解三角形中两解的情况
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
解三角形方法大全
（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求 的最大值
.
(天津·17)在△ABC中，BC= ，AC=3，sinC=2sinA.( I )求AB的值；( II )求 的值。
（安徽·16）在△ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= . I )求sinA的值；( II )设AC= ，求△ABC的面积。
3.如上图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南 的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南 的方向上，仰角为 ，求此山的高度CD.
4. （2009·辽宁卷·17）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 ， ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 ，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离。(计算结果精确到0.01km， 1.414， 2.449)
且
（1）求 的大小；（2）求 的最大值
【例】在 中，角 的对边分别为 ，，
（1）求 的大小；（2）求 的范围
【例】（11全国2）设 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
，求
【11江西文】在 中，角 的对边分别是 ，已知
（1）求 的值；（2）若 ， ，求边 的值
解三角形
正余弦定理的应用：
1.正弦定理适用于有两个角存在的情况，下图是“边边角”的情况：（a<bsinA无解）
余弦定理： ， 其变式为：
2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：
（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解直角三角形
解直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
解直角三角形，就是通过已知的信息，求取直角三角形的各边长或者角度的过程。
下面将介绍两种解直角三角形的常用方法：勾股定理和三角函数。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。
它表明，直角三角形的斜边长度的平方等于另外两边长度的平方之和。
设直角三角形的两个边长分别为a和b，斜边长为c，则有勾股定理的表达式为：c² = a² + b²利用勾股定理可以解决以下两种问题：1. 已知两条边的长度，求解第三条边的长度：若直角三角形的两条边分别为3cm和4cm，求解斜边的长度c。
根据勾股定理的表达式可得：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = √25c = 5所以，斜边的长度为5cm。
2. 已知一条边的长度和斜边的长度，求解另一条边的长度：若直角三角形的斜边长度为5cm，一条边的长度为3cm，求解另一条边的长度b。
根据勾股定理的表达式可得：5² = 3² + b²25 = 9 + b²16 = b²b = √16b = 4所以，另一条边的长度为4cm。
二、三角函数除了勾股定理外，三角函数也是解直角三角形的重要方法。
在直角三角形中，正弦、余弦和正切是最常用的三角函数。
下面以解决两个常见的问题为例介绍三角函数的运用。
1. 已知一条边的长度和夹角，求解另一条边的长度：若直角三角形的一条边长为6cm，夹角为30°，求解另一条边的长度a。
根据正弦函数的定义可得：sin(30°) = a / 6a = 6 * sin(30°)a ≈ 3所以，另一条边的长度约为3cm。
2. 已知两条边的长度，求解夹角的大小：若直角三角形的两条边分别为4cm和7cm，求解夹角θ。
根据正弦函数的定义可得：sin(θ) = 4 / 7θ = arcsin(4 / 7)通过计算可得，θ约为42.48°。
解三角形中的多解问题
解三角形中的多解问题解三角形中的多解问题是几何学中一个重要的概念。
在传统的平面几何中，一个三角形的三个角度和三条边是唯一确定的，也即三个已知量可以唯一确定一个三角形。
然而，在某些情况下，给定的条件并不能唯一确定一个三角形，而是存在多个可能的解，这就是多解问题。
多解问题主要存在于两种情况下：一是给定的条件不足以唯一确定一个三角形，二是在解三角形时引入了非唯一解的假设或方法。
这两种情况下，都需要我们进一步分析和探讨，以便获得准确的解答。
首先，让我们探讨第一种情况，即给定的条件不足以唯一确定一个三角形的情况。
一个明显的例子是只给出了三个角度，而未给出任何边长的情况。
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和始终为180度。
因此，如果我们知道三个角度分别是60度、60度和60度，我们可以确定这是一个等边三角形。
然而，如果我们只知道三个角度分别是60度、60度和120度，由于存在多个三角形可以满足这三个角度，我们就无法唯一确定一个三角形。
在第二种情况下，我们会引入非唯一解的假设或方法来解三角形。
一个典型的例子是使用正弦定理来解直角三角形。
正弦定理表明，在一个任意的三角形ABC中，边长a、b、c和其相对应的角A、B、C之间满足以下关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)在一个直角三角形中，我们可以使用正弦定理来解决未知的边长或角度。
然而，在这种情况下，我们通常会得到两个可能的解。
例如，如果我们知道一个直角三角形的两个边长分别为3和4，我们可以使用正弦定理求解第三个边长。
根据正弦定理，我们有：3/sin(A) = 4/sin(90°) = 5/sin(B)通过求解这个方程，我们得到两个可能的解：角A可以是30度或150度，角B可以是60度或120度。
这就是多解问题在解直角三角形时的一个常见情况。
除了上述两种情况，多解问题还可以出现在其他几何学问题中，例如解二次曲线与直线的交点或解三维几何体的重心等。
解三角形题型分类讲解
解三角形知识点总结及题型分类讲解一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果B A sin sin ≥，则B 有唯一解；如果1sin sin <<B A ，则B 有两解； 如果1sin =B ，则B 有唯一解；如果1sin >B ，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+.（4）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+. 二、典型例题题型1、计算问题（边角互换）例1、在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为 答案：=C 23π 例2、已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++=．答案：2例3、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．求角A 的大小； 答案：π3题型2、三角形解的个数例1.在△ABC 中，已知b=40,c=20,C=60。
重点突破：判断三角形解的个数问题
0
=
b sinB
，即 1 =
2
3
3 3 sinB
∴B=60°或 B=120°． 故选：C . 点睛：本题主要考查正弦定理解三角形，属于简单题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个
主要依据. 解三角形时， 有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理， 应注意用哪一个定理更方便、 简捷一般来说 , 当条件中同时出现 ab 及b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运 用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．D 【解析】分析：利用正弦定理即可得出. 详解：由正弦定理可得：
5 1 , B 1500 符合两解。选 D. 9 2
bsinA 0 ， A 中 sinB 1, B 90 ， 1 解， 不符。 C 中 sinB 2 1 ， a
【点睛】
在己知两边一对角的题型中，有钝角或直角最多一解，己知角所对边为大边，最多一解，其余情况根据三角形内 角和 180 ，大边对大角来判断。 4．C【解析】分析：利用正弦定理求出 sinB，得出 B，利用内角和定理进行检验． 详解：由正弦定理得 ∴sinB= ．π 2π π源自）B.2π 3
C.
π 3
D.
π 4
2．已知 ABC 中， a A. 0 个 B. 1个
0
2, b 3, A 45 ，则三角形的解的个数（
D. 0 个或 1个
）
）
C. 2 个
3．在 ABC 中，利用正弦定理理解三角形时，其中有两解的选项是（ A. a 3, b 6, A 30 B. a 6, b 5, A 150 D. a
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解三角形中两解的情况
例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；
（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解析：（1）根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理，
00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A （2）根据正弦定理，
sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B
①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，
00000
180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A
例2 ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos
25A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
解 （1）因为25cos 25A =，234cos 2cos 1,sin 255
A A A ∴=-==，又由3A
B A
C ⋅= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22
ABC S bc A ∆∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=
例3 ．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．
解：由正弦定理sinA=2
3245sin 3sin =⋅= b B a ,因为B=45°<90°且b<a,所以有两解A=60°
或A=120.
(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=2
2645sin 75sin 2sin sin +=⋅= B C b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=2
2645sin 15sin 2sin sin -=⋅= B
C b ；
在△ABC 中，a =8,b =7,B =60°,求c .
解 方法1 (用正弦定理) ∵a sin B =8sin60°=43,∴a sin B <b <a .∴本题有两个解.
由正弦定理及sin C =sin(A +60°),得.)
60sin(60sin 7sin 8︒+=︒=A c A ∴sin A =
734,cos A =±71.∴c =︒
︒+60sin )60sin(7A .∴c 1=5,c 2=3. 方法2 (用余弦定理)
由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得72=82+c 2-2·8c cos60°.
整理得c 2-8c +15=0.解得c 1=5,c 2=3.
在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。
在三角形的6个元素中要知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法见下表：
3. 三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解，两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理。
（1）利用正弦定理讨论：若已知 a 、 b 、 A ，由正弦定理sin sin a b A B =得
sin sin b A
B a =。
若sin 1B >，无解；若sinB ＝1，一解；若sinB<1，两解。
（2）利用余弦定理讨论：已知a 、b 、A ，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，这可
以看作关于c 的一元二次方程。
若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解。
4. 三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：2sin a R A =，2223cos a b c ab C +-=等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。
此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系。
如：sinA ＝sinB ⇔A ＝B ; sin
（A －B ）＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A+B ＝2π
等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如222
sin ,cos 22a b c a A A R bc +-==等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的
关系进行判断。
例1. 在△ABC
中，已知45,a b B ===求边c 。
解析：解法1（用正弦定理） a A b B sin sin = ∴==⨯=sin sin sin A a B b 3452
32 又 b a B A A <∴<∴=，，或60120
当A ＝60°时，C ＝75° ∴===+c b C B sin sin sin sin 27545622
当A ＝120°时，C ＝15°
∴===-c b C B sin sin sin sin 21545622 解法二： b a c ac B 2222=+-cos ∴=+-2323452c c cos
即c c 2
610-+= 解之，得c =±622
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。