2020年福建宁德高三一模数学试卷(理科)

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2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科数学试卷(5月)-学生用卷

2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科数学试卷（5月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第1题5分设集合A={x|ln⁡x<0}，B={x|x⩽−1}，则A∩∁R B=（）．A. {x|−1<x<1}B. {x|0<x<1}C. {x|−1⩽x<1}D. {x|x⩾1}2、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第2题5分设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，a7=13，则S9=（）．A. 36B. 70C. 72D. 1443、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第3题5分2020年福建宁德高三下学期高考模拟文科（5月）第7题5分干支是天干（甲、乙、⋯、癸）和地支（子、丑、⋯、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入N=1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出x=5，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为（）．六十干支表（部分）A. 己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥4、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第4题5分(1x +1)(x −2)5的展开式中，x 3的系数是（）．A. −50B. −30C. 50D. 305、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第5题5分某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A. 3πB. 9πC. 12πD. 36π6、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第6题5分已知θ∈[−π2,0)，且√3sin⁡2θ=cos⁡2θ+1，则cos⁡θ=（）．A. 0B. 12C. √32D. 0或√327、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第7题5分在复平面内O为坐标原点，复数z1=i(√3+i)，z2=1√3−i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为（）．A. 512πB. 12πC. 712πD. 1112π8、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第8题5分函数f (x )=ax −ln⁡x ⩾0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是（）．A. a ∈[1e,+∞)B. a ∈[0,+∞)C. a ∈[1,+∞)D. a ∈(−∞,e]9、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第9题5分已知O 为坐标原点，AB 是圆C:(x −3)2+(y −4)2=1的直径．若点Q 满足|OQ →|=2，则QA →⋅QB →的最小值为（）．A. 2B. 3C. 8D. 1510、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第10题5分方程：2(x −1)(x −3)=y(e x−2+e 2−x )的曲线有下列说法：①该曲线关于x =2对称；②该曲线关于点(2,−1)对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是A. ②③B. ①④C. ②④D. ①③11、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第11题5分如图，四边形ABCD 为正方形，四边形EFBD 为矩形，且平面ABCD 与平面EFBD 互相垂直．若多面体ABCDEF 的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为（）．A. 16πB. 12πC. 8πD. 6π12、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第12题5分双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点．P 为曲线C 右支上的点，点M 在∠F 1PF 2外角平分线上，且F 2M →⋅PM →=0．若△OF 2M 恰为顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）．A. 2√3B. 4√33C. 2D. √3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第13题5分2020年福建宁德高三下学期高考模拟文科（5月）第13题5分若抛物线经过点(−1,12)，(2,2)，则该抛物线的标准方程为．14、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第14题5分记S n 为正项数列{a n }的前n 项和，a n+12=a n ⋅a n+2，若a 1=1，S 3=7，则a 5= ．15、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第15题5分宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用m ，n 标注）．目前得知这组数据的平均值为58，则方差S 2最大时m −n 的值为．16、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第16题5分已知函数f(x)={x ⋅e x+1,x ⩽0,2x x 2+1,x >0.若关于x 的不等式f 2(x)−2af(x)+2+a ⩽0的解集非空，且为有限集，则实数a 的取值集合为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第17题12分如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =3√3，CD =3，cos⁡∠BDC =−17，∠C =π3．(1) 求sin⁡∠DBC ．(2) 求AD 的长．18、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第18题12分如图，在棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为平行四边形，DD ′=CD =4， AD =2，∠BAD =π3，且D ′在底面上的投影H 恰为CD 的中点．(1) 过D ′H 作与BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由．(2) 若点P 满足D ′P →=λD ′C ′→，试求λ的值，使二面角P −BH −A 为3π4．19、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第19题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆C上的一动点，△PF1F2面积的最大值为2．(1) 求椭圆C的方程．(2) 直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，点A(2√2,0)，证明：直线PA与直线QA关于x轴对称．20、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第20题12分2019~2020学年江苏南京建邺区中华中学高二下学期期中第21题12分已知函数f(x)=ln⁡x−a2x2+(a−1)x(a∈R)．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 求证：6x(1−ln⁡x)+2x3−3x2−51−x2<0．21、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第21题12分某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如下频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布N(μ,3.22)，其中μ近似为样本平均数x（同一组数据用该组区间的中点值作代表）．(1) 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元．(2) 现依次抽取n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A 表示“连续3人的旅游消费支出超出μ”．若P n 表示A 的概率，P n =aP n−1+14P n−2+bP n−3（n ⩾3，a ，b 为常数），且P 0=P 1=P 2=1．① 求P 3，P 4及a ，b ．② 判断并证明数列{P n }从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．（参考数据：P (μ−σ<X <μ+σ)≈0.6826，P (μ−2σ<X <μ+2σ)≈0.9544，P (μ−3σ<X <μ+3σ)≈0.9973）四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第22题10分2020年福建宁德高三下学期高考模拟文科（5月）第22题10分在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos⁡αy =sin⁡α（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为(1,π2)，直线l 的极坐标方程为ρcos⁡θ+2ρsin⁡θ−8=0．(1) 求A 的直角坐标和l 的直角坐标方程．(2) 把曲线C 上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的√3倍，得到曲线C 2，B 为C 2上动点，求AB 中点P 到直线l 距离的最小值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年福建宁德高三下学期高考模拟理科第23题10分2020年福建宁德高三下学期高考模拟文科（5月）第23题10分已知函数f(x)=|x −m|+|x +1|，m ∈N ∗．若存在实数x 使得f(x)<3成立．(1) 求m 的值．(2) 若α，β>0，(4α−1)(β−1)=m ，求α+β的最小值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】x2=2y;14 、【答案】16;15 、【答案】−8;16 、【答案】{a|a⩾3或a⩽−3};17 、【答案】 (1) 3√314．;(2) AD=7．;18 、【答案】 (1) 当点N为棱BC的中点，证明见解析．;(2) λ=1．;19 、【答案】 (1) x24+y22=1．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) 当a ⩾0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+∞)；当a =−1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无减区间；当a <−1时，函数f(x)的单调递增区间为(0,−1a )和(1,+∞)，单调递减区间为(−1a ,1)；当−1<a <0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(−1a ,+∞)，单调递减区间为(1,−1a )． ;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元． ;(2)① P 3=78，P 4=1316，a =12，b =18． ② 从第三项起数列{P n }单调递减，证明见解析．;22 、【答案】 (1) 直角坐标为(0,1)，直角坐标方程为：x +2y −8=0． ;(2) √5．;23 、【答案】 (1) m =1．;(2) 94．;。

2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|0}A x lnx =<，{|1}B x x =-„，则(R A B =I ð ) A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|11}x x -<„D ．{|1}x x …2．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，713a =，则9(S = ) A ．36B ．70C ．72D ．1443．（5分）干支是天干（甲、乙、⋯、癸）和地支（子、丑、⋯、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入1988N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出5x =，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为()六十干支表（部分）5 6 7 戊辰己巳庚午 58 59 60 辛酉戌壬癸亥A ．己巳B ．庚午C ．壬戌D ．癸亥4．（5分）51(1)(2)x x+-的展开式中，3x 的系数是( )A ．50-B ．30-C ．50D ．305．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π6．（5分）已知[,0)2πθ∈-3sin 2cos21θθ=+，则cos (θ= )A ．0B ．12C 3D ．03 7．（5分）在复平面内O 为坐标原点，复数1(3)z i i =，123z i=-对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为( ) A ．512π B ．12πC ．712π D ．1112π 8．（5分）函数()0()f x ax lnx a R =-∈…恒成立的一个充分不必要条件是( ) A ．1[,)a e∈+∞B ．[0a ∈，)+∞C ．[1a ∈，)+∞D ．(a ∈-∞，]e9．（5分）已知O 为坐标原点，AB 是22:(3)(4)1C x y -+-=e 的直径．若点Q 满足||2OQ =u u u r ，则QA QB u u u r u u u rg的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．8 D ．1510．（5分）方程：222(1)(3)()x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称； ③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是( )A．②③B．①④C．②④D．①③11．（5分）如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为163，则该多面体外接球表面积的最小值为()A．16πB．12πC．8πD．6π12．（5分）双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点．P为曲线C右支上的点，点M在12F PF∠外角平分线上，且2F M PM=u u u u u r u u u u rg．若△2OF M恰为顶角为120︒的等腰三角形，则该双曲线的离心率为()A．23B．43C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若抛物线经过点1(1,)2-，(2,2)，则该抛物线的标准方程为．14．（5分）记nS为正项数列{}na的前n项和，212n n na a a++=g．若11a=，37S=，则5a=．15．（5分）宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用m，n标注）．目前得知这组数据的平均值为58，则方差2S最大时m n-的值为．16．（5分）已知函数12,0()2,01xx e xf x xxx+⎧⎪=⎨>⎪+⎩g„，若关于x的不等式2()2()20f x af x a-++„的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集合为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。

福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次综合质量检查理科数学(理)试题

5．C
【解析】
【分析】
根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.
【详解】
如图所示，连接交于，设球的半径为，
因为，所以，
所以，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
6．D
【解析】
【分析】
根据程序框图，解方程得，即可得到答案.
（1）求点轨迹的极坐标方程；
（2）若，求的值.
22．已知在R上恒成立.
（1）求的最大值；
（2）若均为正数，且 ,求的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．
【详解】
复数＝2i+ ＝2i+1﹣i＝1+i,
则|z|＝．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）问：的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．
20．已知函数．
（1）若，曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）若，且函数的值域为，求的最小值．
21．在平面直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，直线的极坐标方程为，直线交圆于两点，为中点.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17．如图，矩形平面，，，且，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的大小．
18．的内角，，的对边分别为，，，且，．

2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学答案

2020年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．5- 14．12 15．35- 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．17．解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，……………………………… 2分又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，………………………………3分当1n =时，22122S S a +=且112a =，故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，………………………………5分所以12n a n = ．………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅，………………………………8分所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+]………………………………10分 122(1)11n n n =-=++．………………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =,．…………………… 1分因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，……………… 2分所以四边形AMNF 为平行四边形，…………3分所以//AF MN ，……………… 4分又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．………………………5分（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．………………………………6分如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D，1,0)E -，………7分因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量，………………………………8分设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得200y y z =⎧⎪--=，故可取2=n ，………………………………11分则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．………………………………12分解法二：(1)取CD 中点F ，分别连结FM ,FN ．又矩形ABCD 中，M 为AB 中点，所以//,AM DF AM DF =，所以四边形AMFD 为平行四边形，所以//MF AD ，…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED ，所以//MF 平面AED ．………………… 2分因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点．所以//FN DE ，又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED ，所以//FN 平面AED ．……………… 3分又因为MF FN F ⋂=，所以平面//FMN 平面AED ，………………4分又MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面AED ．………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ，过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ，连结EH ，又因为平面ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC = 所以EG ⊥平面ABCD ．EG AH ∴⊥又EG GH G =，AH ∴⊥平面EGH ， EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角，………………………………10分因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠………………………………11分由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．……………………12分19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -……………1分又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分sin sin 0A C C -=，…………………………………3分因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以cos 2A =0A π<<………………………………………4分所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，，所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+………………………………9分所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅2222a b c c ab+--=⋅……………………1分整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分又0A π<<，所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=，又c =2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形，所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222222848884848b b b b b b b b ⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分延长AD 到点E ，使得DE AD =，连结BE ，CE . 则四边形ABEC 为平行四边形，所以344ABE πππ∠=-=，BE AC b ==. 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，………………………………9分即2244+8AD b b =+，所以AD =………………………………10分因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.………………………………12分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，………………………………1分 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，………………………………3分 ∴1c =，2223b a c =-=，………………………………4分因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．………………………………5分（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．………………………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=，易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=，………………………………8分设1t =，则2212121313ABF t S t t t∆==++，………………………………9分设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，……………10分所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，………………………………11分此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．………………………………12分（注：若讨论直线l 斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分） 21．本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，………………………………1分由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，………………………………2分得1(2)(2)0a ea a ++-+=，即1(1)(2)0a ea +-+=，……………………………3分解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，……………………5分所以2a =-.………………………………6分（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e+=，则ln 2ln 1t x ax =++，………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，。

福建省宁德市2020年(春秋版)高考数学一模试卷(理科)D卷

福建省宁德市2020年（春秋版）高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合,则集合（）A . （-2，+∞）B . （-2，3）C . [1,3)D . R2. （2分）复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则||等于（）A . 5B .C .D .3. （2分）(2017·海淀模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入a=﹣7，d=3，则输出的S为（）A . S=﹣12B . S=﹣11C . S=﹣10D . S=﹣64. （2分）(2019·恩施模拟) 在区间上随机选取一个实数，则事件“ ”发生的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 已知函数满足，，且（），则的值（）A . 小于1B . 等于1C . 大于1D . 由的符号确定6. （2分）(2017·长沙模拟) 已知数列{an}满足：对于∀m，n∈N* ，都有an•am=an+m ，且，那么a5=（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·山南模拟) 已知向量，满足| |=2| |≠0，且关于x的函数f（x）= x3+ | |x2+ • x在R上有极值，则与的夹角的取值范围为（）A . （，π]B . [ ，π]C . （0， ]D . （， ]8. （2分） (2019高二下·温州期中) 如图，函数（其中）与坐标轴的三个交点满足为的中点，，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018高二下·温州期中) 已知函数和均为上的奇函数,的最大值为 ,那么的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（0，3），曲线C：x2+6y+y2=0，那么平面内到曲线C的距离与到点A的距离之差的绝对值为3的点的轨迹是（）A . 一条直线，一条射线，一条线段B . 二条射线C . 一条直线，一条线段D . 一条直线，一条射线11. （2分）双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝（）A .B . 2C . 3D . 612. （2分）对于下列四个命题,；,；,．其中的真命题是（）A . p1 ， p3B . p1 ， p4C . p2 ， p3D . p2 ， p4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为________．14. （1分）若关于的三次方程的个实根为，那么 ________.15. （1分）(2017·巢湖模拟) 已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A ﹣BCD的外接球，BC=3，AB=2 ，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·菏泽期中) 一个三角形的三条边长分别为7，5，3，它的外接圆半径是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2020·淄博模拟) 下面给出有关的四个论断：① ；② ；③ 或；④ .以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若▲，则▲（用序号表示）并给出证明过程：18. （10分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据： =9.32， =40.17， =0.55，≈2.646．参考公式：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．19. （10分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD=2，△ADP为等边三角形．（1）当PB长为多少时，平面平面ABCD?并说明理由；（2）若二面角大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．20. （10分） (2019高二下·上饶期中) 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，求直线的方程.21. （10分）(2019·怀化模拟) 设函数 .（1）若是的极大值点，求的取值范围；（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值.22. （10分）(2017·广州模拟) 在直角坐标系xOy中，已知点P（1，﹣2），直线l：（m 为参数），以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=3cosθ；直线l与曲线C的交点为A，B．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）求 + 的值．23. （10分）(2017·来宾模拟) 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）= （a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)

2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B.C. D.2.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 36B. 70C. 72D. 1443.干支是天干甲、乙、、癸和地支子、丑、、亥的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入，执行该程序框图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为六十干支表部分567戊辰己巳庚午585960辛酉戌壬癸亥己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥4.的展开式中，的系数是A. B. C. 50 D. 305.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.6.已知，且，则A. 0B.C.D. 0或7.在复平面内O为坐标原点，复数，对应的点分别为，，则的大小为A. B. C. D.8.函数恒成立的一个充分不必要条件是A. B. C. D.9.已知O为坐标原点，AB是：的直径．若点Q满足，则的最小值为A. 2B. 3C. 8D. 1510.方程：的曲线有下列说法：该曲线关于对称；该曲线关于点对称；该曲线不经过第三象限；该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是A. B. C. D.11.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为A. B. C. D.12.双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．P为曲线C右支上的点，点M在外角平分线上，且若恰为顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为______．14.记为正项数列的前n项和，若，，则______．15.宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染分别用m，n标注目前得知这组数据的平均值为58，则方差最大时的值为______．16.已知函数，若关于x的不等式的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集合为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，，，，，．求；求AD的长．18.如图，在棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，且在底面上的投影H恰为CD的中点．过作与BC垂直的平面，交棱BC于点N，试确定点N的位置，并说明理由；若点P满足，试求的值，使二面角为．19.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆C上的一动点，面积的最大值为2．求椭圆C的方程；直线与椭圆C的另一个交点为Q，点，证明：直线PA与直线QA关于x轴对称．20.已知函数．讨论函数的单调性；求证：．21.某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通年卡为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出单位：百元，并制成如图频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，其中近似为样本平均数同一组数据用该组区间的中点值作代表．若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；现依次抽取n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示“连续3人的旅游消费支出超出”若表示的概率，a，b为常数，且．求，及a，b；判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．参考数据：，，22.在直角坐标系xOy中，曲线以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为．求点A的直角坐标和直线l的直角坐标方程；把曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，B 为上动点，求AB中点P到直线l距离的最小值．23.已知函数，，若存在实数x使得成立．求m的值；若，，，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由得，得，即，，则，故选：B．求出集合A，B的等价条件，结合补集和交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．2.答案：C解析：解：等差数列的前n项和为，，，．故选：C．可得：，由此能求出结果．本题考查等差数列的求和，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：，；，；，；，；，；，；，；，；对应表格可知为己巳，故选：A．根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环．本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题．4.答案：D解析：解：原式．故展开式含的项为：．故所求系数为30．故选：D．将第一个括号打开，分别与后面的二项式相乘，将问题转化为求后一个括号二项式展开式的4次项、3次项的问题求解．本题考查二项式的通项及其应用．要注意转化思想在解题中的应用，强调计算的准确性．属于基础题．5.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4．该几何体的体积为．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.答案：A解析：解：已知，且，，即，或不合题意，故选：A．由题意利用二倍角的余弦公式，求得的值．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：，．，，则．的大小为．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，分别求出，的坐标，再由得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8.答案：C解析：解：函数的定义域为，依题意，在上恒成立，设，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，，，故使得函数恒成立的一个充分不必要条件是．故选：C．依题意，在上恒成立，设，利用导数可知，再根据选项及充分不必要的条件即可得出正确选项．本题考查利用导数研究函数的最值，考查充分不必要条件的判断，考查分离变量思想及转化思想，属于基础题．9.答案：C解析：解：因为O为坐标原点，AB是：的直径．若点Q满足，如图：Q在以为圆心，半径为2的圆上运动；故；当最小时，取最小值；而；的最小值为：．故选：C．先根据向量的三角形法则把所求问题转化，结合图象即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.答案：D解析：解：将方程整理可得，令将x换成时，即，所以，所以曲线关于对称，所以正确，不正确；当时，，所以该曲线不经过第三象限，故正确，曲线过的整数点，三个整数点，故不正确，故选：D．将方程整理可得，令，可得所以可得曲线关于对称，不关于点对称，且时，故不过第三象限，只有3个整数点，可得答案．本题考查曲线与方程的关系，及函数的对称性，属于中档题．11.答案：B解析：解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以，设，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，面ABCD，平面平面，所以面EFBD，所以，由题意可得，所以；所以，矩形EFBD的对角线的交点O，连接，可得，而面EFBD，而平面平面EFBD，平面平面，所以面EFBD，可得都为外接球的半径R，所以，所以外接球的表面积为，所以外接球的表面积最小值为．故选：B．由题意可得面EFBD，可得，再由多面体ABCDEF的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．本题考查几何体的棱长与外接球的半径之间的关系，和均值不等式的应用，及球的表面积公式，属于中档题．12.答案：D解析：解：如图，延长与的延长线交于N，设，，由双曲线的定义可得，点M在外角平分线上，且，可得，M为的中点，则，若恰为顶角为的等腰三角形，可得，，即有，解得，，在三角形中，，可得，可化为，则，故选：D．延长与的延长线交于N，设，，运用双曲线的定义和等腰三角形的三线合一，以及中位线定理，求得m，n，再在三角形中，，运用余弦定理，化简整理，结合离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，考查等腰三角形的性质和中位线定理、三角形的余弦定理，考查数形结合思想和化简运算求解能力，属于中档题．13.答案：．解析：解：由抛物线过的点的坐标可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为：，将点代入可得，可得，及抛物线的方程为：，显然也在该抛物线上，故答案为：．由抛物线过的定点可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程，由点的坐标可得参数的值，进而求出抛物线的方程．本题考查抛物线的性质，属于基础题．14.答案：16解析：解：因为为正项数列的前n项和，且，，且；；负值舍；；法；；法且；故数列为等比数列，；；故答案为：16．先根据已知条件求出，再根据递推关系式一步步求出结论．法利用等比数列的定义求解．本题主要考查递推关系式的应用以及等比数列的定义，属于基础题目．15.答案：解析：解：由题可得：；；取最大值，即：取最大值；；；为小于等于9的自然数；故时，A最大，此时不成立；故时，A最大．此时；故；故答案为：．先根据平均数求得；再把方差最大转化为取最大值，结合二次函数的性质即可求解结论．本题主要考查茎叶图的应用以及二次函数的有关性质，属于中档题目．16.答案：解析：解：函数，当时，则，当时发，，当时，，可得，当时，，即，可得，，令是方程的解集，且为有限集，可知或，当时，则，解得，当时，则，解得．则实数a的取值集合为．故答案为：．根据函数的图象性质可知，，令是方程的解集，且为有限集，可知或，从而可得实数a的取值集合．本题考查的知识点是分段函数的应用，导函数研究其最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．17.答案：解：因为，，所以，在中，，所以．在中，由正弦定理得，即，解得．因为，，所以，在中，，根据余弦定理，解得．解析：在中，根据，，结合内角和定理、诱导公式可求得；结合的结果和，可求出在三角形BCD中求出BD，再有，在中利用余弦定理可得AD的长．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．18.答案：解：解法一当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明，分别连结NH，，在中，，所以，因此，即，因为在底面上的投影H恰为CD的中点，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又，，，平面，所以平面，因此，点N即为所求，平面即为；证明：由题知可得，，，所以，分别以为x，y轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系，，0，，，，，，，所以，易得平面AHB的一个法向量为，，，设为平面PBH的一个法向量，则：，令，得，因为二面角为，所以，所以，又因为二面角的大小为钝角，故．解法二：当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明．分别连结NH，，BH．因为在底面上的投影H恰为CD的中点，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，在中，，故为等边三角形，又点N为棱BC的中点，所以，又，，，平面，所以平面，因此，点N即为所求，平面即为；证明：连结HA，在平行四边形ABCD中，因为，所以，故，即，分别以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，，0，，，2，，，，，易得平面AHB的一个法向量为，设为平面PBH的一个法向量，则：，即，令，得，因为二面角为，所以，所以，又因为二面角的大小为钝角，故．解析：先证，，进而得到平面，由此BC的中点点N即为所求，平面即为；解法一：以为x，y轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，解出即可；解法二：以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，解出即可．本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．19.答案：解：因为椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，因为面积的最大值为2，所以，即，又因为，所以，，故椭圆C的方程为．由得，当直线l的斜率为0时，符合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，代入消去x整理得：，易得，设，，则，记直线PA，QA的斜率分别为，，则所以，因此直线PA与直线QA关于x轴对称．解析：根据，结合，所以，再根据面积最大值为，即可求出a，b；根据条件可得当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，设，，则，则，得证．本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于难题．20.答案：解：定义域为，，当时，，所以函数的单调递增区间为，递减区间为；当时，令，得或，当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为，无减区间；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无减区间；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；证明：设，，由可知，当时，，且的单调递增区间为，递减区间为，所以的单调递增区间为，递减区间为，故，所以在上单调递增，又，所以当时，，时，；又当时，，时，，所以．解析：求导，分，，，及五种情形得出单调性情况；设，求导可知当时，，时，，由此容易得证．本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于中档题．21.答案：解：直方图可得，，，元，旅游费用支出不低于1820元的概率为，，估计2019年有万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元．，，由，即，解得；数列从第三项起单调递减．，故，又，，即从第三项起数列单调递减．由此，可知随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件．解析：由直方图可得，即可得到，结合已知的，可知旅游费用支出不低于1820元的概率为，求得概率后乘以500得答案．先由题意求得与的值，再列关于a，b的方程组求解a，b的值；由，利用作差法可得从第三项起数列单调递减．其实际意义为随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．22.答案：解法一：点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，由，得点A的直角坐标为，直线l的直角坐标方程为．设，则由条件知点在曲线上，所以，即，因为P为AB中点，所以，则点P到直线l距离为，当时，取得最小值5，故AB中点P到直线l距离的最小值为．解法二：同解法一设，则由条件知点在曲线上，，即，则点A到直线l的距离为，点B到直线l距离为，当时，取得最小值4，故点B到直线l距离的最小值为，又因为点P为AB中点，则点P到直线l距离的最小值为．解析：利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．利用伸缩变换的应用和点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：存在实数x使得成立即存在实数x使得成立，等价为，而，当且仅当即时等号成立，故存在实数x使得成立等价于，解得，又因为，所以．解法一、由得，故，所以，当且仅当时取最小值．解法二：由，即，即，由，可得，当且仅当时取最小值．解析：由题意可得，由绝对值不等式的性质可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求值；方法一、用的式子表示，再由基本不等式可得所求最小值；方法二、由条件可得，由乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值，注意等号成立的条件．本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．。

福建省宁德市数学2020届高中毕业班理数第一次(3月)质量检测试卷

福建省宁德市数学2020届高中毕业班理数第一次（3月)质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）复数（﹣ i）3（其中i为虚数单位）的值是（）A . ﹣iB . iC . ﹣1D . 12. （2分）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A . 4B . 6C . 8D . 123. （2分）已知集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x≤a}，若A∩B≠Φ，则实数a的集合为（）A . {a|a＜2}B . {a|a≥1}C . {a|a＞1}D . {a|1≤a≤2}4. （2分） (2016高二上·曲周期中) 设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A . 7B . 8C . 9D . 145. （2分）(2017·四川模拟) 设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D两点，则 =（）A . ﹣9B . ﹣3C . 3D . 96. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 4B . 8C .D .7. （2分）如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是（）A . a＞2B . 0＜a＜1C . 2＜a＜3D . a＞38. （2分）已知数列{an}满足a1＞0，且an+1= an ，则数列{an}的最大项是（）A . a1B . a9C . a10D . 不存在9. （2分）(2017·黑龙江模拟) 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·鹤岗月考) 函数的部分图像是（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·湖南模拟) 对于集合，定义：为集合相对于的“余弦方差”，则集合相对于的“余弦方差”为（）A .B .C .D .12. （2分）双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1关于一条渐近线的对称点P在另一条渐近线上，该双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在等比数列中，，则 ________．14. （1分） (2018高三上·南阳期末) ________（小数点后保留三位小数）。

福建省宁德市2020届高三第一学期第一次质量检查期末考试试题理数学【解析版】

福建省宁德市2020届高三第一学期第一次质量检查期末考试试题理数学【解析版】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（） A. 22 32 D. 2【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i, 则|z|221+1=2故选C ．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2.设集合201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =( ) A. {}21x x -≤<- B. {}11x x -<≤ C. {}21x x -≤< D. {}11x x -≤< 【答案】A【解析】【分析】对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-，集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-，所以{}21A B x x ⋂=-≤<-.故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力.3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14± B. 14 C. 116± D. 116【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-，解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】画出x ，y 满足约束条件111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11y y x =⎧⎨=-⎩，解得()2,1A ，由2z x y =+可知直线过()2,1A 时，z 最大，得2215z =⨯+=，故选B. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 53πB. 7πC. 323πD. 13π【答案】C【解析】【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ，因为2CD AD BD =⋅，所以23)31BD BD =⋅⇒=，所以31222AD BDR ++===，所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3n n =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3n n =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环.故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（）A. //a β且αβ⊥B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ 【答案】D【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件．解答：解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件，故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A. x <y <zB. x <z <yC. z <x <yD. z <y <x 【答案】C【解析】【分析】令23log log 2(0)z x y k k ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)zx y k k ，则2,3k k x y ==，因为0k >，由2,3x x y y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2x y =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z x k k ，所以z x ，综上所述：z x y <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( )A. 3或13B. 0C. 13D. 3【答案】B【解析】【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立，解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++，因为直线AB 的方程为：3y x ，且||2AB = 点C 到直线AB 的距离231|3|1122|1|k k k k d k +--+++=+ 所以1222|1||1|022|1|k k k k ⋅=⇒-=+⇒=+. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( ) 2 B. 22 C. 4 D. 8 【答案】A【解析】【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值.【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ，整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42p x y py p x y p +--=⇒+-=，圆心为(0,)2p ，半径为p ，因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以22262p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为( )A. 3B. 2 32【答案】C【解析】【分析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==，所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3sin(2)332A A π⋅=⇒=故选：C. 【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便.12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点；②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．其中的真命题为( )A. ②③B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D【解析】【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项. 【详解】因为'1(n )si x f x xx a =++，对③，当0a =时，'1(n )si x f x x =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ；对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x =+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A. 故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-a ，(,1)b m m =-，若//a b ，则a b ⋅=_______．【答案】5-【解析】【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-a ，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-.故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______．【答案】12【解析】【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-，所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-，所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+，则sin 2α=_______．【答案】35【解析】【分析】由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值. 【详解】因为sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+，所以2222222αααα++，整理得：tan 3α=-，所以sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______．【答案】21 【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ，取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ，对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=，所以PE 的最小值为21.21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n a n =；（2）21n n + 【解析】【分析】（1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式；（2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，当1n =时，22122S S a +=且112a =，故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，所以12n a n = ．（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅，所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11n n n =-=++．【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC ，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；（2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，23)=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，故可取2(1,0,3)=n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -=⋅，22c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【答案】（1）4A π=；（2）(5,10) 【解析】【分析】（122cos b c a C -⋅中的边化成角得到2cos 2A =A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（122cos b c a C -⋅2sin 2cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+， 2(sin cos cos sin )sin 2cos A C A C C A C +-=， 2sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以2cos 2A =0A π<<，所以4A π=.（2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =，所以22)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+，因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，.因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+，所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++，因为(24)b ∈，，所以AD 的取值范围为(5,10). 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=，易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以22121212121||||()42ABF S F F y y y y y y ∆=⋅-=+-⋅ 222223636121(34)34m m m m +=+++，设211t m =+≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++，设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增，所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；（2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】（1）2a =-；（2）e 【解析】【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xeax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x+=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=，得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=，解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=，故()h x 的单调递减区间为)e ，单调递增区间为,)e +∞，所以()h x 的最小值为e)eh = 故a 的最小值为e- 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点. （1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||3AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=．【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得： 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩，所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=，即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部），其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以2]t ∈，则21sin 2t α-=，所以2213t t -=224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去），所以21sin 212t α=-=，又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈，所以26πα=或526πα=，即12πα=或512πα=．【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b ,求2a b -的取值范围. 【答案】(1)2(2) (,22]2,)-∞-⋃+∞．【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-，又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b ． 0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<．故112222(1)11a b b b b b ．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221a b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”；当32b >时，112b ->， 1122(1)22(1)2211a b b b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”．所以2a b -的取值范围是(,22][22,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。

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又∵
，∴
，
要使
的内切圆面积最大，只需
的值最大．
设
，
，直线：
，
联立
消去得：
，
易得所以
，且
，
，
设
，则
，
设
（），
，所以
在
所以当此时
，即，所以
时，
的最大值为，
的内切圆面积最大为．
21.（ 1 ）
.
（2）
解析:
（ 1 ）当时，
，
上单调递增，
18
，
由（）
，
得
，
即
，
解得
或
，
当
时，（）
，此时直线
，
即
．
故选．
10. A
解析:
圆
即
，圆心为
抛物线
的焦点
，
直线过抛物线的焦点，
故
，由
，得
，
设
，
，设直线为
，
由
，得
，
，半径为，
，
，
故
，
故
，又
，
故
，
故选：．
9
11. C
解析:
依题意，
，
，
，
，
∴
，
∴
，
又
，故
，
，
即
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
又
，故
．
故选：．
12. D
解析:
①令
，
．
时，
．
可得函数在
上单调递增，
恰为切线，故舍去，
所以
．
（ 2 ）当时，
，
设
，则
，
故函数可化为
.
由
，可得，
的单调递减区间为，单调递增区间为
，
所以的最小值为（）
，
此时，函数的的值域为
问题转化为当时，
有解，
即
，得
．
设
则
，
故的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
所以的最小值为
，
故的最小值为
．
22.（ 1 ）点轨迹的极坐标方程为
所以
．
13
18.（ 1 ）证明见解析．
（2）．解析: （ 1 ）方法一：
取中点，分别连接，，
又为中点，
∴
，
，
∵矩形
中，为的中点，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
又∵
平面
，
平面
，
∴
平面
．
方法二：
取中点，分别连接，，
又矩形
中，为中点，
∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
∴ ∵ ∴ 在以
，．为焦距的双曲线的右支上，且
，，
12
∴双曲线方程为
y
，作出图象如图，
x
O
∴
当
时，
∴ 的最小值为：
， ,
故答案为： .
17.（ 1 ）（2）
解析: （ 1 ）由
．．
两式相减，得：
又∵
，∴
，
当
时，
且
，
故
，得
（
∴
，
∴数列为等差数列，公差为，
所以
．
（ 2 ）由及题意可得
，舍去），，
在
上单调递减．
∴
，函数取得极大值即最大值．
时，
， ,
当
时，
，
10
因此
，
因此函数无零点．①不正确．
②
．
由①可得：
时，
不成立，
此时函数无极值点．
时，
函数的极大值
，
有解，
因此函数有极值点．②不正确．
③当
时，函数
，
，与
在上单调递增，
可得在
上单调递增，③正确．
④
时，
在
上单调递增．
∴
.
∴当
时，
在
所以
，即
，
所以
，
延长到点，使得
，连结，．
则四边形
为平行四边形，
所以
，
，
在
中，
，
17
即所以
，，
因为
，
所以的取值范围为
．
20.（ 1 ）
．
（2）
的内切圆面积有最大值，最大值为．
解析:
（ 1 ）∵离心率为
，∴
，
∵
的周长为，∴
，得
，
∴
，
，
因此，椭圆的标准方程为
．
（ 2 ）设
的内切圆半径为，∴
得
平移直线
，
由图象可知当直线
此时最大．
由
，解得
，经过点时，直线
，
代入目标函数即目标函数故选：．
得
．
的最大值为．
5. C 解析: 如图，
的截距最大，
不妨设球的半径为，球心为，由几何关系可得：
，
解得
．
∴球的体积球
，
7
挖去圆锥的底面半径为，高为，体积为锥
，
则几何体的体积
球
锥
．
故选．
，求
的取值范围．
【答案】 1. B
解析: ，
选．
2. A 解析:
∴ 对于集合是求若则有即 ∴ ∴ 故选．
且
，解得：
，
的定义域，
有意义，
，
或
，
或
，
，，
3. A 解析: 根据等比数列的性质，由又故选．
，，．
4. B 解析:
6
，故
作出，满足
对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由
由得，
所以
，
又
，所以
或
，
．
，，
即
或
．
方法二：
由得，
令则即所以所以
，因为
，所以
，解得
，又
或
，
，所以
，
，所以
（
舍去），
，
，
，，
即
或
．
23.（ 1 ）．（2）
解析: （ 1 ）构造
∵
．
，在上恒成立，
20
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴ 的最大值
．
（ 2 ）由（）得
，故
．
∵
，
，
∴
，
∴
或
，
故
．
当
A. 或
B.
C.
D.
对称，斜率为的直线过点交于点，若
10. 已知斜率为又直线与圆 A. B. C. D.
的直线过抛物线交于，两点．若
的焦点，与抛物线交于，两点，，则的值为（）．
11. 已知函数图象与轴相邻的两个交点，点，则的值为（）． A.
的周期为，
，
∴二面角
的大小为．
方法二：
15
过点作
交的延长线于，过作
交的延长线于，连接，
又∵平面
平面，矩形
平面
，
∴
平面
，
∴
，
又
，
∴
平面
，
∴
，
∴
即为二面角
的平面角，
∵
，
，
∴
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角
的大小为．
19.（ 1 ）．
（2）
．
解析:
（ 1 ）方法一：
因为
，
由正弦定理，得
13. 已知向量
，
，若
，则
．
14. 已知定义在上的奇函数满足．
，且
，则
15. 若
，则
．
16. 在棱长为的正方体的距离之差为．设
中，正方形
所在平面内的动点到直线，
的中点为，则的最小值为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 已知各项均为正数的数列的首项
，前项和为，且
，
又
平面
，
平面
，
14
∴
平面
，
∵ 、分别为、的中点，
∴
，
又
平面
，
平面
，
∴
平面
，
又∵
，
∴平面
平面
，
又
平面
，
∴
平面
．
（ 2 ）方法一：
∵矩形
平面，
矩形
平面
，
，
∴
平面
，
如图，以为原点建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
∵ 轴平面
，
∴
为平面
的一个法向量，
设
为平面
的法向量，
∵
，
，
∴
，得