一元二次方程的构造
人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 一元二次方程
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
不同 点
探究新知
素养考点 一元二次方程一般形式的有关概念
例 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常 数项.
二次项、二
解： 去括号，得
次项系数、一次
3x2-3x=5x+10
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测
(3)若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为
a×22+b×2+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2.
课堂小结
一元二次 方程
定义 等号两边都是整式，只含一个未知 数且未知数的最高次数是2的方程
概念
判断 ① 是整式方程； ② 含一个未知数；（一元） ③ 最高次数是2.（二次）
巩固练习
（3）4x(x+2)=25
(4)(3x-2)(x+1)=8x-3
解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二 次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一般解法1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .例(3x+1)^2;=7 解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)例x^2-4x-12=0 (x-2)^2-4-12=0 (x-2)^2=16 x-2=±4 x=6或-2 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2;-4ac的值，当b^2;-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2;-4ac)]/(2a) , (b^2;-4ac≥0)就可得到方程的根。
专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。
一元二次方程的构造
一元二次方程的构造一元二次方程是数学中的重要概念，它由一次项、二次项和常数项组成，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c都是实数且a不等于0。
这篇文章将探讨一元二次方程的构造及其相关概念。
一元二次方程的构造是指根据已知条件，通过解方程来求得方程中的未知数。
解一元二次方程的过程可以通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法进行。
我们可以通过因式分解的方法来构造一元二次方程。
对于形如(x +a)(x + b) = 0的方程，我们可以通过求解方程(x + a) = 0和(x +b) = 0来得到方程的解x = -a和x = -b。
因此，如果我们已知一元二次方程的两个根，就可以通过(x - r1)(x - r2) = 0的形式来构造方程，其中r1和r2分别是方程的两个根。
我们可以通过配方法来构造一元二次方程。
通过将方程的二次项与常数项进行配方，可以将一元二次方程转化为完全平方的形式。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0的形式，从而得到方程的解x = -3。
除了因式分解和配方法，我们还可以通过求根公式来构造一元二次方程。
求根公式是一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个根可以通过以下公式来求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)通过求根公式，我们可以根据一元二次方程的系数来构造方程的根。
如果我们已知一元二次方程的一个根r，那么可以构造一个满足方程的另一个根为s的方程。
根据求根公式，我们可以得到方程的系数与根的关系：s = (-b - r) / a通过求根公式，我们可以将一元二次方程的根与系数进行转换，从而构造满足特定条件的方程。
总结一下，一元二次方程的构造是根据已知条件通过解方程来求得方程中的未知数。
通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法，我们可以根据方程的根或系数来构造一元二次方程。
一元二次方程
(1)当a取什么值时,它是一元一次方程?
(2)当a取什么值时,它是一元二次方程?
解:(1) a2-4=0
a+2≠0 ∴a=2 ∴当a=2时，原方程 是一元一次方程
(2) a2-4≠0
∴a≠±2
∴当a≠±2时，原 方程是一元二次方 程
三、方程的根
2、(2019·大连)某房屋开发公司经过几年 的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4 万平方米，到2019年的7万平方米．设这两 年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均 增长率为x，则可列方程为
1.将方程化成一般形式. 2.解方程时选取方法要恰当。 3.应用根与系数关系时，要
特别注意应，b2-4ac≥0. 3.一元二次方程系数可以判断
系数是___b______,常数项是_______
1.下列关于x的方程中是一元二次方程 的是（ D）
A. 3x24xB5. 2 2x23x2y4
C. x2 2 1D. 0 2x
E. a2xbxc0
2x2 32x 7 6
2、方程①
5 3y
y2
1
②
x2
3x 10 2
14.若方程(x+1)(x+a)=x²+bx-4，则( ) A. a＝4，b=3 B. a＝-4，b=3， C. a＝4，b=-3 D. a＝-4，b=-3
求证：
（1）对于任何实数x，均有：2x24x3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式 3x2 5x1的
值总大于 2x24x7 的值。
(5)X2=X(X+1)+36 (6)ax2+bx+c=0(a≠0)
构造一元二次方程解题
四.用根的判别式构造一元二次方程
5．已知 14（b-c）＝（a﹣b）（c﹣a）
且a≠0，则 b+c ＝
．
a
答案：2
五.用求根公式构造
7．已知a＝
1 8
求（ 1+ 1-4a）3﹣ 2
（ 1+ 1-4a）2+a×（ 1+ 1-4a）+4的值．
2
2
答案：4
六.运用主元法构造
6．已知a＞b＞0，且a2+b2＝6ab，求 的值a+b ．
构造一元二次方程技巧
肇东市宋站中学校
一. 已知两根求作新的方程
以x 1,x2为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
x2 (x1 x2 )x x1x2 0
1.已知两个数的和等于2，积等于-
15，则这两个数中较大的
是
． 答案：5
变式.已知两个数的差等于2，积等
于15，则这两个数中较大的
是
4.已知m=1+ 2 ，n=1- 2，且（7m2﹣14m+a） （3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9 【分析】观察已知等式可知，两个括号里分别
有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可由已知m、n的 值移项，平方得出m2﹣2m，n2﹣2n的值，代 入已知等式即可． 故选：C．
a-b
答案： 2
总结
构造一元二次方程既是一种重要 的数学方法，又是一种常用的数学思 想，某些非一元二次方程问题，若能 抓住其特征，则可以用过构造一元二 次方程来解决。
． 答案：5或-3
二.由根的定义构造一元二次方程
2.两个不相等的实数m，n满足
如何构造一元二次方程解题
如何构造一元二次方程解题
一元二次方程是数学中最基础的方程之一，它可以用来解决很多实际问题，所以掌握一元二次方程的解题方法是很重要的。
一元二次方程的形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，x是未知数。
解题思路可以分为以下几个步骤：
1、观察一元二次方程的系数，确定求解方法。
如果系数
a不等于0，则可以用常见的解法求解；如果系数a等于0，
则可以用特殊的解法求解。
2、把一元二次方程化为一元一次方程，解出x的值。
如
果系数a不等于0，则可以使用二次公式求解：x=（-b±√（b²-
4ac））/2a；如果系数a等于0，则可以使用求根公式求解：
x=-c/b。
3、根据求出的x值，检验是否满足一元二次方程，从而
得出最终解。
以上就是构造一元二次方程解题的步骤，简单明了，易于理解。
掌握了上述方法，就可以更有效地解决一元二次方程的问题了。
一元二次方程的求解是数学中常见的问题，在实际生活中也有很多应用。
例如，在经济学中，可以用一元二次方程来解
决消费者理性投资的问题。
此外，在物理学中，可以用一元二次方程来求解物体运动轨迹和动量定理等问题。
综上所述，一元二次方程是数学中非常重要的方程之一，掌握它的求解方法对于解决实际问题非常有帮助。
因此，我们应该积极研究数学，努力掌握一元二次方程的解题方法，以便在实际生活中应用。
第3讲数学第2章《一元二次方程》
八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。
2、因式分解法是解一元二次方程的最常用的方法。
3、“a ≠0”是一元二次方程的前提，是一个重要的隐含条件。
4、因式分解法将一元二次方程转化成一元一次方程来解，体现了“转化化归”的数学思想。
例题精选：例1、把方程（2x －1）（3x+2）＝x 2+2化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.例2、已知关于x 的方程()()012112=--+++x m x m m，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并猜测方程的解； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？例3、用因式分解法解方程：（1）2x 2－5x ＝0 （2）x （2x －7） + （2x －7）＝0（3）4x 2－9＝0 （4）25（x+3）2－16＝0（5）（2x+1）2＝2（2x+1） （6）4x 2－4x+1＝0（7）4（y －1）2＝（3y+1）2 （8）（3x+2）2－2（3x+2）－3＝0例4（1）若一元二次方程ax2－bx－2017＝0有一个根是－1，则a+b＝ . （2）若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2＝0的常数项为0，则m的值为（）A. 1B. 2C. 1或2D. 0（3）解方程3x（x+2）＝5（x+2）时，两边同除以x+2，得3x＝5.你认为对还是错： . （4）若x＝n是关于x的方程x2+mx+2n＝0的非零实数根，则m+n的值为 .（5）已知实数m，n满足3m2+6m－5＝0，3n2+6n－5＝0，且m≠n，则nm + mn＝ .例5、已知a，b为实数，关于x的方程x2-（a-1)x+b+3＝0的一个根为a+1，（1）用含a的代数式表示b；（2）求代数式b2－4a2+10b的值.例6、（1）已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根，求代数式（m2－m）（m－2m+ 1）的值. （2）已知m2+m－1＝0，求m3+2m2－2018的值.（3）已知3x2－x＝1，求9x4+12x3－2x2－7x +2018 的值学生练习：1关于x的一元二次方程（m2－m－2）x2+mx+1＝0成立的条件是（）A.m≠－1B. m≠2C. m≠－1 或 m≠2 D . m≠－1 且 m≠22、下列方程中，一元二次方程共有（）①x2－2x－1＝0；②1y+ 3y－5＝0；③－x2＝0④(x+1)2+y2＝2；⑤(x－1)(x－3)＝x2.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4 个3、若关于x的一元二次方程()1-a x2+x+a-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A.-1B. 0C. 1D.-1或14、利用平方法可以构造一个整系数方程.如：当x=12+时，移项得x-1＝2，两边平方得（x-1）2＝()22，所以得x 2－2x －1＝0.依照上述方法，当x ＝216-时，可以构造出一个整系数方程是（ ） A. 4x 2+4x+5＝0 B. 4x 2+4x －5＝0 C. x 2+x+1＝0 D. x 2+x －1＝05已知一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，若4a －2b+c ＝0，则它的一个根是（ ）A.－2B. －12 C. －4 D. 26若关于x 的方程x 2+(m+1)x + 12＝0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则m 的值为（ ）A.－52B. 12C.－ 52或12 D. 17、若x 0是方程ax 2+2x+c ＝0的一个根，设M ＝1－ac ，N ＝（ax 0+1)，则M 与N 的大小关系正确的是（ ） A .M>N B. M ＝N C. M<N D. 不确定8、若a 是方程x 2－2x －1＝0的解，则代数式2a 2－4a+2017的值为 .9、已知关于x 的方程()()012342=-++---m x m x m m m是一元二次方程，则m = .10、已知m ，n 都是方程x 2+2017x －2019＝0的根，则（m 2+2017m －2018)(n 2+2017n －2020)＝－ .11、若关于x 的方程a(x+m)2+b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1 （a ≠0),则方程a(x+m+2)2+b ＝0的解是 .12、解方程：（1）2x 2－6＝0 （2）（x －4）2＝16（3）2（3x －2）2＝34 （4）3（x+5）2＝11（5）（x －1)2－2(x －1)＝0 (6)(2x+1)2＝6x+3（7）（3x－4)(x+1)+4＝0 (8)x(x－10)+25＝02 是方程x2－4x+c＝0的一个根，求c的值.13、已知x＝514、若方程x2－6x－k－1＝0与x2－kx－7＝0仅有一个公共的实数根，试求k的值和公共的根.15、已知m是方程x2－2x－5＝0的一个根，求下列代数式的值：（1）m3－2m2－5m－9；（2）m3+m2－11m－916、设a>2,b>2，试判断关于x的方程x2－(a+b)x+ab＝0与x2－abx+(a+b)＝0有没有公共根，请说明理由.17、选取二次三项式ax2+bx+c（a0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方.例如：①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2＝（x－2）2－2；②选二次项和常数项配方：x2-4x+2＝（x－2）2+（22－4）x或原式＝（x+2）2+（22+4）x③选取一次项和一次项配方：x2-4x+2＝（2x－2）2－x2.根据以上材料，解决下列问题：（1）写出x2-8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy－3y+3＝0，求y x的值.八年级数学下第3讲《一元二次方程》()重点难点分析：1、一般形式中的a ，b ，c 分别是二次项的系数，一次项系数和常数项。