下列一组函数： f1(x) = log2 (x2 + 2x + 3)、f2 (x) = ln(2x2 + 5x + 8) 、 f3 (x) = lg(3x2 + 8x +13)、f4 (x) = log0.3 (x2 + 7.465517x +13.931044) ，......，请你通
上的动点；
（1）求三棱柱 D − A1B1M 的体积；
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（2）当点 M 是棱 C1D1 上的中点时，求直线 AB 与平面 DA1M
所成的角（结果用反பைடு நூலகம்角函数表示）.
18．（14 分）某纪念章从某年某月某日其开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每 1 枚
的市场价 y （单位：元）与上市时间 x （单位：天）的数据如下：
（2） PM ⋅ PN = x2 + y2 − (m2 + n2 ) ；最大值 4 − (m2 + n2 ) ，最小值1− (m2 + n2 ) ；
20.（1）证明略； （2）略，反证法； （3）198 个；
21.（1）不可以组成等差数列；
（2） t2020
= 1 (263 + 8) ； 3
（3）具有性质 Γ ，证明略；
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13．已知点 P(a,b) ，曲线 C1 的方程 y = 1− x2 ，曲线 C2 的方程 x2 + y2 = 1 ，则“点 P(a,b)
在曲线 C1 上”是“点 P(a, b) 在曲线 C2 上”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
14．一个不是常数数列的等比数列中，值为 3 的项数最多有（ ）个
2. 在 ∆ABC 中，若 A = 60o, AB = 2, AC = 2 3 ，则 ∆ABC 的面积为_________.
3. 圆锥的底面半径为 1，高为 2，则圆锥的侧面积等于__________.
4. 设 a = ( 3 ,sin α ),b = (cosα , 1) ，且 a // b ，则 cos 2α = _________.
2 （1）设集合 M = {1, x, y} 具有性质 Γ ，判断集合 M 中的元素是否能组成等差数列，请说明
理由；
（2）设正数列{dn} 的前
n
项和为
Sn
，满足
Sn+1
=
2Sn
+
1 3
，其中
d1
=
1 3
，数列 {d n }
中的
前 2020 项： d1, d2 ,..., d2020 组成的集合{d1, d2 ,..., d2020} 记作 D ，将集合 D + D 中的所有元
a22 a32
a23 a33
中，每行中的三个数成等差数列，
且 a11 + a12 + a13、a21 + a22 + a23、a31 + a32 + a33 成等比数列，下列判断中正确的有（ ）
①第 2 列中的 a12、a22、a32 必成等比数列；②第 1 列中的 a11、a21、a31 一定不成等比数列；
A．1 个
B．2 个
C．4 个
D．无穷多个
15．复数 z 满足| z − 3i |= 2 （ i 为虚数单位），则复数 z − 4 的模的取值范围是（ ）
A．[3,7]
B．[0,5]
C． [0,9]
D．以上都不对
a11 a12 a13
16．由
9
个互不相等的正数组成的矩阵
a21 a31
2020 年上海市奉贤区高考数学一模试卷
安逸数学工作室 2019.12
一、填空题（本题满分 54 分)本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，要求在答 题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1. 计算 lim 3n − 2 = __________. n→∞ 2n +1
2
3
5. 在 (x2 − 2 )5 二项展开式中， x 的一次项系数为___________（用数字作答）. x
6. 若甲、乙两人从 6 门课程中各选修 3 门，则甲、乙所选修的课程中只有 1 门相同的选法
种数为________.
7. 若双曲线的渐近线方程为 y = ±3x ，它的焦距为 2 10 ，则该双曲线的标准方程为______.
值？请说明理由.
20．（16 分）函数 f (x) = sin(tan ωx) ，其中ω ≠ 0 ； （1）讨论 f (x) 的奇偶性； （2）ω = 1 时，求证 f (x) 的最小正周期是π ； （3）ω ∈ (1.50,1.57) ，当函数 f (x) 的图像与 g(x) = 1 (x + 1 ) 的图像有交点时，求满足条
上海市奉贤区2020年高考模拟考试数学试卷(理工类)
上海市奉贤区2020年高考模拟考试数学试卷（理工类）2020.05（完卷时间：120分钟 满分：150分）一、填空题：（共55分，每小题5分）1、方程233log (10)1log x x -=+的解是 。
2、不等式1223x->的解集为 。
3、已知复数z ＝－i 为纯虚数，则实数a= 。
4、在极坐标系中，O 是极点，设点)6,4(πA ，)65,2(πB ，则三角形OAB 的面积为 5、若51x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 项的系数是80，则实数a 的值为 ．6、在1，2，3，4，5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是 。
（用分数表示）7、关于函数()x x x f 2arcsin =有下列命题：①()x f 的定义域是R ；②()x f 是偶函数；③()x f 在定义域内是增函数；④()x f 的最大值是4π，最小值是0。
其中正确的命题是 。
（写出你所认为正确的所有命题序号）8、已知直角三角形的两直角边长分别为3cm 和4cm ，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的表面积为 。
9、已知各项均为正数的等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比为q 的取值范围是 。
10、设实数y x ,满足1)1(22=-+y x ，若对满足条件y x ,，不等式0≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是 。
11、现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为1，2，…67；第二行依次为68，69…134；…依次把表格填满。
现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2…，31；第二列从上到下依次为32，33，…，62；…依次把表格填满。
对于上述两种填法，在同一小格里两次填写的数相同，这样的小格在表格中共有_________个。
上海市奉贤区2020届高三数学上学期调研测试(一模)试题(答案不全)
上海市奉贤区2020届高三数学上学期调研测试（一模）试题（答案不全）一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算：32lim21n n n →∞-=+2. 在△ABC 中，若60A =︒，2AB =，AC =，则△ABC 的面积是3. 圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于4. 设3(,sin )2a α=r ，1(cos ,)3b α=r ，且a r ∥b r ，则cos2α=5. 在252()x x-二项展开式中，x 的一次项系数为 （用数字作答）6. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选 法种数为7. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为 8. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为1()f x -=9. 设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，||6ON =uuu r ，ON =uuu r r，过点M 作1MM y ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设 11OT M M N N =+uu u r uuuu u r uuuu r，则点T 的轨迹方程是10. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为 属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0rxp p e =⋅（r 为常数），若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则 此人饮酒后需经过 小时方可驾车（精确到小时）11. 给出下列一组函数：212()log (23)f x x x =++，22()ln(258)f x x x =++，23()lg(3813)f x x x =++，240.3()log (7.46551713.931034)f x x x =++，⋅⋅⋅，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式2log ()a y Ax Bx C =++（0a >，1a ≠）：12. 已知直线1y x =+上有两个点11(,)A a b 、22(,)B a b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足1212|a a bb +=，若12a a >，||2AB =，则这样的点A 有个二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知点(,)P a b ，曲线1C 的方程21y x =-，曲线2C 的方程221x y +=，则“点(,)P a b 在曲线1C 上“是”点(,)P a b 在曲线2C 上“的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14. 一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（ ）A. 1个B. 2个C. 4个D. 无穷多个 15. 复数z 满足|3i |2z -=（i 为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是（ ） A. [3,7] B. [0,5] C. [0,9] D. 以上都不对16. 由9个互不相等的正数组成的矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列， 且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有（ ） ① 第2列中的12a 、22a 、32a 必成等比数列；② 第1列中的11a 、21a 、31a 不一定成等比 数列；③ 12322123a a a a +>+；A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，14AA =，点M 是棱11C D 上 的动点.（1）求三棱锥11D A B M -的体积；（2）当点M 是棱11C D 上的中点时，求直线AB 与 平面1DA M 所成的角（结果用反三角函数值表示）.18. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市 时间x 的变化关系并说明理由：① y ax b =+；② 2y ax bx c =++；③ log b y a x =⋅； ④ x y k a =⋅；（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.19. 平面内任意一点P 到两定点1(F 、2F 的距离之和为4.（1）若点P 是第二象限内的一点且满足120PF PF ⋅=uuu r uuu r，求点P 的坐标；（2）设平面内有关于原点对称的两定点1M 、2M ，判别12PM PM ⋅uuuu r uuuu r是否有最大值和最小值，请说明理由？20. 函数()sin(tan )f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π； （3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11()()2g x x x=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.21. 有限个元素组成的集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，*n ∈N ，集合A 中的元素个数记为()d A ， 定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()(()1)()2d A d A d A A ⋅++=时，称集合A 具有性质Γ.（1）设集合{1,,}M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列， 请说明理由；（2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+，其中113d =，数列{}n d 中的前 2020项：1232020,,,,d d d d ⋅⋅⋅组成的集合1232020{,,,,}d d d d ⋅⋅⋅记作D ，将集合D D +中的所有元素123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅（*k ∈N ）从小到大排序，即123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅满足123k t t t t <<<⋅⋅⋅<，求2020t ； （3）已知集合12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由.参考答案一. 填空题1.322. 3 4. 0 5. 80- 6. 1807. 2219y x -=± 8. 2log (1)x - 9. 22536x y +=(0x ≠且5x ≠10. 8 11. 23log (4710)y x x =++（答案不唯一） 12. 3二. 选择题13. A 14. D 15. A 16. C三. 解答题17.（1）1164433V =⨯⨯=；（2）. 18.（1）②；（2）21(20)264y x =-+，上市20天，最低价26元.19.（1）(；（2）222212()PM PM x y m n ⋅=+-+uuuu r uuuu r ，最大值224()m n -+，最小值221()m n -+.20.（1）奇函数；（2）略；（3）sin(tan )1tan 2(tan1.50,tan1.57)2k πωωπ=⇒=+∈，∴1.99199.6k <<，∴2,3,4,,199k =⋅⋅⋅，∴ω的个数为198个.21.（1）否；（2）123n n d -=，(1)22k k k t +=，∴6320162t =，63202028t =+；（3）具有性质Γ.。
上海市奉贤区高考数学一模试卷(理科)
上海市奉贤区高考数学一模试卷（理科）一、解答题详细信息1.难度：中等不等式的解集是（用区间表示）．详细信息2.难度：中等函数y=cos22x-sin22x的最小正周期是．详细信息3.难度：中等过点（3，2）且一个法向量为的直线的点法向式方程为．详细信息4.难度：中等集合A=（1，2]，集合B={x|x＜a}，满足A⊊B，则实数a的范围是．详细信息5.难度：中等设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是．详细信息6.难度：中等设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．详细信息7.难度：中等已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公比q= ．详细信息8.难度：中等函数y=lg（x2+1），x≥0的反函数是．详细信息9.难度：中等若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为．详细信息10.难度：中等函数的单调递增区间．详细信息11.难度：中等如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．详细信息12.难度：中等有这么一个数学问题：“已知奇函数f（x）的定义域是一切实数R，且f（m）=2，f（m2-2）=-2，求m的值”．请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若不行请说明理由（只需说理由）．．详细信息13.难度：中等对于数列{an}，如果存在最小的一个常数T（T∈N*），使得对任意的正整数恒有an+T =an成立，则称数列{an}是周期为T的周期数列．设m=qT+r，（m，q，T，r∈N*），数列前m，T，r项的和分别记为Sm ，ST，Sr，则Sm，ST，Sr三者的关系式．详细信息14.难度：中等设函数，则方程有个实数根．二、选择题详细信息15.难度：中等复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限详细信息16.难度：中等若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2abB．C．D．详细信息17.难度：中等下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．f（x）=3x-1B．f（x）=x3C．f（x）=|x|D．f（x）=ln详细信息18.难度：中等将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点（2p，0），这样的正三角形有（）A．0个B．2个C．4个D．1个三、解答题详细信息19.难度：中等已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，向量，，∥，求∠A的大小．详细信息20.难度：中等关于x的不等式的解集为（-1，2）．（1）求实数m的值；（2）若实系数一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，求n．详细信息21.难度：中等已知直角坐标平面内点F1（-2，0），F2（2，0），一曲线C经过点P，且．（1）求曲线C的方程；（2）设A（1，0），若，求点P的横坐标的取值范围．详细信息22.难度：中等函数，定义f（x）的第k阶阶梯函数，其中k∈N*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点Pk （ak，bk），最低点Qk（ck，dk）．（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；（2）求证：所有的点Pk在某条直线L上．（3）求证：点Qk到（2）中的直线L的距离是一个定值．详细信息23.难度：中等出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x1-x2|+|y1-y2|，请解决以下问题：（1）求线段x+y=2（x≥0，y≥0）上一点M（x，y）的距离到原点O（0，0）的“距离”；（2）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点Q（a，b）的“距离”均为r的“圆”方程；（3）点A（1，3）、B（6，9），写出线段AB的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象．（说明所给图形小正方形的单位是1）详细信息24.难度：中等正数列{an }的前n项和Sn满足：rSn=anan+1-1，a1=a＞0，常数r∈N．（1）求证：an+2-an是一个定值；（2）若数列{an}是一个周期数列，求该数列的周期；（3）若数列{an }是一个有理数等差数列，求Sn．。
上海市奉贤区高考数学一模试卷(文科)
上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）一、解答题详细信息1.难度：中等不等式的解集是（用区间表示）．详细信息2.难度：中等函数y=cos22x-sin22x的最小正周期是．详细信息3.难度：中等过点（3，2）且一个法向量为的直线的点法向式方程为．详细信息4.难度：中等集合A=（1，2]，集合B={x|x＜a}，满足A⊊B，则实数a的范围是．详细信息5.难度：中等设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是．详细信息6.难度：中等设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．详细信息7.难度：中等已知无穷等比数列中的首项1，各项的和2，则公比q= ．详细信息8.难度：中等方程的解是．详细信息9.难度：中等已知，，则= ．详细信息10.难度：中等函数的最小值是．详细信息11.难度：中等如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．详细信息12.难度：中等有这么一个数学问题：“已知奇函数f（x）的定义域是一切实数R，且f（m）=2，f（m2-2）=-2，求m的值”．请问m的值能否求出，若行，请求出m的值；若不行请说明理由（只需说理由）．．详细信息13.难度：中等已知数列{an }的通项公式为an=|n-13|，那么满足ak+ak+1+…+ak+19=102的正整数k= ．详细信息14.难度：中等设函数，则方程有个实数根．二、选择题详细信息15.难度：中等复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限详细信息16.难度：中等若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2abB．C．D．详细信息17.难度：中等下列函数中不能用二分法求零点的是（）A．f（x）=3x-1B．f（x）=x3C．f（x）=|x|D．f（x）=ln详细信息18.难度：中等两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题详细信息19.难度：中等已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，向量，，∥，求∠A的大小．详细信息20.难度：中等关于x的不等式的解集为（-1，2）．（1）求实数m的值；（2）若实系数一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，求n．详细信息21.难度：中等已知直角坐标平面内点F1（-2，0），F2（2，0），一曲线C经过点P，且．（1）求曲线C的方程；（2）设A（1，0），若，求点P的横坐标的取值范围．详细信息22.难度：中等函数，定义f（x）的第k阶阶梯函数，其中k∈N*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点Pk （ak，bk）．（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；（2）求证：所有的点Pk在某条直线L上．详细信息23.难度：中等出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如（x，y）的有序实数对，直线还是满足ax+by+c=0的所有（x，y）组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x1-x2|+|y1-y2|，请解决以下问题：（1）求点A（1，3）、B（6，9）的“距离”|AB|；（2）求线段x+y=2（x≥0，y≥0）上一点M（x，y）的距离到原点O（0，0）的“距离”；（3）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，点A（1，3）、B（6，9），C（1，9），求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象；（说明所给图形小正方形的单位是1）详细信息24.难度：中等正数列{an }的前n项和Sn满足：2Sn=anan+1-1，a1=a＞0．（1）求证：an+2-an是一个定值；（2）若数列{an}是一个单调递增数列，求a的取值范围；（3）若S2013是一个整数，求符合条件的自然数a．。
上海市奉贤区2020年高考模拟考试数学试卷(文史类)
上海市奉贤区2020年高考模拟考试数学试卷（文史卷）2020.05（完卷时间：120分钟 满分：150分）一、填空题：（共55分，每小题5分）1、方程233log (10)1log x x -=+的解是 。
2、不等式1223x->的解集为 。
3、已知复数z ＝－i 为纯虚数，则实数a= 。
4、在△ABC 中，已知，BC=8，AC=5，∆S =12则cos2C= 。
5、在二项式6)1(-x 的展开式中，第4项的系数为 ．（结果用数值表示）6、关于函数()x x x f 2arcsin =有下列命题：①()x f 的定义域是R ；②()x f 是偶函数；③()x f 在定义域内是增函数；④()x f 的最大值是4π，最小值是0。
其中正确的命题是 。
（写出你所认为正确的所有命题序号）7、已知直角三角形的两直角边长分别为3cm 和4cm ，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的表面积为8、在1，2，3，4，5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是 。
（用分数表示）9、已知向量b r ＝(1,2)，c v ＝(－2,4)，5a =v，若（＋)·=11，则与的夹角为10、已知各项均为正数的等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比为q 的取值范围是 。
11、设实数y x ,满足22(1)x y +-＝1，若对满足条件y x ,，不等式3yx -＋c ≥0恒成立，则c 的取值范围是 。
二、选择题：（共20分，每小题5分）12、条件p ：不等式1)1(log 2<-x 的解；条件q ：不等式0322<--x x 的解。
则p 是q 的―（ ）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充要条件；D 、既非充分非必要条件 13、如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能 是―――――――――（ ） A 、求三个数中最大的数 B 、求三个数中最小的数 C 、按从小到大排列 D 、按从大到小排列 14、如果实数x y 、满足条件那么2x y -的最大值为 （ ） A 、2 B 、1 C 、-2 D 、-3 15、设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意1x D ，存在唯一的2x D 使12()()f x f x +＝c （c 为常数）成立，则称函数()y f x =在D 上“与常数c 关联”。
2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=．2．函数的定义域是．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=．11．已知x≥1，y≥0，集合A={（x，y）|x+y≤4}，B={（x，y）|x﹣y+t=0}，如果A∩B≠∅，则t的取值范围是．12．在（x++2）4展开式中的常数项是（用数值作答）13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．14．若数列{a n}满足a n+a，且a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．若复数z满足关系=1，则z对应的复平面的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有一个正实数解，则b的取值范围为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5，5）D．前三个都不正确三、解答题（共5小题，满分60分）19．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求BE与面PADE所成的线面角的大小．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A、B是四条直线x=±a，y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C上的任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．21．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，c n=log3，求{c n}的通项公式．2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=0．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．2．函数的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得函数的定义域．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得x≥0所以函数的定义域是[0，+∞）故答案为：[0，+∞）3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=±\frac{1}{2}．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得渐近线为y=±2x，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±，即有t=±．故答案为：±．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M（x0，2）代入抛物线方程，解得x0．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=x0+1．【解答】解：把点M（x0，2）代入抛物线方程可得：=4x0，解得x0=3．∴点M到抛物线焦点的距离=x0+1=4．故答案为：4．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=\frac{1}{2}．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，且S n=2，∴=2，解得q=，故答案为：．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=\frac{3}{2}cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为\frac{\sqrt{10}}{10}．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=1．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．11．已知x≥1，y≥0，集合A={（x，y）|x+y≤4}，B={（x，y）|x﹣y+t=0}，如果A∩B≠∅，则t的取值范围是[﹣4，2]．．【考点】交集及其运算．【分析】把A∩B≠∅转化为线性规划问题，作出可行域，由直线x﹣y+t=0与可行域有交点求得t的范围．【解答】解：由作出可行域如图，要使A∩B≠∅，则直线x﹣y+t=0与可行域有公共点，联立，得B（1，3），又A（4，0），把A，B的坐标分别代入直线x﹣y+t=0，得t=﹣4，t=2．∴﹣4≤t≤2．故答案为：[﹣4，2]．12．在（x++2）4展开式中的常数项是70（用数值作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x++2）4 =的展开式的通项公式为T r+1=•=•x4﹣r，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项是=70，故答案为：70．13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是\frac{3+\sqrt{3}}{2}．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故答案为：．14．若数列{a n}满足a n+a，且a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（1，3）．【考点】数列的函数特性．【分析】数列{a n}单调递增⇔a1＜a2＜a3，解出即可得出．【解答】解：数列{a n}单调递增⇔a1＜a2＜a3，∵数列{a n}满足a n+a，且a1=x，解得a2=6﹣x，a3=4+x．∴x＜6﹣x＜4+x，解得1＜x＜3．故答案为：（1，3）．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．16．下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【考点】其他不等式的解法．【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．17．若复数z满足关系=1，则z对应的复平面的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，（x，y∈R），代入复数z满足关系=1，化简即可得出．【解答】解：设z=x+yi，（x，y∈R），∵复数z满足关系=1，∴x2+y2=1．则z对应的复平面的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．故选：A．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有一个正实数解，则b的取值范围为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5，5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求BE与面PADE所成的线面角的大小．【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）连接AE，则∠BEA为所要求的角，根据棱锥的体积计算AB，利用勾股定理计算AE，则tan∠BEA=．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC，∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴，∴F与C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，又B是平面PBE和平面ABC的公共点，∴BC是面PBE与面ABC的交线．（2）连接AE，∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴∠BEA为BE与平面PAD所成的角，∴V B==（1+2）×1×AB=，﹣PADE∴AB=．又∵AE==，∴tan∠BEA==．∴BE与面PADE所成的线面角为arctan．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A、B是四条直线x=±a，y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C上的任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组，能求出椭圆方程．（2）由已得A（2，1），B（﹣2，1），设P（x0，y0），由此能证明点Q（m，n）在定圆x2+y2=运动．【解答】（1）解：∵椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆方程为．（2）证明：∵A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点，∴A（2，1），B（﹣2，1），设P（x0，y0），则+y02=1．由，得，∴+（m+n）2=1，故点Q（m，n）在定圆x2+y2=运动．21．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．22．（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．∴13447＜（n﹣107）2≤13456．∵115＜＜116，=116，n∈Z，∴n﹣107=116或n﹣107=﹣116．∴集合M有两个元素．∴集合M有4个子集．23．数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，c n=log3，求{c n}的通项公式．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】（1）化简可得b n+1=2，从而可得a n+1b n+1=（a n+b n）•2=a n b n，从而证明；（2）由题意知a n+1=a n+b n＜a n，从而求得；（3）化简可得a n+1=+，从而可得===（）2，从而可得数列{cn}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而求得．【解答】解：（1）证明：∵=+=（），∴b n+1=2，∴a n+1b n+1=（a n+b n）•2=a n b n，∴{a n•b n}是常数列；（2）∵{a n}是递减数列，∴a n+1=a n+b n＜a n，∴a n＞b n，∴a1＞b1．（3）∵a1=4，b1=1，∴a n•b n=4，∴a n+1=a n+b n=a n+=+，∴===（）2，∴log3=log3（）2=2log3，即c n+1=2c n，又∵c1=log3=1，故数列{c n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴c n=1•2n﹣1=2n﹣1．2020年7月15日。
2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷
2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 计算：limn→∞3n−22n+1=________．2. 在△ABC 中，若A ＝60∘，AB ＝2，AC =2√3，则△ABC 的面积是________．3. 圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于________．4. 设a →=(32,sinα)，b →=(cosα,13)，且a → // b →，则cos2α＝________．5. 在(x 2−2x )5二项展开式中，x 的一次项系数为________（用数字作答）．6. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选法种数为________．7. 若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的焦距为2√10，则该双曲线的标准方程为________．8. 已知点(3, 9)在函数f(x)=1+a x 的图象上，则f(x)的反函数f −1(x)=________．9. 设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，|ON →|=6，ON →=√5OM →，过点M 作MM 1⊥y 轴于M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，M 与M 1不重合，N 与N 1不重合，设OT →=M 1M →+N 1N →，则点T 的轨迹方程是________<u>2</u>+________<u>2</u>＝36（________≠0且________≠6√55）10. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p 0毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式p =p 0⋅e rx （r 为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过________小时方可驾车．（精确到小时）11. 给出下列一组函数：f 1(x)=log 2(x 2+2x +3)，f 2(x)=ln(2x 2+5x +8)，f 3(x)=lg(3x 2+8x +13)，f 4(x)=log 0.3(x 2+7.465517x +13.931034)，…，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式y =log a (Ax 2+Bx +C)(a >0, a ≠1)：________．12. 已知直线y ＝x +1上有两个点A(a 1, b 1)、B(a 2, b 2)，已知a 1、b 1、a 2、b 2满足√2|a 1a 2+b 1b 2|=√a 12+b 12×√a 22+b 22，若a 1>a 2，|AB|=√2+2，则这样的点A 有________个．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）已知点P(a, b)，曲线C 1的方程y =√1−x 2，曲线C 2的方程x 2+y 2＝1，则“点P(a, b)在曲线C 1上“是”点P(a, b)在曲线C 2上“的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（ ） A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个复数z 满足|z −3i|＝2（i 为虚数单位），则复数z −4模的取值范围是（ ） A.[3, 7] B.[0, 5] C.[0, 9] D.以上都不对由9个互不相等的正数组成的矩阵(a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33)中，每行中的三个数成等差数列，且a 11+a 12+a 13、a 21+a 22+a 23、a 31+a 32+a 33成等比数列，下列判断正确的有（ ） ①第2列中的a 12、a 22、a 32必成等比数列；②第1列中的a 11、a 21、a 31不一定成等比数列；③a 12+a 32>a 21+a 23； A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝4，点M 是棱C 1D 1上的动点．（1）求三棱锥D −A 1B 1M 的体积；（2）当点M 是棱C 1D 1上的中点时，求直线AB 与平面DA 1M 所成的角（结果用反三角函数值表示）．某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如表：（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y ＝ax +b ；②y ＝ax 2+bx +c ；③y ＝a ⋅log b x ；④y ＝k ⋅a x ；（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．平面内任意一点P 到两定点F 1(−√3,0)、F 2(√3,0)的距离之和为4． （1）若点P 是第二象限内的一点且满足PF 1→⋅PF 2→=0，求点P 的坐标；（2）设平面内有关于原点对称的两定点M 1、M 2，判别PM 1→⋅PM 2→是否有最大值和最小值，请说明理由？函数f(x)＝sin(tanωx)，其中ω≠0． （1）讨论f(x)的奇偶性；（2）ω＝1时，求证：f(x)的最小正周期是π；（3）ω∈(1.50, 1.57)，当函数f(x)的图象与g(x)=12(x +1x )的图象有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由．有限个元素组成的集合A ＝{a 1, a 2, ..., a n }，n ∈N ∗，集合A 中的元素个数记为d(A)，定义A +A ＝{x +y|x ∈A, y ∈A}，集合A +A 的个数记为d(A +A)，当d(A +A)=d(A)⋅(d(A)+1)2时，称集合A 具有性质Γ．（1）设集合M ＝{1, x, y}具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；（2）设正数列{d n }的前n 项和为S n ，满足S n+1=2S n +13，其中d 1=13，数列{d n }中的前2020项：d 1，d 2，d 3，…，d 2020组成的集合{d 1, d 2, d 3, ..., d 2020}记作D ，将集合D +D 中的所有元素t 1，t 2，t 3，…，t k (k ∈N ∗)从小到大排序，即t 1，t 2，t 3，…，t k 满足t 1<t 2<t 3<...<t k ，求t 2020；（3）已知集合C ＝{c 1, c 2, ..., c n }，其中数列{c n }是等比数列，c n >0，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由．参考答案与试题解析2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.【答案】32【考点】数列的极限【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】lim n→∞3n−22n+1=limn→∞3−2n2+1n=32．2.【答案】3【考点】三角形的面积公式【解析】直接利用三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】在△ABC中，若A＝60∘，AB＝2，AC=2√3，则S△ABC=12×2×2√3×sin60=3．3.【答案】√5π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】∵圆锥的底面半径为1，高为2，∴母线长为：√12+22=√5，∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×1×√5=√5π，4.【答案】【考点】平行向量（共线）【解析】由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值，再求cos2α的值．【解答】由a →=(32,sinα)，b →=(cosα,13)，且a → // b →， 则sinαcosα−32×13=0， 所以sinαcosα=12， 所以sin2α＝1；所以2α=π2+2kπ，k ∈Z ； 所以cos2α＝0． 5.【答案】 −80【考点】二项式定理及相关概念 【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于1，求得r 的值，即可求得展开式中的x 的一次项系数． 【解答】(x 2−2x)5二项展开式中，通项公式为 T r+1=C 5r ⋅(−2)r ⋅x 10−3r ，令10−3r ＝1，求得r ＝3，可得x 的一次项系数为C 53⋅(−2)3＝−80， 6.【答案】 180【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】先确定相同的1门，再各自选2门不同的课程，利用乘法原理可得结论． 【解答】根据题意，甲乙所选的课程有1门相同，有C 61×C 52×C 32＝180种情况． 7.【答案】 x 2−y 29=±1．【考点】双曲线的离心率 【解析】利用双曲线的焦距求出c ，通过渐近线方程，求出a 、b 关系，然后求出a ，b ，即可得到双曲线方程． 【解答】双曲线的焦距为2√10，可得c =√10，双曲线的焦点坐标在x 轴上时， 渐近线方程为y ＝±3x ，可得ba =3，a 2+b 2＝10，所以a ＝1，b ＝3，当双曲线的焦点坐标在y 轴上时，可得ab =3，a 2+b 2＝10，所以b ＝1，a ＝3，所以所求双曲线方程为：x 2−y 29=±1．8.【答案】 log 2(x −1) 【考点】 反函数 【解析】此题暂无解析 【解答】解：将点(3,9)代入f(x)=1+a x 得a =2， ∴ f(x)=1+2x ，用y 表示x 得x =log 2(y −1)， ∴ f −1(x)=log 2(x −1)． 故答案为：log 2(x −1)． 9.【答案】 5x ,y ,x ,x 【考点】 轨迹方程 【解析】设T(x, y)，点N(x 1, y 1)，则N 1(x 1, 0)，MM 1→=(√51, 0)，N 1N →=(0, y 1)，OT →=(√51, y 1)，所以{x 1=√5x y 1=y，代入|ON →|=6即可． 【解答】设T(x, y)，点N(x 1, y 1)，则N 1(x 1, 0)， 又OM →=√5→=√51, y 1)，∴ M 1√51)，MM 1→=(√51, 0)，N 1N →=(0, y 1)， 因为OT →=M 1M →+N 1N →，于是OT →=(√51, y 1)，即(x, y)＝(√51, y 1)，所以{x 1=√5xy 1=y，代入|ON →|=6得5x 2+y 2＝36．因为M 与M 1不重合，N 与N 1不重合，所以x ≠0且x 不等于6√55，所以曲线C 的方程是5x 2+y 2＝36(x ≠0且x ≠6√55)．10.【答案】 8【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】先求出e r =√6189，再利用89⋅e xr ≤20，即可得出结论．【解答】由题意，61＝89⋅e 2r ，∴ e r =√6189，∵ 89⋅e xr ≤20，∴ x ≥8， 11.【答案】y =log 3(4x 2+7x +10)（答案不唯一） 【考点】 归纳推理 【解析】利用已知函数从定义域、值域、单调性等各反面分析函数可以得出以上函数共同点为：定义域为R ． 【解答】由f 1(x)=log 2(x 2+2x +3)，f 2(x)=ln(2x 2+5x +8)，f 3(x)=lg(3x 2+8x +13)，f 4(x)=log 0.3(x 2+7.465517x +13.931034)，可知以上函数定义域均为R ； 故y =log a (Ax 2+Bx +C)(a >0, a ≠1)只要满足{A >0△=B 2−4AC <0 即可； 12.【答案】 3【考点】 两点间的距离公式 【解析】依题意，向量OA →,OB →的夹角为π4或3π4，作图容易得出结论． 【解答】设<OA →,OB →>=θ，∵ √2|a 1a 2+b 1b 2|=√a 12+b 12×√a 22+b 22， ∴ cosθ=|OA →⋅OB →|OA →||OB →||=√22，则夹角为π4或3π4，如下图，当AB 关于y ＝−x 对称时，BD ＝AE ＝OD ＝OE ＝1，则∠BOD =∠AOE =π8，故∠AOB =3π4（这是一个临界值），此时有一个点A ，根据对称性，在A ，B 上下移动过程中，既要保持|AB|=√2+2，又要保持∠AOB =π4，这样的点A 上下各有一个， 故一共有三个点A ．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】已知点P(a, b)，曲线C1的方程y=√1−x2，即曲线C1为圆心在原点，半径为1的圆的曲线x轴交点即上方部分图形；曲线C2的方程x2+y2＝1，即曲线C2为圆心在原点，半径为1的圆的整个图形；①若“点P(a, b)在曲线C1上“则点P(a, b)满足曲线C1的方程y=√1−x2，有b=√1−a2，因为曲线C1为圆的曲线x轴交点即上方部分图形，b≥0；所以点P(a, b)在曲线C1上“能推出”点P(a, b)在曲线C2上“即能推出a2+b2＝1成立，②若“点P(a, b)在曲线C2上“则点P(a, b)满足曲线C2的方程x2+y2＝1，即a2+b2＝1成立，则不一定有b=√1−a2，b≥0成立；所以点P(a, b)在曲线C2上“不能推出点P(a, b)在曲线C1上“根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断可得曲线C1的方程y=√1−x2，曲线C2的方程x2+y2＝1，则“点P(a, b)在曲线C1上“是”点P(a, b)在曲线C2上“的充分非必要条件，【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】根据数列的分类，分别以单调数列与摆动数列为例子进行研究，即可得出值为3的项最多有几个．【解答】当一个等比数列是单调数列时，值为3的项最多有一个，或者没有；当一个等比数列是摆动数列时，值为3的项可能有无数个，举例如下：−3，3，−3，3，…这个等比数列是个摆动数列，公比是−1，值为3的项有无穷多个；1，3，9，…这个数列是等比数列，值为3的项仅有一个；1，4，16，…这个数列是等比数列，值为3的项有0个．综上知，一个不是常数列的等比数列中，值为3的项的项数最多有无穷多个．【答案】A【考点】复数的模【解析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】由|z−3i|＝2，可知复数z对应点的轨迹为以B(0, 3)为圆心，以2为半径的圆上，如图：则复数z−4模的最小值为|AB|−2＝5−2＝3，最大值为|AB|+2＝5+2＝7．∴ 复数z −4模的取值范围是[3, 7]． 【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】先由题意设列出由9个正数组成的矩阵(a,a +d,a +2db,b +m,b +2m c,c +n,c +3n )，由a 11+a 12+a 13，a 21+a 22+a 23，a 31+a 32+a 33成等比数列，则有：(b +m)2＝(a +d)(c +n)，得出①正确；再由(a +d)+(c +n)≥2√(a +d)(c +n)=2(b +m)，得到③正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可． 【解答】由题意设由9个正数组成的矩阵是：(a,a +d,a +2db,b +m,b +2m c,c +n,c +2n)，由a 11+a 12+a 13，a 21+a 22+a 23，a 31+a 32+a 33成等比数列， 则有：(b +m)2＝(a +d)(c +n)，故①正确；(a +d)+(c +n)≥2√(a +d)(c +n)=2(b +m)，故③正确； 再题意设由9个正数组成的矩阵是：(1232.545.56.589.5)，故②正确；三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）【答案】∵ 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝4，点M 是棱C 1D 1上的动点， ∴ 三棱锥D −A 1B 1M 的体积为：V D−A 1B 1M =13×S △A 1B 1M ×DD 1=13×12×2×4×4=163．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(4, 0, 0)，B(4, 2, 0)，D(0, 0, 0)，A 1(4, 0, 4)，M(0, 1, 4)， AB →=(0, 2, 0)，DA 1→=(4, 0, 4)，DM →=(0, 1, 4)， 设平面DA 1M 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅DA 1→=4x +4z =0n →⋅DM →=y +4z =0 ，取x ＝1，得n →=(1, 4, −1)， 设直线AB 与平面DA 1M 所成的角为θ， 则sinθ=|AB →⋅n →||AB →|⋅|n →|=2√18=2√23， ∴ 直线AB 与平面DA 1M 所成的角为arcsin 2√23．【考点】直线与平面所成的角 【解析】（1）三棱锥D −A 1B 1M 的体积为V D−A 1B 1M =13×S △A 1B 1M ×DD 1，由此能求出结果． （2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与平面DA 1M 所成的角． 【解答】∵ 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝4，点M 是棱C 1D 1上的动点， ∴ 三棱锥D −A 1B 1M 的体积为：V D−A 1B 1M =13×S △A 1B 1M ×DD 1=13×12×2×4×4=163．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(4, 0, 0)，B(4, 2, 0)，D(0, 0, 0)，A 1(4, 0, 4)，M(0, 1, 4)， AB →=(0, 2, 0)，DA 1→=(4, 0, 4)，DM →=(0, 1, 4)， 设平面DA 1M 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅DA 1→=4x +4z =0n →⋅DM →=y +4z =0 ，取x ＝1，得n →=(1, 4, −1)， 设直线AB 与平面DA 1M 所成的角为θ， 则sinθ=|AB →⋅n →||AB →|⋅|n →|=2√18=2√23， ∴ 直线AB 与平面DA 1M 所成的角为arcsin 2√23．【答案】∵ 随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的四个函数中y ＝ax +b 、y ＝a ⋅log b x 及y ＝k ⋅a x 显然都是单调函数，不满足题意，∴ 选取函数y ＝ax 2+bx +c ；把点(4, 90)，(10, 51)，(36, 90)代入方程， 得{16a +4b +c =90100a +10b +c =511296a +36b +c =90 ，解得{a =14b =−10c =126 ． ∴ y =14x 2−10x +126=14(x −20)2+26．∴ 当x ＝20时，y 有最小值，y min ＝26．故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低价格为26元． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）由表格中的数据可知所选函数为非单调函数，即y ＝ax 2+bx +c ；（2）把三组数据代入所选函数解析式，得到关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b ，c 的值，再由配方法求最值． 【解答】∵ 随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的四个函数中y ＝ax +b 、y ＝a ⋅log b x 及y ＝k ⋅a x 显然都是单调函数，不满足题意，∴ 选取函数y ＝ax 2+bx +c ；把点(4, 90)，(10, 51)，(36, 90)代入方程， 得{16a +4b +c =90100a +10b +c =511296a +36b +c =90 ，解得{a =14b =−10c =126 ． ∴ y =14x 2−10x +126=14(x −20)2+26．∴ 当x ＝20时，y 有最小值，y min ＝26．故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低价格为26元． 【答案】设p(x, y)，则PF 1→=(x +√3, y)，PF 2→=(x −√3, y)⇒PF 1→⋅PF 2→=x 2+y 2−3； ∵ PF 1→⋅PF 2→=0， ∴ x 2+y 2−3＝0联立x 24+y 2＝1⇒x 2=83，y 2=13；∵ 点P 是第二象限内的一点； ∴ x =−2√63，y =√33，所以点P(−2√63,√33)； 设M 1(m, n)，则M 2(−m, −n)；∴ PM 1→⋅PM 2→=(m −x, n −y)⋅(−m −x, −n −y)＝x 2+y 2−(m 2+n 2) ①； ∵x 24+y 2＝1 ②；②代入①∴ PM 1→⋅PM 2→=1+34x 2−(m 2+n 2)；又因为−2≤x ≤2；∴ 当x ＝±2时，PM 1→⋅PM 2→最大值4−(m 2+n 2)， 当x ＝0时PM 1→⋅PM 2→是最小值1−(m 2+n 2)．【考点】 轨迹方程 【解析】由题意知曲线是焦点为F 1(−√3, 0)与F 2(√3, 0)、长轴长为4的椭圆，由此能求出曲线C 的方程．（1）结合数量积为0以及椭圆方程的运用即可求出点的坐标； （2）设出两点的坐标，结合椭圆中变量的取值范围即可求解． 【解答】设p(x, y)，则PF 1→=(x +√3, y)，PF 2→=(x −√3, y)⇒PF 1→⋅PF 2→=x 2+y 2−3； ∵ PF 1→⋅PF 2→=0， ∴ x 2+y 2−3＝0联立x 24+y 2＝1⇒x 2=83，y 2=13；∵ 点P 是第二象限内的一点； ∴ x =−2√63，y =√33， 所以点P(−2√63,√33)； 设M 1(m, n)，则M 2(−m, −n)；∴ PM 1→⋅PM 2→=(m −x, n −y)⋅(−m −x, −n −y)＝x 2+y 2−(m 2+n 2) ①； ∵x 24+y 2＝1 ②；②代入①∴ PM 1→⋅PM 2→=1+34x 2−(m 2+n 2)；又因为−2≤x ≤2；∴ 当x ＝±2时，PM 1→⋅PM 2→最大值4−(m 2+n 2)， 当x ＝0时PM 1→⋅PM 2→是最小值1−(m 2+n 2)． 【答案】由于ωx ≠kπ+π2(k ∈Z)定义域所在的区间关于y 轴对称，且f(−x)＝sin （tan(−ωx)）＝−sin(tanωx)， 所以函数f(x)为奇函数；当ω＝1时，f(x)＝sin(tanx)，所以f(x +kπ)＝sin （tan(x +kπ)）＝sin(tanx)，所以当k ＝1时，函数的最小正周期为π．当函数f(x)的图象与g(x)=12(x +1x )≥12×2=1，当两函数的图象有交点，即x ＝1时，即sin(tanωx)＝1， 所以tanω=2kπ+π2，由于ω∈(1.50, 1.57)，所以， ∴ 1.99<k <199.6，∴ k ＝2，3，4，…，199， ∴ ω的个数为198个． 【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】（1）直接利用函数的奇偶性的定义的应用求出结果．（2）利用函数的f(x +T)＝f(x)进一步求出函数的最小正周期．（3）利用函数的图象和不等式的性质的应用进一步求出满足条件的ω的个数． 【解答】由于ωx ≠kπ+π2(k ∈Z)定义域所在的区间关于y 轴对称，且f(−x)＝sin （tan(−ωx)）＝−sin(tanωx)， 所以函数f(x)为奇函数；当ω＝1时，f(x)＝sin(tanx)，所以f(x +kπ)＝sin （tan(x +kπ)）＝sin(tanx)， 所以当k ＝1时，函数的最小正周期为π．当函数f(x)的图象与g(x)=12(x +1x )≥12×2=1，当两函数的图象有交点，即x ＝1时，即sin(tanωx)＝1， 所以tanω=2kπ+π2，由于ω∈(1.50, 1.57)，所以， ∴ 1.99<k <199.6，∴ k ＝2，3，4，…，199， ∴ ω的个数为198个． 【答案】集合M 中的三个元素不能组成等差数列，理由如下： 因为集合M ＝{1, x, y}具有性质Γ，所以d(M +M)=d(M)⋅(d(M)+1)2=6，由题中所给的定义可知：M +M 中的元素应是：2，x +1，y +1，2x ，2y ，x +y ，这6个元素应该互不相等，假设M 中的三个元素能构成等差数列，不妨设1，x ，y 成等差数列，这时有2x ＝1+y ，这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故M 中的三个元素不能能构成等差数列；由S n+1=2S n +13，得：S n =2S n−1+13(n ≥2, n ∈N ⋅)，以上两式相减得d n+1＝2d n ，说明数列从第二项起，数列{d n }等比数列，因为S n+1=2S n +13，d 1=13，所以有d 1+d 2=2d 1+13，所以d 2=23，所以d n =(23)⋅2n−2，显然n ＝1时也满足上式，因此d n =2n−13(n ∈N ⋅)．令d m +d n−1<d n ，则2m−13+2n−23<2n−13，则可得m <n −1，显然1≤m <n −1(m, n ∈N ⋅)，根据定义在d n 之间增加的元素个数为：(n −1)+(n −2)+(n −3)+⋯⋯+2+1=n(n−1)2，这样包括d n 在内前面一共有n(n−1)2+n =n(n+1)2个元素．当n ＝63时，包括d 63在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当n ＝64时，能找到， 因此t 2020=d 4+d 64=263+83；集合C 具有性质Γ，理由如下：设等比数列{c n }的公比为q ，所以通项公式为：a n =a 1q n−1(a 1>0)，q 为有理数，设假设当n 1<n 2≤n 3<n 4 时，c n 1+c n 4=c n 2+c n 3成立，则有a 1q n 1−1+a 1q n 4−1=a 1q n 2−1+a 1q n 3−1，故q n 4−n 1=q n 2−n 1+q n 3−n 1−1， 因为q 为有理数，所以设q =mn(m,n ∈N ⋅) 且m ，n 互质，因此有(m n )n 4−n 1=(mn )n 2−n 1+(mn )n 3−n 1−1，则m n 4−n 1=m n 2−n 1⋅n n 4−n 2+m n 3−n 1⋅n n 4−n 3−n n 4−n 1，式子的左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，而m ，n 互质，显然c n 1+c n 4=c n 2+c n 3不成立，因此C +C 集合中的元素个数为：n +(n −1)+(n −2)+⋯⋯+2+1=n(n+1)2，因此它符合已知所下的定义，因此集合C 具有性质Γ．【考点】数列与函数的综合 【解析】（1）根据集合M ＝{1, x, y}具有性质Γ，可以得到d(M +M)以及M +M 的元素性质，运用反证法可以判断出集合M 中的三个元素不能组成等差数列；（2）根据递推公式求出数列{d n }的通项公式，根据题意写出集合D ，根据题目中所给的定义，结合等比数列的性质求出t 2020；（3）只要能够证明当n 1<n 2≤n 3<n 4 时，c n 1+c n 4=c n 2+c n 3不成立，运用反证法结合整除的知识，就可以判断出集合C 具有性质Γ． 【解答】集合M 中的三个元素不能组成等差数列，理由如下： 因为集合M ＝{1, x, y}具有性质Γ，所以d(M +M)=d(M)⋅(d(M)+1)2=6，由题中所给的定义可知：M +M 中的元素应是：2，x +1，y +1，2x ，2y ，x +y ，这6个元素应该互不相等，假设M 中的三个元素能构成等差数列，不妨设1，x ，y 成等差数列，这时有2x ＝1+y ，这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故M 中的三个元素不能能构成等差数列；由S n+1=2S n +13，得：S n =2S n−1+13(n ≥2, n ∈N ⋅)，以上两式相减得d n+1＝2d n ，说明数列从第二项起，数列{d n }等比数列，因为S n+1=2S n +13，d 1=13，所以有d 1+d 2=2d 1+13，所以d 2=23，所以d n =(23)⋅2n−2，显然n ＝1时也满足上式，因此d n =2n−13(n ∈N ⋅)．令d m +d n−1<d n ，则2m−13+2n−23<2n−13，则可得m <n −1，显然1≤m <n −1(m, n ∈N ⋅)，根据定义在d n 之间增加的元素个数为：(n −1)+(n −2)+(n −3)+⋯⋯+2+1=n(n−1)2，这样包括d n 在内前面一共有n(n−1)2+n =n(n+1)2个元素．当n ＝63时，包括d 63在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当n ＝64时，能找到， 因此t 2020=d 4+d 64=263+83；集合C 具有性质Γ，理由如下：设等比数列{c n }的公比为q ，所以通项公式为：a n =a 1q n−1(a 1>0)，q 为有理数，设假设当n 1<n 2≤n 3<n 4 时，c n 1+c n 4=c n 2+c n 3成立，则有a 1q n 1−1+a 1q n 4−1=a 1q n 2−1+a 1q n 3−1，故q n 4−n 1=q n 2−n 1+q n 3−n 1−1， 因为q 为有理数，所以设q =mn(m,n ∈N ⋅) 且m ，n 互质，因此有(m n )n 4−n 1=(mn )n 2−n 1+(mn )n 3−n 1−1，则m n 4−n 1=m n 2−n 1⋅n n 4−n 2+m n 3−n 1⋅n n 4−n 3−n n 4−n 1，式子的左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，而m ，n 互质，显然c n 1+c n 4=c n 2+c n 3不成立，因此C +C 集合中的元素个数为：n +(n −1)+(n −2)+⋯⋯+2+1=n(n+1)2，因此它符合已知所下的定义，因此集合C 具有性质Γ．。
2020年上海市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年上海市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海奉贤区高三一模数学试卷
2020年上海奉贤区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1~6题每题4分，7~12每题5分，共54分）1.计算： ．2.在中，若，，，则的面积是 ．3.若圆锥底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为 ．4.设，，且，则 ．5.在二项展开式中，的一次项系数为 （用数字作答）．6.若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中只有门相同的选法种数为 ．7.若双曲线的渐近线方程为，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为 ．8.已知点在函数的图象上，则的反函数 ．9.设平面直角坐标系中，为原点，为动点， ， ，过点作轴于，过作轴于点，与不重合，与不重合，设 ，则点的轨迹方程是 ．10.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）毫克/毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/毫升，经过个小时，酒精含量降为毫克/毫升，且满足关系式（为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为毫克/毫升，小时后，测得其血液中酒精含量降为毫克/毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．（精确到小时）11.给出下列一组函数：，，，，，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式（，）： ．12.已知直线上有两个点、 ，已知、、、满足，若，，则这样的点有 个．二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知点，曲线的方程，曲线的方程，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.一个不是常数列的等比数列中，值为的项数最多有（ ）．A.个B.个C.个D.无穷多个15.复数满足（为虚数单位），则复数模的取值范围是（ ）．A.B.C.D.以上都不对16.由个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列判断正确的有（ ）．①第列中的、、必成等比数列；②第列中的、、不一定成等比数列；③；A.个B.个C.个D.个三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.已知长方体中，，，，点是棱上的动点．求三棱锥的体积．当点是棱上的中点时，求直线与平面所成的角．（结果用反三角函数值表示）．（1）（2）18.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：上市时间天市场价元根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由：①；②；③；④．利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．【答案】解析:原式．（1）（2）19.平面内任意一点到两定点 、 的距离之和为．若点是第二象限内的一点且满足 ，求点的坐标．设平面内有关于原点对称的两定点、，判别 是否有最大值和最小值，请说明理由？（1）（2）（3）20.函数，其中，讨论的奇偶性．时，求证：的最小正周期是．，当函数的图象与 的图象有交点时，求满足条件的的个数，说明理由．（1）（2）（3）21.有限个元素组成的集合，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当时，称集合具有性质．设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由．设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：,,,,组成的集合记作，将集合中的所有元素,,, ,从小到大排序，即,,,,满足﹐求．已知集合，其中数列是等比数列，,且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由．1.2.解析:如图中，过作，交于点，∵，，，，，∴．故面积为．3.解析:∵圆锥的底面半径为，高为，∴母线长为：，∴圆锥的侧面积为：，故答案为：．4.解析:，，∵，∴，，则，即，，所以．故答案为：．5.解析:二次展开式，通项为，令，则，，，故的一次项系数为．6.解析:根据题意，甲乙所选的课程只有门相同，有种情况．故答案为：．7.解析:①若双曲线焦点在轴上，，令，即，由双曲线渐近线为，则，又∵双曲线焦距为，则，由，则，．∴双曲线方程为．②若双曲线焦点在轴上，，由双曲线渐近线为，，由双曲线焦距，，∵，∴，，所以双曲线方程为，综上所述，双曲线方程为．解析:，故，∴∴．解析:设，则，，，∴，，设，则由，可得，∴，，又，∴，即，化简得，8.且9.故点的轨迹方程是且．解析:由题意， ，∴，∵，∴．故答案为：．解析:根据所给出的函数的规律来看，、、成等差数列，因此．解析:构造，，，或，，，当，根据对称性此时点在第三象限，点在第一象限，这样的点有一个，当，在第二象限有两个点对应点在第一象限，而点对应点在第三象限，故这样的点一共有个．解析:①∵点在曲线：上，则，即，，∴点也在曲线：上，点在曲线上是点在曲线上的充分条件；②若点在曲线：上，10.11.12.A 13.则，，即或，所以点在曲线上，不能推出点在曲线上．故点在曲线上是点在曲线上的充分非必要条件，正确．解析:若数列的通项公式为，则数列为等比数列，且不是常数列，则值为的项数有无穷多个．故选．解析:设，则由可得点位于以为圆心，为半径的圆上，则，点到圆心的距离，则的最小值为，最大值为，故的取值范围是，即的取值范围是．故选．解析:由题意设由个正数组成的矩阵是：，由，，成等比数列，则有：，故①正确；，故③正确；再题意设由个正数组成的矩阵是：，故②正确；故选．D 14.A 15.C 16.（1）．（2）．17.（1）（2）（1）解析:因为长方体中有平面，因为与平行，所以点到线段的距离等于，所以，所以．长方体中，可得：，，，从而，过点作平面，由得：，求得：，由平面，且，知为直线与平面所成的角，中，，所以，所以直线与平面所成的角的大小为．解析:∵随着时间的增加，的值先减后增，而所给的四个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，（1）选择②，证明减解析．（2）天，元．18.（2）（1）（2）∴．把点，，代入中，得，解得，，，∴，∴当时，有最小值．解析:由条件知，点的轨迹是以 ，为焦点，长轴长为的椭圆，所以，，，所以点的轨迹方程是 ，设，由， 得，由，点是第二象限内的点，解得，所以点的坐标为．设，、，因为，是关于原点对称的两个定点，所以、、、为定值，，，所以，因为，，（1）点的坐标为．（2）有最大值与最小值．证明见解析．19.（1）（2）（3）所以由、为定值，，知式在左右端点时有最大值，在上下端点时有最小值．解析:由，得，，所以函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，，所以函数是上的奇函数．，，函数是周期函数，且是它的一个周期，因为，所以函数是周期函数，且是它的一个周期，假设是函数的最小正周期，且，那么对于任意实数，都有成立，取，则，所以，，取，则，所以，把式代入上式，得，所以，，，得， ，，时，上式左边为无理数，右边为有理数，所以只能但由于，，知，所以假设错误，故是的最小正周期．因为，且，（1）函数是上的奇函数．（2）证明见解析．（3）满足条件的的个数有个．证明见解析．20.（1）（2）由成立，当且仅当成立，，得，所以，，，因为，所以只能，得，，得是的递增函数，当时，，不符合，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，无解，故满足条件的的个数有个．解析:因为集合具有性质，所以，因为中的元素可能为，，，，，，这六个元素同时满足，，，所以集合中的三个元素不可能组成等差数列．由①，得②，①、②相减得到③，得，，所以，（1）不能，证明见解析．（2）．（3）具有性质，证明见解析．21.（3）所以，得到，集合中的所有元素从小到大进行排序，得到，，，，，，满足，其中与数对，，； ，，；，，，；；，，，，对应．所以，解得．当时，，所以对应的数对为，所以．设数列的公比为，则，的元素至多有个，因为，所以，．设，所以或，只要证明恒不成立即可，则，假设，即（*），因为是有理数，设，且，互质．得，所以左边是的倍数，右边不是的倍数，所以（*）式不成立．所以集合具有性质．。
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学模拟试题(1)含解析
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+， 解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.2．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C．( D．【答案】D 【解析】 【分析】将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1()2y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的图象，易知直线1()2y k x =+过定点1(,0)2-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【详解】由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可，即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩2k e∴∈.故选：D. 【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题. 3．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724- B ．524-C ．524D ．724【答案】D 【解析】 【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-【答案】C 【解析】 【分析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.5．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2 B ．153C ．163D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.详解：由2434120y xx y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离， 从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=3=，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.6．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ⋂ð=（ ） A ．()(),35,-∞+∞U B ．(](),35,-∞+∞U C ．(][),35,-∞+∞U D ．()[),35,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】先计算集合B ，再计算A B I ，最后计算()U A B ⋂ð． 【详解】解：{}27100B x x x =-+<Q {|25}B x x ∴=<<，{}37A x x =≤<Q{|35}A B x x ∴=<I „，()[)U ,35(,)A B -∞+∞∴=U I ð． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题． 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，39S =，则10a =（ ） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C【解析】 【分析】设出等差数列{}n a 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得10a ． 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则313127339a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,4a d =-=，∴45n a n =-，即有10410535a =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前n 项和公式的应用，属于容易题．8．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②， 若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值， 则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质. 9．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 10．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ） A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x „ C ．20,(1)(1)∃>+-x x x x „ D ．20,(1)(1)∃+>-x x x x „【答案】C 【解析】 【分析】套用命题的否定形式即可. 【详解】命题“,()x M p x ∀∈”的否定为“,()x M p x ∃∈⌝”，所以命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-”. 故选：C 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.11．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB pTS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.12．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55C ．66D ．78【答案】D 【解析】 【分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122⨯=（）78= 故选：D 【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。