数学准备矢量分析与场论
1-矢量分析与场论
ex ex 0, ey ey 0, ez ez 0
ex ey ez , ey ez ex , ez ex ey
A B A B en AB
A// B A B 0
A B Axex Ayey Azez Bxex Byey Bzez
如果要了解场的局部特性，即考虑场在空间每 个点沿各个方向的变化情况，
对于标量场，需要引入方向导数和梯度的概念；
对于矢量场，需要引入散度和旋度的概念。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x, y, z)、F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：
矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律 A B B A A(B C) A B AC
两个矢量的叉积为矢量
矢量运算恒等式
A (B C) B (C A) C (A B) A(BC) B(AC) C(A B)
混合积 双重矢量积
几个特殊结论
假设 M(x, y, z) 为矢量线上任一点，则过点 M沿矢量 线的位移元 dl 与矢量 A(x, y, z)共线。
共线矢量dl 与 A(x, y, z) 满足方程
dl A 0 或
dx dy dz Ax Ay Az
矢量形式
标量形式
A
M
dl r r dr
上面这两个方程称为矢量线方程
M0
而 l 的方向余弦为 cos
2
2
12 22 22 3
cos cos
2
2
12 22 22 3
1
1
12 22 22 3
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
第01章 矢量分析和场论基础
cos ϕ e y
− sin ϕ e x
cos ϕ e x ϕ
e ρ cos ϕ sin ϕ 0 e x e = − sin ϕ cos ϕ 0 e ϕ y ez 0 0 1 e z − sin ϕ cos ϕ 0 0 e ρ 0 eϕ 1 e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3.体、面和线微分元 体 体微分元 dV = ρ d ρ dϕ dz
dS ρ = ρ dϕ dze ρ 面微分元 dSϕ = d ρ dz eϕ dS = ρ d ρ dϕ e z z
Z
ez
线微分元 dl = d ρ e ρ + ρ dϕ eϕ + dze z
P( ρ ,θ , ϕ )
er eϕ
θ是位矢 与正 轴之间的夹角， 是位矢r与正 轴之间的夹角， 与正Z轴之间的夹角
θ
in rs
eθ
r sin θ sin ϕ
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位矢量， 构成的平面的单位矢量，并遵循 右手螺旋法则，见图1-3。 右手螺旋法则，见图 。
图1-3 矢量的标积和矢积
矢量的矢积不满足交换律： 矢量的矢积不满足交换律： A × B = −B × A (1-18) 矢积满足分配律和数乘， 矢积满足分配律和数乘，即
ϕ
ez
P( ρ , ϕ , z )
ρ
eϕ
eρ
图1-10 圆柱坐标
0 ≤ ρ < +∞ 取值范围 0 ≤ ϕ ≤ 2π −∞ < z < +∞
z = 常数
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
第1章矢量分析与场论01
dS r = rdϕ dzar
dSϕ = drdzaϕ
dS z = rdϕ draz
体元： dV = rdrdϕ dz
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R,θ , ϕ ) ，如图，做一微分体 元。 线元：
dl = dRaR + Rdθ aθ + R sinθ dϕaϕ
面元：
dS R = R 2 sin θ dθ dϕ aR
A
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘 积，其结果是一标（数）量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A⋅ B = B ⋅ A
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ ˆ a x ⋅ a y = 0, ˆ ˆ a x ⋅ a x = 1, ˆ ˆ a x ⋅ a z = 0, ˆ ˆ a y ⋅ a y = 1, ˆ ˆ ay ⋅ az = 0 ˆ ˆ az ⋅ az = 1
在直角坐标系下的矢量表示:
ˆ ˆ ˆ 三个方向的单位矢量用 a x , a y , a z
表示。 根据矢量加法运算：
o
Ax
z
Az
A
Ay
A = Ax + Ay + Az
其中：
y
x
ˆ ˆ ˆ Ax = Ax ax , Ay = Ay a y , Az = Az az
ˆ ˆ ˆ 所以： A = Ax ax + Ay a y + Az az
dSθ = R sin θ dRdϕ aθ
dSϕ = RdRdθ aϕ
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
《矢量分析与场论》PPT课件
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
预篇：矢量分析和场论基础
Fx ( x, y , z ) F ( x, y, z ) F ( x, y , z ) dx + x dy + x dz x y z Fy ( x, y, z ) Fy ( x, y , z ) Fy ( x, y, z ) dFy = dx + dy + dz x y z Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) dFz = dx + dy + dz x y z
11
四,标量场与矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数, 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下, 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 如流速场,电场,涡流场等.
A × B = -B × A
(1 )若
A B = A C ,是否意味着 B 总等于 C ?
(2)已知 A = ex + be y + cez , B = ex + 3e y + 8ez ) 各为多少? 若使 A ⊥ B 或者 A // B ,则b,c各为多少? , 各为多少
9
4.矢量的三重标积 矢量的三重标积
C B A 0 0 B C A
C = A+ B
C = A B = A + ( B )
6
2.矢量的标积 矢量的标积 矢量的标乘又称点乘
A B = A B cos α = AB cos α
在直角坐标系中, 在直角坐标系中,其解析式为
A B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
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a ,
b 的点乘也称标量积)
1122b a b ++cos a b =a ,b 的叉乘1
1
a a
b a =⨯
sin a b 方向：既垂直于a
，又垂直于与b a ,满足右手螺旋关系。
=()()(2133113223321b a c b a b a c b a b a c -+-+-若只把两个矢量对调,混合积反号。
若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做1
232
3113
1221
e c c a b a b a b a b a b =
---(c a b =-223)()c b b c a ⋅-⋅
()()c b a c a b =⋅-⋅ ()()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅
()
F x
=（）T T x
((),(x l y l dl φ=x φ∂∂=
+方向上的方向余弦。
其余三个数
∂可视为某一矢量的坐标从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数
叫做矢量场F 向积分所沿一侧穿过曲面s
⎰正方向，穿出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。
根据通量的正负可以得知S 内有产生通量。
但仅此还不能了解源在s
s
F dS V ⋅⎰
散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。
也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处divf 就相应的表
l
F dl ⋅⎰
称为此矢量场按积分所取方向沿曲线我们已知磁场中有l
H dl I ⋅=⎰
由上式可以知道，磁场面积S 的总的电流强度。
显然，仅此还不能了解磁场中任一点构成右手螺旋关系。
则矢之正向的环量∆Γ与面积点时，若∆Γ的极限存在，则称其为
n μ，即，l
S
∆∆⎰
H 所构成的磁场中的一点lim
l
S S
∆∆→=∆⎰
又如在流速场v 中的一点M lim l
S M v dl
S
∆∆→⋅=∆⎰
M 处与n 成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，
R ，则称矢量rotF ，即 rotF R =
lim
l
rotF S
∆=∆⎰
1:在磁场H 中，旋度rotH 是在给定处，它的方向乃是最大电流其模即为最大电流密度的数值，
影，就给出该方向上的环流密度。
x z
x y
e e x y z y
f f ∂
=
∂∂∂∂一个线速度场。
由运动学知道，矢径为12()j y x k ωω+-，求线速度解：由速度场的雅可比（
这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点z z f x
⎪∂ ∂
（由方向导数的公式0l dl
φ=∇⋅，
得d (S
V
⎰⎰S 为V 的表面，s d 等于ds 乘以外法线方向单位矢量。
（在矢量场中任取体积V 坐标轴的三组平行面把体积s
s
F dS V ⋅⎰可知，
f fdV ∇⋅=∇⋅∑⎰，在S 所围中，小六面体的表面可以分成两种：一种是内部的面，它们s
⎰
(S
V
⎰⎰3.斯托克斯（stokes ）公式
(L
S
⎰⎰S 的边界。
S 方向与L 成右手螺旋关系。
A 中，任取一个非闭合面l
S
∆∆⎰
，
()n i
n e l F dl e dS rotF rotF dS ⋅=⋅=⎰()()n n i
e e l s
F dl rotF dS rotF dS ⋅==∑⎰⎰，沿小面积元
的边界取线积分时，内部沿每两个面积元的边线都计算了两次，积分的方向相反，在求和时这两部分互相抵消，合部分的积分值，因而得到i
l l
F dl F dl
⋅=
⋅⎰⎰(L
S
dS ⎰⎰）
4.标量场本质上可以由该场的梯度确定，矢量场本质上由该场的散度、旋度确定。
)f⎛∂
∇⨯=
()f
∇⋅∇⨯≡
如果某一矢量A的散度为零（
称为矢量场A的矢量势
∂∂
++
4）2
f f f
∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇
()()
⨯=⋅-⋅=
()()()(
a b c b a c a b a c
)()()()
f f f f f
∇⨯=∇∇⋅-∇⋅∇=∇∇⋅-∇
∇
(I.20)
(I.21)
(I.22)
(I.23)
(I.21)()
f g ∇⋅⨯根据∇的微分性质，应分别作用到()f f g ∇⋅⨯=∇质，可通过矢量混合积的性质改写，使其分别直接作用到()()(f f f g f g ⨯=∇⨯⋅=∇⨯)
f g ⨯不能写成()g f g ∇⨯⋅， 因g ∇要作用在)(
()g g g g =-∇⋅∇⨯=)()()g g f f g ⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯
()()
()f g f g f g f g ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯ ()()
a c
b a b
c =⋅-⋅ 因而由矢量性得
()()()(f f f f g g f g f ⨯⨯=⋅∇-∇⋅=())g f g f =⋅∇， 因f ∇只作用在f 上 ]
()()g g f g f g ∇⨯⨯=∇⋅-)()()()()g f f g f g g f =⋅∇+∇⋅-⋅∇-∇⋅
()()()
f g f g f g f g ⋅=∇⋅+∇⋅ （ 由微分性） )()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅ ()()()
b c a c b a b c ⋅=⋅-⨯⨯
()()()f f f f g g f f g ⋅=⋅∇-∇⨯⨯=
，然后根据三个矢量叉乘进行运算分析即可。
⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇
)()()()(
g f g f g g f g
δ
点，()x
选择性(f⎰附近的连
选择性(
f⎰
V
通常电荷密度是与空间位置有关的有限连续函数。
如果不是有限
i
()x 函数的导数是奇函数，以电偶极子)2y z y e z e ''∆+∆，于是当
()()()
x x x x ρδδ∂'其中'∇=-∇.)
④在曲线坐标系中用δ2()()(x x y y z ''-+-+
r （如果积分面所包含的体积包含原点）；或等于零，（如果积分面所包这个式子的意义仅是原来的这个式子是有实际用途的。
处，30r
r
∇⋅=，但在0r =点为中心，34S dS r ⋅=-⎰由关于δ函数的定义，有
4dV π=（当x
严谨证明
二阶张量可以写为
从上面公式可以看出，212122222323A B e e A B e e A B e e A ++++。
通常称标量为零阶张量，称矢量为一阶张量，称并矢
2.单位张量3e 称为单位张量，它的三个对角分
）张量与标量的乘法
)B C ⋅
()()C AB C A B ⋅=⋅
因此并矢与矢量的点乘是一个矢量。
并且一般有（2）张量T →→和矢量f 的点乘ij l i T f e δ∑i ij j T f T e =∑
f T T →→→→
⋅≠（不满足交换律）（3）两个二阶张量点乘
kl k l ij i j ki ij k j e e T e e R T e e ⋅=∑∑
（不满足交换律）
张量与矢量的矢量积（叉乘）)()AB C A B C ⨯=⨯
()()C AB AB C ⨯≠⨯
）张量与矢量的矢量积
()i jk j k i T f f T e e e ≠=⨯∑
双点乘（张量的收缩或缩并，二次点乘）:()()CD B =
即先把靠近的两个矢量点乘，再把剩下的两个矢量点乘。
（满足交换律）
)()f g f g ⋅+⋅∇
I =
)()Ar A r A =∇⋅+
)()Arr A rr Ar rA =∇⋅++ S V ⎝⎰⎰(()S V
dS fg ⋅=⎰⎰V S AdV dSA ∇=⎰⎰。