2016年北京西城高三一模数学试卷(理科答案)

北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．29n - 16-11 y = 12．6 13．21 14．○1○4注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得 3b c =. ………………3分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，a ………………5分 得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =. ………………7分 （Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分1sin 3sin 2C C C +=， ………………11分5sin 2C C =，所以tan C =. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. ……4分 （Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ， ………………5分由题意，得2325C 37()11C 1010P A =-=-=，因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是710. ………………9分 （Ⅲ）解：a , b , c 的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD ，又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ，所以1//CC 平面1ADD ， ……………… 2分 同理//BC 平面1ADD ， 又因为1BC CC C = ，所以平面1//BCC 平面1ADD , ……………… 3分 又因为1BC ⊂平面1BCC ，所以1//BC 平面1ADD . ……………… 4分 （Ⅱ）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠= ，得AB BC ⊥，又因为1AB BC ⊥，1BC BC B = ， 所以AB ⊥平面1BCC ， 所以1AB CC ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点， 所以1CC ⊥平面ABCD ， 因为11//CC DD ， 所以1DD ⊥平面ABCD .过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD 两两垂直，以1,,DA DM DD 分 别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,2)C ，1(0,0,2)D ， 所以1(1,2,2)AC =- ,1(4,0,2)AD =-. 设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由10AC ⋅= m ，10AD ⋅= m ，得22420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩ 令2x =，得(2,3,4)=-m . ………………8分易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n . 所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n 即平面11AC D 与平面1ADD . ………………10分 （Ⅲ）结论：直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………11分证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈，由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D ，得1(1,0,)BC m =- ，1(3,2,)DC m = ，1(3,2,)DP DC m λλλλ== ，(3,2,0)CD =--，(33,22,)CP CD DP m λλλ=+=-- . ………………12分 若1BC CP ⊥，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=，即2(3)3m λ-=-，因为0λ≠，1所以2330m λ=-+>，解得1λ>，这与01λ<<矛盾.所以直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-， ………………2分 所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =. ………………3分 故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=. 令()0f x '=，得0x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞. ………………5分 （Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+. ………………6分 求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =. ………………7分 所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增. ………………9分 由2k >，得ln(2)ln 41k >>.又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <.不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根），因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，所以101x <<. ………………11分 同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <， 可得2ln(2)ln 4x k >>，所以12214||ln 41ln ex x x x -=->-=，即 124||lnex x ->. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：2213x y m m+=， ………………1分所以21a m =，213b m=，故2a ==16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ………………3分因为2c =，所以离心率c e a == ………………5分 （Ⅱ）解：设线段AP 的中点为D ，因为||||BA BP =，所以BD AP ⊥， ………………7分 由题意，直线BD 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-， ………………8分 所以直线BD 的斜率为0031AP x k y --=， 所以直线BD 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-. ………………10分令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-，由2200162x y +=，得220063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. ………………11分所以四边形OPAB 的面积OPAB OAP OAB S S S ∆∆=+200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯………………12分 2000233(||||)22y y y --=+ 0033(2||)22||y y =+32⨯≥=当且仅当00322y y =，即0[y =时等号成立. 所以四边形OPAB面积的最小值为 ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7. ………………2分 （Ⅱ）解：设1a p =，其中0p ≠，且1p ≠±. 由111n n n a a a ++=-，得211p a p +=-，31a p =-，411p a p -=+，5a p =， 所以15a a =，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次. ………………4分 所以{}n b 中，432k b -=，423k b -=-，4112k b -=-，413k b =（*k ∈N ），所以{}n c 中，433k c -=，422k c -=-，4113k c -=-，412k c =（*k ∈N ）. ……………5分 由111||||k ki i i i i i b c b c +==--∑∑≥，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大.由417||3i i i b c =-=∑， ………………6分 得34564864117||||86420163i i i i i i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑.所以当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑.故m 的最大值为3455. ………………8分 （Ⅲ）证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个. 因为数列{}n a 中，0i a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组123,,)(a a a 有且只有8个：,0,0)(0，,0,0)(1，,1,0)(0，,0,1)(0，,1,0)(1，,0,1)(1，,1,1)(0，,1,1)(1.那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a . ………………10分设这三个数列分别为1234567,,,,,,{}n c c c c c c c c ：；1234567,,,,,,{}n d d d d d d d d ：；123456,,,,,,{}n f f f f f f f f ：，其中111d f c ==，222d f c ==，333d f c ==.因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，所以{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=中至少有3个成立.不妨设445566,,c d c d c d ≠≠≠.由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1. 又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立， 同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”或“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立.所以71||2i iif c =-∑≤和71||2i iif d =-∑≤中必有一个成立.这与题意矛盾，所以T中的元素个数小于或等于16.………………13分。