空间直线与平面垂直的判定)
直线与平面的垂直
b'
a
b
α
B
A
B
由于点的选取具有任意性, 由于点的选取具有任意性 我们用点到直线的距离来表示两条平行线间的距离 点到直线的距离来表示 我们用点到直线的距离来表示两条平行线间的距离
A'
c
B'
b
M
两条相交直线的位置关系我们使用角度而非距离 来刻画
a
平行直线到平面的的距离如何刻画? 平行直线到平面的的距离如何刻画?
C
课堂练习 1,书 P99/1,2 2, 如图在正方体
ABCD A1 B1C1 D1
D1 A1
中,求A1B与平面A1DCB1的交角 C1
B1 O
D A B
C
�
距离来刻画它们的位置关系吗
距离计算的典型例题: 距离计算的典型例题 例2,如图在长方体
ABCD A1 B1C1 D1
中,
AB = 4, BC = 4, AA1 = 3
求直线B1C1和平面A1BCD1的距离
D1
C1
A1 D E A
B1 C
B
例3,已知在平面 α 内有直角BAC,在它的两条边上取AB=3cm,AC=12cm,若线段 PB=4cm,且 PB ⊥ α 求:
l
α
M
过一点有多少条直线和已知直线垂直?无数条 过一点有多少条直线和已知直线垂直?
专题二:平行 垂直与距离 专题二 平行,垂直与距离 平行
我们一般用"距离"来刻画两个元素间的相对位置关系 我们一般用"距离"来刻画两个元素间的相对位置关系: A A
B
A
l
l
d =| AB |
点到平面的的距离如何刻画? 点到平面的的距离如何刻画? B C A B'
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定[新知初探]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.[点睛](1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.[点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α()答案：(1)×(2)√(3)×2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解[典例]下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．[答案]②(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[活学活用]1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC解析：选C2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．答案：①③④线面垂直的判定[典例]如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．[活学活用]如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB . 证明：(1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，∴PA ⊥BM . 又∵PA ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面PAM . 又AN ⊂平面PAM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ， PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ， ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .直线与平面所成角[典例] 三棱锥S -ABC 的所有棱长都相等且为所成角的余弦值． [解] 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO .则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， ∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC ， ∴AO ＝BO ＝CO ， ∴O 为△ABC 的外心． ∵△ABC 为正三角形， ∴O 为△ABC 的中心． ∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角． 在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23×32a ＝33a ，∴cos ∠SAO ＝AO SA ＝33，∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.答案：(1)45°(2)30°(3)90°层级一学业水平达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能解析：选D.3．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是________．答案：菱形9.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC ＝BD ＝2，则EG ＝FG ＝1.∵EF ＝2，∴EF 2＝EG 2＋FG 2，∴EG ⊥FG ， ∴BD ⊥EG .∵∠BDC ＝90°，∴BD ⊥CD . 又EG ∩CD ＝G ，∴BD ⊥平面ACD .10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO ，B 1C .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC 1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22，AE ＝A 1E 2＋AA 21＝ ⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( ) A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条； ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条； ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个； ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个． 其中正确的是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②D ．③④解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．4.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝5，则tan∠FEB＝55.答案：5 56.如图所示，将平面四边形ABCD 沿对角线AC 折成空间四边形，当平面四边形ABCD 满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC 与BD 交于E ，假设AC ⊥BD ，则AC ⊥DE ，AC ⊥BE . 折叠后，AC 与DE ，AC 与BE 依然垂直，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC ⊥BD .若四边形ABCD 为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)7．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1. (1)求证：AB 1⊥平面A 1BC 1.(2)若D 为B 1C 1的中点，求AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值． 解：(1)证明：由题意知四边形AA 1B 1B 是正方形， ∴AB 1⊥BA 1.由AA 1⊥平面A 1B 1C 1得AA 1⊥A 1C 1. 又∵A 1C 1⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， 又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥AB 1.又∵BA 1∩A 1C 1＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. (2)连接A 1D .设AB ＝AC ＝AA 1＝1， ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角． 在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边的中点， ∴A 1D ＝12×B 1C 1＝22.在Rt △A 1DA 中，AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝62. ∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.8.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩C1D＝D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
直线、平面垂直的判定及性质
教材回归
1．(课本习题改编)若直线 a 与平面 α 不垂直，那么在 平面 α 内与直线 a 垂直的直线有________条．
答案 无数
解析 虽然可以在平面 α 内找到一条直线 b⊥a，而在 平面 α 内有无数条直线平行 b，从而与直线 a 垂直的直线 有无数条．
①在平面 ABC 内取一点 D，作 DF⊥AC 于 F. 平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，∴DF⊥平面 PAC. 又 PA⊂平面 PAC， ∴DF⊥PA.作 DG⊥AB 于 G， 同理可证：DG⊥PA. DG、DF 都在平面 ABC 内， ∴PA⊥平面 ABC.
②连接 BE 并延长交 PC 于 H， ∵E 是△PBC 的垂心，∴PC⊥BH. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，PC⊂平面 PBC， ∴PC⊥AE.又 BH∩AE＝E，∴PC⊥平面 ABE. 又 AB⊂平面 ABE，∴PC⊥AB. ∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. 又 PC∩PA＝P，∴AB⊥平面 PAC， 又 AC⊂平面 PAC，∴AB⊥AC， 即△ABC 是直角三角形．
思考题 2
如图所示，在斜三棱柱 A1B1C1－ABC 中，
底面是等腰三角形，AB ＝AC，侧面 BB1C1C⊥底面 ABC.
(1)若 D 是 BC 的中点，求证：AD⊥CC1； (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M， 若 AM＝MA1，求证：截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C； (3)AM＝MA1 是截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C 的充要条件 吗？请你叙述判断理由．
2．(2012· 衡水调研)设 b、c 表示两条直线，α、β 表示 两个平面，下列命题中真命题是( A．若 b⊂α，c∥α，则 b∥c B．若 b⊂α，b∥c，则 c∥α C．若 c∥α，c⊥β，则 α⊥β D．若 c∥α，α⊥β，则 c⊥β )
垂直的性质定理
1. 直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何 一条直线都垂直,则称这条直线和这个平 面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫 做直线的垂面.交点叫做垂足.
l
α A
2.直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直
b a b A l la l b
a b
α
总结提练
直线和平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
a a / /b b
α
作用：证两条直线平行
a
b
性质定理的应用
判断下列命题的正误。 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（
√
）
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（×） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（×） （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（
已知:平面α⊥平面β,α∩β＝l,则
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此 垂线必垂直于平面β（ ）
√
例1.如图，长方体ABCD A ' B ' C ' D '中，MN 在平面BCC ' B '内， MN BC于点M .判断MN 与AB的位置关系，并说明理由。
面面关系 面面平行 线面关系 线面平行 线线关系 线线平行
注意辅助线的作用
空间问题平面化
面面垂直
线面垂直 线线垂直
a
l
a
A
b
线线垂直
考点35 空间直线、平面垂直的判定及其性质
考点三十五 空间直线、平面垂直的判定及其性质知识梳理1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 垂直于平面α，记作a ⊥α，直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．2.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 5．两平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直． 6．两平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 7．两平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 8.空间角(1)直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是0°的角．故线面角θ的范围：θ∈[0，π2]．(2)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ．②二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．9.垂直关系的转化 判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直性质定理转化：面面垂直用图形表示为：同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即： 线线垂直线面垂直线线平行线面平行典例剖析题型一 垂直问题有关的命题判定例1 (2014·浙江高考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面________． ① 若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α ② 若m ∥β，β⊥α则m ⊥α ③ 若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α则m ⊥α ④ 若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α答案 ③解析 选项①，②，④中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选③. 变式训练 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确的命题是________． 答案 ①④解析 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n .解题要点 1.对于这类命题的判断问题，借助模型法是常见策略，一般地，对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.2.还可以通过画图判断，作图时仍然遵循先作面后作线的原则，用面衬托线，从而利于判断． 题型二 线面垂直的判定与性质例2 如图，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，∵N 是PC 的中点，E 为PD 的中点，∴NE ∥CD ，且NE ＝12CD ，而AM ∥CD ，且AM ＝12AB ＝12CD ，∴NEAM ，∴四边形AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE .又P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ， 又∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥CD . 而AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD⊥AE.又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△P AD为等腰直角三角形．又E为PD的中点，∴AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.解题要点利用判定定理证明线面垂直时，必须证明一条直线垂直于平面内的两条相交直线，这里相交必须要体现出来．题型三面面垂直的判定和性质例3如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．解析(1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(2)设棱锥B-DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得V1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.变式训练如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积．解析 (1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又AB 平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1. (2)证明 取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG 平面ABE ，C 1F 平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE . (3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.解题要点 (1)判定面面垂直的方法： ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，aα⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．当堂练习1．下列命题中，正确命题个数为________．①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ②过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．答案 4解析②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．下列命题中正确的是________．①平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β②若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β③若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β④若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案③解析由两个平面垂直的定义知，③正确．3. 在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是________．①BC∥平面PDF②DF⊥平面P AE③平面PDF⊥平面ABC④平面P AE⊥平面ABC 答案③解析可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC ∥平面PDF，故①成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故②成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故④成立．4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则________．①a⊥β②a∥β③a与β相交④以上都有可能答案④解析借助长方体，可举例说明①、②、③都有可能成立．5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．答案①③④解析②中可能有m∥β，故②不正确．课后作业一、 填空题1．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________． ① }m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α； ② }m ⊥α，n ⊥α⇒M ∥n ； ③ }m ⊥α，n ∥α⇒M ⊥n; ④ }m ∥α，m ⊥n ⇒n ⊥α． 答案 3解析 ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)2．如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，则PD 与平面ABCD 所成的角为图中的________．答案 ∠PDA解析 ∵P A ⊥平面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影，故∠PDA 是PD 与平面ABCD 所成的角． 3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________． 答案 1个或无数个解析 如果平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直． 4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是________．①② ③④答案 ①解析 ①中，∵CD ⊥平面AMB ，∴CD ⊥AB ； ②中，AB 与CD 成60°角； ③中，AB 与CD 成45°角；④中，AB 与CD 夹角的正切值为2．5．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ;②若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ;③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ． 其中正确的个数为________．答案1个解析①不对，b，c可能异面；②不对，b，c可能平行或异面；③对．6．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则________．①n⊥β②n∥β③n⊥α④n∥α或n⊂α答案④解析如图所示，图①中n与β相交，②中n⊂β，③中n∥β，n∥α，∴排除选④.7．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β答案③解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故①错；对②，存在n∥α情况，故②错；对④，存在α∥β情况，故④错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故③正确．8．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则________．①β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直②β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直③β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直④β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案③解析当直线m与β相交时β内存在直线与m平行，但可以作直线与m成90°角．9．空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为________．答案垂直解析取AC中点E，连BE、DE．由AB＝BC得AC⊥BE．同理AC⊥DE，所以AC⊥面BE D．因此，AC⊥B D．10．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ．答案①②解析③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．11．在三棱锥P－ABC中，若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．答案3解析∵P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC＝P，∴P A⊥平面PBC，又P A⊂平面P AC，P A⊂平面P AB，∴平面P AC⊥平面PBC，平面P AB⊥平面PB C．同理可证平面P AB⊥平面P A C．二、解答题12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A ⊥底面ABCD，求证平面PBE⊥平面P AB．证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥C D．又AB∥CD，所以BE⊥A B．又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE．而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P A B．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P A B．13．如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E．求证AE⊥平面PBC．证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥B C．又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥A C．而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P A C．又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE．又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PB C．。
直线、平面垂直的判定及性质课件
⇒l⊥α
解 题 训
练
要
高
效
直线、平面垂直的判定及性质
3．直线与平面垂直的性质定理
基
文字语言 图形语言
础 知 识 要 打 牢
性 垂直于同一个
质 平面的两条直
定 线_平__行__
理
高
频
如果两条平行线中的
考 点
推 一条垂直于一个平面，
要 通
论 那么另一条直线也
关
该平垂面直
符号语言
高
分
a_⊥___α__
直线、平面垂直的判定及性质
基 2．直线与平面垂直的判定定理
高
础
分
知
障
识 要
文字语言
图形语言 符号语言
碍 要
打 判 一条直线与一个平面
牢
定 内的两条相交直线都
高 定 垂直，则该直线与此
频
考 理 平面垂直
点 要 通 关
_a_，__b_⊂__α
破
__a_∩_b_＝__O__
除
_l_⊥__a_ _l_⊥__b_
进行平移，将其转为相交垂直
高
解
频
题
考
训
点
练
要
要
通
高
关
效
直线、平面垂直的判定及性质
基
高
础
分
知
证明直线和平面垂直的常用方法有：
障
识
碍
要
(1)利用判定定理．
要
打 牢
(2)利用线面垂直性质定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
破 除
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
高
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[0°,90°]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求: 直线A1B和平面A1B1CD所成的角 求可线以它面作有角出固关 线定键 面格是 角式过。，线上一一找点，，二找证面，的三垂线计。算这。样
D1 A1
D A
C1 解：连结BC1交B1C于点O，连
B1
O
结A1O。 ∵AC1是正方体，∴A1B1⊥面 BB1C1C
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。
4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这条直线和平 面垂直
“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
小结:
如何求直线与平面所成的角
1.注意三步法：一是找，在直线上找（除斜足外的） 点，过这一点做面的垂线，确定垂足。二是证，证 明作出的角是线面角。三是算，计算这个角。
求证：a⊥α。
证明：
∵ b⊥β， β∩γ=a，
∴ b⊥a ；
∵ c⊥γ，β∩γ=a，
∴ c⊥a ；
∵ b∩c=E， bα，
α
cα,
∴ a⊥α。
a
β
γ
bEc
如图,若一条直线PA和一个 平面α相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。
斜线 P A 斜足
斜线
如图,过斜线上斜足以外的
斜足
一点向平面引垂线PO,过垂
足O和斜足A的直线AO叫做
斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面 射影
垂线
垂足
上的射影所成的锐角,叫做
这条直线和这个平面所成的
角。
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
说明: 1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的 角为90°
2.若直线和平面平行,或直线在平面内, 则直线和平面所成的角为0 °
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
l
P
α
注：画直线与平面垂直时，要把直线画成和 表 示平面的平行四边形横边垂直。
三点说明:
①“任意”表示所有（提问：若直线与平面内的 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.
已知：a∥b，a ⊥α
a
b
求证：b⊥α
m
α
n
证明：在平面α内作两条相交直线m，n
∵ a⊥α
∴ a⊥m ,a⊥n ∵ b∥a
a
b
∴ b⊥m ，b⊥n
m
∴ b⊥α
α
n
练习1：一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上 的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）。如果这 两点与旗杆脚距6m,那么旗杆就与地面垂直，为 什么？
一条直线与一个平面内的两条相交直
线都垂直，则该直线与此平面垂直．
la
l
l b a
b
l
b
Aa
a b A
线不在多，相交就灵
作用：
记忆：线线垂直，则线面垂直
判定直线与平面垂直．
练习
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直 线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
复习引入：
1.直线和平面的位置关系是什么?
（1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）
2.线面平行的判定定理的内容是什么?
如
果
不
在
一新疆 王新敞 奎屯
个
平
面
内
的
一
条
直线
和
平面
内
的一
条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
3.线面平行的性质定理的内容是什么? 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的
平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
生活中有很多直线与平面垂直的实例. 大桥的桥柱与水面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定
旗杆与底面垂直
我们知道旗杆是和地面垂直的，它和地面上的直
a
b
α
探究2：
如果直线 l与平面内的两条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?
如果两条直线平行
如果两条直线相交
a
b
α
结论探：究一：条如直何线将与一一张个长平方面形内贺的卡两直条立相于交 桌直面线？都你垂能直看，出则折该线直与线下与面此两平条面直垂线直的。关
系吗？它与桌面又是什么关系？
直线与平面垂直判定定理1：
C ∴ A1B1 ⊥ BC1
B
又∵BC1 ⊥B1C ∴BC1 ⊥面A1C. A1O为A1B在面A1C上的射影。
∠BA1O为A1B与面AC1所成的角
其余略
小结:
直线与平面垂直的判定方法
1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面.
2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。
解：如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝ PB＝10，OA＝OB＝6，A，O，B三点不 共线 因此A，O，B三点确定平面α， 因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2， 所以 PO⊥OA，PO⊥OB 又OA∩OB＝O 所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直。
2 已知：bα，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，b⊥γ。
线有什么样的位置关系呢？它们之间所成的角又
如何呢？
A
相交 异面
旗杆AB所在直线与地面内 任意一条过点B的直线垂 直．
B
α
与地面内任意一条不过点B 的直线B1C1也垂直．
直线垂直于平面内的 任意一条直线．
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
练习
4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中 任一条直线是否垂直于另两条直线确定的 平面？为什么？
5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边， 能否断定这条直线和三角形的第三条边垂 直？为什么？
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 （此定理可看作线面垂直的判定定理二）
利用定义，我们得到了判定线面 垂直的最基本方法，同时也得到 了线面垂直的最基本的性质.
练习
判断正误： ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条 直线，那么,这条直线就与这个平面垂直。
②若a⊥α,b 在面α内，则a⊥b。
b
a
α
探究1： 如果直线 l与平面内的一条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?